北师大版七年级数学下册《同底数幂的乘法》典型例题

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北师大版七年级下册数学《同底数幂的乘法》典型例题 含答案

北师大版七年级下册数学《同底数幂的乘法》典型例题  含答案

《同底数幂的乘法》典型例题例1 计算:(1)32a a a ⋅⋅;(2)32)()(y x y x +⋅+;(3))()(232x x x -⋅⋅-;(4)212)2()2()2(+--⋅-⋅-m m y x y x y x例2 计算题:(1));21()21()21(65-⋅-⋅- (2)101010103158⨯⨯⨯; (3)865)()()(x x x -⋅-⋅--。

例3 计算:(1)333343)()(x x x x x x x x ⋅-⋅-+⋅⋅+⋅;(2)76254)3(33333-⋅+⋅-⋅;(3)423211)()(--+--⋅-+⋅+⋅n n n n n x x x x x x 。

例4 计算题:(1))()()(43x y y x y x ---; (2)323)()(a a a ---;(3)32)2()2(x y y x -⋅-。

例5 化简:2212122)()()()(-+---⋅-++--⋅-+n n n n b a c c b a b a c c b a例6 (1)已知m x =+22,用含m 的代数式表示x 2;(2)已知32=a ,62=b ,122=c ,求a 、b 、c 之间的关系。

参考答案例1 分析: 在幂的运算法则中的底数,可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式。

例如(1)中的a ,(3)中的x ,(2)中的)(y x +,(4)中的)2(y x -。

指数可以是自然数,也可以是代表自然数的字母。

解:(1)632132a a a a a ==⋅⋅++(2)53232)()()()(y x y x y x y x +=+=+⋅++(3)7232232232)()()(x x x x x x x x -=-=-⋅⋅=-⋅⋅-++(4)212)29)2()2(+--⋅-⋅-m m y x y x y x32)2()1(2)2()2(+++-+-=-=m m m y x y x说明:(1)中a 的指数是1,不是0;(2)要注意区别2)(x -与)(2x -的不同,222)(x x x =⋅-,而221x x ⋅-=-;(4)指数中含有自然数和字母,相加时要合并同类项化简。

第一章第01讲 同底数幂的乘法(5类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册

第一章第01讲 同底数幂的乘法(5类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册

第01讲同底数幂的乘法(5类热点题型讲练)1.经历探索同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用,发展运算能力和有条理的表达能力.2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题.3.从数的相应运算入手,类比过渡到式的运算,从中探索、归纳式的运算法则,使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中,使原有的知识得到扩充、发展.知识点01同底数幂的乘法性质同底数幂的乘法性质:+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=(,,m n p 都是正整数).知识点02同底数幂的乘法的逆用公式同底数幂的乘法的逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数.即m n m n a a a +=⋅(,m n 都是正整数).题型01同底数幂相乘【例题】(2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习)计算:(1)53m m m ⋅⋅(2)42323x x x x ⋅-⋅【答案】(1)9m (2)5x -【分析】(1)根据同底数幂乘法法则求解即可得到答案;(2)先根据同底数幂乘法法则求解,再合并同类项即可得到答案;【详解】(1)解:原式513m ++=9m =;(2)解:原式412323x x ++=-5x =-;【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算,解题的关键是熟练掌握m n m n a a a +⋅=.【变式训练】1.(2023上·八年级课时练习)计算:(1)26x x ⋅;(2)21n n a a +⋅;(3)()()()23222-⨯-⨯-.【答案】(1)8x (2)31n a +(3)62【分析】(1)根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加进行计算即可;(2)根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加进行计算即可;(3)根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加进行计算即可.【详解】(1)原式26x +=8x =;(2)原式21n n a ++=31n a +=;(3)原式()1232++=-()62=-62=.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.2.(2023上·八年级课时练习)计算:(1)()5312a a a ⋅-⋅;(2)46333⨯⨯;(3)21132n n n y y y +-+⋅⋅(n 为大于1的整数);(4)()()()53x y y x x y -⋅-⋅-.【答案】(1)20a -(2)113(3)62n y +(4)()9x y --【分析】(1)先确定符号,再根据同底数幂乘法法则进行计算;(2)根据同底数幂乘法法则进行计算;(3)根据同底数幂乘法法则进行计算;(4)先变形为同底数幂,再根据同底数幂乘法法则进行计算.【详解】(1)()5312a a a ⋅-⋅3512a ++=-20a =-(2)46333⨯⨯4613++=113=(3)21132n n n y y y +-+⋅⋅21132n n n y ++-++=62n y +=(4)()()()53x y y x x y -⋅-⋅-()()()53x y x y x y =--⋅-⋅-()9x y =--【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,掌握运算法则是解题的关键.题型02同底数幂乘法的逆用【例题】(2023下·陕西西安·七年级校联考期末)已知3x a =,5y a =,求:x y a +的值.【答案】15【分析】由于x y x y a a a += ,所以x y x y a a a += ,代入可得结论.【详解】解:∵x y x y a a a += ,3x a =,5y a =,∴3515x y x y a a a +=⨯== .【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用.同底数幂的乘法法则:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加.【变式训练】1.(2023下·浙江·七年级专题练习)(1)已知2m a =,3n a =,求m n a +的值;(2)已知31381x +=,求x .【答案】(1)6;(2)1x =【分析】(1)根据同底数幂的乘法进行计算即可求解;(2)逆用同底数幂的乘法,得到31433x +=,问题得解.【详解】解:(1)∵2m a =,3n a =,∴236m n m n a a a +=⨯=⨯=;(2)∵31381x +=,∴31433x +=,∴314x +=,解得:1x =.【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法及其逆用的知识,掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键.2.(2023下·全国·七年级专题练习)已知2m a =,3n a =,求下列各式的值:(1)1m a +;(2)2n a +;(3)m n a +.【答案】(1)2a(2)23a (3)6【分析】(1)逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(2)逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(3)逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可.【详解】(1)解:∵2m a =,∴12m m a a a a +=⋅=;(2)解:∵3n a =,∴2223n n a a a a +=⋅=(3)解:∵2m a =,3n a =,∴236m n m n a a a +=⋅=⨯=.【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法,解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法运算法则,准确计算.题型03用科学记数法表示数的乘法题型04已知代数式的值,求式子的值【例题】若23213333m m ⨯⨯=,则m 的值是________.【答案】4【详解】解:∵23213333m m ⨯⨯=,∴1232133m m ++=,∴1+2m +3m =21解得m =4.故答案为:4.【变式训练】【详解】解:(1)1010104520m n m n +=⋅=⨯=.(2)334333381a b a b +⨯===.【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法及其逆运算,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.题型05新定义有关同底数幂的运算1025x ∴=104y =210101025410010x y x y +∴=⨯=⨯==2x y ∴+=1010log 25log 42∴+=通过以上计算,我们猜想log log a a M N +=____________.【答案】(1)5,6;(2)()log a M N ⨯【分析】(1)根据新定义运算,结合乘方运算,求解即可;(2)理解题中的运算步骤,设log a M x =,log a N y =,对式子进行变形,求解即可.【详解】(1)解:∵5232=,4216=,224=∴2log 325=,2log 164=,2log 42=∴22log 16log 46+=故答案为:5,6(2)设log a M x =,log a N y =,则x M a =,yN a =∴x y x yM N a a a +⨯=⨯=∴()log a x y M N +=⨯即()lo log g log a a a N N M M +=⨯故答案为:()log a M N ⨯【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算,乘方的逆运算,解题的关键是理解新定义运算,熟练幂的有关运算.一、单选题1.(2023上·吉林长春·八年级统考期末)计算2x x ⋅的结果是()A .3xB .2xC .xD .3x 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法,熟记幂的运算法则是解答本题的关键.同底数幂相乘,底数不变,指数相加,据此计算即可.【详解】解:23x x x ⋅=.故选:D .2.(2024下·全国·七年级假期作业)下列各组式子中,是同底数幂的是()A .32与23B .3a 与3()a -C .5()m n -与6()m n -D .2()a b -与3()b a -【答案】C【解析】略3.(2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习)若2m a =,3n a =,则m n a +的值是()A .5B .6C .6aD .5a 【答案】B【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用,直接利用m n m n a a a += 变形,即可选出答案.【详解】解:由题可知m n m n a a a += ;∵2m a =,3n a =;∴236m n a +=⨯=;故选:B .4.(2024下·全国·七年级假期作业)电子文件的大小常用B,kB,MB,GB 等作为单位,其中101GB 2MB =,101MB 2kB =,101kB 2B =.某视频文件的大小约为1GB,1GB 等于()A .302BB .308BC .30810B⨯D .30210B ⨯【答案】A【解析】略5.(2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习)小方和小亮在玩抽卡计算的游戏,他们设计了如下图所示的4张卡片,请你从中抽取两张卡片,并计算它们的乘积,能够得到5x 的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢()A .①③B .②③C .②④D .①④【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法,熟记“同底数幂相乘底数不变指数相加”是解题关键.【详解】解:A 、①③的乘积为()235x x x ⋅-=-,不符合题意;B 、②③的乘积为()34x x x ⋅-=-,不符合题意;C 、②④的乘积为()34x x x ⋅=,不符合题意;D 、①④的乘积为()235x x x ⋅=,符合题意;故选:D .二、填空题11.(2023上·全国·八年级专题练习)化简:(1)()()8522-⋅-;(2)()()()23a b a b a b ---⋅⋅.【答案】(1)132-(2)()6a b -【分析】本题考查了同底数幂的乘法,(1)根据同底数幂的乘法运算法则计算即可;(2)根据同底数幂的乘法运算法则计算即可.【详解】(1)解:()()8522-⋅-()85=2+-()13=2-13=2-;(2)解:()()()23a b a b a b ---⋅⋅()213=a b ++-()6=a b -.12.(2023下·全国·七年级专题练习)计算(1)24x x ⋅;(2)23333⨯⨯;(3)7428⨯⨯;(4)23()()a a -⋅-;(5)()()2322m n m n --;(6)()()4322x y y x --.【答案】(1)6a (2)63(3)122(4)5a -(5)5()2m m -(6)7(2)-y x 【分析】(1)根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(2)根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(3)先将4,8变形为22,32,再根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(4)根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(5)将()2m n -看作一个整体,根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(6)将()42x y -变形为()42y x -,然后根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可.【详解】(1)解:24246x x x x +⋅==;(2)解:23231633333++⨯=⨯=;(3)解:72732731242822222++⨯⨯⨯=⨯==;(4)解:()()()()232355a a a a a +-⋅-=-=-=-;(5)解:()()()()232352222m n m n m n m n +----==;(6)解:()()()()()()4437433222222x y y x y x y x y x y x +-----=-==.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算,解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法法则,准确计算.13.(2023·全国·九年级专题练习)计算:(1)234()()()a a a -⋅-⋅-;(2)724()()x x x -⋅-⋅;(3)345()()()a b b a a b -⋅-⋅-;(4)214222n n ++⨯-⨯.【答案】(1)9a (2)13x -(3)12()-a b (4)232+⨯n .【详解】(1)原式()()2349a a a a =-⋅-⋅=;(2)原式72413x x x x =-⋅⋅=-;(3)原式()()()()34512a b a b a b a b =-⋅-⋅-=-;(4)原式22422n n ++=⨯-()2241n +=⨯-232n +=⨯.【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的知识,掌握同底数幂相乘的运算法则是解答本题的关键.14.(2023下·全国·七年级专题练习)(1)已知43m n a a ==,,求m n a +的值;(2)已知1264x +=,求x .【答案】(1)12;(2)5x =【分析】(1)根据同底数幂的乘法进行计算即可求解;(2)根据同底数幂的乘法进行计算即可求解.【详解】解:(1)·m n m na a a +=43=⨯12=.(2)因为122264x x +=⨯=,所以52322x ==.所以5x =.【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法,掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键.15.(2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习)回答下列问题:(1)已知2540x y +-=,求432x y ⋅的值;(2)已知2328162x ⨯⨯=,求x 的值.【答案】(1)16(2)6【分析】(1)根据同底数幂乘法的逆运算解答;(2)根据同底数幂乘法法则计算即可.【详解】(1)解:因为2540x y +-=,所以254x y +=,所以25254432222216x y x y x y +⋅=⋅===.(2)解:因为3413423281622222x x x ++⨯⨯=⨯⨯==,所以13423x ++=,所以6x =.【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算,正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键.16.(2023上·贵州铜仁·八年级校考阶段练习)阅读材料:如果c a b =那么c 为a ,b 的“关联数”,记为(,)c L a b =,例如239=.则有()23,9L =(1)若()3,3L x -=,(),83L y -=,x y +的值?(2)若(),4a L m =,(),5b L m =,(),20c L m =,其中0m ≠,请说明:c b a -=.【答案】(1)29-(2)见解析【分析】(1)根据“关联数”的定义可得()33x -=,38y =-,进而求解;(2)根据“关联数”的定义可得4a m =,5b m =,20c m =,进而可得a b c m m m ⋅=,再根据同底数幂的乘法法则即可求解.【详解】(1)解:因为()3,3L x -=,(),83L y -=,所以()33x -=,38y =-,所以27,2x y =-=-,所以27229x y +=--=-;(2)证明:因为(),4a L m =,(),5b L m =,(),20c L m =,所以4a m =,5b m =,20c m =,因为4520⨯=,②2log 4、2log 16、2log 64之间的数量关系是____________________;(2)猜想一般性的结论:log log a a M N +=___________________(结果用含a ,M ,N 的式子表示)(0a >且1,0,0a M N ≠>>),并写出证明过程.【答案】(1)①2,4,6;②222log 4log 16log 64+=(2)()log a MN ,证明见解析【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算.(1)①根据材料叙述,结合224=,4216=,6264=即可得出答案;②根据①的答案可得出2log 4、2log 16、2log 64之间满足的关系式;(2)设log a M b =,log a N c =,则c b a M a N ==,,分别表示出MN 及b c +的值,即可得出猜想.【详解】(1)解:①∵224=,4216=,6264=,∴2log 42=,2log 164=,2log 646=;故答案为:2,4,6;②∵246+=,∴222log 4log 16log 64+=;故答案为:222log 4log 16log 64+=;(2)解:猜想()log log log a a a M N MN +=.证明:设log a M b =,log a N c =,则c b a M a N ==,,故可得•b c b MN a a a ==+c ,()log a b c MN +=,即()log log log a a a M N MN +=.故答案为:()log a MN .。

北师大版七年级数学下册全册课时练习(一课一练)

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北师大版七年级数学下册全册课时练习同底数幂的乘法题组同底数幂的乘法1.有下列式子:①34×34=316;②(-3)4×(-3)3=(-3)7;③-32×(-3)2=(-3)4;④24×22=28.其中计算正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.①34×34=38;③-32×(-3)2=-34;④24×22=26;故①③④错误,只有②正确.2.在等式a3·a2·( )=a11中,括号里面的代数式是 ( )A.a7B.a8C.a6D.a3【解析】选C.由a3·a2·( )=a11可得,a5·( )=a11,所以括号里的代数式为a6.3.计算a·a2的结果是( )A.aB.a2C.2a2D.a3【解析】选D.a·a2=a3.4.计算:(1)-a2·a5.(2)x3·x5·x+x6·x3.(3)(2x-1)2·(2x-1)3+(2x-1)4·(1-2x).【解析】(1)-a2·a5=-a2+5=-a7.(2)x3·x5·x+x6·x3=x3+5+1+x6+3=x9+x9=2x9.(3)(2x-1)2·(2x-1)3+(2x-1)4·(1-2x)=(2x-1)2+3+(2x-1)4·[-(2x-1)]=(2x-1)5+[-(2x-1)4+1]=(2x-1)5-(2x-1)5=0.【方法技巧】整式的混合运算顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,在进行每一种运算时,要明确它们的运算性质.【变式训练】计算:(1)4×2n.(2)x·(-x)2·(-x)2n+1-x2n+2·x2.【解析】(1)原式=22×2n=22+n.(2)原式=-x·x2·x2n+1-x2n+2·x2=-x2n+1+2+1-x2n+2+2=-2x2n+4.题组同底数幂的乘法法则的应用1.如果3x=m,3y=n,那么3x+y等于 ( )A.m+nB.m-nC.mnD.【解析】选C.因为3x=m,3y=n,所以3x+y=3x×3y=mn.【方法指导】同底数幂的乘法法则的逆用法则a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),从右向左为a m+n=a m·a n(m,n都是正整数),以此类推=a p·…·a q(p,…,q都是正整数).当幂的指数是和的形式时,可考虑变为同底数幂的乘法,结合已知条件灵活变形,使计算简便.2.x3m+2不等于( )A.x3m·x2B.x m·x2m+2C.x3m+2D.x m+2·x2m【解析】选C.A.x3m·x2=x3m+2;B.x m·x2m+2=x3m+2;C.x3m+2不能再进行运算;D.x m+2·x2m=x3m+2.3.已知2×2x=212,则x的值为( )A.5B.10C.11D.12【解析】选C.因为2×2x=212,所以x+1=12,解得x=11.4.计算22016-22015的结果是( )A.22015B.2C.1D.-22016【解题指南】把2016拆成2015+1,再逆用同底数幂的乘法法则计算.【解析】选A.原式=2×22015-22015=22015.5.已知2x+2=12,则2x=________.【解析】2x+2=2x·22=2x·4=12,因此2x=3.答案:36.(教材变形题·P3随堂练习T2)长方形的长是4.2×103cm,宽为2.5×102cm,求长方形的面积.【解析】4.2×103×2.5×102=10.5×105=1.05×106(cm2).答:长方形的面积为1.05×106cm2.7.计算:(1)(m-n)2(n-m)2(n-m)3.(2)x3·x n-1-x n-2·x4+x n+2.(3)(a+b)·(b+a)·(b+a)2+(a+b)2·(b+a)2.(4)-a2·(-a)2·(-a)2k·(-a)2k+1.【解析】(1)原式=(n-m)2(n-m)2(n-m)3=(n-m)2+2+3=(n-m)7.(2)原式=x3+n-1-x n-2+4+x n+2=x n+2-x n+2+x n+2=x n+2.(3)原式=(a+b)1+1+2+(a+b)2+2=(a+b)4+(a+b)4=2(a+b)4.(4)原式=-a2·(-a)2+2k+2k+1=-a2·(-a)4k+3=-a2·(-a4k+3)=a4k+5.1.为了求1+2+22+23+…+2100的值,可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23+24+…+2101,因此2S-S=2101-1,所以1+2+22+23+…+2100=2101-1,仿照以上推理,求:1+5+52+53+…+52017的值.【解析】设S=1+5+52+53+ (52017)则5S=5+52+53+ (52018)所以5S-S=4S=5+52+53+…+52018-(1+5+52+53+…+52017)=52018-1,则S=.2.已知2m+3n能被19整除,求2m+3+3n+3能否被19整除.【解析】2m+3+3n+3=8×2m+27×3n=8×(2m+3n)+19×3n,由(2m+3n)能被19整除,19×3n能被19整除,所以2m+3+3n+3能被19整除.幂的乘方与积的乘方题组幂的乘方、积的乘方运算1.计算(-2a3)2的结果是( )A.-4a6B.4a5C.-4a5D.4a6【解析】选D.根据幂的乘方的运算性质,(-2a3)2=(-2)2a3×2=4a6.2.下列各式计算正确的是( )A.4a-a=3B.a4+a2=a3C.(-a3)2=a6D.a3·a2=6【解析】选 C.根据合并同类项法则“同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变”,可知4a-a=3a,故选项A错误;选项B中“a4”和“a2”不是同类项,故不能进行加减运算,所以选项B错误;根据“(ab)n=a n b n”和“(a m)n=a mn”可知(-a3)2=a6成立,故选项C正确;根据“a m·a n=a m+n”,可知a3·a2=a5,故选项D 错误.3.(-a)3(-a)2(-a5)= ( )A.a10B.-a10C.a30D.-a30【解析】选A.(-a)3(-a)2(-a5)=(-a3)·a2(-a5)=a3+2+5=a10.4.计算:(a2)2= .【解析】(a2)2=a4.答案:a45.计算:(a4)3+m= .【解析】(a4)3+m=a4(3+m)=a12+4m.答案:a12+4m6.如果a n=5,b n=3,则(ab)n= .【解析】(ab)n=a n·b n=5×3=15.答案:157.计算下列各式,结果用幂的形式表示.(1)-23×22.(2)(-2)3×(-2)6.(3)(-x)3·x2·(-x)5.(4)-(-a4)·(-a3)·(-a2).【解析】(1)原式=-25.(2)原式=(-2)9=-29.(3)原式=x3·x2·x5=x10.(4)原式=a4·a3·a2=a9.题组逆用幂的乘方、积的乘方法则1.丁丁认为下列括号内都可以填a4,你认为使等式成立的只能是( )A.a12=( )3B.a12=( )4C.a12=( )2D.a12=( )6【解析】选A.a12=a4×3=(a4)3.2.若3×9m×27m=321,则m的值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选 B.3×9m×27m=3×(32)m×(33)m=3×32m×33m=31+2m+3m=31+5m=321,所以1+5m=21,5m=20,m=4.3.若m=2125,n=375,则m,n的大小关系正确的是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.大小关系无法确定【解析】选A.m=2125=25×25=(25)25=3225,n=375=33×25=(33)25=2725,因为32>27,所以m>n.4.逆用积的乘方,小明很轻松地计算出:·22018==1,受他的启发,请你计算一下:×32018= .【解析】×32018=×32017×3=×3=1×3=3.答案:3.5.(2017·深圳市观澜中学质检)若10m=5,10n=3,则102m+3n= .【解析】因为10m=5,10n=3,所以102m+3n=102m×103n=(10m)2×(10n)3=52×33=25×27=675.答案:6756.如果2x+1×3x+1=62x-1,则x的值为.【解析】2x+1×3x+1=2x×2×3x×3=(2×3)x×2×3=6x×6=6x+1=62x-1,所以2x-1=x+1,x=2.答案:27.已知3x-5y-2=0,则8x·32-y的值为.【解析】8x·32-y=(23)x·(25)-y=23x·2-5y=23x-5y.因为3x-5y-2=0,所以3x-5y=2,所以23x-5y=22=4.答案:48.已知2n=3,则4n+1的值是.【解析】因为4n+1=22(n+1)=22n+2=(2n)2×4,把2n=3代入得32×4=9×4=36.答案:369.比较:218×310与210×315的大小.【解析】因为218×310=28×210×310=28×(2×3)10=256×610, 210×315=210×310×35=(2×3)10×35=243×610,又256>243,所以218×310>210×315.10.计算:(1)已知44·83=2x,求x的值.(2)x a=2,y a=3,求(xy)2a的值(3)当a3b2=72时,求a6b4的值.【解析】(1)44·83=(22)4·(23)3=28·29=217,所以x=17.(2)(xy)2a=[(xy)a]2=(x a y a)2=62=36.(3)a6b4=(a3)2(b2)2=(a3b2)2=722=5184.若22·16n=(22)9,解关于x的方程nx+4=2.【解析】22·16n=(22)9变形为22·24n=218,所以2+4n=18,解得n=4.此时方程为4x+4=2,解得x=-.同底数幂的除法题组同底数幂的除法1.计算(a4)3÷(a2)5的结果是( )A.aB.a2C.a3D.a4【解析】选B.(a4)3÷(a2)5=a12÷a10=a2.2.下列运算正确的是( )A.2a5-3a5=a5B.a2·a3=a6C.a7÷a5=a2D.(a2b)3=a5b3【解析】选C.A.原式=-a5,故本选项错误;B.原式=a5,故本选项错误;C.原式=a2,故本选项正确;D.原式=a6b3,故本选项错误.3.计算x7÷x4的结果等于.【解析】x7÷x4=x3.答案:x34.a5÷a2÷a= .【解析】a5÷a2÷a=a5-2-1=a2.答案:a25.已知x a=4,x b=16,则x3a-2b= .【解析】x3a-2b=x3a÷x2b=(x a)3÷(x b)2=43÷162=.答案:【变式训练】若3n=2,3m=5,则32m+3n-1= .【解析】因为3n=2,3m=5,所以32m+3n-1=(3m)2×(3n)3÷3=25×8÷3=.答案:6.计算:(1)(a3)3÷(a4)2.(2)(-a)5÷a3.(3)x m÷x÷x.(4)(x-2y)4÷(2y-x)2÷(x-2y).【解析】(1)原式=a9÷a8=a.(2)原式=-a5÷a3=-a2.(3)原式=x m-1-1=x m-2.(4)原式=(x-2y)4÷(x-2y)2÷(x-2y)=(x-2y)1=x-2y.题组零指数幂和负整数指数幂1.计算3-1等于( )A.3B.-C.-3D.【解析】选D.3-1=.2.计算:20·2-3= ( )A.-B.C.0D.8【解析】选B.20·2-3=1×=.3.若(x-3)0+2(3x-6)-2有意义,则x的取值范围是 ( )A.x>3B.x<2C.x≠3且x≠2D.以上都不对【解析】选C.由题意得x-3≠0,且3x-6≠0,解得x≠3且x≠2.4.若a=,b=,c=0.8-1,则a,b,c三数的大小关系是( )A.a<b<cB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b【解题指南】解决本题的两个步骤(1)求出a,b,c的值.(2)比较a,b,c的大小.【解析】选C.因为a===,b==1,c=0.8-1==,所以a>c>b.5.计算+a2·a3-a2÷a-3的结果为( )A.2a5-aB.2a5-C.a5D.a6【解析】选D.(a2)3+a2·a3-a2÷a-3=a6+a5-a5=a6.6.计算:x0·x3÷x-4= .【解析】x0·x3÷x-4=x3÷x-4=x3+4=x7.答案:x77.计算:(1)(-1)2016+-(3.14-π)0(2)++.【解析】(1)原式=1+4-1=4.(2)原式=-2+4+1=3.1.已知10a=20,10b=,求3a÷3b的值.【解析】因为10a=20,10b=,所以10a÷10b=10a-b=20÷=100=102,所以a-b=2,所以3a÷3b=3a-b=32=9.2.小颖学习了“幂的运算”后做这样一道题:若(2x-3)x+3=1,求x的值,她解出来的结果为x=1,老师说小颖考虑问题不全面,聪明的你能帮助小颖解决这个问题吗?小颖解答过程如下:解:因为1的任何次幂都为1,所以2x-3=1,x=2.且2+3=5,故(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1,所以x=2.你是如何解答的?【解析】①因为1的任何次幂为1,所以2x-3=1,x=2.且2+3=5,所以(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1,所以x=2;②因为-1的任何偶次幂也都是1,所以2x-3=-1,且x+3为偶数,所以x=1,当x=1时,x+3=4是偶数,所以x=1;③因为任何不是0的数的0次幂也是1,所以x+3=0,2x-3≠0,解得x=-3,综上所述,x=2或-3或1.同底数幂的除法题组用科学记数法表示绝对值较小的数1.某种细胞的直径是0.00000095米,将0.00000095用科学记数法表示为( )A.9.5×10-7B.9.5×10-8C.0.95×10-7D.95×10-8【解析】选A.0.00000095=9.5×10-7.2.每到四月,许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞,人们不堪其扰,据测定,杨絮纤维的直径约为0.0000105m,该数值用科学记数法表示为( )A.1.05×105B.0.105×10-4C.1.05×10-5D.105×10-7【解析】选C.0.0000105=1.05×10-5.3.2011年3月,英国和新加坡研究人员制造出观测极限为0.00000005米的光学显微镜.下列将0.00000005米用科学记数法表示正确的是 ( )A.0.5×10-9米B.5×10-8米C.5×10-9米D.5×10-7米【解析】选B.0.00000005米=5×10-8米.4.我们身处在自然环境中,一年接受的宇宙射线及其他天然辐射照射量约为3100微西弗(1西弗等于1000毫西弗,1毫西弗等于1000微西弗),用科学记数法可表示为( )A.3.1×106西弗B.3.1×103西弗C.3.1×10-3西弗D.3.1×10-6西弗【解析】选C.3100微西弗=3.1毫西弗=3.1×10-3西弗.5.下列各数表示正确的是( )A.57000000=57×106B.0.0158(用四舍五入法精确到0.001)≈0.015C.1.804(用四舍五入法精确到十分位)≈1.8D.0.0000257=2.57×10-4【解析】选C.A.57000000=5.7×107,故A错误;B.0.0158(用四舍五入法精确到0.001)≈0.016,故B错误;C.1.804(用四舍五入法精确到十分位)≈1.8,故C正确;D.0.0000257=2.57×10-5,故D错误.6.(2017·常熟市期末)在人体血液中,红细胞的直径约为7.7×10-4cm,7.7×10-4用小数表示为( )A.0.000 077B.0.000 77C.-0.000 77D.0.0077【解析】选B.7.7×10-4用小数表示为0.00077.7.21世纪,纳米技术被广泛应用,纳米是长度计算单位,1纳米=10-9米.VCD光碟的两面有用激光刻成的小凹坑,已知小凹坑的宽度只有0.4微米(1微米=10-6米),试将小凹坑的宽度用纳米作为计算单位表示出来(结果用科学记数法表示). 【解析】0.4微米=(4×10-7米)÷10-9米=4×10-7-(-9)=4×102纳米.8.我们知道一粒大米大约是0.022g.现在请你计算:我国现在14亿人口,按每人三餐计算,若每人每餐节约一粒米,请问全国人民一年大约能节约多少t大米?如果用载重5 t的汽车来运输这些大米,需要多少辆车才能一次装完(一年按365天计算)?【解析】14亿=1.4×109,0.022g=2.2×10-8t.由题意可得2.2×10-8×1.4×109×3×365=3.3726×104(t).需要载重5t的汽车:≈6746(辆),即需要用6746辆汽车才能一次装完.1.观察下列计算过程:(1)因为33÷35===,33÷35=33-5=3-2,所以3-2=.(2)当a≠0时,因为a2÷a7===,a2÷a7=a2-7=a-5,所以a-5=,由此可归纳出规律是:a-p=(a≠0,p为正整数)请运用上述规律解决下列问题:(1)填空:3-10= ;x2×x5÷x9= .(2)3×10-4= .(写成小数形式)(3)把0.00000002写成如(2)的科学记数法a×10n的形式是: .【解析】(1)3-10=;x2×x5÷x9=x2+5-9=x-2=.(2)3×10-4=0.0003.(3)0.00000002=2×10-8.答案:(1)(2)0.0003 (3)2×10-82.一个水分子的质量约为3×10-26kg,一滴水中大约有1.67×1021个水分子,说明分子的质量和体积都很小.如果一只用坏的水龙头每秒钟漏2滴水,假设平均每20滴水为1mL.(1)试计算这只坏的水龙头一昼夜漏水的体积为多少升.(2)这只坏的水龙头一昼夜漏水的质量大约是多少千克?(保留两位小数)(3)你能从中得到什么启示,生活中该怎么做?【解析】(1)根据水龙头1s滴2滴水,一昼夜滴水量为2×60×60×24= 172800(滴).因为20滴为1mL,故一昼夜共漏水172800÷20=8640(mL)=8.64(L).(2)3×10-26×1.67×1021×2×60×60×24≈8.66(kg).所以一昼夜漏水的质量大约是8.66kg.(3)滴漏浪费巨大,应及时修理,定期检修;爱护和保护水资源,是每个公民应尽的责任和义务,从自身做起,像对待掌上明珠一样珍惜每一滴水等(答案不唯一).1.4 整式的乘法第一课时题组单项式乘单项式1.计算4x3·3x6的结果是( )A.7x6B.12x18C.12x9D.7x9【解析】选C.4x3·3x6=(4×3)×(x3·x6)=12x9.2.下列运算正确的是( )A.3x2+4x2=7x4B.2x3·3x3=6x3C.a÷a-2=a3D.=-a6b3【解析】选C.选项A是合并同类项,结果为7x2,故选项A错误;选项B,是同底数幂乘法,结果为6x6,故选项B错误;选项C是同底数幂除法,底数不变,指数相减,故选项C正确;选项D是积的乘方,结果为-a6b3,故选项D错误.3.-2a2bc×□=-6a6b2c,则□内应填的代数式是( )A.3a3bB.-3a3bC.3a4bD.-3a4b【解析】选C.-2×3=-6,a2·a4=a6,b·b=b2,所以□内应填的代数式是3a4b.4.a5·+a6·= .【解析】原式=a5·(-8a3)+a6·9a2=-8a8+9a8=a8.答案:a85.计算:(1)3a·a3-(2a2)2.(2)(-2a2x)3·bx.(3)-2(x-y)×3(x-y)2.【解析】(1)3a·a3-(2a2)2=3a4-4a4=-a4.(2)(-2a2x)3·bx=ax2[(-2)3a6x3]·bx=ax2[(-8)a6x3]·bx=-2a7bx6.(3)原式=(-2×3)(x-y)1+2=-6(x-y)3.6.先化简,再求值:-(-2a)3·(-b3)2+;其中a=-,b=2.【解析】原式=-(-8a3)·b6+=8a3b6-a3b6=a3b6.当a=-,b=2时,原式=××26=××64=-37.题组单项式乘单项式的应用1.一个长方体的底面积是4xy,高是3x,那么这个长方体的体积是 ( )A.7x2yB.7x2C.12x2D.12x2y【解析】选D.由题意,得4xy·3x=12x2y.2.计算(6×103)×(8×105)的结果是( )A.48×109B.4.8×109C.4.8×1016D.48×1015【解析】选B.(6×103)×(8×105)=48×108=4.8×109.3.长方形的长是1.6×103cm,宽是5×102cm,则它的面积是( )A.8×104cm2B.8×106cm2C.8×105cm2D.8×107cm2【解析】选C.(1.6×103)×(5×102)=(1.6×5)×(103×102)=8×105(cm2).【变式训练】如图是一个长方形场地,则它的面积为.【解析】由图可知长方形的长=2a+a+a+2a=6a,宽为3b,所以长方形的面积=6a·3b=18ab.答案:18ab4.已知3x n-3y5-n·(-8x3m y2n)=-24x4y9,m= ,n=【解析】3x n-3y5-n·(-8x3m y2n)=-24x n-3+3m y5-n+2n=,所以5-n+2n=9得n=4;把n=4代入n-3+3m=4得m=1.答案:1 45.三角表示3abc,方框表示-4x y w z,则×的结果是.【解析】×=9mn·(-4n2m5)=-36m6n3.答案:-36m6n36.如图所示,计算变压器铁芯片(图中阴影部分)的面积.(单位:cm)【解析】方法一:用整个长方形面积减去空白部分面积.(1.5a+2.5a)(a+2a+2a+2a+a)-2a·2.5a-2a·2.5a=4a·8a-5a2-5a2=32a2-10a2=22 a2(cm2).方法二:分割求和,即分割成4块的和.1.5a·(a+2a+2a+2a+a)+2.5a·a+2.5a·2a+2.5a·a=1.5a·8a+2.5a2+5a2+2.5a2 =12a2+2.5a2+5a2+2.5a2=22a2(cm2).形如的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为=ad-bc,比如:=2×3-1×5=1.请你按照上述法则,计算的结果.【解析】=-2ab×(-ab)2-a2b×(-3ab2)=5a3b3.1.4 整式的乘法第二课时题组单项式与多项式相乘1.下列计算不正确的是( )A.-x(3x-1)=-x2+1B.x(x-1)=x2-xC.m(n-m)=-m2+mnD.(x2-x-1)x=x3-1【解析】选A.A.-x(3x-1)=-x2+x,故此选项错误;B.x(x-1)=x2-x,正确;C.m(n-m)=-m2+mn,正确;D.(x2-x-1)x=x3-1,正确.2.化简x(y-x)-y(x-y)得( )A.x2-y2B.y2-x2C.2xyD.-2xy【解析】选B.x(y-x)-y(x-y)=xy-x2-xy+y2=y2-x2.3.下列计算正确的是( )A.a8÷a4=a2B.(2a2)3=6a6C.3a3-2a2=aD.3a(1-a)=3a-3a2【解析】选D.a8÷a4=a8-4=a4.可见A错误.(2a2)3=23(a2)3=8a6.可见B错误.多项式3a3-2a2不能化简,可见C错误.由单项式乘多项式的法则可知D正确.4.计算:2(x-y)+3y= .【解析】①去括号,得2(x-y)+3y=2x-2y+3y;②合并同类项,得2(x-y)+3y=2x+y. 答案:2x+y5.(1)计算(6a3-12a2+9a)= .【解析】(6a3-12a2+9a)=-4a7+8a6-6a5.答案:-4a7+8a6-6a56.计算:(1)3x2(-y-xy2+x2).(2)(-4xy)·(xy+3x2y-2).【解析】(1)3x2(-y-xy2+x2)=3x2·(-y)-3x2·(xy2)+3x2·x2=-3x2y-3x3y2+3x4.(2)(-4xy)·(xy+3x2y-2)=(-4xy)·xy+(-4xy)·3x2y+(-4xy)·(-2)=-4x2y2-12x3y2+8xy.【知识归纳】单项式与多项式相乘,其实质就是乘法分配律的应用,将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式,再转化为同底数幂相乘.单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同,运算时可以用此来检验运算中是否漏乘.7.化简求值:3a(a2-2a+1)-2a2(a-3),其中a=2.【解析】3a(a2-2a+1)-2a2(a-3)=3a3-6a2+3a-2a3+6a2=a3+3a.当a=2时原式=23+3×2=8+6=14.题组单项式与多项式相乘的应用1.如果长方体的长为3a-4,宽为2a,高为a,则它的体积是( )A.3a2-4aB.a2C.6a3-8a2D.6a2-8a【解析】选C.由题意可得:长方体的体积是:(3a-4)×2a×a=(3a-4)×2a2=6a3-8a2.2.若三角形的底边为2m+1,底边上的高为2m,则此三角形的面积为 ( )A.4m2+2mB.4m2+1C.2m2+mD.2m2+m【解析】选C.因为三角形的底边为2m+1,底边上的高为2m,所以此三角形的面积为:×2m×(2m+1)=2m2+m.3.如果(x2-a)x+x的展开式中只含有x3这一项,那么a的值为( )A.1B.-1C.0D.不能确定【解析】选A.(x2-a)x+x=x3-ax+x=x3+(1-a)x,因为只含x3这一项所以1-a=0,a=1.4.已知2m-3n=-4,则代数式m(n-4)-n(m-6)的值为.【解析】m(n-4)-n(m-6)=mn-4m-mn+6n=-4m+6n=-2(2m-3n)=-2×(-4)=8.答案:85.若-2x2y(-x m y+3xy3)=2x5y2-6x3y n,则m= ,n= .【解析】-2x2y(-x m y+3xy3)=2x2+m y2-6x3y4=2x5y2-6x3y n,所以2+m=5,m=3,n=4.答案:3 46.若要使x(x2+a+3)=x(x2+5)+2(b+2)成立,则a,b的值分别为.【解析】已知等式变形得:x3+(a+3)x=x3+5x+2(b+2),可得a+3=5,2(b+2)=0,解得:a=2,b=-2.答案:2,-27.如图,一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦,求这块地的面积.【解析】长方形地块的长为:(3a+2b)+(2a-b),宽为4a,这块地的面积为:4a·[(3a+2b)+(2a-b)]=4a·(5a+b)=4a·5a+4a·b=20a2+4ab.答:这块地的面积为20a2+4ab.某同学在计算一个多项式乘以-2a时,因抄错运算符号,算成了加上-2a,得到的结果是a2+2a-1,那么正确的计算结果是多少?【解析】因为计算一个多项式乘以-2a时,因抄错运算符号,算成了加上-2a,得到的结果是a2+2a-1,所以这个多项式为:a2+2a-1+2a=a2+4a-1,所以正确的计算结果是:-2a(a2+4a-1)=-2a3-8a2+2a.1.4 整式的乘法第三课时题组多项式与多项式相乘1.下列算式的计算结果等于x2-5x-6的是( )A.(x-6)(x+1)B.(x+6)(x-1)C.(x-2)(x+3)D.(x+2)(x-3)【解析】选A.A.(x-6)(x+1)=x2+x-6x-6=x2-5x-6,符合题意;B.(x+6)(x-1)=x2-x+6x-6=x2+5x-6,不符合题意;C.(x-2)(x+3)=x2+3x-2x-6=x2+x-6,不符合题意;D.(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6,不符合题意.【规律总结】(x+a)(x+b)型多项式的乘法因为(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab= x2+(a+b)x+ab,所以(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.【变式训练】计算:(x+5)(x-4)= .【解析】(x+5)(x-4)=x2+x-20.答案:x2+x-202.下列计算正确的是( )A.(x+2)(2-x)=x2-4B.(2x+y2)(2x2-y2)=2x2-y4C.(3x2+1)(3x2-1)=9x4-1D.(x-2)(x+3)=x2-6【解析】选C.A.(x+2)(2-x)=-x2+4,故A选项错误;B.(2x+y2)(2x2-y2)=4x3-2xy2+2x2y2-y4,故B选项错误;C.(3x2+1)(3x2-1)=9x4-1,故C选项正确;D.(x-2)(x+3)=x2+x-6,故D选项错误.3.计算(2x2-4)= ( )A.-x2+2B.x3+4C.x3-4x+4D.x3-2x2-2x+4【解析】选D.(2x2-4)=(2x2-4)=x3-2x2-2x+4.4.若3x(2x-3)-(4-2x)x=8x2-3x+4,则x的值等于 ( )A. B.- C. D.-【解析】选B.3x(2x-3)-(4-2x)x=8x2-3x+4,6x2-9x-4x+2x2=8x2-3x+4,-13x+3x=4,-10x=4,x=-.5.计算:(1)(2x-1)(-1-2x)= .(2)(-a+2b)(a2+2ab+4b2)= .【解析】(1)(2x-1)(-1-2x)=-2x-4x2+1+2x=1-4x2.(2)(-a+2b)(a2+2ab+4b2)=-a3-2a2b-4ab2+2a2b+4ab2+8b3=-a3+8b3答案:(1)1-4x2(2)-a3+8b3【方法指导】多项式与多项式相乘1.第一步要先进行整理,在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时,要“依次”进行,不重复,不遗漏,且各个多项式中的项不能自乘.2.多项式是几个单项式的和,每一项都包括前面的符号,在计算时要正确确定积中各项的符号.6.化简:x(x+1)-(x+1)(x-2).【解析】原式=x2+x-(x2-x-2)= x2+x-x2+x+2=2x+2.题组多项式与多项式相乘的应用1.如图,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式,你认为其中正确的有( )①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+bn.A.①②B.③④C.①②③D.①②③④【解析】选D.①大长方形的长为2a+b,宽为m+n,利用长方形的面积公式,表示即可;①(2a+b)(m+n),故①正确;②长方形的面积等于左边、右边及中间的长方形面积之和,表示即可;②2a(m+n)+b(m+n),故②正确;③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和,表示即可;③m(2a+b)+n(2a+b),故③正确;④长方形的面积等于6个长方形的面积之和,表示即可.④2am+2an+bm+bn,故④正确,则正确的有①②③④.2.若=x2+mx+n,则m,n分别为( )A.m=4,n=12B.m=-4,n=12C.m=-4,n=-12D.m=4,n=-12【解析】选D.原式 =x2+4x-12=x2+mx+n,所以m=4,n=-12.3.若(x+m)(x-8)中不含x的一次项,则m的值为 ( )A.8B.-8C.0D.8或-8【解析】选A.(x+m)(x-8)=x2-8x+mx-8m=x2+(m-8)x-8m.因为不含x的一次项,所以m-8=0,m=8.【变式训练】若多项式乘法(x+2y)(2x-ky-1)的结果中不含xy项,则k的值为( )A.4B.-4C.2D.-2【解析】选A.(x+2y)(2x-ky-1)=2x2-kxy-x+4xy-2ky2-2y=2x2+(4-k)xy-x-2ky2-2y,因为结果中不含xy项,所以4-k=0,解得k=4.4.若M=(a+3)(a-4),N=(a+2)(2a-5),其中a为有理数,则M,N的大小关系是( )A.M>NB.M<NC.M=ND.无法确定【解析】选B.因为M-N=(a+3)(a-4)-(a+2)(2a-5)=a2-a-12-2a2+a+10=-a2-2≤-2<0,所以M<N.5.已知:a+b=,ab=1,化简(a-2)(b-2)的结果是.【解析】(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=1-2×+4=1-3+4=2.答案:26.解方程:(x+1)(x-1)=(x+2)(x-3).【解析】因为(x+1)(x-1)=(x+2)(x-3),所以x2-1=x2-x-6.解得:x=-5.7.如图,长为10cm,宽为6cm的长方形,在4个角剪去4个边长为xcm的小正方形后,按折痕做成一个有底无盖的长方体盒子,试求盒子的体积.【解析】根据题意可得:长方体盒子的长为(10-2x)cm,宽为(6-2x)cm,高为xcm. 所以长方体盒子的体积V=(10-2x)·(6-2x)·x=(4x2-32x+60)x=(4x3-32x2+60x)cm3.答:盒子的体积为(4x3-32x2+60x)cm3.1.(1)计算:(x+1)(x+2)= ,(x-1)(x-2)= ,(x-1)(x+2)= ,(x+1)(x-2)= .(2)你发现(1)小题有何特征,会用公式表示出来吗?(3)已知a,b,m均为整数,且(x+a)(x+b)=x2+mx+12,则m的可能取值有多少个? 【解析】(1)(x+1)(x+2)=x2+3x+2,(x-1)(x-2)=x2-3x+2,(x-1)(x+2)=x2+x-2,(x+1)(x-2)=x2-x-2.(2)可以发现题(1)中,左右两边式子符合(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq结构.(3)因为12可以分解以下6组数,12=1×12,2×6,3×4,(-1)×(-12),(-2)×(-6),(-3)×(-4),所以m=a+b应有6个值.2.你能化简(x-1)(x99+x98+…+x+1)吗?遇到这样的复杂问题时,我们可以先从简单的情形入手.然后归纳出一些方法.(1)分别化简下列各式:(x-1)(x+1)= ;(x-1)(x2+x+1)= ;(x-1)(x3+x2+x+1)= ;…(x-1)(x99+x98+…+x+1)= .(2)请你利用上面的结论计算:299+298+…+2+1.【解析】(1)(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;…(x-1)(x99+x98+…+x+1)=x100-1.答案:x2-1 x3-1 x4-1 x100-1(2)299+298+…+2+1=(2-1)×(299+298+…+2+1)=2100-1.平方差公式第一课时题组平方差公式1.下列式子不能用平方差公式计算的是( )A.(-x+y)(-x-y)B.(a-b)(b-a)C.(a-b)(a+b)D.(-x-1)(x-1)【解析】选B.A.(-x+y)(-x-y)中-x与-x相同,y与-y互为相反数,能用平方差公式;B.(a-b)(b-a)中a与-a互为相反数,-b与b互为相反数,不能用平方差公式;C.(a-b)(a+b)中a与a相同,-b与b互为相反数,能用平方差公式;D.(-x-1)(x-1)中-x与x互为相反数,-1与-1相同,能用平方差公式.2.化简(a+b+c)2-(a-b+c)2的结果为( )A.4ab+4bcB.4acC.2acD.4ab-4bc【解析】选A.(a+b+c)2-(a-b+c)2=(a+b+c+a-b+c)(a+b+c-a+b-c)=(2a+2c)(2b)=4ab+4bc.3.已知a+b=3,a-b=5,则a2-b2= ( )A.3B.8C.15D.-2【解析】选C.因为(a+b)(a-b)=a2-b2,而a+b=3,a-b=5,所以3×5=a2-b2=15.【变式训练】若a2-b2=,a-b=,则a+b的值为.【解析】(a+b)(a-b)=a2-b2=,a-b=,所以a+b=.4.等式(-a-b)( )(b2+a2)=a4-b4中,括号内应填( )A.a-bB.-a+bC.-a-bD.a+b【解析】选B.因为a4-b4=(a2+b2)(a2-b2),所以a2-b2=(-a-b)( ).( )应填(-a+b).5.计算(4x+3b)(4x-3b)= __.【解析】(4x+3b)(4x-3b)=(4x)2-(3b)2=16x2-9b2.答案:16x2-9b26.计算:(x+y+z)(x+y-z)=(A+B)(A-B),则A= ,B= .【解析】在x+y+z和x+y-z中完全相同的是x+y,z与-z互为相反数,所以A=x+y,B=z.答案:x+y z7.如果x+y=2,x2-y2=10,则x-y= _.【解析】x2-y2=(x+y)(x-y)=2(x-y)=10,所以x-y=5.答案:58.若(x+3a)(x-3a)=x2-36,则a的值为_. 【解析】(x+3a)(x-3a)=x2-9a2=x2-36,所以-9a2=-36,a2=4,因为(±2)2=4,所以a=±2.答案:±29.计算:(1).(2)(a+b-c)(-a+b+c).【解析】(1)===-x4.(2)(a+b-c)(-a+b+c)=[b+(a-c)][b-(a-c)]=b2-(a-c)2=b2-(a2-2ac+c2)=b2-a2+2ac-c2.1.计算:(2x+3y)(2x-3y)-(-3x+5y)(-3x-5y). 【解析】(2x+3y)(2x-3y)-(-3x+5y)(-3x-5y)=(2x)2-(3y)2-[(-3x)2-(5y)2]=4x2-9y2-9x2+25y2=16y2-5x2.2.计算:(1+x)(1-x)(1+x2)(1+x4).【解析】(1+x)(1-x)(1+x2)(1+x4)=(1-x2)(1+x2)(1+x4)=(1-x4)(1+x4)=1-x8.平方差公式第二课时题组利用平方差公式进行数的运算1.运用平方差公式计算40×39,可以变形为( )A.×B.×C.×D.×【解题指南】运用平方差公式进行数的简便运算应满足两点:一是把算式变形为相同两数的和与差;二是变成平方差公式的形式后两个因数的大小不变.【解析】选D.由÷2=40得,40×39=×.2.下列代数式的值是1的是( )A.20092-2008×2010B.20092-2009×2010C.20092-2009×2008D.20092-20082【解析】选A.A.20092-2008×2010=20092-(2009-1)(2009+1)=20092-20092+1=1,此选项正确;B.20092-2009×2010=20092-(2009.5-0.5)(2009.5+0.5)=20092-2009.52+0.25,计算结果不是1,此选项错误;C.20092-2009×2008=20092-(2008.5+0.5)(2008.5-0.5)=20092-2008.52+0.25,计算结果不是1,此选项错误; D.20092-20082=(2009+2008)(2009-2008)=4017,计算结果不是1,此选项错误.3.计算的结果是 ( )A.62500B.1000C.500D.250【解析】选C.原式=====500.4.计算142-13×15的结果是__.【解析】142-13×15=142-(14-1)(14+1)=142-142+1=1. 答案:15.计算:9×11×101×10001.【解析】9×11×101×10001=99×101×10001=(100-1)(100+1)×10001=(1002-1)×10001=9999×10001=(10000-1)(10000+1)=100002-1=99999999.6.利用整式乘法公式进行计算:992-1.【解析】原式=(99+1)×(99-1)=100×98=9800.题组利用平方差公式进行整式的运算1.计算(1+3x)(3x-1)+9的结果是( )A.18x2-2B.2-18x2C.0D.8x2【解析】选C.(1+3x)(3x-1)+9=(3x)2-1+9=9x2-1+1-9x2=0.2.代数式(y-1)(y+1)(y2+1)-(y4+1)的值是( )A.0B.2C.-2D.不能确定【解析】选C.(y-1)(y+1)(y2+1)-(y4+1)=(y2-1)(y2+1)-(y4+1)=y4-1-y4-1=-23.(2017·温州中考)化简:(1+a)(1-a)+a(a-2).【解析】原式=1-a2+a2-2a=1-2a.4.计算:-(3a-2b)(3a+2b).【解析】原式=a2-b2-(9a2-4b2)=a2-b2-9a2+4b2=-8a2+b2.5.解方程:(3-x)(3+x)-x(5-x)=4.【解析】(3-x)(3+x)-x(5-x)=4.9-x2-5x+x2=4.9-5x=4.-5x=-5.x=1.6.先化简,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1),其中x=-2.【解析】原式=x2-4-x2+x=x-4.把x=-2代入,得原式=-2-4=-6.1.若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1,则A的末位数字是__. 【解析】A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.21的末位数字是2,22的末位数字是4,23的末位数字是8,24的末位数字是6,25的末位数字是2,26的末位数字是4,16÷4=4,所以216的末位数字是6.答案:62.乘法公式的探究及应用:(1)如图1所示,可以求出阴影部分面积是__.(写成两数平方差的形式)(2)若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个如图2的矩形,此矩形的面积是__.(写成多项式乘法的形式)(3)根据两图的阴影部分面积得到的乘法公式计算下列算式:(1-)(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-).【解析】(1)a2-b2.(2)(a+b)(a-b).(3)原式=…=××××…××××=×=.完全平方公式题组完全平方公式1.下列各式,计算正确的是( )A.(2x-y)2=4x2-2xy+y2B.(a2+2b)2=a2+4a2b+4b2C.=x2+1+xD.(x-2y)2=x2-4xy+y2【解析】选C.A.(2x-y)2=4x2-4xy+y2,此选项错误;B.(a2+2b)2=a4+4a2b+4b2,此选项错误;C.=x2+1+x,此选项正确;D.(x-2y)2=x2-4xy+4y2,此选项错误.2.小虎在利用完全平方公式计算时,不小心用墨水将式子中的两项染黑:(2x+)2=4x2+12xy+,则被染黑的最后一项应该是 ( )A.3yB.9yC.9y2D.36y2【解析】选C.(2x)2=4x2,2·2x( )=12xy,所以括号里应填3y,(3y)2=9y2.3.计算(-2y-x)2的结果是( )A.x2-4xy+4y2B.-x2-4xy-4y2C.x2+4xy+4y2D.-x2+4xy-4y2【解析】选C.(-2y-x)2=x2+4xy+4y2.4.计算(2a-3)2的结果为__.【解析】(2a-3)2=4a2-2·2a·3+9=4a2-12a+9.答案:4a2-12a+95.(x- )2=x2-6xy+ .【解析】2·x( )=6xy,括号里应填3y,(3y)2=9y2.答案:3y 9y26.计算:(1)(-x+2y)2.(2)(m+n-2)(m+n+2).(3).(4)(a+b)2(a-b)2.【解析】(1)(-x+2y)2=x2+2·(-x)·2y+4y2=x2-4xy+4y2.(2)(m+n-2)(m+n+2)=(m+n)2-22=m2+2mn+n2-4.(3)===a4-2·a2·+=a4-a2+.(4)(a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4.【方法技巧】完全平方公式应用的三个技巧1.公式右边共有3项.2.两个平方项符号永远为正.3.中间项的符号由等号左边两项的符号是否相同决定.题组完全平方公式的应用1.若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于 ( )A.2B.1C.-2D.-1【解析】选B.因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以ab===1. 【变式训练】已知x+y=-6,x-y=5,则下列计算正确的是( )A.(x+y)2=36B.(y-x)2=-10C.xy=-2.75D.x2-y2=25【解析】选A.A.(x+y)2=(-6)2=36,正确;B.(y-x)2=(x-y)2=52=25,故本选项错误;C.因为(x+y)2-(y-x)2=4xy,(x+y)2-(y-x)2=36-25=11,所以4xy=11,xy=2.75,故本选项错误;D.x2-y2=(x+y)(x-y)=(-6)×5=-30,故本选项错误.2.若等式(x-4)2=x2-8x+m2成立,则m的值是( )A.16B.4C.-4D.4或-4【解析】选D.因为(x-4)2=x2-8x+16,所以m2=16,解得m=±4.3.一个正方形的边长增加了2cm,面积相应增加了32cm2,则原来这个正方形的边长为( )A.6cmB.5cmC.8cmD. 7cm【解析】选D.设原来正方形的边长为xcm.则(x+2)2-x2=32.x2+4x+4-x2=32.4x=28.x=7.4.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A= ( )A.30abB.60abC.15abD.12ab【解析】选B.因为(5a+3b)2=25a2+30ab+9b2,所以25a2+9b2=(5a+3b)2-30ab.因为(5a-3b)2=25a2-30ab+9b2,所以25a2+9b2=(5a-3b)2+30ab.所以(5a+3b)2-30ab=(5a-3b)2+30ab.所以(5a+3b)2=(5a-3b)2+60ab.5.已知x2+y2+4x-6y+13=0,那么x y= __.【解析】因为x2+y2+4x-6y+13=0,所以x2+4x+4+y2-6y+9=0,即(x+2)2+(y-3)2=0,所以x+2=0,y-3=0,解得x=-2,y=3,所以x y=(-2)3=-8.答案:-81.已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为. 【解析】当x=m时,m2+2m+n2=-1,则(m+1)2+n2=0,∴m+1=0,n=0,∴m=-1,n=0,∴x2+2x+n2=3.答案:32.乘法公式的探究及应用.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.方法一: _______________________________________.方法二: _______________________________________.(2)观察图②请你写出下列三个代数式:(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系.______________________________________________________.(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:已知:a-b=5,ab=-6,求:①a2+b2= ___.②(a+b)2= _.【解析】(1)方法一:阴影部分是正方形,正方形的边长是m-n,即阴影部分的面积是(m-n)2,方法二:阴影部分的面积S=(m+n)2-4mn,答案:(m-n)2(m+n)2-4mn(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab.答案:(a-b)2=(a+b)2-4ab(3)①因为a-b=5,ab=-6,所以(a-b)2=52,所以a2-2ab+b2=25,a2+b2=25+2ab=25-12=13.答案:13②(a+b)2=(a-b)2+4ab=52+4×(-6)=1.答案:1完全平方公式第二课时题组利用完全平方公式进行数的运算1.运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是( )A.(89+0.8)2B.(80+9.8)2C.(90-0.2)2D.(100-10.2)2【解析】选 C.A.(89+0.8)2=892+2×89×0.8+0.82,B.(80+9.8)2=802+2×80×9.8+9.82,C.89.82=(90-0.2)2=902-2×90×0.2+0.22,D.(100-10.2)2=1002-2×100×10.2+10.22,选项A,B,D都不如选项C计算简便.2.用乘法公式计算:3992= __.【解析】3992=(400-1)2=4002-2×400×1+12=160000-800+1=159201答案:1592013.计算3.76542+0.4692×3.7654+0.23462= __.【解析】3.76542+0.4692×3.7654+0.23462=3.76542+2×0.2346×3.7654+0.23462=(3.7654+0.2346)2=42=16.答案:164.利用整式乘法公式计算:(1)962. (2)2032.【解析】(1)962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=10000-800+16=9216.(2)2032=(200+3)2=2002+2×200×3+32=40000+1200+9=41209.5.已知m=2016×2017-1,n=20162-2016×2017+20172,请尝试用一种简便方法比较m,n的大小.【解析】方法一:m=2016×2017-1,n=20162-2016×2017+20172=20162-2×2016×2017+20172+2016×2017=(2016-2017)2+2016×2017=2016×2017+1,因为2016×2017-1<2016×2017+1,所以m<n.方法二:n-m=20162-2016×2017+20172-(2016×2017-1)=20162-2016×2017+20172-2016×2017+1=20162-2×2016×2017+20172+1=(2016-2017)2+1=1+1=2>0,所以n-m>0,即n>m.题组与完全平方公式有关的整式运算1.(a+3b)2-(3a+b)2的计算结果是( )A.8(a-b)2B.8(a+b)2C.8b2-8a2D.8a2-8b2【解析】选C.(a+3b)2-(3a+b)2=a2+6ab+9b2-(9a2+6ab+b2)=a2+6ab+9b2-9a2-6ab-b2=-8a2+8b2.2.将正方形的边长由acm增加6cm,则正方形的面积增加了 ( )A.36cm2B.12acm2C.(36+12a)cm2D.以上都不对【解析】选C.(a+6)2-a2=a2+12a+36-a2=12a+36cm2.3.用乘法公式计算:(1)(a+2b-3c)(a-2b+3c).(2)(a+2b-3c)2.【解析】(1)(a+2b-3c)(a-2b+3c)=[a+(2b-3c)][a-(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2+12bc-9c2.(2)(a+2b-3c)2=[(a+2b)-3c]2=(a+2b)2-2(a+2b)·3c+(3c)2=a2+4ab+4b2-6ac-12bc+9c2.4.下面是小颖化简整式的过程,仔细阅读后解答所提出的问题.解:x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-x2+2x+1+2x 第一步=2xy+4x+1 第二步(1)小颖的化简过程从第步开始出现错误.(2)对此整式进行化简.【解析】(1)括号前面是负号,去掉括号应变号,故第一步出错.答案:一(2)x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-x2-2x-1+2x=2xy-1.5.小明和小颖同时解答下面的习题,所用的方法不相同,但所得的结果相同,先阅读他们的解法,然后回答问题.计算:.小明的解答:=。

北师大版数学七年级下册 1同底数幂的乘法

北师大版数学七年级下册 1同底数幂的乘法

1.1同底数幂的乘法一、情景导入,初步认知1.乘方:2.光在真空中的速度大约是3×105千米/秒,太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星,它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107秒计算,比邻星与地球的距离约为多少千米?二、思考探究,获取新知1.计算下列各式:(1)102×103;(2)105×108;(3)10m×10n(m,n都是正整数).你发现了什么?【教学说明】小组合作探究,对于有的同学可能会由上面的分析感觉到了规律的存在,可鼓励他们进行验证.请部分学生代表说出自己小组的观点,其他组同学则进行评价或发表不同的见解.2. 2m×2n等于什么?呢?(m,n都是正整数)【教学说明】猜想,交流,验证,口答.3.合作交流:a m·a n等于什么?(m,n都是正整数)4.引导学生剖析法则.(1)等号左边是什么运算?(2)等号两边的底数有什么关系?(3)等号两边的指数有什么关系?(4)你能总结同底数幂的乘法的法则吗?【教学说明】猜想,交流,验证,口答.【归纳结论】am·an=am+n(m,n都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.三、运用新知,深化理解1.见教材P3例1、例2.2.计算:(1)-b3·b2(2) (-a)·a3(3)(-y)2·(-y)3(4)(-a)3·(-a)4(5)-34×32(6)(-5)7×(-5)6(7)(-q)2n·(-q)3(8)(-m)4·(-m)2(9)-23 (10)(-2)4×(-2)5(11)-b9·(-b)6 (12)(-a)3·(-a3)答案:(1)-b5 (2)-a4 (3)-y5 (4)-a7 (5)-729 (6)-513(7)-q2n+3 (8)m6 (9)-8 (10)-512 (11)-b15(12)a63.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?(1)23×32=65;(2)a3+a3=a6;(3)y n·y n=2y2n;(4)m·m2=m2;(5)(-a)2·(-a2)=a4; (6)a3·a4=a12;(7)(-4)3=43;(8)7×72×73=76;(9)-22=-4;(10)n+n2=n3.4.计算:5.计算:(结果可以化成以(a+b)或(a-b)为底时幂的形式).(1)(a-b)2·(a-b)3·(a-b)4(2)(a+b)m+1·(a+b)+(a+b)m·(a+b)2答案:(1)(a-b)9(2)2(a+b)m+26.我国自行研制的“神威”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次.如果按这个速度工作一整天,那么它能运算多少次(结果保留3个有效数字)?提示:3840亿次=3.84×103×108次、24时=24×3.6×103秒解:(3.84×103×108)×(24×3.6×103)=(3.84×24×3.6)×(103×108×103)=331.776×1014≈3.32×1016(次)答:它能运算约3.32×1016次.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想再以小组为单位派代表进行总结,教师作以补充.五、教学板书1.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2、3题.2.完成对应习题.。

(完整版)最新北师大版数学七年级下册第一章_整式的乘除知识点总结及练习题

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☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】第一章 整式的乘除一、 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则: n m n ma a a +=⋅(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数a 可以是一个具体的数字式字母,也可以是 一个单项或多项式;②指数是1时,不要误以为没有指数;③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加;④当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为p n m p n ma a a a ++=⋅⋅(其中m 、n 、p 均为正数);⑤公式还可以逆用:n m nm a a a⋅=+(m 、n 均为正整数)二.幂的乘方与积的乘方1。

幂的乘方法则:mnnm a a =)((m ,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.2. ),()()(都为正数n m a a a mn mn nm ==.3。

底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a )时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底,如将(-a )3化成—a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4.底数有时形式不同,但可以化成相同。

5.要注意区别(ab )n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b )n=a n+b n(a 、b 均不为零).6.积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即nnnb a ab =)((n 为正整数)。

7.幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三. 同底数幂的除法1。

同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n ma a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m 〉n ).2。

在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除"而且0不能做除数,所以法则中a ≠0。

初中数学北师大版七年级下册第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法(省一等奖)

初中数学北师大版七年级下册第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法(省一等奖)

同底数幂的乘法基础训练知识点1 同底数幂的乘法法则1.(2023·重庆)计算a3·a2结果正确的是()2.计算(-a)3·(-a)2的结果是()3.下列算式中,结果等于a6的是()+a2 +a2+a2·a3·a2·a24.下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是()A.(x+y)2·(x-y)3B.(-x-y)(x+y)2C.(x+y)2+(x+y)3(x-y)2·(-x-y)35.计算:(-a)4·a5·a=.6.若a·a3·a m=a8,则m=.7.用幂的形式表示结果:(x-y)2·(y-x)3=.8.按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,…,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜想x,y,z满足的关系式是.知识点2 同底数幂的乘法法则的应用017可以写成()010+a7010·a7010·a 008·a2 00910.计算(-2)2 017+(-2)2 016的结果是()01601601701711.某市2023年底机动车的数量是2×106辆,2023年新增3×105辆,用科学记数法表示该市2023年底机动车的数量是()辆辆辆辆12.(2023·大庆)若a m=2,a n=8,则a m+n=_________.13.已知a m=2,a n=3,求下列各式的值(用含a的式子表示):(1)a m+1;(2)a n+2;(3)a m+n+1.14.已知x m=3,x m+n=15,求x n的值.易错点对法则理解不透导致错误15.请分析以下解答过程是否正确.如不正确,请写出正确的解答过程.计算:(1)x·x3;(2)(-x)2·(-x)4;(3)x4·x3.解:(1)x·x3=x0+3=x3.(2)(-x)2·(-x)4=(-x)6=-x6.(3)x4·x3=x4×3=x12.提升训练考查角度1 利用同底数幂的乘法法则进行计算16.计算:(1)x·(-x)2·(-x)2n+1-x2n+2·x2(n为正整数);(2)(y-x)2(x-y)+(x-y)3+2(x-y)2(y-x).考查角度2 利用同底数幂的乘法法则求字母的值17.(1)已知a3·a m·a2m+1=a25,求m的值;(2)若(x+y)m·(y+x)n=(x+y)5,且(x-y)m+5·(x-y)5-n=(x-y)9,求m n n n的值.考查角度3 逆用同底数幂的乘法法则求式子的值18.已知a x=5,a x+y=25,求a x+a y的值.考查角度4 利用同底数幂的乘法法则求式子的值19.已知x m-n·x2n+1=x11,y m-1·y5-n=y6,求mn2的值.探究培优拔尖角度1 利用同底数幂的乘法法则解新定义问题20.已知M(2)=(-2)×(-2),M(3)=(-2)×(-2)×(-2),…,M(n)=(-2)×(-2)×…×(-2).⏟n个-2相乘(1)计算:M(5)+M(6);(2)求2M(2 016)+M(2 017)的值;(3)说明2M(n)与M(n+1)互为相反数.拔尖角度2 利用同底数幂的乘法法则解规律探究题21.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22 015+22 016的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22 015+22 016, ①将等式两边同时乘2,得2S=2+22+23+24+25+…+22 016+22 017, ②②-①,得2S-S=22 017-1,即S=22 017-1,所以1+2+22+23+24+…+22 015+22 016=22 017-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+29+210;(2)1+3+32+33+34+…+3n-1+3n(其中n为正整数).参考答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】a106.【答案】47.【答案】-(x-y)5(或(y-x)5)8.【答案】xy=z解:因为21×22=23,22×23=25,23×25=28,25×28=213,…,所以x,y,z满足的关系式是xy=z.9.【答案】B10.【答案】A解:(-2)2 017+(-2)2 016=(-2)2 016×[(-2)1+1]=(-2)2 016×(-1)=22 016×(-1)=-22 016.11.【答案】C12.【答案】1613.解:(1)a m+1=a m·a=2a.(2)a n+2=a n·a2=3a2.(3)a m+n+1=a m·a n·a=6a.14.解:因为x m+n=15,所以x m·x n=15.又因为x m=3,所以3x n=15,所以x n=5.15.解:(1)(2)(3)的解答过程均不正确,正确的解答过程如下:(1)x·x3=x1+3=x4.(2)(-x)2·(-x)4=(-x)2+4=(-x)6=x6.(3)x4·x3=x4+3=x7.16.解:(1)x·(-x)2·(-x)2n+1-x2n+2·x2=-x2n+4-x2n+4=-2x2n+4.(2)(y-x)2(x-y)+(x-y)3+2(x-y)2(y-x)=(x-y)3+(x-y)3-2(x-y)3=0.17.解:(1)因为a3·a m·a2m+1=a25,所以a3+m+2m+1=a25,所以3+m+2m+1=25,所以m=7.(2)因为(x+y)m·(y+x)n=(x+y)5,(x-y)m+5·(x-y)5-n=(x-y)9,所以m+n=5,m+5+5-n=9,解得m=2,n=3.所以m n n n=23×33=216.18.解:因为a x+y=25,所以a x·a y=25.又因为a x=5,所以a y=5,所以a x+a y=10.19.解:由题意得m-n+2n+1=11,m-1+5-n=6,解得m=6,n=4,所以mn2=6×42=96.20.解:(1)M(5)+M(6)=(-2)5+(-2)6=-32+64=32.(2)2M(2 016)+M(2 017)=2×(-2)2 016+(-2)2 017=2×22 016-22 017=22 017-22 017=0.(3)因为2M(n)+M(n+1)=-(-2)×(-2)n+(-2)n+1=-(-2)n+1+(-2)n+1=0,所以2M(n)与M(n+1)互为相反数.21.解:(1)设M=1+2+22+23+24+…+29+210①,将等式两边同时乘2,得2M=2+22+23+24+25+…+210+211②,②-①,得2M-M=211-1,即M=211-1,所以1+2+22+23+24+…+29+210=211-1.(2)设N=1+3+32+33+34+…+3n-1+3n①,将等式两边同时乘3,得3N=3+32+33+34+35+…+3n+3n+1②,(3n+1-1),②-①,得3N-N=3n+1-1,即N=12所以1+3+32+33+34+…+3n-1+3n=1(3n+1-1).2分析:此题考查了同底数幂的乘法法则,弄清阅读材料中的技巧是解本题的关键.。

最新北师大版数学七年级下册第一章-整式的乘除知识点总结及练习题

最新北师大版数学七年级下册第一章-整式的乘除知识点总结及练习题

(B)(5x-1)(1-5x)=25x2-1 (D)(x-3)(x-9)=x2-27 18.如
果 x2-kx-ab=(x-a)(x+b),则 k 应为…………………………………(

(A)a+b (B)a-b (C)b-a
(三)计算(每题 4 分,共 24 分)
19.(1)(-3xy2)3·( 1x3y)2; 6

6.(1 )-2+0=
;4101×0.2599=

3
7.20 2×19 =1 (
)·( )=

33
8.用科学记数法表示-0.0000308=

9.(x-2y+1)(x-2y-1)2=( )2-( )2=

10.若(x+5)(x-7)=x2+mx+n,则 m=
,n=

(二)选择题(每小题 2 分,共计 16 分)
☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】 一、 同底数幂的乘法
第一章 整式的乘除
同底数幂的乘法法则: am an amn (m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要
注意以下几点: ①法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数 a 可以是一个具体的数字式字母,也可以是
一个单项或多项式; ②指数是 1 时,不要误以为没有指数; ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相 同才能相加;
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20.用简便方法计算:(每小题 3 分,共 9 分)
(1)982;
(2)899×901+1;
(3)(10 )2002·(0.49)1000. 7
(四)解答题(每题 6 分,共 24 分) 21.已知 a2+6a+b2-10b+34=0,求代数式(2a+b)(3a-2b)+4ab 的值.

北师大版七下数学第一章各节练习题含答案

北师大版七下数学第一章各节练习题含答案

北师大版七年级下册数学1.1同底数幂的乘法同步测试一、单选题1.若a m=5,a n=3,则a m+n的值为()A. 15B. 25C. 35D. 452.计算(﹣4)2×0.252的结果是()A. 1B. ﹣1C. ﹣D.3.计算a2•a5的结果是()A. a10B. a7C. a3D. a84.计算a•a•a x=a12,则x等于()A. 10B. 4C. 8D. 95.下列计算错误的是()A. (﹣2x)3=﹣2x3B. ﹣a2•a=﹣a3C. (﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9D. (﹣2a3)2=4a66.下列计算中,不正确的是()A. a2•a5=a10B. a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2C. ﹣(a﹣b)=﹣a+bD. ﹣3a+2a=﹣a7.计算x2•x3的结果是()A. x6B. x2C. x3D. x58.计算的结果是()A. B. C. D.9.计算3n· ( )=—9n+1,则括号内应填入的式子为( )A. 3n+1B. 3n+2C. -3n+2D. -3n+110.计算(-2)2004+(-2)2003的结果是()A. -1B. -2C. 22003D. -22004二、填空题(共5题;共5分)11.若a m=2,a m+n=18,则a n=________.12.计算:(﹣2)2n+1+2•(﹣2)2n=________。

13.若x a=8,x b=10,则x a+b=________.14.若x m=2,x n=5,则x m+n=________.15.若a m=5,a n=6,则a m+n=________。

三、计算题(共4题;共35分)16.计算:(1)23×24×2.(2)﹣a3•(﹣a)2•(﹣a)3.(3)m n+1•m n•m2•m.17.若(a m+1b n+2)(a2n﹣1b2n)=a5b3,则求m+n的值.18.已知a3•a m•a2m+1=a25,求m的值.19.计算。

北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除第1节同底数幂的乘法课后练习

北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除第1节同底数幂的乘法课后练习

第一章整式的乘除第1节同底数幂的乘法课后练习学校:___________姓名:___________班级:___________考生__________评卷人得分 一、单选题1.若(7×106)(5×105)(2×10)=a ×10n ,则a ,n 的值分别为( )A .a =7,n =11B .a =5,n =12C .a =7,n =13D .a =2,n =13 2.(﹣a )2•a 3=( )A .﹣a 5B .a 5C .﹣a 6D .a 63.如果xm =2,xn =14,那么xm +n 的值为( ) A .2 B .8 C .12 D .2144.我们知道:若am =an (a >0且a ≠1),则m =n .设5m =3,5n =15,5p =75.现给出m ,n ,p 三者之间的三个关系式:①m +p =2n ;①m +n =2p ﹣1;①n 2﹣mp =1.其中正确的是( )A .①①B .①①C .①①D .①①①5.计算28+(-2)8所得的结果是( )A .0B .216C .48D .296.下面是几位同学做的几道题,222(1)()a b a b +=+ 0(2)21a = 2 (3) (3)3±=± 3412 (4) a a a ⋅= 532(5)a a a ÷=其中做对了( )道A .1B .2C .3D .47.下列运算中,正确的是( )A .4312=a a aB .()32639a a =C .23•a a a =D .()224ab ab = 8.下列计算正确的是( )A .()()43224a a a a -⋅-⋅-=-B .()()43224a a a a -⋅-⋅-=C .()()4329a a a a -⋅-⋅-=-D .()()4329a a a a -⋅-⋅-= 9.201120102009222--其结果是( )A .20092B .20102C .20092-D .数太大,无法计算评卷人得分二、填空题10.已知92781m n⨯=,则646m n--的值为______.11.计算23()()a a-⋅-的结果等于_____________.12.已知2x+3y﹣1=0,则9x•27y的值为______.13.计算(x﹣y)2(y﹣x)3(x﹣y)=__(写成幂的形式).14.计算:235m m⋅=______.15.已知53x=,54y=,则25x y+的结果为______ .16.如图,正方形的边长为()1a a>,将此正方形按照下面的方法进行剪贴:第一次操作,先沿正方形的对边中点连线剪开,然后粘贴为一个长方形,其中叠合部分长为1,则此长方形的周长为_______,第二次操作,再沿所得长方形的对边(长方形的宽)中点连线剪开,然后粘贴为一个新的长方形,其中叠合部分长为l,……如此继续下去,第n次操作后得到的长方形的周长为________.17.观察等式:232222+=-;23422222++=-;按一定规律排列的一组数:5051529910022222+++++,若502a=,则用含a的代数式表示下列这组数50515299100222 (22)++++的和_________.评卷人得分三、解答题18.如果ac=b,那么我们规定(a,b)=c.例如;因为23=8,所以(2,8)=3.(1)根据上述规定填空:(3,27)=,(4,1)=,(2,0.25)=;(2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.判断a,b,c之间的等量关系,并说明理由.19.计算:(1)﹣b 2×(﹣b )2×(﹣b 3)(2)(x ﹣y )3×(y ﹣2)2×(y ﹣2)520.(1)先化简,再求值:2(x 2﹣xy )﹣(3x 2﹣6xy ),其中x =12,y =﹣1.(2)已知am =2,an =3,求①am +n 的值;①a 3m ﹣2n 的值.21.把下列式子化成()na b -的形式:()()()()()3452 a b b a a b b a a b -⋅----+-22.如果c a b =,那么规定(),a b c =. 例如:如果328=,那么()2,83=()1根据规定,()5,1= ______, 14,16⎛⎫= ⎪⎝⎭()2记()3,6a =,() 3,7b =, () 3,x c =,若a b c +=,求x 值.23.根据同底数幂的乘法法则,我们发现:m n m n a a a +=⋅(其中0a ≠,m ,n 为正整数),类似地我们规定关于任意正整数m ,n 的一种新运算:()()()h m n h m h n +=⋅,请根据这种新运算解决以下问题:(1)若()11h =-,则()2h =______;()2019h =______;(2)若()7128h =,求()2h ,()8h 的值;(3)若()()442h h =,求()2h 的值; (4)若()()442h h =,直接写出()()()()()()()()2462123h h h h n h h h h n ++++的值.24.(1)已知:210,a a +-=则43222000a a a +++的值是_____(2)如果记162a =,那么1231512222+++++=_____(3)若232122192,x x ++-=则x=_____(4)若5543254321021),x a x a x a x a x a x a -=+++++(则24a a +=_____25.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S ﹣S=22014﹣1即S=22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+210(2)1+3+32+33+34+…+3n (其中n 为正整数).参考答案:1.C【解析】【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法,乘号前面的数相乘,乘号后面的数相乘,再根据同底数幂相乘,底数不变指数相加进行计算,最后再化成科学记数法即可得解.【详解】解:(7×106)(5×105)(2×10)=(7×5×2)×(106×105×10)=7×1013所以,a=7,n=13.故选:C.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键.2.B【解析】【分析】根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加解答,即am•an=am+n.【详解】解:(﹣a)2•a3=a2•a3=a2+3=a5,故选:B.【点睛】此题考查同底数幂的乘法计算,正确掌握同底数幂的乘法公式是解题的关键.3.C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法进行运算即可.【详解】解:如果x m=2,x n=14,那么x m+n=x m×x n=2×14=12.故选:C.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法公式.4.B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出m、n、p的关系.【详解】解:①5m=3,①5n=15=5×3=5×5m=51+m,①n=1+m,①5p=75=52×3=52+m,①p=2+m,①p=n+1,①m+p=n﹣1+n+1=2n,故此结论正确;①m+n=p﹣2+p﹣1=2p﹣3,故此结论错误;①n2﹣mp=(1+m)2﹣m(2+m)=1+m2+2m﹣2m﹣m2=1,故此结论正确;故正确的是:①①.故选:B.【点睛】本题考查同底数幂的乘法,解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式.5.D【解析】【分析】利用同底数幂的乘法与合并同类项的知识求解即可求得答案.解:28+(-2)8=28+28=2×28=29.故选:D .【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的知识.此题比较简单,注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键.6.A【解析】【分析】利用完全平方公式;零指数幂;算术平方根;同底数幂相乘;同底数幂相除的运算法则进行计算即可解答.【详解】解:222(1)()2a b a ab b +=++,故该选项错误;0(2)22a =,故该选项错误;2(3) (3)3±=,故该选项错误;347(4) a a a ⋅=,故该选项错误;532(5)a a a ÷=,故该选项正确;故选:A .【点睛】本题考查了完全平方公式;零指数幂;算术平方根;同底数幂相乘;同底数幂相除的运算法则,熟练掌握并准确计算是解题的关键.7.C【解析】【分析】根据单项式乘单项式,可判断A ,根据同底数幂的乘法,可判断C ,根据积的乘方,可判【详解】A 、单项式与单项式相乘,把系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式,故A 错误;B 、3得立方是27,故B 错误;C 、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C 正确;D 、积的乘方等于乘方的积,故D 错误;故选:C .【点睛】此题考查幂的运算,单项式与单项式的乘法,解题关键在于掌握幂的运算和单项式的运算.8.D【解析】【分析】根据积的乘方的运算法则,分别将各项的结果计算出来再进行判断即可.【详解】A . ()()()4434323292=a a a a a a a a ++-⋅-⋅-=--=⋅⋅,故选项A 错误;B . ()()()4434323292=a a a a a a a a ++-⋅-⋅-=--=⋅⋅,故选项B 错误; C . ()()()4434323292=a a a a a a a a ++-⋅-⋅-=--=⋅⋅,故选项C 错误; D . ()()()4434323292=a a a a a a a a ++-⋅-⋅-=--=⋅⋅,故选项D 正确. 故选:D .【点睛】此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法运算,熟练掌握运算法则是解题的关键. 9.A【解析】【分析】先提取公因式20092,再进行计算,即可求解.【详解】201120102009222--=220091(221)2--⨯=200912⨯=20092故选A .【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则的逆运用,掌握分配律以及同底数幂的运算法则,是解题的关键.10.2-【解析】【分析】将92781m n ⨯=进行整理,得到232349273333m n m n m n +⨯=⨯==,即234m n +=,代入即可求解.【详解】解:①232349273333m n m n m n +⨯=⨯==,①234m n +=,①()64662236242m n m n --=-+=-⨯=-,故答案为:2-.【点睛】本题考查同底数幂相乘的应用,将92781m n ⨯=变形得到234m n +=是解题的关键. 11.5a -【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可.【详解】225533=()(())()a a a a a +-⋅--=--=故答案为:5a -.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法,熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键. 12.3【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形,进而利用同底数幂的乘法运算法则求出答案.【详解】解:①2x +3y ﹣1=0,①2x +3y =1.①9x •27y =32x ×33y =32x+3y =31=3.故答案为:3.【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算,正确将原式变形是解题关键. 13.﹣(x ﹣y )6##-(y-x )6【解析】【分析】将原式第二个因式提取-1变形后,利用同底数幂的乘法法则计算,即可得到结果.【详解】解:(x ﹣y )2(y ﹣x )3(x ﹣y )=﹣(x ﹣y )2(x ﹣y )3(x ﹣y )=﹣(x ﹣y )6.故答案为:﹣(x ﹣y )6.【点睛】此题考查了同底数幂的乘法运算,熟练掌握法则是解本题的关键.14.55m【解析】【分析】按照同底数幂相乘运算法则进行计算即可.【详解】23(23)5555m m m m +⋅== 故答案为:55m【点睛】本题考查了同底数幂相乘,掌握同底数幂相乘底数不变,指数相加是解题的关键 15.144【解析】【分析】先将25x y +变形为22(5)(5)x y ⨯,然后结合同底数幂的乘法的概念和运算法则将53x =,54y =代入求解即可.【详解】解:53x =,54y =,25x y +∴2255x y =⨯22(5)(5)x y =⨯2234=⨯916=⨯144=.故答案为:144.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,解答本题的关键在于先将25x y +变形为22(5)(5)x y ⨯,然后结合同底数幂的乘法的概念和运算法则将53x =,54y =代入求解.16. 52a - 21112222nn n a +-+-+ 【解析】【分析】先求出长方形的长与宽,再根据长方形的周长公式即可得;然后利用同样的方法求出第二次、第三次操作后得到的长方形的周长,归纳类推出一般规律即可得.【详解】解:第一次操作后得到的长方形的宽为12a ,长为121a a a +-=-, 则第一次得到的长方形的周长为12(21)522a a a +-=-, 第二次操作后得到的长方形的宽为21142a a =,长为2(21)143a a --=-, 第三次操作后得到的长方形的宽为31182a a =,长为2(43)187a a --=-,归纳类推得:第n 次操作后得到的长方形的宽为12na , 观察发现,第一次操作后得到的长方形的长为212(1)1a a -=-+,第二次操作后得到的长方形的长为2434(1)12(1)1a a a -=-+=-+,第三次操作后得到的长方形的长为3878(1)12(1)1a a a -=-+=-+, 归纳类推得:第n 次操作后得到的长方形的长为2(1)1n a -+,则第n 次操作后得到的长方形的周长为21111222(1)12222n n n n n a a a +-+⎡⎤+-+=-+⎢⎥⎣⎦, 故答案为:52a -,21112222nn n a +-+-+. 【点睛】本题考查了图形规律探索、同底数幂的乘法,正确归纳类推出长与宽的一般规律是解题关键.17.22a a -【解析】【分析】观察发现规律,并利用规律完成问题.【详解】观察232222+=-、23422222++=-发现23n 1222222n +++++=- ①5051529910022222+++++ =()505024*********+++++ =50505122(22)+-=50505022(222)+⨯-(把502a =代入)=(22)a a a +-=22a a -.故答案为:22a a -.【点睛】此题考查乘方运算,其关键是要归纳出规律23n 1222222n +++++=-并运用之.18.(1)3,0,﹣2;(2)a +b =c ,理由见解析.【解析】【分析】(1)直接根据新定义求解即可;(2)先根据新定义得出关于a,b,c的等式,然后根据幂的运算法则求解即可.【详解】(1)①33=27,①(3,27)=3,①40=1,①(4,1)=0,①2﹣2=14,①(2,0.25)=﹣2.故答案为:3,0,﹣2;(2)a+b=c.理由:①(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,①3a=5,3b=6,3c=30,①3a×3b=5×6=3c=30,①3a×3b=3c,①a+b=c.【点睛】本题考查了新定义运算,明确新定义的运算方法是解答本题的关键,本题也考查了有理数的乘方、同底数幂的乘法运算.19.(1)b7;(2)(x﹣y)3(y﹣2)7.【解析】【分析】(1)直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案;(2)直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案.【详解】解:(1)﹣b2×(﹣b)2×(﹣b3)=b2×b2×b3=b7;(2)(x ﹣y )3×(y ﹣2)2×(y ﹣2)5=(x ﹣y )3(y ﹣2)7.【点睛】本题考查幂的相关计算,有时候需要有整体思想,把底数可以为多项式的.20.(1)﹣x 2+4xy ,﹣94;(2)①6;①89. 【解析】【分析】(1)先利用整式的加减运算法则进行化简,再将x 、y 的值代入求解即可;(2)根据同底数幂的逆运算计算即可.【详解】(1)22()(23)6x xy x xy ---223262x xy x xy --+=24x xy =-+当1,12x y ==-时,原式2211194)4(1)222(44x xy =-=-⨯++⨯-=--=-; (2)2,3m n a a ==①236m n m n a a a +=⋅=⨯=;①323232328()()239m n m n m n a a a a a -=÷=÷=÷=. 【点睛】本题考查了整式的加减、同底数幂的运算,熟记整式的运算法则是解题关键.21.()53a b -【解析】【分析】将原式中的每项变成同度数幂,运用同底数幂的乘法法则进行计算即可得解.【详解】()()()()()3452 a b b a a b b a a b -⋅----+-, =()()()()()3245+a b a b a b a b a b -⋅---+-=()()()555 +a b a b a b --+-=()53a b -【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法,掌握并熟练运用同底数幂的忒覅覅买基金解题的关键. 22.(1)0,-2;(2)42【解析】【分析】(1)根据已知幂的定义得出即可;(2)根据已知得出3a =6,3b =7,3c =x ,同底数幂的乘法法则即可得出答案.【详解】(1)根据规定,(5,1)=0,(4,116)=-2, 故答案为:0;-2;(2)①(3,6)=a ,(3,7)=b ,(3,x )=c ,①3a =6,3b =7,3c =x ,又①a+b=c ,①3a ×3b =3c ,即x=6×7=42.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,有理数的混合运算等知识点,能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键.23.(1)1;-1;(2)4;256;(3)4;(4)122n +-【解析】【分析】(1)将()2h 变形为()11h +,根据新定义计算即可;(2)将()7h 变形为()71h ⎡⎤⎣⎦,得出()1h ,即可得出()2h ,()8h 的值; (3)将等式变形()()()()42222h h h h +=,即可得解; (4)根据变形发现规律,即求()()()()123h h h h n ++++的值,求解即可.【详解】(1)()()()()()()21111111h h h h =+=⋅=--=;()()()()()()()()100920191201812018122016121h h h h h h =+=⋅=-+=-=-(2)()()771128h h ==①()12h =①()()()2114h h h =⋅=,()()()()817172128256h h h h =+=⋅=⨯= (3)()()()()()()()()4222224222h h h h h h h h +==== (4)由(3)得出()24h =,①()12h =①()()()()()()()()2462123h h h h n h h h h n ++++=()()()()123h h h h n ++++=124816222n n ++++++=-【点睛】 此题主要考查同底数幂的乘法,定义新运算,熟练掌握运算性质和法则是解题关键. 24.(1)2001(2)1a -(3)52(4)﹣120【解析】【分析】(1)根据题意,得到21a a +=;再将原式进行变形即可得出答案(2)先设原式等于m ,利用2m -m 求出原式的值,最后将a 代入即可(3)根据幂的乘方运算公式对原式进行变形,然后进而的出答案(4)采用赋值法进行计算【详解】(1)由题意得:21a a +=;①43222000a a a +++=43322000a a a a ++++=()22322000a a a a a ++++=3222000a a a +++=()222000a a a a +++=12000+=2001 (2)设1231512222m =++++⋯+,则23416222222m =++++⋯+;①16221m m -=-,即1621m =-①原式=1a -(3)232122x x ++-=212x +∙22122x +-=2132x +⋅=192①21264x +=①216x +=①52x = (4)当x=1时,1=012345a a a a a a +++++ ……①当x=﹣1时,53-=012345a a a a a a -+--+ ……①当x=0时,-1=0a①+①=()0242a a a ++=513-即024a a a ++=5132- ①24a a +=5132-+1=﹣120 【点睛】本题主要考查了代数式的变形求值,掌握各类代数式求值的特点是解题关键25.(1)211﹣1(2)1+3+32+33+34+ (3)=1312n +-. 【解析】【分析】(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,两边乘以2后得到关系式,与已知等式相减,变形即可求出所求式子的值.(2)同理即可得到所求式子的值.【详解】解:(1)设S=1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将下式减去上式得:2S﹣S=211﹣1,即S=211﹣1,则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1.(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n,两边乘以3得:3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1,下式减去上式得:3S﹣S=3n+1﹣1,即S=1312n+-,则1+3+32+33+34+…+3n=1312n+-.。

北师大版七年级下册数学随堂小练 1.1同底数幂的乘法(有答案)

北师大版七年级下册数学随堂小练 1.1同底数幂的乘法(有答案)

数学随堂小练北师大版(2012)七年级下册1.1同底数幂的乘法一、单选题1.计算3()()x y x y -⋅-=( ).A.4()x y -B.3()x y -C.4()x y --D.4()x y +2.下列计算过程正确的是( )A.2358x x x x ⋅⋅=B.347x y xy ⋅=C.57(9)(3)3-⋅-=-D.56()()x x x --=3.下列各式的计算结果为7a 的是( )A.25()()a a -⋅-B.25()()a a -⋅- C.25()()a a -⋅- D.6()()a a -⋅-4.当0,a n <为正整数时,52()()n a a -⋅-的值 ( )A.正数B.负数c.非正数 D.非负数5.10,10x y a b ==,则210x y ++等于( )A.2abB.a b +C.2a b ++D.100ab6.已知2,3,m n x x ==则m n x +的值是( )A.5B. 6C. 8D. 97.计算·53a a 正确的是( )A. 2aB. 8aC. 10aD. 15a8.在等式3211()a a a ⋅⋅=中,括号里面的代数式是( ).A.7aB.8aC.6aD.3a9.已知m n 34a a ==,,则m+n a 的值为( ).A.12B.7二、填空题10.已知34x =,则23x += .11.计算34x x x ⋅+的结果等于________.12.已知1428m +=,则4m = .13.若2m 5x x x ⋅=,则m =_____.三、解答题14.求下列各式中x 的值.(1)21381243;x +=⨯(2)3141664 4.x -⨯=⨯参考答案1.答案:A2.答案:D选项A 中,2351359x x x xx ++⋅⋅==,故本选项错误;选项B 中,3x 与4y 不是同底数幕,不能运算,故本选项错误;选项C 中,5257(9)(3)3(3)3-⋅-=-⋅-=,故本选项错误;选项D 中,5516()()()x x x x +--=-=,故本选项正确.故选D3.答案:C选项A 中,275()()a a a -⋅-=-,故此选项错误;选项B 中,257()()a a a -⋅-=-,故此选项错误;选项C 中,275()()a a a -⋅-=,故此选项正确;选项D 中,67()()a a a ⋅-=--.故此选项错误.4.答案:A5225()()(),n n a a a +-⋅-=-∴当0,a n <为正整数,即0a ->时,25()0,n a +->是正数5.答案:D2210101010100x y x y ab ++=⨯⨯=.6.答案:B2,3,23 6.m n m n m n x x x x x +==∴=⋅=⨯=7.答案:B8.答案:C9.答案:A10.答案:36223334936x x +=⋅=⨯=.11.答案:42x12.答案:7因为11444m m +=⨯,所以4428m ⨯=,所以47.m =13.答案:314.答案:解(1)21381243x +=⨯2145333x +=⨯则219x +=解得4x =(2)31416644x -⨯=⨯3124444x -⨯=314x +=则1x =解得。

北师大版七年级数学下册第一章同底数幂的乘法优秀教学案例与反思

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3.引导学生自主探究:鼓励学生提出问题,并引导他们通过查阅资料、小组讨论等方式自主解决问题,培养学生的自主学习能力。
(三)小组合作
1.小组讨论:将学生分成小组,让他们在小组内进行讨论交流,共同探究同底数幂的乘法法则。教师可适时参与小组讨论,给予引导和帮助。
2.小组合作解决问题:设计具有挑战性的问题,让学生以小组合作的形式进行解决,如“根据同底数幂的乘法法则,设计一个计算器程序,实现幂的乘方与积的乘方的计算。”
(三)学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题:提出一个问题,让学生以小组的形式进行讨论和解决,如“根据同底数幂的乘法法则,设计一个计算器程序,实现幂的乘方与积的乘方的计算。”
2.小组合作解决问题:让学生以小组合作的方式解决实际问题,如“计算一个建筑物的高度的平方”。
3.小组竞赛:组织小组竞赛活动,激发学生的学习兴趣和竞争意识,如“看哪个小组能够最快地解决同底数幂的乘法运算问题。”
3.创设问题情境导入:设计一个具有挑战性和思考性的问题,如“如何计算\( (-2)^3 \times (-2)^2 \)?”让学生在解决问题的过程中自然而然地引入同底数幂的乘法法则。
(二)讲授新知
1.引导探究同底数幂的乘法法则:通过提问和引导,让学生思考和发现同底数幂的乘法法则,如“当两个同底数幂相乘时,指数会发生什么变化?”
3.通过数学教学,培养学生的逻辑思维能力、创新思维能力,提高学生的综合素质。
在教学过程中,我注重知识的传授与技能的培养,更注重过程与方法的应用,以及情感态度与价值观的塑造。通过本章节的教学,我希望学生能够不仅掌握幂的运算性质,更能够培养出良好的学习习惯和综合素质,为今后的学习和生活打下坚实的基础。
三、教学策略
2.利用小组合作、讨论交流的方式,培养学生自主学习、合作学习的能力。

七年级数学下册《同底数幂的乘法》典型例题(含答案)

七年级数学下册《同底数幂的乘法》典型例题(含答案)

《同底数幂的乘法》典型例题例1 计算:(1)32a a a ⋅⋅;(2)32)()(y x y x +⋅+;(3))()(232x x x -⋅⋅-;(4)212)2()2()2(+--⋅-⋅-m m y x y x y x例2 计算题:(1));21()21()21(65-⋅-⋅- (2)101010103158⨯⨯⨯; (3)865)()()(x x x -⋅-⋅--。

例3 计算:(1)333343)()(x x x x x x x x ⋅-⋅-+⋅⋅+⋅;(2)76254)3(33333-⋅+⋅-⋅;(3)423211)()(--+--⋅-+⋅+⋅n n n n n x x x x x x 。

例4 计算题:(1))()()(43x y y x y x ---; (2)323)()(a a a ---;(3)32)2()2(x y y x -⋅-。

例5 化简:2212122)()()()(-+---⋅-++--⋅-+n n n n b a c c b a b a c c b a例6 (1)已知m x =+22,用含m 的代数式表示x 2;(2)已知32=a ,62=b ,122=c ,求a 、b 、c 之间的关系。

参考答案例1 分析: 在幂的运算法则中的底数,可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式。

例如(1)中的a ,(3)中的x ,(2)中的)(y x +,(4)中的)2(y x -。

指数可以是自然数,也可以是代表自然数的字母。

解:(1)632132a a a a a ==⋅⋅++(2)53232)()()()(y x y x y x y x +=+=+⋅++(3)7232232232)()()(x x x x x x x x -=-=-⋅⋅=-⋅⋅-++(4)212)29)2()2(+--⋅-⋅-m m y x y x y x32)2()1(2)2()2(+++-+-=-=m m m y x y x说明:(1)中a 的指数是1,不是0;(2)要注意区别2)(x -与)(2x -的不同,222)(x x x =⋅-,而221x x ⋅-=-;(4)指数中含有自然数和字母,相加时要合并同类项化简。

北师大版七年级下册1.1同底数幂的乘法课件

北师大版七年级下册1.1同底数幂的乘法课件
(2)(x y)2 (y x)3
2、计算: 2 22 23 24 25 26 27 28 29 210
533课堂五环教学:
随堂练习
1、计算:
(1)52×57 ; (3)-x2·x3;
(2)7×73×72; (4)(-c)3·(-c)m.
补充课内练习
1、判断:
(1)x3 x5 x15 (3)x3 x5 x8 (5)(x)2 (x)3 (x)5 x5 (7)a3 b5 (ab)8
1.1 同底数幂的乘法
课前一例:
光在真空中的速度大约是3×105千米/秒.太阳系以外 距离地球最近的恒星是比邻星,它发出的光到达地球大 约需要4.22年.
一年以3 ×107秒计算,比邻星与地球的距离约为多 少千米?
3 × 105 ×3 ×107 ×4.22 = 37.98 ×(105 × 107).
思考:
105 ×107等于多少呢?
做一做:
1.计算下列各式: (1)102 ×103; (2)105 ×108; (3)10m ×10n(m,n都是正整数).
Hale Waihona Puke 2. 2m ×2n等于什么?(—71 n都是正整数)
)m
×(—71
)n呢?(m,
议一议:
am·an 等于什么(m,n都是正整数)?
am·an =(a·a·…·a)(a·a·…·a)
m个a
n个a
= a·a·…·a
(m+n)个a
= am+n, 即
am·an = am+n(m,n都是正整数).
同底数幂的乘法法则:
am·an =am+n(m,n都是正整数). 同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
例1 计算:

2020北师版七年级数学下册 1.1同底数幂的乘法

2020北师版七年级数学下册 1.1同底数幂的乘法
解:由 ym-ny3n+1=y13,xm-1x4-n=x6,得 m-n+3n+1=13,m- 1+4-n=6,即 m+2n=12,m-n=3.所以 2m+n=(m+2n)+(m- n)=12+3=15.
12.(新定义型题)我们规定一种新运算:m#n=10m×10n= 10m+n(m,n 均为正整数).例如:2#3=102×103=105.
解:1光年约为3×105×3.2×107=9.6×1012(千米).
9.若 2x-1×64=22x+1,则 x=___4_____. 10.计算:(x-y)2·(x-y)3-(x-y)4·(y-x).
解:原式=(x-y)5-(x-y)4·[-(x-y)]=2(x-y)5
11.如果 ym-ny3n+1=y13,且 xm-1x4-n=x6,求 2m+n 的 值.
(1)求 5#6 和 7#8 的值; (2)想一想,10m×(n#p)与(m#n)×10p 是否相等?请说明理 由.
解:(1)5#6=105×106=1011;7#8=107×108=1015. (2)相等,理由如 下:根据新运算的规定,可得 10m×(n#p)=10m×(10n×10p)=10m+n+ p,(m#n)×10p=10m×10n×10p=10m+n+p,故相等.
13.阅读材料:求 1+2+22+23+24+…+22 017 的值. 解:设 S=1+2+22+23+24+…+22 016+22 017, 将等式两边同时乘以 2 得: 2S=2+22+23+24+25+…+22 017+22 018, 将下式减去上式得 2S-S=22 018-1,即 S=22 018-1. 故 1+2+22+23+24+…+22 017=22 018-1. 请你仿照此法计算: (1)1+2+22+23+24+…+210; (2)1+3+32+33+34+…+3n(其中 n 为正整数).
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《同底数幂的乘法》典型例题
例1 计算:
(1)32a a a ⋅⋅;
(2)32)()(y x y x +⋅+;
(3))()(232x x x -⋅⋅-;
(4)212)2()2()2(+--⋅-⋅-m m y x y x y x
例2 计算题:
(1));2
1()21()21(65-⋅-⋅- (2)101010103158⨯⨯⨯; (3)865)()()(x x x -⋅-⋅--。

例3 计算:
(1)333343)()(x x x x x x x x ⋅-⋅-+⋅⋅+⋅;
(2)76254)3(33333-⋅+⋅-⋅;
(3)423211)()(--+--⋅-+⋅+⋅n n n n n x x x x x x 。

例4 计算题:
(1))()()(43x y y x y x ---; (2)323)()(a a a ---;
(3)32)2()2(x y y x -⋅-。

例5 化简:2212122)()()()(-+---⋅-++--⋅-+n n n n b a c c b a b a c c b a
例6 (1)已知m x =+22,用含m 的代数式表示x 2;
(2)已知32=a ,62=b ,122=c ,求a 、b 、c 之间的关系。

参考答案
例1 分析: 在幂的运算法则中的底数,可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式。

例如(1)中的a ,(3)中的x ,(2)中的)(y x +,(4)中的)2(y x -。

指数可以是自然数,也可以是代表自然数的字母。

解:(1)632132a a a a a ==⋅⋅++
(2)53232)()()()(y x y x y x y x +=+=+⋅++
(3)7232232232)()()(x x x x x x x x -=-=-⋅⋅=-⋅⋅-++
(4)212)29)2()2(+--⋅-⋅-m m y x y x y x
32)
2()1(2)2()2(+++-+-=-=m m m y x y x
说明:(1)中a 的指数是1,不是0;(2)要注意区别2)(x -与)(2x -的不同,222)(x x x =⋅-,而221x x ⋅-=-;(4)指数中含有自然数和字母,相加时要合并同类项化简。

例2 分析:由同底数幂相乘的法则知,能运用它的前题必须是“同底”,注意最后结果中的底数不能带负号,如3)(x -不是最后结果,应写成3x -才是最后结果。

解:(1))21()21()21(65-⋅-⋅-;2
1)21()21(1212165=-=-=++ (2) 101010103158⨯⨯⨯;10102713158==+++
(3)865)()()(x x x -⋅-⋅--.)()(1919865x x x =--=--=++
例3 分析:此题为混合运算,应先根据同底数幂的运算性质进行乘法运算,再进行加减运算。

解:(1)原式 33133143+++++++=x x x
777x x x ++=
73x =
(2)原式716254333+++--=
889333--=
88
8
8833)113(3333=--=--⋅=
(3)原式 )42(3)2()1()1(-+-++-+-+=n n n n n x x x
121
21212----=-+=n n n n x x x x
说明:(2)中用到88193333⋅==+,是逆向使用运算公式。

例4 分析:运用同底数幂相乘的法则要求必须“同底”,注意22-与2)2(-的不同,它们的底不同,必须变成相同的底数之后再运算。

解:(1)原式843)()()()(y x y x y x y x --=----=;
(2)原式8323)(a a a a =--=;
(3)原式532)2()2()2(x y x y x y -=-⋅-=。

说明:分别把x y y x --2,,看作一修整一,第一个是三个同底数幂相乘,但必须把2)2(y x -转化为2)2(x y -,或者把3)2(x y -转化为3)2(y x --,其实质是相同的,因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数。

例5 解:原式12122)()]([)(+--++-+-⋅-+=n n n c b a c b a c b a 22)]([--+-⋅n c b a
)()()()(1414)
22()12()12(2=-++-+-=-++-+-=---++-+n n n n n n c b a c b a c b a c b a
说明:1)1(,1)1(2212=--=---n n
例6 分析:此题可以逆用同底数幂相乘的运算法则,m x x =⨯=+22222,从而达到化简的目的。

解:(1)m x =+22 ,∴ m x =⨯24,∴m x 4
12=。

(2)显然2623122⨯=⨯=,故22222223122+=⨯=⨯==a a c ,
122226122+=⨯=⨯==b b c ,故2+=a c ,1+=b c ,故32++=b a c 。

说明:此题答案并不惟一,如由12222362+=⨯=⨯==a a b 得1+=a b ,又由1+=b c ,故c a b +=2。

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