单缝衍射

12-4-5 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
一 圆孔衍射
H
L
P
d
L
D
f
θ
θ
P
d
d
：艾里斑直径
d 2 λ θ = = 1 .22 f D
θ：艾里斑半角宽度
二 瑞利判据
0.8I 0
对于两个不相干的点光源， 对于两个不相干的点光源，如果一个点光源的 爱里斑的中心正好和另一个点光源的爱里斑的边缘 相重叠，这时两个点光源恰能分辨。 相重叠，这时两个点光源恰能分辨。
Augustin Jean Fresnel （1788-1827） ）
菲涅耳简介
菲涅耳与托马斯. 菲涅耳与托马斯.杨一样都有一个为确立光 的波动说而英勇奋斗的青年时代。1818年 的波动说而英勇奋斗的青年时代。1818年他在法 国科学院悬赏征文中一举成名。 国科学院悬赏征文中一举成名。在法国著名科学 家阿喇戈的鼓励下， 家阿喇戈的鼓励下，年轻的菲涅耳勇敢地提出自 己的论文。评委会委员泊松就菲涅耳的理论算出 己的论文。 小圆盘阴影后方中心应为亮点， 小圆盘阴影后方中心应为亮点，认为这违反光的 直进原理，是不可能的。但在竟赛的关键时刻， 直进原理，是不可能的。但在竟赛的关键时刻， 菲涅尔果真用实验证实了亮点的存在。 菲涅尔果真用实验证实了亮点的存在。在事实面 前泊松等人只好认输， 前泊松等人只好认输，后来人们为纪念在这一问 题上泊松的失误，把这阴影中心的亮点称为“泊 题上泊松的失误，把这阴影中心的亮点称为“ 松亮点” 巴黎科学院把最佳论文奖授予菲涅耳， 松亮点”。巴黎科学院把最佳论文奖授予菲涅耳， 这样光的波动说赢得了第一回合的胜利。 这样光的波动说赢得了第一回合的胜利。
三 菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 菲涅尔衍射 缝 夫琅禾费衍射 缝
S
P
光源、 光源、 光源、屏与缝相距 限远 光源、屏与缝相距无限远 在 夫 实 琅 L2 R P 验 禾 L1 中 费 S 实 衍 现 射
12-4-3 夫琅禾费单缝衍射
一 单缝衍射的装置
R
L
衍射角
f
P
Q
A b B
θ
C
o
bsinθ
二 菲涅尔半波带法 光程差 ∆ = BC = b sin θ 为偶数， ⑴ N为偶数，设 N=2
bsin θ 半波带数 N = λ2 可为整数（偶数、奇数），也可为非整数。 ），也可为非整数 N可为整数（偶数、奇数），也可为非整数。
BC = b sinθ = 2(λ 2)
R
L
θ
P
A
A 1
C
Q
A
b
B
缝长 bsinθ 相邻半波带各对应点光线的光程差为λ 2 ，即位相 光线在Q点干涉相消，光强为零， 暗纹。 差为 π ，光线在Q点干涉相消，光强为零，呈暗纹。
12-4-2 惠更斯-菲涅耳原理
∆S
θ
v e
r
P
*
S
∆S：
(子波波源) 子波波源)
同一波面上各点发出的子波是相干波， 同一波面上各点发出的子波是相干波，在传播到 空间某一点时，各子波相干叠加的结果， 空间某一点时，各子波相干叠加的结果，决定了该处 的波振幅。 惠更斯— 的波振幅。—惠更斯—菲涅耳原理
§12-4 光的衍射 1212-4-1 光的衍射现象 H
圆孔衍射
P
S
*
G
单缝衍射
S
*
光通过尺寸比光的波长大得不多的障碍物时， 光通过尺寸比光的波长大得不多的障碍物时， 不再遵循直线传播规律，会传到障碍物阴影区去， 不再遵循直线传播规律，会传到障碍物阴影区去， 并形成明暗相间的条纹—光的衍射现象。 并形成明暗相间的条纹—光的衍射现象。
⑷ 入射波长变化，衍射效应如何变化 ?（ｂ不变） 入射波长变化， （ｂ不变） 不变
增大， 增大，衍射效应越明显. λ增大，θ1增大，衍射效应越明显.
单缝上下移动小距离， ⑸ 单缝上下移动小距离，衍射图样不变 。
R
f
o
θ
（根据透镜成像原理） 根据透镜成像原理）
⑹ 入射光非垂直入射时光程差的计算
ϕ
b
b sin θ = ±2k
λ
kλ θ k ≈ sinθ k = b l = θ k +1 f − θ k f
(k +1)λ θk+1 ≈ sinθk+1 = b
R
( k + 1) λ k λ = − f b b λf 1 l = = l0 b 2
b
θ
L
P
f
o
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？ 一定） ⑶ 单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？ λ （ 一定）
∆s 子波在 P 点引起的振动振幅 ∝ r
并与
θ 有关 .
菲 涅 耳 像
菲涅耳
法国物理学家， 法国物理学家，曾任土 木工程师，1814年开始研究 木工程师，1814年开始研究 光学,1823年被选为巴黎科 光学,1823年被选为巴黎科 ,1823 学院院士，1825年被选为英 学院院士，1825年被选为英 国皇家学会会员。 国皇家学会会员。菲涅耳独 立提出光的波动说， 立提出光的波动说，完成了 光是横波的理论。 光是横波的理论。他发展了 惠更斯原理，提出了子波干 惠更斯原理， 涉的思想。 涉的思想。对光的偏振和双 折射现象、 折射现象、旋光理论都有深 刻的研究。 19世纪波动光 刻的研究。是19世纪波动光 学的集大成者。 学的集大成者。
第一暗纹衍射角θ 1 = arcsin λ（ bsin θ = ±kλ 暗纹公式） 暗纹公式） λ b 光直线传播） 增大， 增大 θ 减小, b ， 1 减小,变窄 b ⇒ 0 θ 1 ⇒ 0（光直线传播） π 衍射最大） 减小， 减小 θ 增大, b ， 1 增大,变宽 b ⇒ λ θ1 ⇒ 2（衍射最大）
设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm 3mm， 例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm，而在 可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问 可见光中，人眼最敏感的波长为550nm， 550nm （1）人眼的最小分辨角有多大？ 人眼的最小分辨角有多大？ 若物体放在距人眼25cm 明视距离） 25cm（ （2）若物体放在距人眼25cm（明视距离）处，则两 物点间距为多大时才能被分辨？ 物点间距为多大时才能被分辨？ 如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm 2.0mm， （3）如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm，问： 人在多远恰能分辨。 人在多远恰能分辨。 解（1） θ0 =1.22 （2 ） d
I
λ
b
−3
λ
b
−2
λ
b
−
o
λ
b
2
λ
b
3
λ
b
sinθ
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⑵ 明纹宽度 的两暗纹间） 中央明纹宽度 （ k = 1 的两暗纹间） λ 干涉相消（暗纹） b sin θ = ± 2 k = ± k λ 干涉相消（暗纹）
第一暗纹距中心的距离： 第一暗纹距中心的距离：
2 λ b sin θ = ± ( 2 k + 1) 2
B
λ/2
o
为奇数， ⑵ N为奇数，设 N=3
BC = b sinθ = 3(λ 2)
R
A
b
B
A
A 1 A2
C
θ
L
P
Q
o
B
λ/2
相邻半波带发出的光线两两干涉相消， 相邻半波带发出的光线两两干涉相消，剩下一半 波带发出的光未被抵消， 点呈明纹 明纹。 波带发出的光未被抵消，Q点呈明纹。 为非整数， 点光强介于最大与最小之间， ⑶ N为非整数，Q点光强介于最大与最小之间，仍在 明段之上，但不是明段的中心点。 明段之上，但不是明段的中心点。
D
A
C
D
A
C
θ
b
B
B ∆ = DB + BC =b(sinθ + sinϕ) ∆ = BC − DA =b(sinθ − sinϕ) 中央明纹向下移动） 向下移动 中央明纹向上移动） 向上移动 （中央明纹向下移动） （中央明纹向上移动）
ϕ
例1 如图， 一雷达位于路边 15m 处，它的射束与公 如图， 15o角.假如发射天线的输出口宽度 b = 0 . 10 m ， 路成 发射的微波波长是18mm 发射的微波波长是18mm ，则在它监视范围内的公路长 度大约是多少？ 度大约是多少？ 解：将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝， 将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝， 衍射波能量主要集中在中央明纹范围内. 衍射波能量主要集中在中央明纹范围内.
λ 1.22× 5.5×10−7 m
= 3×10 m
−4
−3
−3
D
= 2.2×10 rad
−4
= lθ 0 = 25cm× 2.2 ×10 = 0.055mm
d
（3 ） l =
θ0
2 . 0 × 10 = = 9 . 1m −4 2 . 2 × 10
毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄， 例2 毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄， 这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击. 这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击. （1）有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm， 有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm， 55cm 发射频率为220GHz的毫米波，计算其波束的角宽度； 220GHz的毫米波 发射频率为220GHz的毫米波，计算其波束的角宽度； （2）将此结果与普通船用雷达发射的波束的角宽 度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm 1.57cm， 度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm，圆形天线直 径为2.33m 径为2.33m . c 3 ×108 m/s −3 = 1.36 ×10 m 解（1） λ1 = = 9
三 单缝衍射明暗纹公式
b sin θ = 0
b sinθ = ±2k
中央明纹中心
λ
2
干涉相消（暗纹） = ±kλ 干涉相消（暗纹）
( k = 1, 2 , L )
b sinθ = ±(2k + 1)
b sin θ ≠ k
λ
2
干涉加强（明纹） 干涉加强（明纹）
( k = 1,2 ,L )
λ
2
（介于明暗之间） 介于明 之间）
15
d = 15m
o
b = 0.10m
s1
d = 15m
s
15
o
s2
α2
θ
α1
b = 0.10m
根据暗纹条件 b sin θ
θ
λ = 18mm
λ
o
s2 = s − s1 = d (cotα2 − cotα1 )
o o
= λ , θ = arcsin = 10.37 b
= d [cot(15 − θ ) − cot(15 + θ )] = 153m
讨论： 四 讨论： 明暗条纹以中央明纹为中心两边对称分布。 ⑴明暗条纹以中央明纹为中心两边对称分布。 bsin θ 半波带数 N = 增大，Ｎ增大， ，Ｎ增大 θ增大，Ｎ增大， λ2 同一缝宽，半波带面积愈小， 同一缝宽，半波带面积愈小，明纹光强随衍射级 次的增大而减小。 次的增大而减小。 光强分布曲线
干涉加强（明纹） 干涉加强（明纹）
(k = 1,2,L)
sinθ1 ≈ θ1 =
λ
b
R
x1 = θ1 f
x1 = θ 1 f =
角范围 −
λ
b
b
θ
L
P
f
λ
b f <x<
o
λ
b f
x
f
λ
b
< sinθ <
λ
b
线范围 −
中央明纹的宽度 l 0 = 2 x1 ≈ 2
λ
b
f
其他明纹的宽度（任意两相邻暗纹的距离） 其他明纹的宽度（任意两相邻暗纹的距离） 干涉相消（暗纹） = ± kλ 干涉相消（暗纹） 2 (k = 1,2,L) λ b sinθ = ±(2k + 1) 干涉加强（明纹） 干涉加强（明纹） 2
2λ D l0 = 2x1 ≈ 2Dθ1 = a 2×5.46×10−7 × 0.40 = 0.437 ×10−3 = 1.0 ×10−3 m
⑵
asin θ1 = λ θ1 ≈ sin θ1 =
a
λ
a
θ
D
2λ λ − )D l1 = x2 − x1 = (θ 2 −θ1 )D = ( b b λ 1 = D = l 0= 0.5 × 10 −3 m b 2
波长为546nm的平行光垂直照射在a=0.437mm 546nm的平行光垂直照射在a=0.437mm的单 例2 波长为546nm的平行光垂直照射在a=0.437mm的单 缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜，求透镜焦平面上 缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜， 40cm的凸透镜 出现的衍射中央明纹的宽度和第一级明纹宽度。 出现的衍射中央明纹的宽度和第一级明纹宽度。 解：⑴
三
光学仪器的分辨本领 艾里斑半角宽度： 艾里斑半角宽度：
d2 λ θ= =1.22 f D
s1 * s 2*
D
θ0
f
λ
D
d
2
最小分辨角 θ 0 = 1 . 22
d 2 λ θ0 = = 1.22 f D
D 1 = ∝ D, 光学仪器分辨率 = θ 0 1 .22 λ λ
1
1990 年发射的哈勃 太空望远镜的凹面物镜 的直径为2.4m ，最小分 的直径为 最小分 辨角 θ0 = 0.1" 在大气层 ， 外 615km 高空绕地运行 , 可观察130亿光年远的太 亿光年远的太 可观察 空深处, 发现了500 亿个 空深处 发现了 星系 .