N次独立重复试验恰有K次发生的概率.
届数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节n次独立重复试验与二项分布学案理含解析
第七节n次独立重复试验与二项分布[最新考纲］［考情分析][核心素养］1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2。
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题.主要在选择题、填空题中考查条件概率，对相互独立事件及独立重复试验多在解答题中考查,分值为5分左右。
1。
数学建模2.数学运算‖知识梳理‖1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下,A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为1P(A|B)。
当P(B）〉0时，我们有P（A|B）＝错误! (其中，A∩B也可以记成AB）。
类似地,当P(A)〉0时，A发生时B发生的条件概率为P（B|A)＝错误!错误!（1)0≤P(B|A）≤1;（2）如果B和C是两个互斥事件,则P（B∪C|A）＝错误!P（B|A)＋P（C|A）2。
事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件,若P(AB）＝错误!P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．（2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B｜A）＝错误!P（B)，P（A｜B)＝P（A），P(AB)＝错误!P（A)P(B)．②如果事件A与B相互独立,那么错误!A与错误!,错误!错误!与B，错误!错误!与错误!也相互独立．3．独立重复试验与二项分布‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1)若事件A,B相互独立,则P（B|A)＝P（B）．(）(2）P(B｜A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）＝P(A）·P(B)．()（3)相互独立事件就是互斥事件．(）(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C错误! p k（1－p）n－k，k＝0，1，2,…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．（)答案：（1)√（2)×(3)×(4)√二、走进教材2．（选修2－3P55T3改编)根据天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0。
n次独立重复试验和全概率公式
一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么 这个事件在n次独立重复试验中，恰好发生k次的概率为
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , (k 0,1,n).
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
在相同条件下，重复地做n次试验，如果满足 （1）每一次试验的结果都不影响其他各次试验的结果；
（2）每一次试验只有两种可能的结果A或者A ； （3）每次试验中事件A发生的概率都不变。
则称这样的n次试验为n次独立重复试验或n重伯努利试验。
例如：从一批含有次品的零件中有放回的抽取n次，每次 抽取一件检验是次品还是正品；在相同条件下射手进行n 次射击，每次射击只考虑击中还是击不中，等等，都是n 次独立重复试验。
7-4全概率公式 一、全概率公式
一般地，如果事件 A , A , A ...A 两两互斥,且
1
2
3
n
B BA BA ...BA ，即事件B能且只能和A , A , A ...A
1
2
n
1
2
3
n
之一同时发生，那么
P(B) P(A )P(B | A ) P(A )P(B | A ) ... P(A )P(B | A )
设b3次抽检恰好有2个次品第i次抽到次品一般地如果在一次试验中某事件发生的概率是p那么这个事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为7744全概率公式全概率公式一全概率公式一般地如果事件bababa100件商品中有10件不合格品每次抽取一件无放回地连续抽取两次试求第二次取到合格品的概率
高二数学n次独立重复实验中有k次发生的概率及小结人教版知识精讲
高二数学n 次独立重复实验中有k 次发生的概率及小结人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：n 次独立重复实验中有k 次发生的概率及小结［教学目标］1. 掌握某事件A 在n 次独立重复实验中有k 次发生的概率公式：()()P k C P P k n n n kk n k ()=-=-101，，……，2. 小结概率单元。
二. 重点、难点：1. 重点：()掌握公式及其它类型概率的求法。
P k C P P n n kk n k ()=--12. 难点：辨别事件的概率属哪种类型。
三. 知识点：()11.()若事件在次独立重复实验中发生次，则其概率，A n k P k C P P n n kk n k =--其中P 表示A 在每次实验中发生的概率。
2. 其它类型的概率：（）等可能事件的概率1P A m n()= ()（）互斥事件中有一个发生的概率2P A B P A P B +=+()()()（）相互独立事件同时发生的概率·3P AB P A P B =()()【典型例题】例1. 在一个袋里装有4个红球，6个白球，每次从袋中任取一球，记下颜色后再放回袋内，这样连续摸4次，求恰有2次是红球的概率是多少？ 解：∵是有放回的摸取，属于次独立重复实验，441025P == ∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=P C 4422222535216625()例2. 要胜过力量相等的对手，4次中胜3次的可能性大，还是8次中胜5次的可能性大？ 解：∵P =12∴·P C 44333121214()=⎛⎝ ⎫⎭⎪= P C 885535121273283214()=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=<= ∴4次中胜3次的可能性大例3. 甲、乙两个篮球运动员，甲投篮的命中率为0.7，乙的投中率为0.6，每人各投篮3次，求：（1）甲有两次命中的概率；（2）乙至少有一次命中的概率。
解：（）·12070304413322P C ()...==（）乙210409363P =-=.. 或用乙P P P P =++=3331230936()()().例4. 在10件产品中，有2件次品，每次抽（等可能抽取）1件检验，共抽5次，在以下两种方式下，求5次中恰有1次抽到次品的概率。
N次独立重复试验恰有K次发生的概率
N次独立重复试验恰有K次发生的概率例1变式甲乙丙三人各射击一次，三人击中目标的概率都是0.6，求其中恰有一人击中目标的概率和目标被击中的概率。
（0.288）（0.936）例2变式1如图，每个开关闭合的概率都为0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。
0.6811变式2如图，每个开关闭合的概率都是0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。
(提示：反向思考较为简单。
（0.847）)3、甲乙两战士向同一目标各射击一次设A={甲战士射中目标} B={乙战士射中目标}（1）甲乙两战士同时射中；（2）甲乙两战士中至少有一人射中；（3）甲乙两战士中恰有一个射中。
强化训练1、一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得颜色相同的球的概率是多少？（1/2）2、从甲乙丙三种零件中各取1件组成某产品所有三零件必须都是正品，所得产品才是合格品，已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5%，求产品的次品率？（结果保留四位有效数字）（0.0969）3、某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求：（1）两次都中靶的概率；（0.9801）（2）至少有一次中靶的概率；(0.9999)（3）至多有一次中靶的概率。
(0.0199)4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率是0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求（1）求敌机被击中的概率；（0.8）（2）已知甲乙两炮都击中敌机时，敌机才坠毁，求敌机坠毁的概率。
（0.3）5、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是2/5，乙厂生产的脱柴油机，每台连续使用不少于10年的概率是3/5，将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用，求下列各事件的概率：（1）A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）；6/25（2）B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年）4/25（3）C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年19/256、有4名学生参加体育达标测验，4人各自合格的概率分别是1/3，1/4，1/5，1/6，求以下的概率：（1）四人中至少有二人合格的概率；43/180（2）四人中恰好只有二人合格的概率。
22 高中数学概率的问题
专题22高中数学概率的问题【知识总结】1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数. 2．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n ． 3．相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )．4．互斥事件至少有一个发生的概率：若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A －)＝1－P (A )．5．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P(A)>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). 【高考真题】1．(2022·全国乙理)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________．2．(2022·全国甲理) 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 3．(2022·全国甲文) 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A ．15B ．13C ．25D ．23 4．(2022·新高考Ⅰ) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．(2022·全国乙理) 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为123, , p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【题型分类】题型一 古典概型1．(2021·全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．452．已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得 分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )A ．12B ．310C ．16D ．3113．有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1,2,3,4．现每次有放 回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：1314 1234 2333 1224 3322 1413 31244321 2341 2413 1224 2143 4312 24121413 4331 2234 4422 3241 4331 4234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )A ．23B ．13C ．27D ．5214．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为( )A ．114B ．37C ．47D ．345．定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个 五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．1206．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的 上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为________．7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11168．“六艺”出自《周礼·地官司徒·保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数．已知某人觉得“君子不学礼无 以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为( )A ．12B ．34C ．59D ．459．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知 A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于( )A ．13B ．23C ．12D ．1910．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为( )A ．1021B ．1121C ．1142D ．521题型二 相互独立事件与独立重复试验11．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立12．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( )A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮13．甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________．14．小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步．小明连续扔了三次骰子，则他一共前进了8步的概率是( )A ．127B ．227C ．19D ．2915．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p 1和p 2，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能16．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的 是( )A ．目标恰好被命中一次的概率为12＋13B ．目标恰好被命中两次的概率为12×13C ．目标被命中的概率为12×23＋12×13D ．目标被命中的概率为1－12×2317．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(当一人先赢3局时获胜，比赛结束)．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为23，执黑棋时取胜的概率为12，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3∶2获胜的概率为________．18．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯 亮的概率为( )A ．38B ．12C ．58D ．7819．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列说法中正确的有________(填序号)．①甲队获胜的概率为827；②乙队以3∶0获胜的概率为13； ③乙队以3∶1获胜的概率为29；④乙队以3∶2获胜的概率为49． 20．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )A ．225B ．310C ．110D ．325题型三 条件概率与全概率21．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则P (B |A )＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3422．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出2个球，记事件A 为“取出的2个球颜色不同”，事件B 为“取出1个红球，1个白球”，则P (B |A )等于( )A ．16B ．313C ．59D ．2323．某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P (A |B )等于( )A ．16B ．310C ．12D ．3524．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A ．310B ．13C ．38D ．2925．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.09626．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )A ．1100B ．160C ．150D ．13027．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A )＝1228．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (BC )＝P (AC )＝P (AB )C ．P (ABC )＝18D ．P (B |A )＝1229．有三个箱子，分别编号为1,2,3．1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．30．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0．06B ．任取一个零件是次品的概率为0．052 5C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27。
重复事件概率计算公式
重复事件概率计算公式在我们的日常生活中，经常会遇到一些看似随机却又有规律可循的事件。
比如说，连续多次抛硬币，或者多次抽奖等等。
这其中就涉及到重复事件概率的计算问题啦。
咱们先来说说啥是重复事件。
想象一下，你在玩扔骰子的游戏，扔一次是一个独立的事件，可要是你连续扔好几次，这一连串的扔骰子动作就是重复事件。
那重复事件的概率计算公式是啥呢？简单来说，如果一个事件发生的概率是 P，那么在 n 次重复试验中，这个事件恰好发生 k 次的概率可以用这个公式来算：C(n, k) × P^k × (1 - P)^(n - k) 。
这里的 C(n, k) 表示的是从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数。
我给您举个例子啊。
比如说，掷骰子掷出 6 点的概率是 1/6。
那要是连续掷 10 次骰子，恰好有 3 次掷出 6 点的概率是多少呢？咱们就可以用刚刚说的那个公式来算。
首先，C(10, 3) 算出来是 120，然后(1/6)^3 约等于 0.0046 ，(5/6)^7 约等于 0.279 ，最后把它们乘起来，得到的结果就是恰好有 3 次掷出 6 点的概率。
前几天我带着小侄子玩游戏，就用到了这个重复事件概率的知识。
当时我们在玩猜硬币正反面的游戏，规定猜对一次得一分，猜错不扣分。
我就跟小侄子说：“咱们多玩几次，看看谁能赢。
”一开始小侄子运气特别好，连着猜对了好几次，高兴得手舞足蹈。
我心里就在默默计算，按照这样的概率，他连续猜对这么多次其实还挺难得的。
随着游戏次数的增加，小侄子的兴奋劲儿慢慢降下来了，因为猜对的次数不像一开始那么多了。
他还好奇地问我：“叔叔，为啥我不能一直猜对呀？”我就趁机给他讲了讲重复事件概率的道理。
我告诉他，每次猜硬币正反面，猜对的概率都是 1/2，就算前面猜对了很多次，后面每次猜的时候，概率还是不变的。
所以不可能一直都猜对，这是很正常的。
小侄子似懂非懂地点点头，不过还是继续兴致勃勃地和我玩着游戏。
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率-精品
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【概念】
一般地，在〃次独立重复试验中，用W表示事件4发生的次数，如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=l-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是P（：=K）= C±Xpkxqni（K=l,2,3,…〃）那么就说J服从二项分布.其中尸称为成功概率.记作之〜B（〃，〃），期望：氏=叩,方差：D^=npq.
【实例解析】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率, 则随机事件/在一次试验中发生的概率的范围是—・
解：由题设知C31P（1-p）2^C32P2（1-p）,
解严
故答案为：[工，1].
2
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中.
【考点点评】
这个知识点非常的重要，但相对来说也比较简单，所以大家要多花点时间把它吃透.
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二项分布概率例题及解析精选全文
可编辑修改精选全文完整版二项分布概率例题及解析二项式概型答题高分策略、模板例析如下：二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?思路分析:(1)X可能的取值为10,20,100,-200,运用几何概率公式得出相应的概率,得出分布列.(2)利用对立事件求解得出P(A1A2A3)=P(A1)∪P(A2)∪P(A3)=1/8,即可得出1-P(A1A2A3).。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布公式可以用二项分布来描述。
二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，恰好发生k次某事件的概率。
3，二项分布的概率分布：设某事件在一次试验中发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则在n次独立重复试验中，恰好发生k次这个事件的概率为P(x=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)!4，二项分布的性质：1）二项分布是离散型概率分布；2）二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
1.二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，记作X~B(n,p)。
其中，p为成功概率，k为发生次数，n为试验次数。
2.离散型随机变量的均值：如果离散型随机变量X的分布列为p1,p2.pn，则随机变量X的均值或数学期望为E(X)=Σ(xi*pi)，即所有取值与对应概率的乘积之和，反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3.均值的性质：如果Y=aX+b，其中a和b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b。
4.常用分布的均值：1) 两点分布：E(X)=1*p+0*(1-p)=p。
2) 二项分布：E(X)=np。
3) 超几何分布：E(X)=nM/N。
5.离散型随机变量的方差：离散型随机变量X的方差D(X)描述了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算数平方根σX为随机变量X的标准差。
方差的计算公式为D(X)=Σ[(xi-E(X))^2*pi]，即所有偏离程度的平方与对应概率的乘积之和。
6.方差的性质：1) 常数的方差为0.2) 随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身。
3) 随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的积。
7.常用分布的方差：二项分布的方差为D(X)=np(1-p)。
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率-北京习题集-教师版
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2011春•通州区期末）甲同学回答4个问题，每小题回答正确的概率都是23，且不相互影响，则甲同学恰好答对3个题的概率是( ) A ．881B ．1681C ．3281D ．64812．（2010春•西城区期末）将一枚均匀硬币 随机掷20次，则恰好出现10次正面向上的概率为( ) A ．10110()2⨯B ．1010201()2CC ．20110()2⨯D ．1020201()2C3．（2010春•朝阳区期末）在100件产品中有10件次品，从中任取4件，其中恰有3件次品的概率为( ) A ．33491()()1010CB ．110C ．391()1010D ．3110904100C C C4．（2010春•海淀区校级期中）某城市101次公交车的准时到站率为90%，某人在5次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站的概率是( ) A ．0.328B ．0.288C ．0.358D ．0.4135．（2009春•朝阳区期末）某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是( ) A ．40.80.2⨯B ．4450.8C ⨯C ．4450.80.2C ⨯⨯ D ．450.80.2C ⨯⨯6．（2009春•朝阳区期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.648B ．0.504C ．0.432D ．0.288二．填空题（共6小题）7．（2016秋•西城区校级期中）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率为 （用数字作答）．8．（2016春•北京校级期末）位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率为 ．（用数字作答） 9．（2013•宣武区校级模拟）设随机变量~(2,)X B p ，~(3,)Y B p ，若3(1)4P X =，则(1)P Y ．10．（2011春•朝阳区期末）接种某疫苗后，经过大量的实验后发现，出现发热反应的概率为15．现有3人接种该疫苗，恰有1人出现发热反应的概率为．11．（2010春•西城区期末）设甲、乙两套方案在一次实验中通过的概率均为0.3，且两套方案在实验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次实验中至少有一套通过的概率为．12．（2008秋•海淀区校级月考）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34,45，且各次射击相互独立．若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是；若按甲、乙、甲 的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是．三．解答题（共3小题）13．（2011•朝阳区一模）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？14．（2010秋•房山区期末）某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．()I求一次摸奖中一等奖的概率；()II求一次摸奖得分的分布列和期望．15．（2009•崇文区二模）某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．()I在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；（Ⅱ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率．n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011春•通州区期末）甲同学回答4个问题，每小题回答正确的概率都是23，且不相互影响，则甲同学恰好答对3个题的概率是( ) A ．881B ．1681C ．3281D ．6481【分析】根据题意，该问题可转化为是求4次独立重复实验中，恰有3次发生的概率，由其公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，甲同学回答4个问题，问题之间不相互影响， 若甲同学恰好答对3个题，则4次独立重复实验中，恰有3次发生， 则其概率3342232()(1)3381P C =⨯⨯-=； 故选：C ．【点评】本题考查n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率计算，注意分析题意，将原问题转化为n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率计算问题．2．（2010春•西城区期末）将一枚均匀硬币 随机掷20次，则恰好出现10次正面向上的概率为( ) A ．10110()2⨯B ．1010201()2CC ．20110()2⨯D ．1020201()2C【分析】根据题意，易得将一枚均匀硬币掷1次，正面向上与反面向上的概率，而将一枚均匀硬币随机掷20次，则恰好出现10次正面向上，即20次独立重复实验中恰有10次发生，由其公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，易得将一枚均匀硬币掷1次，正面向上与反面向上的概率相等，均为12， 将一枚均匀硬币随机掷20次，则恰好出现10次正面向上，即20次独立重复实验中恰有10次发生，其概率为1020201()2P C =，故选：D ．【点评】本题考查n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率计算，注意先求出将一枚均匀硬币随机掷1次，正面向上与反面向上的概率．3．（2010春•朝阳区期末）在100件产品中有10件次品，从中任取4件，其中恰有3件次品的概率为( ) A ．33491()()1010CB ．110C ．391()1010D ．3110904100C C C【分析】利用组合先求出任意取出的4件产品的取法，再求出任意取出的4件产品中恰有3个次品的取法，利用古典概型概率公式求出任意取出的4件产品中恰有3个次品的概率．【解答】解：任意取出的4件产品的所有取法有4100C任意取出的4件产品中恰有3个次品的取法有139010C C 任意取出的4件产品中恰有3个次品的概率是3110904100C C C故选：D ．【点评】求等可能事件的概率公式常利用排列、组合的方法求出完成各种事件的方法数．4．（2010春•海淀区校级期中）某城市101次公交车的准时到站率为90%，某人在5次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站的概率是( ) A ．0.328B ．0.288C ．0.358D ．0.413【分析】由题意，5次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站，是一个5次独立重复实验所研究的结果发生四次的问题，又公交车的准时到站率为90%，由公式计算出概率再选出选项 【解答】解：由题意，记事件{5A =次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站}则P （A ）44450.90.10.50.90.328C =⨯⨯=⨯= 故选：A ．【点评】本题考查n 次独立重复实验中恰好发生K 次的概率，解题的关键是理解事件{5A =次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站}将问题归结为n 次独立重复实验模型．概率解题，将问题归结为成熟的概率模型是常用的转化思路．5．（2009春•朝阳区期末）某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是( ) A ．40.80.2⨯B ．4450.8C ⨯C ．4450.80.2C ⨯⨯ D ．450.80.2C ⨯⨯【分析】由题意知每次射击击中目标的概率是 0.8，且各次射击的结果互不影响，设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则~(5,0.8)X B ．利用二项分布的概率公式得到结果． 【解答】解：每次射击击中目标的概率是 0.8，且各次射击的结果互不影响 设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则~(5.0.8)X B ． 在5次射击中，恰有4次击中目标的概率445(4)(0.8)0.2P X C ==⨯⨯ 故选：C ．【点评】本题主要考查二项分布及其概率计算公式，互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．6．（2009春•朝阳区期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.648B ．0.504C ．0.432D ．0.288【分析】根据题意，分析可得，甲获胜有两种情况，一是甲以2:0获胜，二是甲以2:1获胜，按独立重复事件恰好发生n 次的概率的计算公式计算可得答案．【解答】解：甲获胜有两种情况，一是甲以2:0获胜，此时210.60.36p ==二是甲以2:1获胜，此时1220.60.40.60.288p C =⨯⨯=，故甲获胜的概率120.648p p p =+=，故选：A ．【点评】本题考查n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率，是高考热点，解题时，易范的错误是利用公式2230.60.40.432p C =⨯=求得答案C ，忽视了问题的实际意义，属于中档题．二．填空题（共6小题）7．（2016秋•西城区校级期中）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率为 0.027 （用数字作答）．【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式能求出结果． 【解答】解：一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9， ∴服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率：1230.9010.027p C ==．故答案为：0.027．【点评】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2016春•北京校级期末）位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率为 516．（用数字作答） 【分析】根据题意，质点P 移动5次后位于点(2,3)，则其在移动过程中向右移动2次向上移动3次，即5次独立重复试验中恰有3次发生，由其公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动5次后位于点(2,3)，在移动过程中向右移动2次向上移动3次．则其概率为2235115()(1)2216P C =-=故答案为516． 【点评】本题考查n 次独立重复试验中恰有k 次发生的概率计算，关键是明确质点P 移动5次后位于点(2,3)质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．9．（2013•宣武区校级模拟）设随机变量~(2,)X B p ，~(3,)Y B p ，若3(1)4P X =，则(1)P Y 78．【分析】根据随机变量服从~(2,)X B P 和(1)P X 对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P 的方程，解出P 的值，再根据Y 符合二项分布，利用概率公式得到结果．【解答】解：随机变量服从~(2,)X B P ，02(1)1(0)1P X P X C ∴=-==-23(1)4p -=，解得12p =．33(1)1(0)1P Y P Y C ∴=-==- 317(1)188p -=-=，故答案为78． 【点评】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据所给的X 对应的概率值，列出方程，求出概率P 的值．10．（2011春•朝阳区期末）接种某疫苗后，经过大量的实验后发现，出现发热反应的概率为15．现有3人接种该疫苗，恰有1人出现发热反应的概率为 0.384 ． 【分析】直接利用公式求解即可．【解答】解：由题意，恰有1人出现发热反应，概率等于1230.2(10.2)0.384C ⨯⨯-=． 故答案为：0.384．【点评】本题考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正确利用公式是关键．11．（2010春•西城区期末）设甲、乙两套方案在一次实验中通过的概率均为0.3，且两套方案在实验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次实验中至少有一套通过的概率为 0.51 ．【分析】由题意知记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A ，则至少有一套试验成功的事件为A ．这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1p -．利用对立事件列出等式求解至少有一套通过的概率即可． 【解答】解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A ， 则至少有一套试验成功的事件为A ．由题意，0.3p =，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1p -．P ∴（A ）2(1)p =-，∴2()1(1)0.51P A p =--=．故答案为：0.51．【点评】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．12．（2008秋•海淀区校级月考）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34,45，且各次射击相互独立．若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是320；若按甲、乙、甲⋯的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是．【分析】设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，甲、乙各射击一次，甲命中但乙未命中目标，分为两步，由甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为3445和，我们易得甲命中但乙未命中目标的概率()()()P A B P A P B=，代入计算即可得到结果；进而分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．【解答】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）34,()45P B==，从而甲命中但乙未命中目标的概率为343 ()()()(1)4520P A B P A P B==⨯-=；停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率为21133 45480P=⨯⨯=②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，此时的概率为311141 4545100 =⨯⨯⨯=则停止射击时甲射击了两次的概率为1233119 80100400P P P=+=+=；故答案为320，19400．【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，首先要根据题意分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．三．解答题（共3小题）13．（2011•朝阳区一模）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？【分析】（Ⅰ）教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6由题意直接可知2~(6,)3X B 即可求解（Ⅱ）教师甲在一场比赛中获奖：分为三种情况（中4球，5球，6球）但都必须最后2个球都投进者，故所求的概率为224156441212232()()()()3333381C C ⨯⨯+⨯⨯+=． （Ⅲ）教师乙在某场比赛中的事件总数为：66A ，而6个球中恰好投进了4个球的事件数为：4424A A ⨯，故而教师乙在这场比赛中获奖的概率为：446246A A A ⨯根据（Ⅱ）知教师甲在一场比赛中获奖的概率为：3281，而4462432816A A A ⨯≠，故教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．【解答】解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．依条件可知~(6X B ，66221).()()()(0333kk k P X k C k -===，1，2，3，4，5，6)X 的分布列为：所以12916(01112260316042405192664)4729729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 或因为2~(6,)3X B ，所以2643EX =⨯=．即X 的数学期望为4（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ， 则224156441212232()()()()()3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=．答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281． （Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==． 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25． 显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等． 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，离散型随机变量及其分布列属于基础题．14．（2010秋•房山区期末）某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．()I 求一次摸奖中一等奖的概率； ()II 求一次摸奖得分的分布列和期望．【分析】()I 每次有放回地抽取，取到红球的概率为131124P ==；取到白球的概率为241123P ==；取到黑球的概率为3512P =；由此能求出一次摸奖中一等奖的概率． ()II 设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，52.(2)32P ξ==；331155(1)431224P A ξ===；由此能求出一次摸奖得分ξ的分布列和期望．【解答】解：()I 每次有放回地抽取，取到红球的概率为131124P ==；取到白球的概率为241123P ==；取到 黑球的概率为3512P =； 一次摸奖中一等奖的概率为22331315()()()44432P C =+=．()II 设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，52.(2)32P ξ==；331155(1)431224P A ξ===；61(0)1(1)(2)P P P ξξξ==-=-==∴一次摸奖得分ξ的分布列为期望为55612521032249648E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，解题时要注意离散型随机变量ξ的分布列和期望的求法． 15．（2009•崇文区二模）某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换． ()I 在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；（Ⅱ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率．【分析】()I 由题意知每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，且寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，所以每只灯泡能否照明看做一次独立重复试验，根据公式得到结果．()II 在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，是否需要更换是相互独立的，包含两种情况，这两种情况是互斥的，根据公式得到结果．【解答】解：()I 每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关， 寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3， 每只灯泡能否照明看做一次独立重复试验，设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为1P ，需要列换2只灯棍的概率为2p 则310.80.512P ∴==22230.8(10.8)0.096P C =-=()II 假设该盏灯需要更换灯棍的概率为p ，对该盏灯来说，设在第1，2次都更换了灯棍的概率为3p ；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为4p 则234(10.8)0.8(10.3)0.6p p p =+=-+-=【点评】本题考查独立重复试验，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个比较难读懂题意的问题，解题的关键是弄清题意，把实际问题转化为数学问题．。
概率答案
概率知识点归纳：1．随机事件概率的范围；2．等可能事件的概率计算公式()mP An；3.互斥事件的概念：4.对立事件的概念：5.若A,B为两个事件，则A+B事件指若A,B为互斥事件，则P(A+B)=推广为：一般地，如果事件A1,A2,…，An两两互斥，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).若A,B为对立事件，则P(A+B)=6.相互独立事件的概念：7.A,B是相互独立事件，则P(AB)=8.一次试验中某事件发生的概率是P， n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为9. 几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是 .（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是 .10.离散随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …，xi,…,ξ取每一个值x i (I=1，2，…)的概率为P(ξ= x i)=P i，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个简单性质：(1) Pi ≥0，I=1，2，…； (2) P1+P2+…+pn=1．11.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为如上表(1)均值称n n p x p x p x +++.......2211为随机变量X 的 均值或 数学期望，记为E(X)或μ,即E(X)= n n p x p x p x +++.......2211, （2）方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布列如上表所示，则()()x E i =-μμχ2)(描述了i χ(i=1,2,…,n)相对于均值μ的偏离程度，故()()()n n p p p 2222121..........μχμχμχ=++-+-(3). 均值与方差的性质（1）E(aX+b)=aE(X)+b; (2)V(aX+b)=a2V(X)(a 、b 为实数). 12.两点分布如果随机变量X 的分布列为则称X 服从0-1分布或两点分布，并记为 X ～0-1分布 或 X ～两点分布两点分布与二项分布的均值、方差（1）若X 服从两点分布，则E(X)= p,V(X)= p(1-p). (2)若X ～B （n,p ）,则E(X)= np,V(X)= np(1-p) 13.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=r}发生为14.二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为p(0<p<1)，即P(A)=p,P( A )=1-p=q.由于试验的独立性，n 次试验中，事件A 在某指 定的k 次发生，而在其余n-k 次不发生的概率为 k n k q p -，又由于在n 次试验()r n rM N MnC C P X r C --==中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()n k q p c k p k n k kn n ,........,2,1,==-则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作()p n B ,~χ练习1.如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y = x 2图像上方的点构成的区域（阴影部分）．在D 内随机取一点，则该点在E 中的概率为A 、 31B ．41C ．32D ．21答案：C2.2011年4月28日，世界园艺博览会（以下简称世园会）在西安顺利开幕，吸引了海内外的大批游客．游客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为31、41，假定他们两人的行动相互不受影响，则暑期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为A ．21B ．127C ．1211D ．32 答案：A3.某堂训练课上，一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为8165,则四次射击中，他命中2次的概率为 A ．814B ．818 C ．278 D ．以上都不对 答案：C4.两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛克”，则“温洛克”与两端距离都大于1m 的概率为 A ．21B ．31C ．41D ．32 答案：B5.如图，一个半径为1的圆形纸片在边长为8的正方形内任意运动，则在该正方形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是 A ．41π- B ．π-4 C ．π-8 D ．π-34答案：B6.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：Ａ、2140Ｂ、1740Ｃ、310Ｄ、7120答案：D 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A 49 ()B 13 ()C 29 ()D 19 答案：选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个。
考点52 独立重复试验与二项分布、正态分布
－
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附： 若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ， σ2)， 则 P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ) ＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2， 0.008≈0.09.
【解析】
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的
概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率 为0.002 6，故X～B(16，0.002 6)． 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.
－
－
21 24 1 P(X＝ 2)＝ C3 ＝
12 ， 125 5 5 1 31 34 0 P(X＝ 3)＝ C3 ＝ . 125 5 5 故 X 的分布列为
X
0
64 P 125
1 48 125
3 1 12 125 125
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^
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利用正态曲线的对称性求概率的方法 (1)解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随 机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要
时，可借助图形判断．
(2)对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知 ①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；
解：(1)A，B，C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率为 P＝P(AB C)＋P(A
－ － －
BC)＋P(A BC)
－
－
－
＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－ 0.5)×(1－0.6)×0.75 ＝0.275.
2007年高考数学(理科)试卷及答案(江苏卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率为：()(1)k kn k n nP k C p p -=- 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是 A ．x y =sin2B ．y=sin2xC ．cos4x y =D ．y=cos4x2．已知全集U=Z ，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x ︱x 2=x ｝，则A ∩C U B 为A ．｛-1，2｝B ．｛-1，0｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y=0，则它的离心率为AB ．2C D ．24．已知两条直线,m n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是 A ．①、③ B ．②、④ C ．①、④ D ．②、③5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-6．设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f （x ）=3x －1，则有A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a 1（x －2）+a 2（x －2）2+a 3（x －2）3，则a 2的值为A ．3B ．6C ．9D ．12 8．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使f （x ）<0的x 的取值范围是A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-∞，0）D ．（-∞，0）∪（1，+∞）9．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的导数为f ′（x ），f ′（0）>0，对于任意实数x 都有f （x ）≥0，则(1)'(0)f f 的最小值为A ． 3B ．52C ．2D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A=｛（x ，y ）︱x+y ≤1且x ≥0，y ≥0｝，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为A ．2B ．1C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高二数学二项分布及其应用试题
高二数学二项分布及其应用试题1.设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品．故P（X=3）=××=，故选C。
【考点】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，判断X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，是解题的关键。
2.设随机变量的概率分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意得：，所以的值为，故选D。
【考点】本题主要考查概率的计算及分布列的性质，考查考生的计算能力。
点评：思路明确，细心计算。
3. 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k-1个红球，第n次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P=，故选C．【考点】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
点评：本题考查独立重复试验，是一个易错题，解题时注意直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k－1个红球，第n次一定是红球，这个地方容易忽略。
4.甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（）A．B．0.24k-1×0.4C．D．【答案】B【解析】∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为，甲先投，则=k表示甲第K次投中篮球，而乙前k－1次没有投中，根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k-1×0.6k-1×0.4=0.24k-1×0.4；故选B．【考点】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式．点评：是一个基础题，本题最大的障碍是理解=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)11.8条件概率与事件的独立性课件 理 新人教B版
【规范解答】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3)，则P(A1)=
4 3 ，P(A2)= ，P(A3)= 2 ， 5 5 5
∴该选手被淘汰的概率
P P A1 A1 A 2 A1A 2 A 3 P A1 P A1 P A 2
X P 0 _______ 1 _________ „ „ k __________ „ „ n ________
C0 p 0 q n n
C1 p1q n 1 n
Ck p k q n k n
Cn p n q 0 n
此时称离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布, X～B(n,p) 记作__________.
1 3 【解析】(1)由题意知，P(AB)＝ ，P(B|A)＝ 2 ， 10 3 P AB 10 3 P A ＝ ＝ ＝ . PB | A 1 5 2
(2)设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又 成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝ 0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝ 0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
(3)设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，包含以下2个互
斥事件， 设B1为事件“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”，
【规范解答】(1)设X为甲击中目标的次数，则：X～B(3， 1 )，
2 故甲恰好击中目标2次的概率为 P X 2 C3 ( )3 .
1 2
3 8
2
(2)设Y为乙击中目标的次数，则：Y～B(3, 2 )，
3
故乙至少击中目标2次的概率为
独立重复试验的概率计算
下 面 的公 式 （４）．
设 ｎ个 事 件 Ａ ，Ａ：，…Ａｎ相 互 独 立 ，且 它 们 的 概 率 都
等 于 Ｐ．则 这 ｎ个 事 件 中 恰 好 有 ｋ个 发 生 的 概 率 为
Ｐ （Ｂ ）＝ｃ２ｖ （１一Ｐ）一 （ｋ＝０，１，…．ｎ）
（４）
由公 式 （４）我们 可 以 推 出 下 面 的 公 式 （ ）．
例 ：某 射 手 射 击 一 发 击 中 目标 的概 率 是 ０．９，求 他 射 击 ４次 恰 好 击 中 ３次 的 概率 ．
【收 稿 日期 ］ ２００７—１１一ｌ６
维普资讯
解 ：设 Ａ 表 示 “射 击 一 发 击 中 目标 ”的 事 件 ．则 Ｐ（Ａ） ＝ ０ ９．射 击 一 次 看 作 一 次 试 验 ，４次 射 击 相 互 之 间 没 有 影 响 ，故 这 ４次 射 击 可 看 成 ４次 独 立 重 复 试 验 ．根 据 公 式 （ ），４次射 击 中 恰好 发生 ３次 的概 率 为
关 键 词 ：独 立 重 复 试 验 ；概 率 ；对 立 事 件 ；互斥 事 件
在 普 通高 校数 学 教 材 《概 率 》中 ，求 ｎ次 独 立 重 复 试 验 中事 件 Ａ恰 好 发 生 ｋ次 的 概 率 是 重 点 内容 之 一 ．对 初 学 者 来 说 ，由于 对 “ｎ次 独立 重 复 试 验 ”这 个 概 念 理 解 不 正 确 ，因 此 会 感 到 困 难 不 能 灵 活 运 用 ，甚 至 造 成 谬 误 ．本 文 拟 对 该 公 式 进行 较 全 面 的 讨 论 和 推 广 ，并 指 出 用 它 解 题 时 应 注 意 的 事项 ，供 读 者 参 考 ．
Ｂｋ＝Ａ１Ａ２… ＡｋＡ ｋ＋ｌ… Ａ ＋Ａ１Ａ２···Ａｋ＋ｌＡｋ＋２… Ａ ＋…
第二章 2.2.3独立重复试验与二项分布
2．2.3独立重复试验与二项分布学习目标1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验1．独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.思考(1)有放回地抽样试验是独立重复试验吗？(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？答案(1)是．有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验．(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1,2，…，n)．知识点二二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．1．有放回地抽样试验是独立重复试验．(√)2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(√)3．对于n次独立重复试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．(×)4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(√)一、独立重复试验的判断例1判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．反思感悟独立重复试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验相互独立，互不影响．(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生．跟踪训练1下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是独立重复试验的是()A．①B．②C．③D．④答案 D解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．二、独立重复试验的概率例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，知射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝⎛⎭⎫341×⎝⎛⎭⎫1－34＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．解 记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 12×23×13＝49，P (B 3)＝38， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16.2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．解 记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 02⎝⎛⎭⎫1－232＝19，P (B 4)＝C 22⎝⎛⎭⎫342＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116. 反思感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解 (1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 P ＝⎝⎛⎭⎫233＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×23＋C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132×23＝6481.三、二项分布的应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 (1)由ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 即P (ξ＝0)＝C 05×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫235＝32243； P (ξ＝1)＝C 15×13×⎝⎛⎭⎫234＝80243； P (ξ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝80243； P (ξ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫232＝40243； P (ξ＝4)＝C 45×⎝⎛⎭⎫134×23＝10243； P (ξ＝5)＝C 55×⎝⎛⎭⎫135＝1243. 故ξ的分布列为(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4， 即P (η＝0)＝⎝⎛⎭⎫230×13＝13； P (η＝1)＝23×13＝29；P (η＝2)＝⎝⎛⎭⎫232×13＝427； P (η＝3)＝⎝⎛⎭⎫233×13＝881； P (η＝4)＝⎝⎛⎭⎫234×13＝16243； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为(3)所求概率为P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0) ＝1－⎝⎛⎭⎫235＝211243.反思感悟 (1)对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解． (2)把一个交通问题抽象为二项分布问题，体现了数学建模的核心素养．跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列． 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列解 由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫34k ·⎝⎛⎭⎫143－k ，k ＝0,1,2,3， 即P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫340×⎝⎛⎭⎫143＝164； P (X ＝1)＝C 13×34×⎝⎛⎭⎫142＝964； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫342×14＝2764； P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫343＝2764. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P164964276427641．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．1．若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝2)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233B.⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133C ．C 25⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133 D ．C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233 答案 D解析 ∵随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233. 2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×14答案 C解析 P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫142×34.3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6] D ．[0.6,1]答案 A解析 由题意知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.4．在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A 至少出现一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为________． 答案 13解析 设事件A 在一次试验中出现的概率为x ，则1－C 04(1－x )4＝6581，解得x ＝13. 5．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.一、选择题1．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A ．0.665 B ．0.008 56 C ．0.918 54 D ．0.991 44答案 D解析 P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 050.10×0.95＋C 150.1×0.94＋C 250.12×0.93＝0.991 44.2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12. 3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.25考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 B解析 设此射手的命中概率为x ，则不能命中的概率为1－x ，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－8081＝181，有(1－x )4＝181，解得x ＝23或x ＝43(舍去)．4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 A解析 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝3×49×13×23＝827，故选A.5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125B ．C 25×⎝⎛⎭⎫125C ．C 35×⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25×C 35×⎝⎛⎭⎫125 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 B解析 如图，由题意可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为P ＝C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝C 25×⎝⎛⎭⎫125.故选B.6．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.2027B.827C.727D.127 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 易知P (ξ＝0)＝C 02(1－p )2＝1－59，∴p ＝13，则P (η≥2)＝C 33p 3＋C 23p 2(1－p )1＝127＋627＝727. 7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A.⎝⎛⎭⎫593×49 B.C 35C 14C 45C.35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 A解析 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为⎝⎛⎭⎫593×49. 二、填空题8．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 0.048 6解析 P ＝C 24×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.9．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为________． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的计算 答案2027解析 实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫232＋23×13×23＋13×23×23＝2027.10．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案625解析 由已知可求得通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，为负数的概率为12.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫121＝625. 三、解答题11．甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列． 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列解 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以ξ的分布列为12.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用解 设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1,2，B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1,2， 则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立， 且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45.(1)至少有1棵成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2) ＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2) ＝1－⎝⎛⎭⎫162⎝⎛⎭⎫152＝899900.(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知， 所求概率为P ＝C 12⎝⎛⎭⎫56⎝⎛⎭⎫16·C 12⎝⎛⎭⎫45⎝⎛⎭⎫15 ＝1036×825＝80900＝445.13．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．已知他前两次连续答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数X 的分布列．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为 500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125(人)． (2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝(40×0.006 5＋60×0.014 0＋80×0.017 0＋100×0.005 0＋120×0.004 3＋140×0.003 2)×20＝78.48.(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )， 则(1－P (A ))2＝19，∴P (A )＝23.学生甲答题个数X 的可能值为3,4,5， 则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝13，P (X ＝4)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫233＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫133＝1027， P (X ＝5)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827. 所以X 的分布列为14.网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． (1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X ＝ξη，求随机变量X 的分布列．考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用解 依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)， 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i(i ＝0,1,2,3,4)．(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为 P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281.(2)易知X 的所有可能取值为0,3,4.P (X ＝0)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230 ＝1681＋181＝1781， P (X ＝3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231 ＝3281＋881＝4081， P (X ＝4)＝P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481. 所以随机变量X 的分布列是。
N次独立重复试验恰有k次发生的概率 人教课标版精品课件
4. 某 人 对 一 目 标 进 行 射 击 ， 每 次 命 中 率 都 是 0.25.若使至少命中1次的概率不少于0.75，至少 应射击几次?
作业
1均要.有为配译备13电,多若员少要若人达干?到员译,每出人密独码立的破概译率密为码0.9的9,概至率少
某射手每次射击击中目标的概率是0.8.
设第 i次射射击击中目标的事件为
Ai (i 1,2,3,10)
(1)恰有5次击中目标的概率 (2)恰有6次击中目标的概率 (3)至少有8次击中目标的概率
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1.练习 P67 1 2 3 作业P53 B3 C7 8
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N次独立重复试验 恰有k次发生的 概率(二)
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
(1)全部成活的概率； (2)全部死亡的概率； (3)恰好成活4棵的概率； (4)至少成活3棵的概率.
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率高考真题教师版
一．填空题（共2小题）1．（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ．2．（2010•湖北）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9．则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 （用数字作答）．二．解答题（共3小题）3．（2016•全国）某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立． （Ⅰ）求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；（Ⅱ）若该同学在10次投篮中恰好命中k 次(0k =，1，2，⋯，10)的概率为k P ，k 为何值时，k P 最大？ 4．（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ． （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； （Ⅱ）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．5．（2011•山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立． （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 1132． 【解答】解：由题意知本题是一个n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率， 正面出现的次数比反面出现的次数多包括 正面出现4次，反面出现2次； 正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的， ∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是2425566611111156111()()()()()2222264646432C C ++=++=故答案为：11322．（2010•湖北）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9．则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 0.9477 （用数字作答）．【解答】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则3314(0.9)(10.9)0.2916P C =⨯-=；若共有4人被治愈，则42(0.9)0.6561P ==， ∴至少有3人被治愈概率120.9477P P P =+=．故答案为：0.9477．二．解答题（共3小题）3．（2016•全国）某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立． （Ⅰ）求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；（Ⅱ）若该同学在10次投篮中恰好命中k 次(0k =，1，2，⋯，10)的概率为k P ，k 为何值时，k P 最大？ 【解答】解：（Ⅰ）该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立． ∴该同学在三次投篮中至少命中2次的概率：00312333131271()()()()444432p C C =-+=． （Ⅱ）该同学在10次投篮中恰好命中k 次(0k =，1，2，⋯，10)的概率为k P ，101011010311()()()3444k k k k k k P C C -+∴==，当k P 最大时，11k k k k P PP P +-⎧⎨⎩，∴1011011010101101101011()3()34411()3()344k k k k k k k k C C C C ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， ∴10!10!3!(10)!(1)!(9)!10!10!3!(10)!(1)!(11)!k k k k k k k k ⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪---⎩，即13(10)3(11)k k k k +-⎧⎨-⎩， 解得293344k， k Z ∈，8k ∴=．故k 为8时，k P 最大．4．（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ． （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； （Ⅱ）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率． 【解答】解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，则1491()11050P C p -=-⨯=∴15p =； （Ⅱ）设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么P （D ）2233111243(1)(1)101010250C =⨯⨯-+-=． 5．（2011•山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立． （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．【解答】解：()I 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5 可以得到D ，E ，F 的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5 红队至少两名队员获胜包括四种情况：DEF ，DEF ，DEF ，DEF ， 这四种情况是互斥的，0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P ∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()II 由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3 (0)0.40.50.50.1P ξ==⨯⨯=．，(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (3)0.60.50.50.15P ξ==⨯⨯=Pξ==---= (2)10.10.350.150.4ξ∴的分布列是。
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N次独立重复试验恰有K次发生的概率
例1变式
甲乙丙三人各射击一次，三人击中目标的概率都是0.6，求其中恰有一人击中目标的概
率和目标被击中的概率。
（0.288）（0.936）
例2变式1
如图，每个开关闭合的概率都为0.7，计算这段时间
内线路正常工作的概率。
0.6811
变式2
如图，每个开关闭合的概率都是0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。
(提示：反向思考较为简单。
（0.847）
3、甲乙两战士向同一目标各射击一次
设A={甲战士射中目标} B={乙战士射中目标}
（1）甲乙两战士同时射中；
（2）甲乙两战士中至少有一人射中；
（3）甲乙两战士中恰有一个射中。
强化训练
1、一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得颜色相同的球的概率是多少？（1/2）
2、从甲乙丙三种零件中各取1件组成某产品所有三零件必须都是正品，所得产品才是合格品，已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5%，求产品的次品率？（结果保留四位有效数字）（0.0969）
3、某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求：
（1）两次都中靶的概率；（0.9801）
（2）至少有一次中靶的概率； (0.9999
（3）至多有一次中靶的概率。
(0.0199
4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率是0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求
（1）求敌机被击中的概率；（0.8）
（2）已知甲乙两炮都击中敌机时，敌机才坠毁，求敌机坠毁的概率。
（0.3）
5、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是2/5，乙厂生产的脱柴油机，每台连续使用不少于10年的概率是3/5，将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用，求下列各事件的概率：
（1） A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）； 6/25
（2） B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年） 4/25
（3） C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年 19/25
6、有4名学生参加体育达标测验，4人各自合格的概率分别是1/3，1/4，1/5，1/6，求以下的概率：
（1）四人中至少有二人合格的概率； 43/180
（2）四人中恰好只有二人合格的概率。
71/360
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