大学物理学习指导 第3章 液体的表面性质

第3章 液体的表面性质
3.1 内容提要
（一）基本概念
1. 表面张力：液体的表面犹如张紧的弹性薄膜，具有收缩的趋势，即液体表面存在着张力，称为表面张力。

它是液体表面层内分子力作用的结果。

2.表面张力系数：用于反映液体表面性质的物理量，三种定义如下：
（1）表面张力系数表示在单位长度直线两旁液面的相互拉力。

由L f α=得 L
f =α （3.1） 在国际单位制中，α的单位用N ·m -1表示。

（2）表面张力系数α等于增加单位表面积时，外力所做的功。

由△A=α·△S 得
S
A ∆∆=
α （3.2） （3）表面张力系数α在数值等于增大液体单位表面积所增加的表面能,由△E ＝△A ＝α△S 得 S
E ∆∆=
α （3.3） 严格说来，表面能是在温度不变的条件下可转变为机械能的那部分表面能。

3.影响表面张力系数的几个因素
(1) 不同液体的表面张力系数不同，它与液体的成分有关，取决于液体分子的性质。

(2) 同一种液体的表面张力系数与温度有关。

温度越高，α就越小。

(3) 液体表面张力系数的大小还与相邻物质的化学性质有关。

(4) 液体表面张力系数还与液体中的杂质有关。

加入杂质能显著改变液体的表面张力系数。

4.表面张力的微观本质
微观理论认为，液体的表面张力是由于液体表面层分子之间相互作用力的不对称性引起的。

所谓液体的表面层是指位于液体表面处，与表面平行、厚度等于液体分子有效作用半径(一般不超过6×10-7cm)的那层液体。

从能量的角度出发，分子处于液体表面层时，分子的相互作用热能要比处于液体内部的分子的相互作用热能大，而且越靠近液面，分子的相互作用热能就越大。

而液体处于稳定平衡时，分子的相互作用热能最小，因此，液体表面层中的分子都有挤进液体内部的趋势，结果液体的表面就会尽量地收缩。

从力的观点来看，就是在液体表面内存在一种使其收缩的力，这种力就称为表面张力。

所谓表面张力，无论从力或是从能量的角度来解释，都是表面层内分子相互作用的不对称性所引起的。

（二） 弯曲液面的附加压强
1.附加压强：对于弯曲液面来说，由于液体表面张力的存在，在靠近液面的内外就形成一个压强差，称为附加压强。

令液面内压强为p 内，液面外压强(即外界压强)为p 0，则附加压强p s 定义为
p s ＝p 内－p 0 （3.4）
（1）如果液面是水平的，液内压强大于液外压强，即p 内=p 0，则p s ＝p 内－p 0=0
（2）如果液面是凸形的，液内压强大于液外压强，即p 内>p 0，则p s ＝p 内－p 0>0。

（3）如果液面是凹形的，液内压强小于液外压强，即p 内<p 0，则p s ＝p 内－p 0<0。

2. 附加压强的计算：
（1）球形凸液面的附加压强 R
p p p s α20=-=内 （3.5）
（2）球形凹液面的附加压强
R
p s α2-
= （3.6） 上式表明，弯曲液面附加压强的数值与表面张力系数成正比，与液滴曲率半径R 成反比。

且球形凸液面的附加压强为正，球形凹液面其附加压强为负。

（3）球形液泡的内外压强差 R p p A c α4=
- （3.7） （三）液体和固体接触处的表面现象
1.附着层：液体与固体接触处，厚度很薄(等于液、固分子有效作用距离)的那层液体，和自由液体表面层一样，也处于一种特殊状态，这一薄层称为附着层。

2.内聚力与附着力：在附着层内将液体分子间的相互吸引力称为内聚力，固体与液体分子间的吸引力称为附着力。

3.润湿与不润湿现象：由于内聚力和附着力的大小不同，使得有些液体能润湿固体，有些液体不能润湿固体。

在附着层中当内聚力大于附着力时,附着层收缩，液面呈现向下弯曲的形状，表现为液体不润湿固体。

反之，在附着力大于内聚力的情况下，附着层扩展，液面呈现向上弯曲的形状，表现为液体润湿固体。

4.接触角：在液体和固体的接触处，作液体表面的切线和固体表面的切线，这两条切线通过液体内部所夹的角θ称为接触角。

当θ为锐角时，液体润湿固体；当θ为钝角时，液体不润湿固体。

0=θ表示完全润湿；=θπ表示完全不润湿。

5.毛细现象：润湿管壁的液体在细管中液面升高，而不润湿管壁的液体在细管中液面降低的现象，称为毛细现象。

能够产生毛细现象的细管称为毛细管。

当液体润湿管壁时，毛细管内液体上升高度为
gr
h ρθαcos 2= （3.8） 式中α是液体的表张力系数，θ为接触角，ρ为液体体密度，r 为毛细管半径。

当液体不润湿管壁时，由于θ为钝角，故h 为负值，表明毛细管内液面下降。

液体与管壁的接触角决定管中液面的升与降。

6. 气体栓塞现象：当液体在细管中流动时，如果管中出现气泡，液体的流动就要受到阻碍，气泡产生的多了，就能堵住毛细管，使液体不能流动，这种现象称为气体栓塞现象。

（四）液体和气体接触处的表面现象
1.蒸发：常温下发生在液体表面上的汽化过程。

指单位时间内液体分子逸出液面的数目大于蒸气分子进入液面的数目。

影响蒸发的因素主要有（对同一种液体）：
(1)表面积。

表面积越大，蒸发就越快。

(2)温度。

温度越高，蒸发越快。

(3)通风状况。

液面上通风情况好，可以促使从液体中跑出来的分子更快地向外扩散，减少它们重新返回液体的机会，因而蒸发就会加快。

2. 凝结：物质由气态变为液态的过程叫做凝结。

指单位时间内离开液体的分子数小于蒸汽分子进入液体的数目。

3. 饱和蒸汽及饱和蒸汽压：单位时间内逸出液体的分子数等于单位时间内返回液体的分子数时，这种液体上方保持动态平衡的蒸汽叫做饱和蒸汽，由它而产生的压强叫做饱和蒸汽压。

饱和蒸汽压具有恒定的值，与体积的大小以及有无其它气体存在无关，但随温度的升高而增大，且与液面弯曲情况有关。

如凸液面上方饱和蒸汽压大于平液面及凹液面时的饱和蒸汽压。

3.2学习指导
3.2.1 基本要求
1、理解液体表面张力、表面张力系数的三个定义
2、能求解弯曲液面的附加压强、毛细管内液面上升或下降的高度
3、了解液体表面张力、毛细现象在生物和土壤中的应用
3.2.2 知识结构图
3.3 典型题解析
例3.1. 如何理解液体的表面张力现象?
答：在液体表面上厚度约等于分子有效作用距离的薄层液体(称为液体的表面层)内存在液体的表面现象，处在液体表面层中的分子都有向液体内部靠拢的趋势，犹如张紧了的弹性薄膜。

从力的角度看，在液体表面内形成一种向内收缩的力，这种力称为表面张力，表面张力的存在，使得液体尽量减小它的表面积，
表面张力的方向处处与液面相切。

在液体内部的分子受到其周围以分子有效距离为半径的范围内其它分子的引力，由于对称性，其它分子对它的合引力为零；而对处于液体表面层内部的分子，以分子有效作用距离为半径的范围有一部分落在液面外侧，对称性受到破坏，故此分子受到一垂直液面并指向液体内部的合引力作用。

这样，处于液体表面层内的分子都受到一垂直向下的合力，而使表面层中的分子都有向液体内部靠拢的趋势，液体分子越靠近表面所受到的合力也越大。

如果液体内部分子试图到达表面层，则必须克服上述指向液体内部其他分子合引力作用，所消耗的功将转变为表面层中分子间相互作用的势能，称为表面能。

表面张力的存在，使得液体表面积尽量减小，直至表面能为最小。

表面张力的存在使液滴表面以及与固体相接触的液面都呈弯曲形状，同时还使液面两侧的压强具有不同的值，引起附加压强的产生。

毛细现象也是由液体的表面张力所引起。

【评注】液体的表面张力现象广泛存在于气—液接触面、液—液分界面及固—液接触面上，在日常生活中处处可见。

表面张力现象在宏观上是沿着液体表面的相互拉力，而在微观上是分子力的作用。

正确理解其内在与外在的实质，可以有效地利用或克服表面张力现象。

例3.2. 液体表面现象有什么应用?
答：液体表面张力所引起的毛细现象在植物及土壤方面等领域的研究中已得到很好应用。

对植物的研究表明，毛细作用是植物体内液体输运的重要途径之一，在植物细胞壁中含有大量的毛细管，这些毛细管是由原纤维间的细小空间形成的，它是植物长距离输运水分、养料的重要途径。

毛细现象还对保持土壤水分起着重要的作用。

在土壤内部水分的传输以毛细作用为主，有的土壤毛细管结构不好，植物不能很好生长，增加腐殖质不仅能增加肥料，还可以改变土壤的毛细结构，增加毛细水的储量。

旱季播种后常把地表压实，这样可使土壤颗粒之间形成很好的毛细管，水分沿管上升到地面，浸润种子使其发芽；而冬耕的目的之一在于破坏土壤表层的毛细管，使较深层的水分不易上升到地面而被蒸发散失掉。

但在某些情况下，我们需要尽量减小表面张力所产生的影响，如在洗衣服时，由于水的表面张力，使衣服纤维和水之间不能很好的接触；喷洒农药时，表面张力的存在也使农药不能均匀地展开在叶面上。

这时若在水中加入一些表面活性物质来减小水的表面张力系数，就可以使衣物与水更好地接触从而污渍易被冼净，也可使农药均匀的展开在植物枝叶上而易被吸收。

【评注】以上我们只是简单介绍了液体表面现象的几点应用，其实液体表面现象在医学、生物学等很多学科领域均得到了广泛应用。

例3.3. 如图所示为一连通管，首先关上C 3，打开C 1和C 2，在A
边吹出一个大肥皂泡，再关上C 2，打开C 3，在B 边吹出一个小肥皂泡，
最后关上C 1，打开C 2和C 3，这时将会出现什么情形？
答：对于一球形肥皂泡，其内外压强差为R
p p α4=
-外内，且压强差与曲率半径R 成反比。

对于图中所示大、小肥皂泡，其外部压强一
样，而大肥皂泡由于曲率半径R 大于小肥皂泡之曲率半径，故小肥皂
泡内气体压强大于大肥皂泡内气体压强，因此，小肥皂泡内气体将向
大肥皂泡内移动。

当关上C 1打开C 2和C 3后我们将会看到大肥皂泡不断
增大，小肥皂泡不断缩小，直到最后小肥皂泡收缩到在管端仅剩下一
帽顶，帽顶的曲率半径与大泡的曲率半径相等。

【评注】有的同学一看到连通管，便不假思索的认为大的肥皂泡变小，小的变大。

理由是
大的内部气体多，因而压强大，一旦连通，则一定是大的肥皂泡内气体压向小的一边，所以出
现大的变小，小的变大。

但是若考虑到，表面张力使肥皂泡表面出现球形弯曲而产生附加压强
的现象，则分析结果正好相反。

例3.4 具有一可移动边KL 的框架ABCD (如图所示)竖直放置，其上覆盖了一
层肥皂膜，试问：①要保持平衡，钢棒KL 直径应为多少? ②若保持温度不变，钢
棒下移1cm 需做功4.5×10-5J ，则棒长L 为多少?(已知钢密度为ρ=8.5×103kg ·m -3，
图3.2 例3.4图
图3.1 例3.3图
肥皂水表面张力系数α=0.045N ·m -1
)
解：①分析钢棒KL 之受力可知，钢棒受本身重力和肥皂膜的表面张力，要保持KL 平衡，则两力相等。

设钢棒直径为D 、长度为L ，则重力为 Lg D mg G 2)2
(πρ== 表面张力为
L F α2=
当二力平衡时，有
G=F
即 L Lg D αρ2)2
(π2= 故 mm 2.1π8 ==g
D ρα ②由表面张力系数的第二个定义可知，表面张力系数α等于增加单位表面积时，外力所需做的功。

设钢棒下移1cm 所做功引起的肥皂膜表面积增加量为
△S=2L △x =0.02L
因表面张力系数等于增加单位表面积时需作的功，即
S
A ∆∆=
α 将△A =4.5×10-5J ，α=0.045N ·m -1代入上式，得 m
05.002.0105.4045.05
=⨯=-L L
【评注】题中所给框架上覆盖肥皂膜后，应注意此时呈现上下两层薄膜，故计算肥皂膜所产生的表面张力时，每一薄层在L 长度上产生表面张力为αL ，则题中所给肥皂膜产生表面张力F = 2αL ，肥皂膜表面积增加量，也为两层膜面积，即△S=2L △x 。

例3.5为了估计液体表面积改变时所发生的能量变化， 试求当半径为r =2×10-3
mm 的许多小水滴融合
成一半径为R =2mm 的大水滴时,所释放出的能量。

假设水滴呈球状，水的表面张力系数α=73×10-3N ·m -1在
此过程中保持不变。

解：许多小水滴融合成大水滴时，所释放出的能量来之于水滴表面积减小时所释放的表面自由能。

根据表面张力系数的定义，减小的表面自由能S E ∆⋅=∆α。

若设小水滴数目为n ，n 个小水滴的总面积为 n r S 2π4=
则大水滴的面积为
2π4R S =
在融合过程中，小水滴的总体积应与大水滴的体积相同，即
333
3 π34π34r
R n R n r == 表面张力系数α
S
E ∆∆=
α 由此，溶合过程中释放的能量 △E =α△S = α (4πr 2n - 4πR 2)
J
1066.3104)11022(107314.341)-(π4363
32
----⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==R r
R α 【评注】表面张力系数α有三个定义：其一是从力的角度，即L f α=；其二是从力做功的角度，即△A=α·△S ；其三从能量守衡与转化的角度，即 S
A ∆∆=α。

题中要求能量的转化，自然是应用第三个定义。

当然它们是从不同角度求解或测定表面张力系数的几种方法，应据具体情况灵活运用。

例3.6 今有10克酒精从一内径为2mm 垂直竖立的移液管一滴一滴流出，共流出800滴，在此过程中可认为液滴呈球形，并假定滴下的酒精滴的最大直径等于试管内径，求酒精的表面张力系数α。

解：在降落瞬间，在L 长度上酒精的表面张力为d f πα=，每滴酒精的重量为n
mg G =。

因为 G=f 所以 d n
mg π α= 1333m N 105.1910
214.38008.91010π ----⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==d n mg α
【评注】在降落瞬间，液滴的重量将打破长度为L =2π（d /2）的表面膜，即液滴的重量等于此长度下的表面张力d f πα=，每滴酒精的重量为n
mg G =，据此可求的表面张力系数α。

本题的关键在于正确分析液滴下落过程的受力，只要明白液滴之所以成球形是因为存在表面张力，当重力大于或等于表面张力时，液滴下落，其球形被破坏。

另外，表面张力的计算中，有时用单层膜有时是双层膜，不可死套公式。

题中这种用来测定液体表面张力系数的方法被称为液滴测定法，在农学、植保、牧医等专业中常采用它来测定液体的表面张力系数。

例3.7将压强为Pa 10013.150⨯=p 的空气，等温地压缩进肥皂泡内，最后吹成半径为cm 5.2=R 的肥皂泡。

①求增大肥皂泡内外表面的面积所需做的功；②设肥皂泡的胀大过程是等温的，试求吹成这肥皂泡所需作的功。

已知肥皂水的表面张力系数-12m N 105.2⋅⨯=-α。

解：①应用表面张力系数的第二个定义，增加单位表面积所增加的表面能等于外力所需做的功，即S
A ∆∆=α。

那么用于增大肥皂泡内外表面积所需做的功为 J 1093.3)105.2(14.38105.2π8422221---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅=R S A αα (1)
②设p 表示泡内空气的压强，p 0表示泡外的大气压强，则
R p p α40=
- 或 R
p p α40+= (2) 肥皂泡的膨胀是一等温过程。

因此，吹成这肥皂泡所需做的功应等于气体等温过程所做的功。

从压强为p 0的初状态将空气压缩到压强为p 的末状态，在此压缩过程中外界对系统所做的功为
002ln ln p p PV p p RT M m A =-= (3) 将（2）式代入（3）式得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=030241ln π344Rp R R p A αα 式中 ,π34,430R V R p p =+=α 因0
4Rp α远小于1，所以 141,441ln 000≈+≈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+Rp Rp Rp ααα 122030030023
2π832π3164π3441ln π3441A R R Rp R P Rp R Rp p A =⋅⋅==⋅⋅≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ααααα 吹成肥皂泡所需作的总功为
J 411121105.63
532-⨯==+=+=A A A A A A 【评注】此题是气体等温过程作功与液体表面张力系数以及弯曲液面附加压强的综合性问题。

将气体吹入肥皂泡内，外力所需做的功应包括两部分：其一是增加液体表面能时外力所作的功；其二是气体等温膨胀过程所作的功。

一般情况下仅计算第一部分的功值即可。

例3.8 求直径d =0.01mm 的空气泡在水下深度h =20cm 处的空气压强，设水面压强为大气压p 0=1.013×105Pa ，已知水的密度ρ=103kg ·m -3，水的表面张力系数α=72×10-3N ·m -1 。

解：空气泡中的空气压强是由大气压p 0、水柱的静压力p 1（p 1=ρgh ）及气泡弯曲面附加压强p 2所组成。

由此可知，空气泡内气体压强为
Pa 1032.12
/1001.01072210
208.91010013.1 2 5332350210⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+
+=++=---R gh p p p p p αρ 【评注】此题中牵涉到球形液面附加压强问题，对于球形凸液面，液体内部压强大于外部压强，附加压强为正值，
R
p s α2=
；对于球形凹液面，液体内部压强小于外部压强，附加压强为负值，R p s α2-=，式中R 为球形液面曲率半径。

例3.9 一肥皂泡直径为5cm ，表面张力系数为25×10-3N ·m -1，试求肥皂泡内计示压强。

解：肥皂泡液膜是双层膜，但液膜很薄，故内外表面半径可看作相等，若设肥皂膜内压强为p '，泡内压强为p ，泡外压强为p 0,即 R
p p α2'-=- （1） R
p p α2'0=- （2） 由上面两式得 R p p α40=
- 式中132m N 1025 ,m 102
5---⋅⨯=⨯=αR 故计示压强为 Pa 410
5.21025423
0=⨯⨯⨯=---p p
【评注】本题考查了计示压强和弯曲液面附加压强的定义。

由本题结论知，球形液泡内外压强差与液泡半径成反比，液泡越小，其内部压强越大。

工厂在吹制玻璃器件时利用了这一原理，开始吹时压强比较大，吹大后就要要减小压强。

例3.10一钢针轻放于水面上，试讨论钢针为什么不会下沉？设钢针直径d =1mm ，长度为L =4cm ，水的表面张力系数α=72.8×10-3N ·m -1
，钢密度33m kg 105.8-⋅⨯=ρ，若钢针所在位置处弯曲液面的切线（即表面张力f 方向）与竖直方向夹角θ=63°。

解：钢针轻放于水面上，将水面压下一凹面（如图如示），故受液体的表面张力与其本身重力，且两力平衡。

已知钢针直径d =1mm ，长度为L =4cm ，水的表面张力系数α=72.8×10-3N ·m -1，钢密度
33m kg 105.8-⋅⨯=ρ。

则钢针所受重力为
Lg d mg G 2)2
(πρ== N
10562.2618.9104)2101(14.3105.852233---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
由于表面张力f 在水平方向上分量向四周发散，彼此抵消，故在竖直方向上的合力为
N
52310513.26163cos 10410732cos 2---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯== θ
αL F
可见，G =F ，即钢针浮于水面上而不下沉，是由于钢针重力和表面张力在竖直方向上的合力相互相抵消所致。

【评注】题中钢针并未浸入水中，只是将水面压下一凹面，故不受浮力，钢针之所以能浮在水面上而不下沉，是因为钢针所受液体的表面张力与其本身重力相平衡的结果。

故正确分析物体的受力对解决问题非常重要。

例3.11 如图示，试求一恰在水面下气泡内空气的压强，设气泡
半径R =5×10-6m ，水的表面张力系数73×10-3N ·m -1，大气压强p 0=1.013
×105Pa 。

解：因气泡恰在水面下，故气泡外液体内压强近似等于大气压强。

设气泡内压强为p 内，此时液面为一凹液面(如图示)，根据附加压强
的定义可有
R p p α20-
=-内 则气泡内空气压强为 Pa 103.110
51073210013.12563
50⨯=⨯⨯⨯+⨯=+=--R p p α内 【评注】本题有三个易错点：一是气泡恰在水面下的理解。

因气泡较小，故气泡外液体内压强应近似等于大气压强；二是正确判断液面的形状。

液面是凸面还是凹面，应站在液体内部的角度来看。

三是附加压强定义的理解。

附加压强等于液体内部压强与外部压强之差。

三方面任一含混不清均造成结果错误。

正确清楚的理解物理概念对解题的每一步都异常的关键。

例3.12 一根内直径为1mm 的玻璃管，竖直插入盛水银的容器里，管的下端在水银面以下1cm 处，要
在管的下端吹出一半球形气泡，管中空气计示压强为多少?已知水银的表面张力系数α=465×10-3N ·m -1，
密度ρ=13.6×103kg ·m -3，
解：此为毛细管问题。

管内压强由三部分组成，即附加p gh p p ++=ρ0，由题可知，毛细管半径R =5
×10-4
m ，h =0.01m ，液体的弯曲液面为凸液面，其附加压强为 R p α2=
附加 管内压强为
图3.4 例3.11图
R gh p p αρ20+
+= 管内计示压强为
Pa 319301.08.9106.13105104652234
30=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=
---gh R p p ρα
【评注】此题仍是考查计示压强与附加压强的问题。

在讨论球形液面内、外附加压强的有关问题时，应首先分清液面内与液面外，以及液面的形状，且牢记附加压强为液面内部压强减去液面外部压强，只有这样解题才不会出错。

例3.13 如图所示，将两个平行板插入液体中，由于毛细现象使两板间的液面上升，试导出液面上升的高度公式。

解：设两板间距为d ，两玻璃板长为L ，板间液面比板外高h ，液
体密度为ρ，表面张力系数为α，接触角为θ，则有
g Ldh L ρθα=cos 2，得
gd
h ρθαcos 2= 【评注】在讨论润湿现象时，应能理解接触角的定义，接触角为液体与固体接触处，和液面相切通过液体内部与固体所夹的角。

在此题中，表面张力在竖直方向上的分量2L αcos θ与液块重力平衡时，使液面上升到一稳定高度,它与毛细管内液
体上升高度相同。

例3.14一根内直径为1mm 的玻璃管，竖直插入盛水银的容器里，管的下端在水银面以下1cm 处，若管
内空气压强比外界压强低3×103 Pa ，水银在管内会升到多高?设与玻璃接触角为140°，水银表面张力系
数α=465×10-3N ·m -1，水银密度ρ=13.6×103kg ·m -3。

解：管内水银柱上升应来自两方面的原因，一是内外压强差所致；二是液体与毛细管润湿与不润湿所致。

由已知，△p =3×103 Pa ，则管内液柱上升的高度h 1为
g
p h ρ∆=1 又由已知θ=140°，水银与毛细管不润湿，液体在管内下降高度h 2为
gr
h ρθαcos 22= 则水银在管内上升的高度为
m
243333211018.11058.9106.13140cos 1046528.9106.13103--︒
-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+h h
【评注】此题为典型的毛细管现象。

当液体润湿毛细管时液面在管内上升，不润湿时在管内下降。

管内液面上升(下降)的高度h 与表面张力系数α成正比，与毛细管半径成反比。

毛细管半径越小，在润湿情况下，管内液面上升得越高，在不润湿时，管内液面下降得越多。

例3.15 如图所示，U 型管中注以水，设右边毛细管的内半径r =5.0×10-5m ，左边毛细管的内半径R =2.0×10-4m ，求两管内水面的高度差h 。

水的表面张力系数131073--⋅⨯=m N α，
接触角 0=θ。

解：因水与管壁的接触角 0=θ即水完全润湿管壁，弯曲液面为凹液面。

故左边毛细管中液面下A 点的压强为
图3.5 例3.13图 A B
R p p A α20-= 右边毛细管中液面下B 点的压强为 r
p p B α20-
= 应用静力学原理，A 、B 两点的压强差为 gh p p B A ρ=-
则有
gh R
r ραα=-22 m
22.0)10
0.21100.51(8.91010732)11(24533=⨯-⨯⨯⨯⨯=-=---R
r g h ρα 【评注】如果不考虑毛细管现象，则两点间的压强差纯属静力学问题。

若考虑
到毛细现象时，液体与管壁之间的润湿与不润湿所引起的液面上升或下降也应包含。

例3.16 一根两头开口的玻璃毛细管，内直径d =0.40 mm ，长l 0=20cm 。

水平地浸入水银中，空气全部留在管内。

若管子浸入深度h =15cm ，如图
所示。

求管中空气柱的长度l 。

已知接触角 180=θ，atm 1m N 1049001
3=⋅⨯=--p ，水银α。

解：空气柱从空气放入水银中，可近似看作等温变化，若设放入水银中空气的压强为p ，大气压强为p 0，则有pl =p 0l 0。

因水银与玻璃不润湿，所以要用到附加压强的概念。

设水银面h 处的压强为p '，由附加压强的定义可知
d
r p p αα42'==- gh p p ρ+=0'
Pa
1028.11040.010490415.08.9106.131013.1453
3350⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯=-
+=--d gh p p αρ 空气柱中气体做等温变化，故有
00l p pl =
cm 6.1710
28.1201013.15500=⨯⨯⨯==p l p l 【评注】当毛细管水平地浸入水银中，空气全部留在管内，且浸入的深度只有15cm ，那么气柱体积的变化是由于压强的改变而变化。

因此问题的关键是求出空气柱内气体的压强，从而归结为静力学压强和附加压强的问题。

例3.17树干外层是由一些木质的细管子组成，假设每个细管都是均匀的圆柱体，树液完全由毛细现象
而上升，树液的表面张力系数为0.05 N ·m -1，接触角为45°。

问高为20 m 的树，木质管子的最大半径是
多少？树液密度近似取水的密度。

解：树液上升是由于毛细现象，根据毛细管理论，树液在管内上升的高度为
gr
h ρθαcos 2=
图3.7 例3.16图
故毛细管的半径为
m 73
06.320
8.91045cos 05.02cos 2-=⨯⨯⨯==gh r ρθα 【评注】树液上升是由于毛细现象，毛细管内液体上升的高度与管径成反比，管径越小，液体在管内上升的高度则越高，而越高的树，其树内的木质管径越细。

例3.18 一根横截面是圆形的管子，外半径是0.14cm ，一端封闭，在管的封闭端加一重物，并使管的
封闭端向下竖直地浮在水里。

管和重物的总质量为0.2g ，如果接触角为零，问管的封闭端低于水面多少？
131073--⋅⨯=m N 水α。

解：已知管半径R =0.14cm=1.4×10-3
m ，管和重物的总质量m =0.2g=2×10-4
kg ，设管子的封闭端没入水面的深度为h ,则管子所受浮力为
h R f 2π水浮ρ=
管子与表面层水之间的表面张力为
R L f π2αα==张
由三力平衡得
张浮f f G +=
即 R h R mg π2π2αρ+=水
m
214.0)104.1(14.310104.114.3210738.9102ππ22
333342
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
-=
----R R mg h 水ρα 【评注】管子在水中受三个力的作用：①管子和重物的重力作用；②管子深入液体内所受浮力；③管子与表面层水之间存在表面张力。

由三力平衡列方程求解。

本题在分析受力时，易将表面张力漏掉，而且在计算其大小时，表面张力系数的三个定义要根据情况灵活运用。

3.4 课后习题选解
3.1一矩形框被可移动的横杆分成两部分，这两部分分别蒙以表面张力系数为3
10
40-⨯和
13m N 1070--⋅⨯的液膜，横杆与框的一边平行,长度0.1m 为，求横杆所受的力。

解：根据表面张力定义 L F α= 得 L f L f 2α 2α2211==
()()
N 1060.1104010702αα23331212---⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=-=L f f F
3.2一个毛细管，水能在管内升高到h ，假如把这个毛细管插入水中，露出水面的高度h /2为，你能不能由此得到人造喷泉，为什么？水在管中上升的高度是多少这时接触角多大？
解：不能，由于水面上升到处，液面的曲率半径增大。

3
21cos cos 22 2πθθρθαρα====
gr h gr h。