第8章 连续时间信号的频谱分析

f (t )e jt dt
（8-2-1）
1 F ( )e jt d （8-2-2） 2 式（8-2-1）为傅里叶正变换（简称傅里叶变换或傅氏变换） ，可简写为 F ( ) F [ f (t )] ；
则其指数形式傅里叶级数的系数为
1 Fn T

T 2 T 2
1 f (t )e jn t dt T
1
A jn t 22 Ae dt T

1
sin n1
2 A Sa ( n ) 1 T 2 n1 2

式中 Sa ( n1 ) 2

sin n1 n1
1 t T f (t )dt T t 2 t T an f (t ) cos n1tdt T t 2 t T bn f (t ) sin n1tdt T t 若将式（8-1-1）中同频率项加以合并，则式（8-1-1）可改写为
a0
0
（8-1-2） （8-1-3） （8-1-4）
8.1 周期信号的频谱分析
8.1.1 周期信号的傅里叶级数
满足如下狄里赫利条件的周期信号 f (t ) ，可以用三角函数集或复指数函数集的线性组合 来表示，这种线性组合称为傅里叶级数。 狄里赫利条件如下： ①连续或一个周期内只有有限个第一类间断点； ②仅有有限个极值点； ③在一个周期内绝对可值，即 8.1.1.1 三角形式的傅里叶级数 周期为信号 f (t ) 三角形式的傅里叶级数展开式如下
信号的有效带宽 B 与信号时域持续时间 成反比在通信中是一对矛盾。也就是说，为提 高通信链路的传输速率，即要求信号持续时间变短，则需要增大链路带宽；反之，减小链路 带宽，致使信号时域持续时间变长，从而传输速率下降。
8.2 非周期信号的傅里叶变换
当周期信号的周期无限增大后，周期信号转化为非周期信号，信号的频谱相应地由离散 频谱变为连续频谱，幅度谱的谱线高度也趋于零。此时，无法用谱线幅度来分析其频域特性。 不过，尽管谱线幅度趋于零，但不同频率处的谱线幅度仍然具有相对大小的特性。为此，引
解： （1）因 f (t ) 为偶函数，从而： bn 0 ， An an ， Fn
1 an 为实数。 2
（2）又 f (t ) 为奇谐函数，于是：a0 A0 F0 0 ，F2 k A2 k a2 k b2 k 0 （ k 1,2,3, ） 综上得
a0 A0 F0 0 ， bn 0 ， F2 k A2 k a2 k 0 （ k 1,2,3, ）
入傅里叶变换。
8.2.1 傅里叶正变换与反变换
8.2.1.1 定义 非周期信号 f (t ) 的傅里叶变换记为 F ( ) 。 通常称 f (t ) 为 F ( ) 的原函数，F ( ) 为 f (t ) 的 像函数。 F ( ) 和 f (t ) 之间的关系由如下两个式子描述。
F ( ) f (t )
n1 变化的相位谱，如图 8-1-6 所示。此时， n1 可正可负。
由于 Fn F*n ，故双边幅度谱为偶函数，双边相位谱为奇函数。 8.1.2.3 单边频谱与双边频谱的对应关系 对某一信号周期而言，已知其单边频谱，按如下方式易得其双边频谱： （1）双边幅度谱：在 n1 0 时， F0 A0 ，在 n1 0 时， | Fn | （2）双边相位谱：在 n1 0 时 n n ， n n 。 同样，已知周期信号的双边频谱，按如下方式可得其单边频谱： （1）单边幅度谱：在 n1 0 时， A0 F0 ，在 n1 0 时， An 2 | Fn | ； （2）单边相位谱：在 n1 0 时 n n 。 例 8-1-2 画出周期信号 f (t ) 2 2 2 cos t 2 2 sin t 3 cos(2t 边频谱和双边频谱。 解：将 f (t ) 改写成如式（8-1-5）所示余弦函数表示的形式。
称信号，即满足 f (t ) f (t
T ) ， f (t ) 为奇谐函数。譬如，如图 8-1-3 所示信号。 2
此时，a0 A0 F0 0 ，F2 k A2 k a2 k b2 k 0（ k 1,2,3, ） ， 即 f (t ) 仅含有奇次谐波， 而没有偶次谐波。 例 8-1-1 如图 8-1-4 所示信号，试根据信号波形对称性说明其傅里叶系数的特点。
1 An ， | Fn || Fn | ； 2

6
) 2 sin(3t

6
) 的单
f (t ) 2 4 cos(t

4
6 6 5 2 4 cos(t ) 3 cos(2t ) 2 cos(3t ) 4 6 3
) 3 cos(2t
1
频率 n1 、幅度 An 或 | Fn | 、相位 n 或 n 等方面的差异。 为了便于直观地表征周期信号的频域特性，通常把幅度和相位随角频率的分布用图形来 表达。相应的图形分别称为周期信号的幅度频谱图和相位频谱图（简称为幅度谱和相位谱） ， 两者合称为周期信号的频谱图（简称频谱） 。 8.1.2.1 单边频谱 单边频谱是指周期信号 f (t ) 三角形式的傅里叶级数中 An 随 n1 变化的幅度频谱和 n 随

2 ，称 Sa ( x ) sin x 为抽样函数，其波形如图 8-1-10 所示。 x

2
于是，可画出周期矩形脉冲信号的双边频谱，如图 8-1-11 所示。此频谱图表明： （1）
2

为幅度谱的第一个零点，且谐波分量主要集中在 0 ~
2

范围内，故称 B
2

为其有效频带宽度（简称带宽） ； 但影响谱线的疏密和高低。 即 T 增大，1 减小， （2） 周期 T 的大小不影响有效频带宽度， 谱线变密，高度降低。反之， T 减小， 1 增大，谱线变疏，高度增大； （3）脉宽 的大小不影响谱线的疏密，但影响谱线和高低和有效频带宽度。即 增大， 谱线高度增加，有效频带减小。反之， 减小，谱线高度降低，有效频带增大。
n
F e
n

jn1t
（ n 为正整数）
（8-1-7）
其中 Fn | Fn | e j 为傅里叶级数的复系数，可按下式确定。
n
Fn
1 T

t 0 T
t0
f (t1-8） （8-1-9）
F n Fn*
式（8-1-7）表明：满足狄里赫利条件的周期信号可以分解成无穷多项不同频率的复指数 函数的线性组合。显然，指数形式的傅里叶级数比三角形式的傅里叶级数更加紧凑。 事实上，式（8-1-1）或式（8-1-5）和式（8-1-7）可结合如下欧拉公式相互导出。
F0 A0 a0 1 1 Fn ( an jbn ) An e j ( n 0) 2 2 1 2 1 即： | Fn | an bn2 An ， n n 。 2 2
n
（8-1-12） （8-1-13）
8.1.1.3 信号波形的对称性与傅里叶系数的关系 当实信号 f (t ) 的波形具有某种对称性时，其相应的傅里叶级数的系数会呈现一定的特征。 譬如，某些傅里叶级数的系数为零，从而可简化计算。 （1）纵轴对称 若 f (t ) 的波形以纵轴为对称轴，则称为纵轴对称信号，即满足 f (t ) f ( t ) ， f (t ) 为偶 函数。譬如，如图 8-1-1 所示信号。
A2 k 1 a2 k 1 ， F2 k 1
1 a2 k 1 （ k 1,2,3, ） 2
8.1.2 周期信号的频谱
周期信号的傅里叶级数表明周期信号可表示为直流分量和不同频率正弦分量的线性组 合，正弦分量的形式为 An cos(n1t n ) 或 Fn e jn t 。不同周期信号的区别在于分量的数目、角
0
0
0
0
0
f (t ) A0 An cos(n1t n )
n 1

（8-1-5）
式中 A0 为直流分量， An 和 n 分别为 n 次谐波分量的振幅和初相，而且
A0 a0 2 2 An an bn bn n arctan an
t0 T t0
| f (t ) | dt 。
f (t ) a0 ( an cos n1t bn sin n1t )
n 1

（ n 为正整数）
（8-1-1）
其中 1
2 为基波角频率， T 为周期， a0 为直流分量， an 和 bn 分别为余弦谐波分量的 T
振幅和正弦谐波分量的振幅。 a0 、 an 和 bn 亦称为傅里叶系数，可按以下方式确定。
此时， bn 0 ， An an ， Fn
1 an 为实数。 2
（2）原点对称 若 f (t ) 的波形以原点对称， 则称为原点对称信号， 即满足 f (t ) f ( t ) ， f (t ) 为奇函数。 譬如，如图 8-1-2 所示信号。
1 此时， F0 A0 a0 0 ， an 0 ， An bn ， Fn j bn 为纯虚数。 2 （3）半周横轴对称 若 f (t ) 沿时间轴平移半个周期后的波形与原信号的波形以横轴对称，则称为半周横轴对
第 8 章 连续时间信号的频谱分析
如第 2 章所述，信号既具有时域特性，也具有频域特性。连续时间信号的频谱分析即是 将时间变量变换为频率变量的分析方法，其理论工具为傅里叶级数和傅里叶变换。此方法揭 示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的密切关系。 本章介绍连续时间信号的频谱分析，涉及周期信号的频谱分析、非周期信号的傅里叶变 换、傅里叶变换的性质等。
n1 变化的相位频谱，如图 8-1-5 所示。之所以称其为单边频谱，是因为 n1 0 ，即频谱图只