最新同济大学线性代数课件__第三章[1]

行变换 ri r j ri k r i kr j
逆变换
ri r j
ri
1 k
r i kr j
列变换 ci c j
ci k c i kc j
逆变换
ci c j
ci
1 k
c i kc j
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若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B，则称 A 与 B 等价，记作 A ～ B .
(2)A r ik E(i(k)A ) A c ik A(E i(k)T ) (3)A r i kj r E (i,j(k)A ) A c i kjc A(E i,j(k)T )
矩阵的等价关系满足：
(i) 反身性 A ～ A ； (ii) 对称性 若A ～ B ，则B ～ A ； (iii) 传递性 若A ～ B ， B ～ C ，则A ～ C 。
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线性方程组 2x1 x2 x3 x4 2, ①
4xx116xx22
2x3 x4 2x3 2x4
4, 4,
00 1 00 00
1 1
0 0
00 00 1 00
4
3 03
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x 4 3
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B5 cccc cc555333 334cccccc1241240001
0 1 0 0
1
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1
E(i, j(k))
1 k
第i行
1
第j行
1
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三类初等矩阵：
(1 )E (i,j) E (e i e j)e i( e j)T ri rj； ci cj
(2 )E (i(k ) )E (k 1 )e ie iT
ri k; ci k
x1 c 4
x x
2 3
c c
3
x 4 3
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消元法的三类变换： （1）对调二个方程的次序； （2）以非零的数 k 乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍．
由于三类变换都是可逆的， 因此变换前的方程组与变换后是同解的．
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定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:
( B1 )
(B2 )
3
②1
x1
③ 5 2②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2x4
4,① 0,② 6,③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4,①
④ 12 ③
x2 x3 x4 0,② 2x4 6,③
0 0.④
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(B3 ) (B4 )
4
令 x3 c 代入方程组，得解
(1) E r i rj E(i,j)
(2) E r ik E(i(k)) (3)E r i kj r E (i,j(k))
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1
1
0
1
第i 行
1
E(i, j)
1
1
0
第j 行
1
1
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1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
0 0 1 0
0 0 0 0
0
0 00
F
等价标准形
F
Er O
O O
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任一 m×n 矩阵 A 都等价于一个如下的矩阵
F
Er O
OO
称为A的等价标准形。
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§2 初等矩阵
定义2： 由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称 为初等矩阵。
三类初等变换与三类初等方阵相对应
(2 )E (i(k ) 1 ) E (i(1 ))E ,(i(k )T ) E (i(k )) k
( 3 ) E ( i ,j ( k ) 1 ) E ( i ,j ( k )E ) ( i ,j ( , k ) T ) E ( j , i ( k ))
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定理1： 设 A 为m×n 矩阵，则 (1) A r i rj E(i,j)A A c i cj A(E i,j)T
(3)E (i,j(k) )Ekie eT j
ri kjr; cj kci
其中 ei (0 1 0)T
i
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三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置 矩阵都是同一类的初等矩阵。
( 1 )E ( i ,j ) 1 E ( i ,j )E ,( i ,j ) T E ( i ,j )
(1)① ③ 12②22xx113xx22
x3 x4 2,② x3 x4 2,③
3x1 6x2 9x3 7x4 9,④
x1 x2 2x3 x4 4,①
③ ②2 ③ ① ④3①
2x2 2x3 2x4 0,② 5x2 5x3 3x4 6,③
3x2 3x3 4x4 3,④
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1 对i,调 j两 行 ri rj，
2 以k 数 0乘 第 以 i行的,所 ri k有
3把j第 行 所 有 k倍 元 加 素 i行 到 的 第
对 应 的 . 元 rikj素 r 上 去
同样可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “初等c”)行．变换和初等列变换统称初等变换。
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三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一 类的初等变换。
同济大学线性代数课件__ 第三章[1]
§1 矩阵的初等变换
引例 求解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2, ①
4xx11
x2 6x2
2x3 2x3
x4 2x4
4, 4,
② ③
(1)
3x1 6x2 9x3 7x4 9. ④
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2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4,①
2 5
3
2 5
3
2 3
4
0 36
B2
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11
1 1 2 1 4
r22
rr 4335 rr22 000
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0 36
B3
1 1 2 1 4 行阶梯形
源自文库 r 412r4
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 06
B4
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12
1 rr r123 rr1223000000
② ③
(1)
3x16x2 9x37x4 9. ④
(1)的增广矩阵
2 1 1 1 2
(A,b)
1 4 3
1 6 6
2 2 9
1 2 7
4 94
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10
1 1 2 1 4
(A,b) r 1r3 2r2 322
1 3
6
1 1
9
1 1
7
922B1
1 1 2 1 4
r2r3
rr 4332 rr11 000