单缝衍射

I
λ
b
−3
λ
b
−2
λ
b
−
o
λ
b
2
λ
b
3
λ
b
sinθ
⑵ 明纹宽度 的两暗纹间） 中央明纹宽度 （ k = 1 的两暗纹间） λ 干涉相消（暗纹） b sin θ = ± 2 k = ± k λ 干涉相消（暗纹）
第一暗纹距中心的距离： 第一暗纹距中心的距离：
2 λ b sin θ = ± ( 2 k + 1) 2
D
A
C
D
A
C
θ
b
B
B ∆ = DB + BC =b(sinθ + sinϕ) ∆ = BC − DA =b(sinθ − sinϕ) 中央明纹向下移动） 向下移动 中央明纹向上移动） 向上移动 （中央明纹向下移动） （中央明纹向上移动）
ϕ
例1 如图， 一雷达位于路边 15m 处，它的射束与公 如图， 15o角.假如发射天线的输出口宽度 b = 0 . 10 m ， 路成 发射的微波波长是18mm 发射的微波波长是18mm ，则在它监视范围内的公路长 度大约是多少？ 度大约是多少？ 解：将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝， 将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝， 衍射波能量主要集中在中央明纹范围内. 衍射波能量主要集中在中央明纹范围内.
bsin θ 半波带数 N = λ2 可为整数（偶数、奇数），也可为非整数。 ），也可为非整数 N可为整数（偶数、奇数），也可为非整数。
BC = b sinθ = 2(λ 2)
R
L
θ
P
A
A 1
C
Q
A
b
B
缝长 bsinθ 相邻半波带各对应点光线的光程差为λ 2 ，即位相 光线在Q点干涉相消，光强为零， 暗纹。 差为 π ，光线在Q点干涉相消，光强为零，呈暗纹。
§12-4 光的衍射 1212-4-1 光的衍射现象 H
圆孔衍射
P
S
*
G
单缝衍射
S
*
光通过尺寸比光的波长大得不多的障碍物时， 光通过尺寸比光的波长大得不多的障碍物时， 不再遵循直线传播规律，会传到障碍物阴影区去， 不再遵循直线传播规律，会传到障碍物阴影区去， 并形成明暗相间的条纹—光的衍射现象。 并形成明暗相间的条纹—光的衍射现象。
波长为546nm的平行光垂直照射在a=0.437mm 546nm的平行光垂直照射在a=0.437mm的单 例2 波长为546nm的平行光垂直照射在a=0.437mm的单 缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜，求透镜焦平面上 缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜， 40cm的凸透镜 出现的衍射中央明纹的宽度和第一级明纹宽度。 出现的衍射中央明纹的宽度和第一级明纹宽度。 解：⑴
b sin θ = ±2k
λ
kλ θ k ≈ sinθ k = b l = θ k +1 f − θ k f
(k +1)λ θk+1 ≈ sinθk+1 = b
R
( k + 1) λ k λ = − f b b λf 1 l = = l0 b 2
b
θ
L
P
f
o
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？ 一定） ⑶ 单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？ λ （ 一定）
三 单缝衍射明暗纹公式
b sin θ = 0
b sinθ = ±2k
中央明纹中心
λ
2
干涉相消（暗纹） = ±kλ 干涉相消（暗纹）
( k = 1, 2 , L )
b sinθ = ±(2k + 1)
b sin θ ≠ k
λ
2
干涉加强（明纹） 干涉加强（明纹）
( k = 1,2 ,L )
λ
2
（介于明暗之间） 介于明 之间）
三
光学仪器的分辨本领 艾里斑半角宽度： 艾里斑半角宽度：
d2 λ θ= =1.22 f D
s1 * s 2*
D
θ0
f
λ
D
d
2
最小分辨角 θ 0 = 1 . 22
d 2 λ θ0 = = 1.22 f D
D 1 = ∝ D, 光学仪器分辨率 = θ 0 1 .22 λ λ
1
1990 年发射的哈勃 太空望远镜的凹面物镜 的直径为2.4m ，最小分 的直径为 最小分 辨角 θ0 = 0.1" 在大气层 ， 外 615km 高空绕地运行 , 可观察130亿光年远的太 亿光年远的太 可观察 空深处, 发现了500 亿个 空深处 发现了 星系 .
2λ D l0 = 2x1 ≈ 2Dθ1 = a 2×5.46×10−7 × 0.40 = 0.437 ×10−3 = 1.0 ×10−3 m
⑵
asin θ1 = λ θ1 ≈ sin θ1 =
a
λ
a
θ
D
2λ λ − )D l1 = x2 − x1 = (θ 2 −θ1 )D = ( b b λ 1 = D = l 0= 0.5 × 10 −3 m b 2
λ 1.22× 5.5×10−7 m
= 3×10 m
−4
−3
−3
D
= 2.2×10 rad
−4
= lθ 0 = 25cm× 2.2 ×10 = 0.055mm
d
（3 ） l =
θ0
2 . 0 × 10 = = 9 . 1m −4 2 . 2 × 10
毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄， 例2 毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄， 这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击. 这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击. （1）有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm， 有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm， 55cm 发射频率为220GHz的毫米波，计算其波束的角宽度； 220GHz的毫米波 发射频率为220GHz的毫米波，计算其波束的角宽度； （2）将此结果与普通船用雷达发射的波束的角宽 度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm 1.57cm， 度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm，圆形天线直 径为2.33m 径为2.33m . c 3 ×108 m/s −3 = 1.36 ×10 m 解（1） λ1 = = 9
∆s 子波在 P 点引起的振动振幅 ∝ r
并与
θ 有关 .
菲 涅 耳 像
菲涅耳
法国物理学家， 法国物理学家，曾任土 木工程师，1814年开始研究 木工程师，1814年开始研究 光学,1823年被选为巴黎科 光学,1823年被选为巴黎科 ,1823 学院院士，1825年被选为英 学院院士，1825年被选为英 国皇家学会会员。 国皇家学会会员。菲涅耳独 立提出光的波动说， 立提出光的波动说，完成了 光是横波的理论。 光是横波的理论。他发展了 惠更斯原理，提出了子波干 惠更斯原理， 涉的思想。 涉的思想。对光的偏振和双 折射现象、 折射现象、旋光理论都有深 刻的研究。 19世纪波动光 刻的研究。是19世纪波动光 学的集大成者。 学的集大成者。
Augustin Jean Fresnel （1788-1827） ）
菲涅耳简介
菲涅耳与托马斯. 菲涅耳与托马斯.杨一样都有一个为确立光 的波动说而英勇奋斗的青年时代。1818年 的波动说而英勇奋斗的青年时代。1818年他在法 国科学院悬赏征文中一举成名。 国科学院悬赏征文中一举成名。在法国著名科学 家阿喇戈的鼓励下， 家阿喇戈的鼓励下，年轻的菲涅耳勇敢地提出自 己的论文。评委会委员泊松就菲涅耳的理论算出 己的论文。 小圆盘阴影后方中心应为亮点， 小圆盘阴影后方中心应为亮点，认为这违反光的 直进原理，是不可能的。但在竟赛的关键时刻， 直进原理，是不可能的。但在竟赛的关键时刻， 菲涅尔果真用实验证实了亮点的存在。 菲涅尔果真用实验证实了亮点的存在。在事实面 前泊松等人只好认输， 前泊松等人只好认输，后来人们为纪念在这一问 题上泊松的失误，把这阴影中心的亮点称为“泊 题上泊松的失误，把这阴影中心的亮点称为“ 松亮点” 巴黎科学院把最佳论文奖授予菲涅耳， 松亮点”。巴黎科学院把最佳论文奖授予菲涅耳， 这样光的波动说赢得了第一回合的胜利。 这样光的波动说赢得了第一回合的胜利。
⑷ 入射波长变化，衍射效应如何变化 ?（ｂ不变） 入射波长变化， （ｂ不变） 不变
增大， 增大，衍射效应越明显. λ增大，θ1增大，衍射效应越明显.
单缝上下移动小距离， ⑸ 单缝上下移动小距离，衍射图样不变 。
R
f
o
θ
（根据透镜成像原理） 根据透镜成像原理）
⑹ 入射光非垂直入射时光程差的计算
ϕ
b
设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm 3mm， 例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm，而在 可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问 可见光中，人眼最敏感的波长为550nm， 550nm （1）人眼的最小分辨角有多大？ 人眼的最小分辨角有多大？ 若物体放在距人眼25cm 明视距离） 25cm（ （2）若物体放在距人眼25cm（明视距离）处，则两 物点间距为多大时才能被分辨？ 物点间距为多大时才能被分辨？ 如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm 2.0mm， （3）如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm，问： 人在多远恰能分辨。 人在多远恰能分辨。 解（1） θ0 =1.22 （2 ） d
第一暗纹衍射角θ 1 = arcsin λ（ bsin θ = ±kλ 暗纹公式） 暗纹公式） λ b 光直线传播） 增大， 增大 θ 减小, b ， 1 减小,变窄 b ⇒ 0 θ 1 ⇒ 0（光直线传播） π 衍射最大） 减小， 减小 θ 增大, b ， 1 增大,变宽 b ⇒ λ θ1 ⇒ 2（衍射最大）
15
d = 15m
o
b = 0.10m
s1
d = 15m
s
15
o
s2
α2
θ
α1
b = 0.10m
根据暗纹条件 b sin θ
θ
λ = 18mm
λ
o
s2 = s − s1 = d (cotα2 − cotα1 )
o o
= λ , θ = arcsin = 10.37 b
= d [cot(15 − θ ) − cot(15 + θ )] = 153m
干涉加强（明纹） 干涉加强（明纹）
(k = 1,2,L)
sinθ1 ≈ θ1 =
λ
b
R
x1 = θ1 f
x1 = θ 1 f =
角范围 −
λ
b
b
θ
L
P
f
λ
b f <x<
o
λ
b f
x
f
λ
b
< sinθ <
λ
b
线范围 −
中央明纹的宽度 l 0 = 2 x1 ≈ 2
λ
b
f
其他明纹的宽度（任意两相邻暗纹的距离） 其他明纹的宽度（任意两相邻暗纹的距离） 干涉相消（暗纹） = ± kλ 干涉相消（暗纹） 2 (k = 1,2,L) λ b sinθ = ±(2k + 1) 干涉加强（明纹） 干涉加强（明纹） 2
12-4-5 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
一 圆孔衍射
H
L
P
d
L
D
f
θ
θ
P
d
d
：艾里斑直径
d 2 λ θ = = 1 .22 f D
θ：艾里斑半角宽度
二 瑞利判据
0.8I 0
对于两个不相干的点光源， 对于两个不相干的点光源，如果一个点光源的 爱里斑的中心正好和另一个点光源的爱里斑的边缘 相重叠，这时两个点光源恰能分辨。 相重叠，这时两个点光源恰能分辨。
三 菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 菲涅尔衍射 缝 夫琅禾费衍射 缝
S
P
光源、 光源、 光源、屏与缝相距 限远 光源、屏与缝相距无限远 在 夫 实 琅 L2 R P 验 禾 L1 中 费 S 实 衍 现 射
12-4-3 夫琅禾费单缝衍射
一 单缝衍射的装置
R
L
衍射角
f
P
Q
A b B
θ
C
o
bsபைடு நூலகம்nθ
二 菲涅尔半波带法 光程差 ∆ = BC = b sin θ 为偶数， ⑴ N为偶数，设 N=2
12-4-2 惠更斯-菲涅耳原理
∆S
θ
v e
r
P
*
S
∆S：
(子波波源) 子波波源)
同一波面上各点发出的子波是相干波， 同一波面上各点发出的子波是相干波，在传播到 空间某一点时，各子波相干叠加的结果， 空间某一点时，各子波相干叠加的结果，决定了该处 的波振幅。 惠更斯— 的波振幅。—惠更斯—菲涅耳原理
B
λ/2
o
为奇数， ⑵ N为奇数，设 N=3
BC = b sinθ = 3(λ 2)
R
A
b
B
A
A 1 A2
C
θ
L
P
Q
o
B
λ/2
相邻半波带发出的光线两两干涉相消， 相邻半波带发出的光线两两干涉相消，剩下一半 波带发出的光未被抵消， 点呈明纹 明纹。 波带发出的光未被抵消，Q点呈明纹。 为非整数， 点光强介于最大与最小之间， ⑶ N为非整数，Q点光强介于最大与最小之间，仍在 明段之上，但不是明段的中心点。 明段之上，但不是明段的中心点。
讨论： 四 讨论： 明暗条纹以中央明纹为中心两边对称分布。 ⑴明暗条纹以中央明纹为中心两边对称分布。 bsin θ 半波带数 N = 增大，Ｎ增大， ，Ｎ增大 θ增大，Ｎ增大， λ2 同一缝宽，半波带面积愈小， 同一缝宽，半波带面积愈小，明纹光强随衍射级 次的增大而减小。 次的增大而减小。 光强分布曲线