初中数学-七年级下-二元一次方程组的解法及运用培优讲义

初中数学 七年级下 二元一次方程组的解法及运用培优讲义

一、【知识点拨】

1、二元一次方程：

（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。

2、二元一次方程的一个解：

使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。（使二元一次方程组的两个

方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的

解都应该写成⎩

⎨⎧==y x 的形式。 5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。

（1）代入消元法：

将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二

元消去一元，再求解一元一次方程。主要步骤：

变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。

代入——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（2）加减消元法：

适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数

的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都

应先化为最简形式后再用这两种方法去解。

变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。

加减——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中

的两个未知数。

② 找：找出能够表示题意两个相等关系。

③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。

④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。

教师寄语：

成功并不是很复杂,热爱你所做的事,相信你的天分,每天你都应振奋精神,抛开过去,勇往直前,虽然人生并不总是公平的,但却总是可以

掌控的，关键在于态度和信心,遇到任何困难就应立刻想到:"这个我能

⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

6、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按

二元一次方程整数解的求法进行。

7、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含

待定系数的不等式或加以讨论。

二、【典型例题剖析】

例1解方程组：()()⎩⎨

⎧=-+=-19224262y x y x y x

例2若方程组⎩

⎨

⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，求k 的值

例3．为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福

娃”。该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4

盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、

乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志

和奥运会吉祥物各多少套？

三【知识点分类专练】

知识点1：二元一次方程（组）有关概念

二元一次方程（组）的识别（二元一次方程组是指含有两个未知数，且含未知数的项的次数

是1的方程组.）

【及时练习】：

下列方程组是二元一次方程组的是（ ）

A 、23x y y z +=⎧⎨+=⎩；

B 、2325x y

x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩；C 、226y x y =⎧⎨-=⎩；D 、236

x y xy +=⎧⎨=⎩

知识点2：利用二元一次方程组求字母系数的值

【及时练习】：

1、 解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩时，甲由于看错系数a ，结果解得31

x y =-⎧⎨=-⎩；乙由于看错系数b ，

结果解得54x y =⎧⎨=⎩

，则原来的a =______，b =______. 2、如果关于x 、y 的方程组62x y ax y b -=⎧⎨

+=⎩的解与38

x ay x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值. 知识点3：、解二元一次方程组

【课堂练习】：

. (1)()()()1523254345

x y x y ⎧+=+⎪⎨--+=⎪⎩ (2)2344143m n n m n m +-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

(3)

(4)280096%64%280092%x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩

知识点4：二元一次方程组的应用

（2011年高新一中20题）剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀﹙刀片不可更换﹚和新式剃须刀﹙刀片可更换﹚．有关销售策略与售价等信息如下表所示：

某段时间，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？

知识点5：二元一次方程（组）与一次函数的综合应用

小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为分钟，小聪返回学校的速度为千米/分钟；

（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

四【课堂小测试】