第三讲3.2平面与圆柱面的截线

[知识提炼· 梳理] 1．定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆． 温馨提示 (1)内切球：圆柱面与球面相切，该球叫 做圆柱的内切球．(2)焦球：设平面 m 截割圆柱面，与平 面 m 相切的圆柱面的内切球叫截割平面 m 的焦球．
圆柱的截割面的两侧各有一个焦球． 若截割面是圆柱 面的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的 圆心；若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的 切点恰好是截线椭圆的两个焦点， 此时称两焦球为丹德林 (Dandelin)双球．
反之， 如果根据所给条件能确定斜截面与已知圆柱母 线的夹角，也可以确定两焦球的球心距离．
[变式训练] 一圆柱面底半径为 2， 一截面与轴成 60°， 从割平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面 相切，则这两个切点的距离为( 2 3 A. 3 4 C. 3 答案：B 4 3 B. 3 8 D. 3 )
2．用平面截下列曲面，所得的截线一定不是椭圆的 是( ) A．球面 C．圆锥面 B．圆柱面 D．圆台面
解析：用平面截圆柱面、圆锥面、圆台面都可以得到 椭圆，而用平面截球面所得到的截线是圆． 答案：A
3．已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆柱母线的 夹角为 30°，则它们截口椭圆的焦距是( A．2 3r C. 3r B．4 3r D．3r )
2 在 Rt△G1G2H 中，G2H＝ G1G2 －G1H2＝
（2a）2－（2b）2＝2 a2－b2.故 F1F2＝2 a2－b2.
归纳升华 设圆柱面的半径为 r，某截面的两焦球的球心距为 d(d>2r)，则截线椭圆的长轴长为 d，短轴长为 2r，焦距为
2 2 d － 4 r d2－4r2，离心率为 . d
解析：如图所示，过 G2 作 G2H⊥AD 于点 H. 因为在 Rt△G1HG2 中， ∠HG1G2＝30°，HG2＝2r. 所以 G1G2＝2HG2＝4r.
所以截口椭圆的长轴 2a＝G1G2＝4r， 短轴 2b＝2r. 所以焦距 2c＝2 a2－b2＝2 （2r）2－r2＝2 3r. 答案：A
4．已知圆柱的底面半径为 2，平面 π 与圆柱斜截口 1 的离心率为 ，则椭圆的长半轴是________． 2 4 3 答案： 3
截线椭圆的长轴长为 8 3， 短轴长为 2r＝12， 离心率 1 e＝cos 60°＝ . 2
归纳升华 设斜截面与圆柱面的母线的交角为 φ， 圆柱面的半径 2r 为 r，则截线椭圆的长轴长 2a＝ ，短轴长 2b＝2r，离 sinφ 心率 e＝cos φ，焦距 2c＝2acos φ＝2rcot φ.
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面与圆柱面的截线一定是椭圆．( (2)平面与圆柱面的截线可能是抛物线．( ) )
(3)圆柱面被斜截面截得的椭圆的短轴长等于圆柱的 底面圆直径．( )
(4)改变斜截面与圆柱底面的夹角，所截得椭圆的离 心率不变．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．椭圆的组成元素 如右图所示，F1、F2 叫做椭圆的焦点， F1F2 叫做椭圆的焦距，AB 叫做椭圆的长轴， CD 叫做椭圆的短轴． 3．椭圆的性质
2 2 2 a － b (1)如果长轴为 2a， 短轴长为 2b， 那么 2c＝________．
(2)准线：底面与截面的交线．
c (3)离心率：e＝cos φ＝a，其中 φ 是截面与母线的夹 角． 温馨提示 在 Dandelin 双球模型中，双球与斜截面 的切点，就是椭圆的焦点．并且椭圆的短轴长等于两球的 直径，也就是圆柱底面圆的直径．
2 y 5．设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋ 2＝1(0<b<1)的左、 b
右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF1| ＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________． 解析：不妨设点 A 在第一象限(如图)， 因为 AF2⊥x 轴，
所以 A(c，b2)(其中 c2＝1－b2，0<b<1，c>0)． 又因为|AF1|＝3|F1B|， → → 所以由AF1＝3F1B得
证明：连接 AB，作 G1H⊥BG2，H 为垂足，则四边形 ABHG1 是矩形．
所以 G1H＝AB. 因为 Q1、Q2 分别是 P1、P2 的平行射影，所以 P1Q1 綊 P2Q2.
所以四边形 P1Q1Q2P2 是平行四边形． 所以 Q1Q2＝P1P2，
即 Q1Q2 等于底面圆直径． 所以 G1H＝AB＝Q1Q2＝2b. 又由切线长定理，G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B， 所以 G2F1－G2F2＝G2B－G1A. 又 G1A＝BH，所以 G2F1－G2F2＝G2B－BH. 所以 F1F2＝G2H.
第三讲
圆锥曲线性质的探讨
3．2 平面与圆柱面的截线
[学习目标] 1.能将一条直线与两个等圆的内公切的 情形， 推广为两个半径相同的球在一个平面的两侧均与该 平面相切的情形，通过从平面图形向空间图形的过渡，探 究定理 1 的证明，提高空间想象能力． 2.通过探究，得 出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解．
[变式训练] 已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆 柱母线的夹角为 30°，则它们截口椭圆的焦距是( A．2 3r C. 3r 答案：A B．4 3r D．3r )
类型 2 椭圆性质的应用 [典例 2] 如图所示，已知球 O1、O2 分 别切平面 β 于点 F1、F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b， G1G2 与 Q1Q2 与垂直平分， 求证：F1F2＝2 a2－b2.
5c b2 B－ 3 ，－ 3 ，
2 2 4 y 25 c b 代入 x2＋ 2＝1 得 ＋ 2＝1， b 9 9b
Байду номын сангаас
2 又 c ＝1－b ，所以 b ＝ . 3
2 2 2
32 故椭圆 E 的方程为 x ＋ y ＝1. 2
2
32 答案：x ＋ y ＝1 2
2
类型 1 求椭圆的几何性质 [典例 1] 已知圆柱面的半径 r＝6，截割平面 β 与母 线所成的角为 60°，求此截割面的两个焦球球心距离， 并指出截线椭圆的长轴、短轴和离心率 e. 解：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两 2r 焦球球心距离为 ＝8 3. sin 60°