三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角

观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tan

23x - tan 21x =x

x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2

1

x ，可作以下证明：

2．化函数

三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。

例2 设A

B A tan )tan(-+A C

22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。

思路分析：欲证tan 2

C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂

应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4

α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如

1=sin 2

α+cos 2

α=sec 2

α-tan 2

α=csc 2

α-cot 2

α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450

=sin900

=cos00

等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证

αααα22sin cos cos sin 21--=α

α

tan 1tan 1+-

思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2

α+cos 2

α”代替，问题便迎刃而解。

5．化参数

用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。

例5 已知acos 2

α+bsin 2

α=mcos 2

β，asin 2

α+bcos 2

α=nsin 2

β，mtan 2

α=ntan 2

β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比

一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。 例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2

( ≠0，1)。求证：tan

2

2α= -+11tan 22

β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中

-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。

例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos

2A cos 2B cos 2

C 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。

8．化拆项

这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。

例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=

2

sin 2sin 21cos

x x n

x n +

思路分析：左边同乘以sin 2

x

,去括号，积化和差可得

9.数学归纳法

与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。 上述例题可用数学归纳法证明。

三角恒等式的证明

【考点回顾】

1．三角公式在恒等变形中的应用；

2．常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法. 例1．求证：.0)60tan(tan )60tan(tan )60tan()60tan(3=-+++-++

A A A A A A

例2．求证：.)

cos 1(2)1cos(cos cos 3cos 2cos cos 21

ααααααα-+-=+++++n n n

例3．求证：

.cos sin 1)sin (cos 2cos 1sin sin 1cos α

ααααα

αα++-=+-+

【基础训练】

1． 求证：(sin α+tan α)(cos α+cot α)=(1+sin α)(1+cos α).

2． 求证：(1－tan α)=(cos 2

α-cot α)(sec 2

α+1tan α).

3． 求证：.1

sin 1sin 2sin 3sin 22

-=

4． 求证：tan13x －tan8x －tan5x = tan13x tan8x tan5x .

【拓展练习】

1．条件甲：3sin αcos(α+β)=sin(2α+β)，条件乙：tan(α+β)=2tan α，则甲是乙的 （ ） A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件

2．

2

tan

2

cot

cos 42αα

α-等于

（ ）

A ．

ααcos sin 2

1

⋅ B ．sin2α C ．－sin2α D ．

α2sin 16

1

3．已知α、β均为锐角，且则),sin(2

1

sin βαα+=α、β的大小关系是 （ ）

A ．α>β

B ．α<β

C ．α≤β

D ．α与β的大小不确定

4．求证：).3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan x x x

x x

x -=⋅+

5．求证：(cscA+cotA)(1－sinA)－(secA+tanA)(1-cosA)=(cscA －secA)[2－(1－cosA)(1－sinA)].