拉格朗日方程复习与例题
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
拉格朗日乘数法求极值例题
拉格朗日乘数法求极值例题拉格朗日乘数法是求解多元函数极值问题的一种常用方法，它被广泛应用于经济学、物理学等领域。
本文将通过一个例题来详细介绍拉格朗日乘数法的应用。
例题：求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在约束条件$g(x,y)=x+y-1=0$ 下的最小值。
解析：首先，我们需要确定拉格朗日乘数法的基本思路。
其核心是将约束条件与目标函数合并成一个函数，再通过求导的方式求得该函数的极值点。
具体步骤如下：1.建立拉格朗日函数设 $L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambda g(x,y)$，其中$lambda$ 为拉格朗日乘数。
2.求解拉格朗日函数的偏导数$$begin{cases}frac{partial L}{partial x}=2x+lambda =0frac{partial L}{partial y}=2y+lambda =0frac{partial L}{partial lambda}=x+y-1=0end{cases}$$3.解方程组由上面的方程组可以解得 $x=frac{1}{2}$，$y=frac{1}{2}$，$lambda=-1$。
4.判断极值通过二阶导数判断可得，此时为函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的最小值。
因此，该例题的最小值为$f(frac{1}{2},frac{1}{2})=frac{1}{2}$。
通过这个例题，我们可以看到拉格朗日乘数法的应用非常灵活，不仅可以求解二元函数的最值问题，还可以处理多元函数的极值问题。
而且，在实际问题中，拉格朗日乘数法常常被用于约束条件较为复杂的情况下，例如非线性约束条件或多个约束条件等。
总之，拉格朗日乘数法是一种非常实用的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
拉格朗日中值定理练习题
拉格朗日中值定理练习题拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它通过中值定理的形式，给出了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的取值之间的关系。
本文将结合几个练习题来深入理解拉格朗日中值定理及其应用。
练习题一已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题二已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且f’(x) ≠ 0，即导函数在开区间 (a,b) 内不为零。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，并且导函数不为零。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题三已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在两个点 c1 和 c2，使得f’(c1) = f’(c2)。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
我们再次应用拉格朗日中值定理在同一区间 (a,b) 上，可以找到另一个点d ∈ (a,b)，使得f’(d) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
拉格朗日插值公式例题
拉格朗日插值公式例题拉格朗日插值公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙！咱先来说说啥是拉格朗日插值公式。
简单讲，就是通过给定的一些点，来找到一个能穿过这些点的多项式函数。
比如说，给定了（1，2）、（2，5）、（3，8）这几个点，咱们就想找到一个函数，能把这几个点都串起来，这时候拉格朗日插值公式就派上用场啦。
给您举个具体的例子哈。
假设咱们有三个点，（1，3）、（2，7）、（4，19）。
那咱就可以用拉格朗日插值公式来搞一搞。
先算第一个基函数，就是（x - 2）（x - 4） / （1 - 2）（1 - 4），算出来是（x - 2）（x - 4） / -3 。
然后第二个基函数，（x - 1）（x - 4） / （2 - 1）（2 - 4），就是（x - 1）（x - 4） / -2 。
最后第三个基函数，（x - 1）（x - 2） / （4 - 1）（4 - 2），也就是（x - 1）（x - 2） / 6 。
接下来，把这三个基函数分别乘以对应的纵坐标值 3 、 7 、 19 ，再相加，就能得到咱们要的插值多项式啦。
这公式看着复杂，其实多做几道题也就熟悉了。
我记得之前有个学生，一开始看到这公式就头疼，觉得这简直是“天书”。
我就跟他说，别慌，咱们一步步来。
每次做一道题，我都陪着他，一步一步拆解，告诉他每个步骤的道理。
慢慢地，他不再害怕了，还能自己独立完成题目。
后来有一次考试，正好考到了拉格朗日插值公式的相关题目，他做得可溜了，成绩出来后，他那高兴劲儿啊，我看着也特别欣慰。
咱们再深入点儿说，拉格朗日插值公式在实际生活中也有不少用处呢。
比如说，您要根据一些已知的数据去预测未来的趋势，或者去拟合一些实验数据，这公式就能帮上大忙。
不过呢，用这公式的时候也得小心。
有时候数据可能不太准确，或者点数太少，用这个公式得到的结果可能就不太靠谱。
这就好比盖房子，地基没打稳，房子能结实吗？所以啊，用的时候得多琢磨琢磨，看看数据合不合适，条件满不满足。
第十五章拉格朗日方程习题解答
习 题15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。
已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。
如不计胶带质量，试求A 物的加速度。
图15-7a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r ar m MMDC323I I 21)(21=== 动力学普遍方程0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W rs MMM B A D C0)()(1)2121(221133=-++---a m g m a m g m rra m ra m Mrm m m gr m m M a )()(32112++-+=15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。
若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。
图15-8θωsin 211I l m F = )c o s 1(θ-=kl F 动力学普遍方程0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θt a n δδ12r r = 故0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l mθθωcos 2)cos 1(122l m kl g m -+=15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。
如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。
图15-9DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE Ora m ra r m M222I 41)2(21==动力学普遍方程0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F02δ4132δ23δ)(121211=⨯⨯-⨯--rr ra m r a m r a m F DE DE DE08921=--DE DE a m a m F212198889m m F m m F a DE +=+=15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。
2020年高考回归复习—力学选择之拉格朗日点问题-包含答案
高考回归复习—力学选择之拉格朗日点问题1．两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统。
双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。
现将“地—月系统”看做双星系统，如图所示，O 1位地球球心、O 2位月球球心，它们绕着O 1O 2连线上的O 点以角速度ω做圆周运动。
P 点到O 1、O 2距离相等且等于O 1O 2间距离，该点处小物体受地球引力E F 和月球引力M F 的合力F ，方向恰好指向O ，提供向心力，可使小物体也绕着O 点以角速度ω做圆周运动。
因此P 点是一个拉格朗日点。
现沿O 1O 2连线方向为x 轴，过O 1与O 1O 2垂直方向为y 轴建立直角坐标系。
A 、B 、C 分别为P 关于x 轴、y 轴和原点O 1的对称点，D 为x 轴负半轴上一点，到O 1的距离小于P 点到O 1的距离。
根据以上信息可以判断（ ）A ．A 点一定是拉格朗日点B ．B 点一定是拉格朗日点C ．C 点可能是拉格朗日点D ．D 点可能是拉格朗日点2．地月拉格朗日L 2点是卫星相对于地球和月球基本保持静止的一个空间点，即地月拉格朗日L 2点与月球地球总在同一直线上，并且处在月球背面，如图所示．则与月球相比始终处在地月拉格朗日L 2点的卫星在地球和月球共同引力作用下绕地球运行时，下列说法正确的是（ ）A ．运行的周期比月球大月球大B ．向心加速度比月球大C ．线速度比月球小D ．所受合外力比月球大3．今年，我国将发射“嫦娥四号”，实现人类首次月球背面软着陆．为了实现地球与月球背面的通信，将先期发射一枚拉格朗日L2点中继卫星．拉格朗日L2点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，是五个拉格朗日点之一，位于日地连线上、地球外侧约1.5×106 km处．已知拉格朗日L2点与太阳的距离约为1.5×108 km，太阳质量约为2.0×1030 kg，地球质量约为6.0×1024 kg．在拉格朗日L2点运行的中继卫星，受到太阳引力F1和地球引力F2大小之比为（）A．100∶3B．10000∶3C．3∶100D．3∶100004．2018年5月21日，中国在西昌卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继星发射升空．6月14日，“鹊桥”号中继星进入地月拉格朗日L2点的Halo使命轨道，以解决月球背面的通讯问题．如图所示，地月拉格朗日L2点在地球与月球的连线上．若卫星在地月拉格朗日L2点上，受地球、月球两大天体的引力作用，能保持相对静止．已知地球质量和地月距离，若要计算地月拉格朗日L2点与地球间的距离，只需要知道的物理量是（）A．月球的质量B．“鹊桥”号中继星的质量C．月球绕地球运行的周期D．引力常量5．一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中有一些特殊的点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
§14.1、达朗伯-拉格朗日方程解析
4.1) 单独解除轮3转动自由度:
w m1a1 r2 J 2 2 m ( r r ) r m g r 3 2 2 3 3 2 3 2 w 0 2m1r2 2 m2 r2 2 2m3 (r2 2 r3 3 ) 2m3 g 0
9
动力学普遍方程不仅适用于两自由度动力学 系统,对n自由度(n≥1)的动力学系统都成立;这 种方法求解动力学问题时作题格式/步骤等都 相同:首先确定系统参数,并分析各构件的加速 度,再由加速度分布图导出惯性力分布图(并补 画主动力),再应用虚功原理列方程;如果系统 有K个自由度,而每个自由度单独解除后对应 虚功都等于零,因此可列出K个虚功等于零独 立方程,联立可求解K个未知量;
第十四章：拉格朗日方程 虚位移原理+达朗伯原理→拉格朗日方程 (伯努利) (动力学解题公式) 拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程
第一类拉格朗日方程
§14.1、达朗伯-拉格朗日方程 先把动力学问题转化为静力学问题(达朗伯原理),再 借助于动力学来处理这个“静力学问题”(虚位移 原理):虽然增加了惯性力,但过滤掉了系统中所有的 理想约束力;按这种思路所列的动力学方程称为第 一类拉格朗日方程,也叫动力学普遍方程; 1
3) 受力分析(含惯性力,但除掉理想约束力),图b; 4) 逐一单独解除每个自由度;并令各自由度上的 5 虚功都等于零;
w m3 gr3 m3 (r2 2 r3 3 )r3 J 3 3 w 0 2g 2(r2 2 r3 3 ) r3 3 0
10
习题1 用拉格朗日方程法求解图示单自由度系统 中细杆AB的线加速度;已知条件:轮1/轮2都作纯 滚动,质量都为m,半径都为r,对各自质心轴的转动 惯量分别为 1 2 ,细杆AB的质量为0.5m;
理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程
上式中的两个括号正是力学系统的动能T, 所以
i n1m ir q r id d t q T q T
s1Qddtq TqT0
(5.26)
所以
d d t q T q T Q 1, 2 ,s, (5.27
前一个是质点绕极点运动的惯性离心力. 广义力Q , Q
可利用虚功来求. 先令=0, 虚功W=F r=F ,得到
Q = F . 这是力的径向分量.
同理 先令 =0, 利用虚功得到Q= F .这是相对极点的
力矩.
例其2平移如方果某 向一 沿广 着义 单坐位标矢量q ,n反(映如力图学). 即系统的整体平移,
2 (m1 m2)g m1lcos
例题2
质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上. 质量为 m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱 的斜面AB无滑动地滚下.
y
A
C1
OC
D C2
B
求：(1) 三棱柱后退的加 速度a1; (2)圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar.
x
解：(1) 分析运动
三棱柱作平移，加速度为 a1. 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的 相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2.
类型. 事实上, 研究第i个质点的运动时, 若选用跟随这个
质点一同平动的参考系统, 这个质点显然是(相对)静止的,
它应当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫做达
朗贝尔原理. n F im iri ri 0
(5.23)
i1
——达朗贝尔-拉格朗日方程
拉格朗日相关例题
使 f 0 ．
解：函数 f x 在 a, c, c, b 上连续，在 a, c , c, b
相关例题3
a, c , c, b 内可导，由拉格朗日中值定理知在
a, c 内存在一点 1 ，使 f c f a ， f
题
目
设函数 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，
证明在 a, b 内至少存在一点 ，使
bf b af a 法1
本题关键是建立辅助函数． 由结果可以看出要证
bf b af a xf x ba
，
x
取 F x xf x ，利用拉格朗日中值定理可得结 果．
解题步骤1
取 F x xf x ， x 在 a, b 上连续， a, b 在 F
内可导，由拉格朗日中值定理知，在 a, b 内至
少存在一点 ，使
F b F a F ， ba
续，在 1 , 2 内可导，由罗尔定理知存在一点
1 , 2 a, b ，使 f 0 ．
f a
g a
f a
0 ， F b
g a g b
f a
f b
，
相关例题2
F x
f a
g a
g b f b
f a
f x ， g x
b a g a f a f ． g
导，且 f a f b 1，试证在 a, b 内存在两点
，使 e f f 1 ． ,
解：取 F x f x e x ， F x 在 a, b 上连续，在
用拉格朗日乘子法求对偶问题例题
用拉格朗日乘子法求对偶问题例题在优化问题中，对偶性是一种非常重要的概念。
通过对偶性，我们可以将原始问题转化为更容易求解的对偶问题，从而简化问题的求解过程。
拉格朗日乘子法是求解对偶问题的一种常用方法。
在本文中，我将通过一个具体的例题来介绍如何使用拉格朗日乘子法求解对偶问题，并探讨对偶问题的意义和应用。
1. 问题描述假设我们有一个原始问题：\[\min_{x} f(x)\]\[s.t. \quad g(x) \leq 0\]\[h(x) = 0\]其中，\(f(x)\)是目标函数，\(g(x)\)是不等式约束，\(h(x)\)是等式约束。
我们希望通过拉格朗日乘子法将该原始问题转化为对偶问题。
2. 拉格朗日函数我们定义拉格朗日函数：\[L(x, \lambda, \mu) = f(x) + \lambda g(x) + \mu h(x)\]其中，\(\lambda\)和\(\mu\)是拉格朗日乘子。
3. 对偶函数对偶函数的定义如下：\[g(\lambda, \mu) = \inf_{x} L(x, \lambda, \mu)\]4. 对偶问题对偶问题的求解是通过最大化对偶函数来实现的：\[\max_{\lambda, \mu} g(\lambda, \mu)\]\[s.t. \quad \lambda \geq 0\]5. 例题求解为了更好地理解拉格朗日乘子法求对偶问题的过程，我们以一个具体的例题来进行求解。
假设我们的原始问题为：\[\min_{x} f(x) = x^2\]\[s.t. \quad g(x) = x - 1 \leq 0\]\[h(x) = 0\]现在我们来按照拉格朗日乘子法的步骤来求解对偶问题。
我们构造拉格朗日函数：\[L(x, \lambda) = x^2 + \lambda (x - 1)\]我们求解对偶函数：\[g(\lambda) = \inf_{x} L(x, \lambda)\]\[g(\lambda) = \inf_{x} (x^2 + \lambda x - \lambda)\]\[g(\lambda) = -\frac{\lambda^2}{4} - \lambda\]接下来，我们求解对偶问题：\[\max_{\lambda} g(\lambda) = \max_{\lambda} (-\frac{\lambda^2}{4} - \lambda)\]对\(\lambda\)求导，并令导数等于0，得到：\[\frac{\partial g(\lambda)}{\partial \lambda} = -\frac{\lambda}{2} - 1 = 0\]解得\(\lambda = -2\)。
拉格朗日经典证明例题
拉格朗日经典证明例题拉格朗日经典证明例题拉格朗日中值定理是微积分学中的一个重要定理，它告诉我们，在一定条件下，如果函数在两个点处取值相等，那么在这两个点之间一定存在一个点，使得函数在这个点处的斜率等于两个点之间的斜率。
这是一条非常有用的定理，许多微积分问题都可以运用它来解决。
本文将介绍拉格朗日经典证明例题，以帮助读者更好地理解该定理的应用。
拉格朗日中值定理的形式化表述为，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且在开区间$(a,b)$内可导，那么在$a$和$b$之间至少存在一个点$c$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。
下面我们来看一个例题，如何使用拉格朗日中值定理来证明：假设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，并且$f(0)=0$，且$f(1)=1$，证明在$(0,1)$内至少存在一个点$c$，使得$f'(c)=1$。
证明过程如下：由拉格朗日中值定理，存在一点$c\in(0,1)$，满足$f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$。
我们只需要证明$c$是$(0,1)$中的点即可。
因为$f(0)=0<f(1)$，所以存在一个点$x\in(0,1)$，使得$f(x)=k$，其中$k\in(0,1)$。
又因为$f(0)=0<f(x)=k<f(1)=1$，所以由介值定理，存在一个点$c\in(0,1)$，使得$f(c)=k$。
因此，$c$是$(0,1)$中的点。
综上所述，$(0,1)$内至少存在一个点$c$，使得$f'(c)=1$。
由此可见，拉格朗日中值定理是一条非常有用的定理，在求解微积分问题时经常会用到。
本例题只是拉格朗日中值定理的一个简单应用，还有很多更复杂的问题需要运用该定理来求解。
因此，掌握拉格朗日中值定理是学习微积分的重要一步。
拉格朗日求极限例题
拉格朗日求极限例题拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它可以用来求函数的最大值或最小值，也可以用来证明函数在某个区间内单调递增或单调递减。
在本文中，我们将通过一些例题来展示拉格朗日求极限的应用。
例题1求函数 $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值和最小值。
解答：首先，我们需要计算出函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 内的导数。
$$ f'(x)=3x^2-6x+2 $$ 然后，我们需要找到导数为零的点，即$$ f'(x)=0 $$ 解出 $x$ 的值为$$ x=1pmsqrt{frac{1}{3}} $$ 接下来，我们需要计算函数 $f(x)$ 在这两个点处的函数值。
$$ f(1+sqrt{frac{1}{3}})=frac{2}{3}sqrt{frac{1}{3}}+frac{4} {3}$$ $$ f(1-sqrt{frac{1}{3}})=-frac{2}{3}sqrt{frac{1}{3}}+fra c{4}{3} $$ 因此，函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值为$frac{4}{3}+frac{2}{3}sqrt{frac{1}{3}}$，最小值为$frac{4}{3}-frac{2}{3}sqrt{frac{1}{3}}$。
例题2证明函数 $f(x)=ln(x+1)-x$ 在区间 $[0,1]$ 内单调递减。
解答：首先，我们需要计算出函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 内的导数。
$$ f'(x)=frac{1}{x+1}-1 $$ 然后，我们需要证明当 $x_1<x_2$ 时，有$$ f(x_1)-f(x_2)>0 $$ 即$$ ln(x_1+1)-x_1>ln(x_2+1)-x_2 $$ 将 $x_2=x_1+Delta x$ 代入上式，得到$$ ln(x_1+1)-x_1>ln(x_1+Delta x+1)-(x_1+Delta x) $$ 将上式两边取指数，得到$$ x_1+1>e^{x_1}cdot(x_1+Delta x+1) $$ 将$Delta x$ 除去，得到$$ x_1+1>e^{x_1}cdot(x_1+1)+e^{x_1} $$ 化简后，得到$$ e^{x_1}<frac{1}{1+x_1} $$ 因为 $0leq x_1<1$，所以$$ frac{1}{1+x_1}>e $$ 因此，$$ e^{x_1}<frac{1}{1+x_1}<e $$ 即$$ f(x_1)-f(x_2)>0 $$ 因此，函数 $f(x)$ 在区间$[0,1]$ 内单调递减。
拉格朗日中值定理求极限例题
拉格朗日中值定理求极限例题摘要：I.拉格朗日中值定理简介A.拉格朗日中值定理定义B.拉格朗日中值定理的几何意义II.例题解析A.问题描述B.拉格朗日中值定理应用1.确定函数的连续性2.确定函数的可导性3.求极限C.结论III.总结A.拉格朗日中值定理在求极限中的应用B.需要注意的问题正文：I.拉格朗日中值定理简介拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它可以用来求极限。
该定理指出，如果一个函数在某个区间内连续，在另一个区间内可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该函数在这个点处的导数等于这个区间端点处的函数值的增量比。
拉格朗日中值定理的几何意义是：在平面上，如果一条曲线在某两点之间连续，那么在这两点之间一定存在一个点，使得该曲线在这个点处的切线斜率等于曲线在两个端点处的切线斜率的增量比。
II.例题解析A.问题描述我们要求极限lim(x->0) [sin(2x) - cos(x)] / x^3。
B.拉格朗日中值定理应用1.确定函数的连续性首先，我们观察函数f(x) = sin(2x) - cos(x)。
可以发现，这个函数在区间[0, π] 上是连续的。
2.确定函数的可导性然后，我们对函数f(x) 进行求导。
f"(x) = 2cos(2x) + sin(x)。
可以发现，这个函数在区间(0, π) 上是可导的。
3.求极限根据拉格朗日中值定理，由于函数f(x) 在区间(0, π) 上连续且可导，所以在该区间内存在一个点c (0 < c < π)，使得f"(c) = (f(π) - f(0)) / (π - 0)。
我们来计算f"(c)。
由f"(x) = 2cos(2x) + sin(x) 可得f"(c) = 2cos(2c) + sin(c)。
又因为f(0) = 0，f(π) = sin(2π) - cos(π) = 0，所以(f(π) - f(0)) / (π - 0) = 0。
动力学-拉格朗日方程
n
n
n
(Fix miaix )xi (Fiy miaiy )yi (Fiz miaiz )zi 0
i 1
i 1
i 1
9
FIr
FI
FIe
MI
mg s
x
例：图示系统：地面光滑， 圆柱(半径为 r )作纯滚动，
求圆柱的角加速度 和滑块
的加速度 a。
Mg
解 ：(1) 分析运动，并确定惯性力
应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
n
FNi • ri 0
i 1
动力学普遍方程
n
W (Fi FNi FIi ) • ri 0 i 1
n
n
(Fi FIi ) •ri FNi •ri 0
i 1
i 1
n
(Fi FIi ) • ri 0 其中：FIi miai
i 1
yA 2Lsin xB 2l cos
aA yA 2L sin 2L cos2
xB 2l sin 2l cos2 aB
aCn l2 aCt l
FInC mC aCn , FItC mC aCt
M IC JC , M IO JO
mA mB m1, mC m,
11
rA
A
rCC
A
T M
135
M
mg
B
C
D
mg
mg
3
A
T M
mg
sB B
135
C
mg sc
M
D
mg
利用虚位移原理：取虚位移
由投影定理： sB 0
虚位移原理，虚功之和为零：
sc
L
拉格朗日方程复习与例题
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
§5.3.1 动力学普遍方程
考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FNi mi ai 0
主动力
(i 1,2, , n)
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ ri
系统的总虚功为
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
ae C1
FI1
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2 1 J 2 m2 R 2 2
ar B
x
m1g
解：3、确定虚位移
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。 二自由度系统具有两组虚 位移：
第二个拉格朗日关系式
n n ri ri d d r mi ri mi (ri ) mi ri ( i ) qk i 1 dt qk dt qk i 1 i 1 n
n rid ri ri ri d ri ri mi (ri ) mi ri q q qdt k i 1 q k dt q k qk i 1 k k n ri ri d n mri mi ri dt i 1 qk i 1 qk n
Lagrange方程练习题
Lagrange 方程练习题一、如图所示, 一半径为r 质量为m 的匀质圆柱体, 在一半径为R 的固定的圆柱体内壁上做往复无滑滚动. 若初始时, 小圆柱偏离平衡位置不大, 试用拉格朗日方法求小圆柱质心的运动周期.二、如图所示, 一质点的质量为m , 悬在不可伸长的轻绳上, 绳的另一端绕在半径为r 的固定圆柱上.设质点在平衡位置时,绳的下垂部分长l . 不计绳的质量, 试用拉格朗日方法写出质点摆动时的运动微分方程.三、 如图所示, 在质量可忽略的滑轮上跨一绳,绳的一端悬一质量为1m 的重物A , 另一端系一无重小滑轮,在小滑轮上另跨一绳,绳的两端分别悬挂质量为2m , 3m 的重物B 和C . 已知32135.1m m m ==.试用拉格朗日方法求解物体A ,B ,C 的加速度.设轴承光滑, 绳的质量不计, 绳与滑轮之间没有滑动.四、 如图所示, 质量为m 的质点, 在光滑的旋轮线上做往复运动, 旋轮线的方程式为ϕsin 4a s =, 式中的s 是图中由O 点量起的弧坐标, ϕ是旋轮线的切线与水平轴的夹角,a 为常量. 试用拉格朗日方法证明质点的振动是简谐振动(即使做大幅度振动),并求出振动周期.五、 如图所示, 一滑轮可绕水平轴O 转动, 在此滑轮上绕过一条不可伸长的绳, 绳的一端悬一重物, 其质量为1m , 另一端与一铅垂弹簧连接, 弹簧的另一端被固定, 弹簧的劲度系数为k , 滑轮质量为2m , 视质量均匀分布在轮缘上, 绳与滑轮间无滑动. 试用拉格朗日方法, 求证重物做简谐振动, 并求振动周期.六、 如图所示, 倾角为α的光滑固定尖劈上放有一质量为1m 的滑块A , 上面用铰链与轻杆连接, 轻杆又与一小球B 相连. 轻杆只能在铅垂面内运动. 已知杆长为l , 小球质量为2m . 试用拉格朗日方程建立滑块、轻杆和小球组成的力学系统的运动微分方程.七、 如图所示, 质量为1m 的圆柱体s 放在质量为2m 的圆柱体P 上做无滑动滚动, P 放置在粗糙平面上. 已知两圆柱的对称轴都是水平的, 且质心在同一竖直面内, 开始时系统是静止的, 两圆柱连心线沿竖直方向. 若以圆柱体P 的初始位置为固定坐标原点, 试证明圆柱s 的质心在任意时刻的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=+++= cos )(3sin )3(12121θθθC y m m m m m C x C C式中C 为两圆柱对称轴间的距离, θ为两圆柱连心线与竖直向上的直线的夹角.八、 如图所示, 一匀质直杆AB , 质量为m , 长为l 2, 两端约束在半径为R 的光滑水平圆圈上, R l <, 圆圈被固定在水平面内. 一质量为m 的甲虫以不变的相对速度u沿杆运动. 初始时甲虫在杆的中点, 杆的转动角速度为θ. 设杆与水平固定直线的夹角为θ,试用拉格朗日方法求杆在t 时刻的转动角速度θ.九、 如图所示, 匀质细杆AB , 质量为m , 长a 2,A 端可在水平光滑导轨上运动, 杆在铅垂平面内绕A 端摆动. 杆除重力作用外,B 端还受到水平力F的作用.试用拉格朗日方法求出摆角很小时杆的运动微分方程.十、 如图所示, 水平放置的行星齿轮, 曲柄OA 带动齿轮2S 在固定齿轮1S 上滚动. 已知曲柄的质量为1m , 2S 的质量为2m , 半径为r , 齿轮1S 的半径为R . 今在曲柄上作用一个不变的力矩M, 并把齿轮视为匀质圆盘, 试用拉格朗日方程求出曲柄的转动角速度.十一、 如图所示, 质量为m 的质点1P 固定在长为l 的轻杆的一端, 轻杆的另一端铰接在固定点O 上；长为l 的另一轻杆的上端与质点1P 铰接, 另一端与质量也为m 的质点2P 连接. 各铰链光滑. 以两杆分别与竖直向下方向所夹的角度1θ, 2θ作为广义坐标, 求此系统的微振动运动方程及简正频率,并讨论其简正模式.解：一、将小圆柱质心和所在的大圆柱截面中心的连线与竖直直线的夹角θ作为广义坐标，逆时针方向为θ正方向.设小圆柱角坐标正方向为顺时针方向，坐标变换方程为ϕθr r R =-)(，系统拉氏函数为)cos 1)(()(4322θθ----=r R mg r R m L将L 代入拉氏方程后得θθsin )(32r R g --=当θ很小时θθ)(32r R g --=小圆柱质心的运动周期为g r R T 2)(32-=π.二、图中θ角为广义坐标()()()2212sin cos T m r l V mg l r l r θθθθθ⎡⎤=+⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦拉氏函数为()()()221sin cos 2L m r l mg l r l r θθθθθ⎡⎤=+-+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 代入拉氏方程后得到质点的运动微分方程0sin )(2=+++θθθθg r l r .三、坐标A x 、B x 为系统（定滑轮和物体A 、B 、C ，以及连接重物的绳）的广义坐标经过坐标变换，拉格朗日函数为)2(2)(21)4(213213232231BA B A B A B A x x C g m gx m gx m x x m x m m x m m L --+++++++=C 是在坐标变换中出现的常量的总和）将L 代入拉氏方程，且将32135.1m m m ==代入 得027=-+g x x B A ，032=-+g x x B AA 、B 两物体的加速度分别为：g xA 171= ，gx B 175= .四、选择弧坐标s 为广义坐标221s m T =，28s a mg V =V T L -=代入拉氏方程得04=+s a g s所以是简谐振动质点的振动周期g a T π4=.五、 建立原点O 在定滑轮中心的正下方地面上一点，Ox 轴通过滑轮中心向上，以重物1m 的坐标x 为广义坐标.系统（由滑轮、重物、绳、弹簧组成）221)(21x m m T +=，21)(21l x k gx m V A -+=A 点为弹簧上端点，通过约束条件，知x C x A -=（C 是常量），则221)(21x m m L +=21)(21x C k gx m -+-代入拉氏方程得，0)(21='+++C kx x m m （C '是常量），可知重物作简谐振动，周期为k m m T 212+=π.六、 以滑块到斜面底端底坐标x 和摆底摆角ϕ作为广义坐标)cos(21)(212222221ϕαϕϕ-+++= x l m l m x m m T)cos sin (sin 21ϕααl x g m gx m V --=V T L -= 将L 代入拉氏方程得系统的运动微分方程⎩⎨⎧=+-+-+=++-+-++0sin )sin()cos(0sin )()sin()cos()(2122221ϕϕαϕϕαϕαϕαϕϕαϕg x x l g m m l m l m x m m七、 选择ϕ和θ为两圆柱组成的系统的广义坐标，ϕ为圆柱体P 的转角，θ是两圆柱体连心线与竖直方向的夹角，相对直角坐标系Oxy系统动动能为ψϕ Ssc sc P pc I y x m I x m T 21)(212121221222++++= S I 、P I 分别是S 、P 相会自身对称轴的转动惯量，ψ 是圆柱体S 的角速度.坐标变换方程为pc x ϕR =，)(θψ-=r )(ϕθ-=Rθθϕθθϕϕsin )()1cos 2()(21)(43434311221221222r R g m r R R m r R m R m R m L +--+++++=因0=∂∂ϕL所以)1cos 2()(21)(231221-+++=θθϕϕ r R R m R m m p ＝常量.根据初始条件：0=t 时，0=ϕ ，0=θ ，得0)1cos 2()()(31221=-+++θθϕ r R R m R m m ，得ϕR )(2)sin 2)((211m m r R m +-+=θθ（注意此方程是通过求解运动微分方程得出的ϕ与θ的关系，不是约束方程）将此式代入几何关系式：θϕsin )(r R R x sc ++=，θcos )(r R y sc +=八、 以杆和甲虫为系统，以θ为广义坐标.22222杆)](31[2121θθ l R m ml I T -+==，222222虫])[(2121θ t u l R m mu T +-+=虫杆T T T L +==L=θθ22222222)352(2121lR mu t u l R m mu --+-+因0=∂∂θT ，所以=∂∂=θT p T 常量又根据初始条件，0θθ =，得022222235656θθ t u l R l R +--=.九、 选择滑块A 的水平轴坐标x 和杆的摆角θ为广义坐标,61)cos 2(2122222θθθθ ml x l l x m T +++=广义力为θθθcos 2sin lF mgl Q +-=，F Q x =.将T 、θQ 、x Q 代入拉氏方程得θθθθcos 2sin 34cos F mg ml x m +-=+F ml ml x m =-+2sin cos θθθθ当摆角很小时，1cos ,sin ≈≈θθ结果为：m F g l x 234=++θθ 2θθθ l l x -+m F =. 十、 以曲柄和齿轮2S 为系统，选择曲柄对称轴与过齿轮1S 中心的固定直线的夹角ϕ（固定直线与两齿轮中心在同一平面上）为广义坐标.根据对系统动能的计算与坐标变换方程ϕθ)(R r r +=（θ是齿轮2S 的角坐标）T 222221)(43)(61ϕϕ r R m r R m +++=，广义力M Q =ϕ 代入拉氏方程，结果是221))(92(6r R m m M++=ϕ .十一、 系统的动能)sin sin 2cos cos 2(2121212122121222212212θθθθθθθθθθθ l l l l m ml T ++++=，势能为1cos θmgl V -=)cos (cos 21θθ+-mgl 作近似计算，使212221221θθθθ ml ml ml T ++=，其中忽略了二阶以上小量；2221213θθmgl mgl mgl V ++-=，其中只保留1cos θ、2cos θ作级数展开的二阶小量.V T L -=，代入拉氏方程得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0022221121θθθθθθg l l g l l 设方程的解的形式为：⎩⎨⎧+=+=)cos()cos(2211ϕωθϕωθt A t A 代入方程后得⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-0)(0)22(22122212A g l A l A l A g l ωωωω 得简正频率l g )22(1+=ω。
拉格朗日中值定理求极限例题
拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它为函数在闭区间上的平均变化率与其导数之间建立了一个重要的关系。
本文将通过一个具体的求极限的例题来讲解拉格朗日中值定理的应用。
假设我们要求函数f(x)=2x3−5x2+3x+1在区间[1,2]上的某个点c处的导数。
根据拉格朗日中值定理，我们知道存在一个点c∈(1,2)，使得f′(c)等于函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率。
即：f′(c)=f(2)−f(1)2−1首先，我们计算f(2)和f(1)的值：f(2)=2⋅(23)−5⋅(22)+3⋅2+1=17 f(1)=2⋅(13)−5⋅(12)+3⋅1+1=2代入上面的公式，得到：f′(c)=17−22−1=15因此，函数f(x)=2x3−5x2+3x+1在区间[1,2]上的某个点c处的导数等于15。
这个例题展示了拉格朗日中值定理的应用。
通过求解f′(c)=f(2)−f(1)2−1，我们可以得到函数在某个区间上的导数值。
这个定理的重要性在于，它将导数与函数在某个区间上的平均变化率建立了联系，从而使我们能够通过平均变化率来推断导数值。
拉格朗日中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来描述物体的速度变化率；在经济学中，它可以用来分析某个时间段内的平均增长率等。
通过将函数的导数与其平均变化率关联起来，拉格朗日中值定理在解决实际问题时提供了一条可行的思路。
需要注意的是，拉格朗日中值定理的使用需要满足一些条件，即函数在闭区间上连续且可导。
这些条件的满足性将决定定理是否适用，因此在应用该定理时需要仔细分析函数的性质。
在拉格朗日中值定理的证明过程中，通常会用到柯西中值定理。
两者有着密切的关系，并且经常一起使用。
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一个特殊情况，当函数满足柯西中值定理的条件时，同时也满足拉格朗日中值定理的条件。
总之，拉格朗日中值定理是微积分中一个重要且实用的定理，它为函数在闭区间上的平均变化率与导数之间建立了一个重要的联系。
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(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
(F F
i i
Ni
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ni
δ ri 0
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcosBiblioteka (i 1,2, , n)
动力学普遍方程的直角坐标形式
[( F
i
xi
mi i ) δxi ( Fyi mi i ) δyi ( Fzi mi i ) δzi ] 0 x y z i 1,2, , n
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
2
B
rC
rB FIB
l m1g
m2g
y1
2m1lsin lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
ri r mi i q i 1 k
n n ri d d r i i ( i ) mi (r ) mi r dt qk dt qk i 1 i 1 n
ri N ri ri qk t k 1 qk
dqk qk 广义速度 dt
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
由动力学普遍方程，得
F δ r m a δ r 0
i 1 i i i 1 i i i N k 1 k k
n
n
F δ r Q q
i 1 i i
n
Qk——广义力
N n ri ri r r mi ai δ r i mi i q qk ( mi i q )qk i 1 k 1 k 1 i 1 i 1 k k
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
n
T q k
Qk mi ri
i 1
n
ri 0 (k 1,2,, N ) qk
r mi i
i 1
n
ri d T qk dt qk
T q k
d T dt qk
n
n
N
ri ri qk k 1 qk
N
ri r Fi δ r i mi ai δ r i (Qk mi i q )qk 0 i 1 i 1 k 1 i 1 k
n n N n
Qk mi ri
i 1
n
ri 0 (k 1,2,, N ) qk
§5.3.2 拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力
F ( F1 , F2 , , Fn )
由n个质点所 组成的质点系
虚 位 移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r (r1 , r2 ,, rn )
q (q1 , q2 , , q N )
ri ri (q1 , q2 , , qN , t )
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
解：5、求解联立方程
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
ri 1 n 1 n T 2 mri q 2 q (mi ri ri ) 2 q (mi vi ) q k k k k i 1 i 1 i 1
n
ri T mri q q i 1 k k
n
ri d T r mi i q dt q i 1 k k
例 题1
已知： m ，R, f ， 。
x
C
aC
φ
MIC
FIR
求：圆盘纯滚时质心的加速度。
解：1、分析运动，施加惯性力
FIR maC
M IC J C
1 2 其中： J C mR , 2 aC R
mg
2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 3、应用动力学普遍方程
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
与广义速度 j无关 q
ri ri 第一个拉格朗日关系式 (消点) qk qk
N ri ri i r qk t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
N ri 2 ri 2 ri qk q j q j t k 1 q j qk
T q Qk k
(k 1,2,, N )
此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
m2 gsin Rδ FI 2ecos Rδ FI 2r Rδ－J 2 2 δ 0
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
第一组
δ x 0，δ 0
第二组
δ x 0，δ 0
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
y
A
FI 2 r
MI2
D C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1 OC
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
§5.3.1 动力学普遍方程
考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FNi mi ai 0
主动力
(i 1,2, , n)
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ ri
系统的总虚功为