(完整版)高二数学分组与分配问题专题
高中数学排列组合-平均分组分配问题
每班至少一个.由（1）可知共有C62 15种分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个
班、三个班、四个班进行分类，共有
种
分C法61 . 3C62 3C63 C64 126
C61C52C33
2 注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原 理作积 ○ 例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 ○ 不同的分法？
六、非均分组分配对象确定问题
C61C52 C33
例6 六本不同的书按 1∶2∶3分给甲、乙、丙三个 人有多少种不同的分法？
七、非均分组分配对象不固定问题
A33
C61C52C33
○ 例7 六本不同的书分给3 人，1人1本，1人2本,1 人3本有多少种分法
○ 注意：非均分组有分配 对象要把组数当作元素 个数再作排列。
五、当堂训练
01
练习1
C132
C
39 C 36
C
3 3
02
A 12本不同的4书平均分成四组有多少 种不同分法？ 4
练习2
按2∶2∶2∶4分成四 堆有多少种不同的分
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
二、分类组合,隔板处理
例4.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
数学中的分组分配问题
分配中的最优化问题
总结词
分配中的最优化问题是指通过优化分配方式，使得某 个特定的目标函数达到最优值。
详细描述
在分配中的最优化问题中，需要找到一种最优的分配 方式，使得某个特定的目标函数达到最优值。这个目 标函数可以是总和最大、总和最小、平均值最大等。 例如，将一定数量的苹果分给若干个孩子，目标是使 得所有孩子获得的苹果数量之和最大，同时还要满足 每个孩子至少获得一个苹果的条件。这个问题可以通 过引入约束条件和目标函数进行求解。
解决这些冲突需要综合考虑各种因素 ，如资源的可用性、需求的紧迫性、 公平性等，通过协调各方利益，寻找 最优的解决方案。
分组与分配的解决方案
分组与分配问题的解决方案通常 需要运用数学方法和逻辑推理，
如线性规划、整数规划等。
解决方案需要满足一定的条件， 如资源的有限性、需求的合理性 等，同时还需要考虑方案的可行
总结词
固定数量的分配问题是指每个组分得固定数量的物品或资源，目标是使所有组的总和达到最大或最小 。
详细描述
在固定数量的分配问题中，每个组分得的物品或资源数量是固定的，目标是寻找一种分配方式，使得 所有组的总和达到最大或最小。例如，将一定数量的苹果平均分给若干个孩子，使得每个孩子获得的 苹果数量相等。
04
分组与分配的结合问 题
分组与分配的关联性
01
分组与分配在数学中常常是相互 关联的，分组是为了更好地进行 分配，而分配则需要在分组的基 础上进行。
02
分组与分配的关联性体现在它们 的目标上，即通过合理的分组和 分配，使得每个对象都能得到满 足其需求的资源或服务。
分组与分配的冲突与协调
在分组与分配的过程中，可能会出现 各种冲突，如资源不足、需求不均等 问题。
(完整版)分组与分配问题(整理他人所得)
分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
高中数学排列组合-平均分组(分配问题)概要
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61 3C62 3C63 C64 126 种分法.
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完 再用乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有 多少种不同的分法？
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C61C52C33 A33
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三 个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的三组看成是三个元素在三个位 置上作排列
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
=90
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
注意：非均分组有分配对象要把组数当作元素 个数再作排列。
五、当堂训练
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
39 C 36
C
3 3
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四
数学中的分组分配问题
一 二三四五 六 七 班 班班班班 班 班
结论：一般地，将n个相同的元素分成m份，每份
至少1个元素，可以用m-1块隔板插入n个元素排成
一排的n-1个空隙中，所有分发数为
C m-1 n-1
拓展延伸：建模求解排列组合问题
例题：一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈ N*)，记可能的爬行方法总数为 f(m，n)，则 f(m，n)＝ __C_mm_＋_n ___.
引入新课
问题1：将a、b、c、d四件物品平均分给甲、乙两人，
共有多少种分法？
C C 2g 2 6 42
问题2：把a、b、c、d平均分成两组有多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
2 2
C C 4 2 2 3 A2
想一想为什么？
这两个在分组时只能算一个
bc
ad
解 : 对问题2设有x种分法，则有
方法：先分再排法。（1）先将12支笔按3：3： 2：2：2分成五组（2）再将这五组看成是五个 元素在五个位置上作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
变式:将6本不同的书分给3个人，一人4本其余各
A 1本，有多少种分法 C64C21C11 3
A22
3
（五）不平均分组无分配对象的问题
C142AC3384C44
12! 8! 1 5775 4!·8! 4!·4! 3!
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为: CnkCnkkCnk2k Ckk Amm
分组分配问题
结论
1、平均分组问题：
n个不同元素平均分成m组，每组k个元
素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm,
2、平均分配问题：
n个不同元素平均分给m个不同对象，
每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
应用：
1、某校高二年级有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，
二、非平均分组与分配问题
1、非平均分组问题
m m
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
三、部分平均分组与分配问题
1
应用：
A3 3
应用：
四、分组分配与概率的综合问题
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
要安排到该年级的 2 个班里且每班安排 2 名，则不
同的安排方案有多少种？
C 2C 2 42
A2
A2
6
2
2、6 名护士，3 名医生，分成三组，到甲、乙、丙 三村去下乡，每组两名护士，1 名医生，共有多少 种不同的分法？
C2C2C2 C1C1C1
Hale Waihona Puke 6423 21C62C42C22 A33
分组与分配问题的解决方法课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
练习2：将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒 子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中，有___种不同的放法.
先分组，后分配：
C42 C22 A22
A33
18
探究新知
不同元素的分组与分配问题 解题思想：先分组、后分配
(1)完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等. ①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消去重复； ②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可以用分步乘
Cnk
C nk k
C
k n
2k
Amm
C
k k
种
②分配：一般地，把n个元素平均分配给m个目标，每个目标k个元素 （其中n=mk），则不同的分配方法有
C
k n
C nk k
C nk 2k
Ckk 种
课堂练习
练习：（列出式子即可）
1、(1)要把8个人分成4组，每组2人，共有几种分法？ (2) 若分成3组，一组1人，一组3人，一组4人呢？
次，即 A33 次.
问题2：怎么样才能去掉重复的分堆呢？
答：6次只算1次，可以除以 A33 得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，最后的分堆方
法数是
C62 C42 C22 A33
15 种.
归纳总结 题型二：不同元素完全均匀分组/分配问题
①分组：一般地，把n个元素平均分成m组，每组k个元素（其中n=mk）， 则不同的分组方法有
C51C42C21C21 5 6 2 2 120
问题2：从三双不同的鞋中任意取两只鞋，则它们不是一双鞋有多少种取法？
C32C21C21 3 2 2 12
问题3：设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为①，②，③，④，⑤的 五个盒子，现将五个小球投入这五个盒子里，要求每个盒子放一个球，并且恰 好有两个小球的编号与盒子编号相同，问有多少种方法？
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解分组问题【典型例题】例1．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）A ．91B ．101C ．111D ．121【答案】B 【解析】（1）若编号为1222310++++=，则有25220C ⨯=种，（2）若编号为1123310++++=，则有215330C C ⨯=种，（3）若编号为1122410++++=，则有225330C C ⨯=种，（4）若编号为1113410++++=，则有315220C C ⨯=种，（5）若编号为2222210++++=，则有1种，所以不同的指派方法种数为203030201101++++=种．故选：B ．例2．已知有6本不同的书．（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为2226423315 C C C A =． （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为12365360.C C C =分配问题【典型例题】例1．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了,,A B C 三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．【答案】10【解析】由题意可得乙一定参加A 项目，若A 项目只有一个人时，即为乙，则先将甲、丙、丁分为两组，有23C 种， 再将两组分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有2232C A 6⋅=种不同的志愿者选拔方案，若A 项目有2人时，又甲不能参加A 项目，则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A 项目，有12C 种，再将剩下的2人分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有1222C A 4⋅=种不同的志愿者选拔方案，综上，共有6410+=种不同的志愿者选拔方案．故答案为：10．例2．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法【答案】180【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有26C 种选法，第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有14C 种选法，第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有13C 种选法， 所以共有211643C C C 180=种选法．故答案为： 180．例3．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．【答案】150【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有225322C C 15A =种分组方法， 若两组1人，一组3人，有35C 10=种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有33A 6=种情况，则有25×6＝150种安排方法，故答案为：150．。
高二数学最新课件-分配与分堆问题 精品
的问题
方法：明确所属的分配问题可以用 分步计数完成------排列的一种形式
二：没安排所属者的分堆问题
例2：6本不同的书（1）若平均分成三 堆有多少种不同的分法？（2）若按1： 2：3分堆有多少种方法（3）按1：1：1： 3分成四堆有多少种不同的分法？
方法（1）平均分堆问题计算时要在分布
完成的基础上除以组数的全排列m!
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
练习：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按 下列条件，各有多少 种不同的分法？
（1）甲两本，乙、丙各五本； （2）一人两本，另两人各五本·
综合：先分堆（组合）后分配（排列） 的问题
排列组合中的 分配与分堆问题
问题1：
两个排列相同的充要条件是什么？
问题2：
两个组合相同的充要条件是什么？
问题3：已知a,b,c三个元素，如何推导 从3个元素取2个元素的排列数？
一：安排所属者的分配问题
例1：（1）6件不同的艺术品按2：2：2 平均分给甲、乙、丙三个佳宾，有多少 种不同的分法？
（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、 C、D、E五个同学有多少种不同的分法？
（2）元素个数不同的堆之间分只要分布 完成
练习：
1：12件不同的玩具平均分成四组有多 少 种不同分法？ 2：10家不同的商店（1）按3：3：3：4 组成四个公司有多少种不同的方法？
（2）按3：3：3：4分给甲、乙、丙、丁 四个人有多少种不同的分法？
例 3：
有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学， 按下条件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本；
分组分配问题的解法
2 2 2 C6C4 C2 (2) C 1 C 2 C 3 6 5 3 1 2 3 (3) C 6 C5 C3
3 A3
4 (4) C 6 1 (5) A 3
1 C2
1 C1
4 C6
1 C2
1 C1
三、分配问题的变形问题
2、 四个不同的小球放入编号为1，2，3， 4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法 有多少种？
.
• 【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安 排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相 声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻 的排法种数是( ) • A.72 B.120 C.144 D.168
一、基本的分组问题
• 例1 六本不同的书，分为三组，求在下列 条件下各有多少种不同的分配方法？ • (1)每组两本. (2)一组一本，一组二本， 一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
(1) C C C 15 A
2 6 2 4 3 3 2 2
C C C 15 (2)C C C 60 (3 2 2 2
1 1
二、基本的分配的问题
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人求在下条 件下各有多少种不同的分配方法？ （1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙 两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.
2 2 2 2 3 (1)C 6 C 4C 2 90 (2)C1 6C 5C 3 60
C
n 1
一 班
二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
练习题 1、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？ 4
C
9
应用：
涂色问题的常见方法
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、
分组分配问题高中数学全面扫描
分组分配问题问题一:如果把a ，b ，c ，d 四个字母平均分成两组，每组两个字母有多少种不同的分法？问题二：如果把a ，b ，c ，d 四个字母平均分成甲乙两组，每组两个字母有多少种不同的分法？分组问题基本模型：均匀无序 不均匀无序 均匀有序 不均匀有序例题：有六名同学，按下列要求分组，各有多少种？1. 平均分成三组2.平均分成三组，去做三项不同的实验33222426AC C C3333222426A AC C C3.分成三组，每组人数分别为1,2,3332516C C C 由于每组人数不一样，因此不会出现相同的分法，所以不除33A4.分成三组，去做三项不同的实验，每组人数为1,2,3.33332516A C C C5.分成四个组，每组人数为1,1,2,2.222222241516AA C C C C ∙6.分成四个组，做四项不同的工作. 分类：1,1,2,2； 1,1,1,344333314151644222222241516A A CC C C A A A C C C C +∙注：例题1为什么除以33A ?A,B,C,D,E,F 若第一步 取AB,第二步取CD,第三步取EF,记该方法为（AB,CD,EF ）则222426C C C 种分法中还有（AB,EF,CD ）,(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共33A 种情况，仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种分法。
(完整版)高二数学分组与分配问题专题
超越文化培训高二数学寒假专题讲座探讨排列组合中分组与分配问题2017.3分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。
如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。
从而能掌握该节内容。
下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：一、分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
二、分组与分配模型的分类：①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配；④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（k n<）个不同的对象，每个对象至少分配1个元素。
四、例题精选:(一)分组与分配问题的基本模型：例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?（1）平均分成三堆；-----------均匀分组问题（2）平均分给甲、乙、丙3人；-----------均匀分组分配问题（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；-----------非均匀分组问题（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；-----------非均匀分组定向分配（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；--------非均匀分组不定向分配分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有22264233C C CA种。
注意：不同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；（2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。
可先对6本书进行分组，共有分组方法数22264233C C CA种；然后再把三堆书分别分给甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3人的方法数共有2223642333C C CAA•种，即222642C C C种。
高二数学分组分配问题课件 人教版
例3:有4本不同的书,分成三组, 有多少种不同的分法? 变题1:有5本不同的书,分成三 组,其中一组3本,另两组均为1 本,有多少种不同的分法?
变题2:有5本不同的书,分成三组,其 中一组1本,另两组均为2本,有多少 种不同的分法?
变题3:有6本不同的书,分成四组， 其中两组均为1本,有另两组均为2 本,有多少种不同的分法?
本课总结:
(1)平均分组是无序的,各组合数相乘时产生了 顺序,故应消序(除以平均组数的全排列); (2)不平均分组是有序的,不需要消序.
(3)局部平均分组应局部消序.
(4)对于分配问题做到先分组,再分配.
思考:有5个不同的小球放入3个 不同的盒子,没有空盒,有多少种 不同的放法?
感谢各位老师光临指导!
1平均分组是无序的各组合数相乘时产生了顺序故应消序除以平均组数的全排列
分组分配问题
读 数 学 故 事 做 数 学 学 问
例1:有4本不同的书,分成两组,1组 1本,一组3本,有多少种不同的分法.
变题1:有5本不同的书,分成两组,1组本, 一组3本,有多少种不同的分法?
变题2:有6本不同的书,分成三组,1组1本, 一组2本,一组3本,有多少种不同的分法?
例2:有4本不同的书,平均分成两 组,有多少种不同的分法?
变题1:有6本不同的书,平均分成两 组,有多少种不同的分法?
变题2:有6本不同的书,平均分成三 组,有多少种不同的分法?
小结1: (1)平均分组是无序的,各组合数相乘 时产生了顺序,故应消序(除以平均组 数的全排列);
(2)不平均分组是有序的,不需要消序.
小结2:局部平均分组应局部消序.
思考:有7个不同的元素分成三 组,有多少种不同的分法?
例4:有6本不同的书分给甲乙丙三人, 按照下列条件各有多少种分配方法?
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超越文化培训高二数学寒假专题讲座
探讨排列组合中分组与分配问题2017.3
分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。
如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。
从而能掌握该节内容。
下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：
一、分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对
象，称为分
配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k
组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平
均分组、和部分平均分组三种情况。
二、分组与分配模型的分类：
①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配；
④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；
三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（k n
<）个不同的对
象，每个对象至少分配1个元素。
四、例题精选:
(一)分组与分配问题的基本模型：
例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?
（1）平均分成三堆；-----------均匀分组
问题
（2）平均分给甲、乙、丙3人；-----------均匀分组
分配问题
（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；-----------非均匀分
组问题
（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；-----------非均匀分
组定向分配
（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；--------非均匀分组
不定向分配
分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有
222
642
3
3
C C C
A
种。
注意：不
同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；
（2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。
可先对6本书进行分组，共有分组方法数
222
642
3
3
C C C
A
种；然后再把三堆书分别分给
甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3人的
方法数共有
222
3
642
3
3
3
C C C
A
A
•种，即222
642
C C C种。
（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本，这是非均匀分组问题，分组方法数共有123
653
C C C种。
（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本，这是非均分组定向分配问题，先对
6本书进行分组，分成三堆，共有方法数123
653
C C C，然后再进行定向分配，由于甲、乙、丙指定了书堆的个数，因此，甲得1本，乙得2本，丙得3本的方法
数还是123
653
C C C种。
(5) 一人得1本，一人得2本，一人得3本,这是非均匀分组不定向分配问
题，先把6本书分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3 本，分堆方法数共有123
653
C C C；
然后再分给三个人，一人得1本，一人得2本，一人得3本的方法数共有1233
6533
C C C A 种。
小结：
练习：
1、有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从
10人中选派4人承担这三项任务。
则不同的选法种数有多少种?
2、有17个桃子，分成8堆，其中一堆1个，一堆4 个，另外6堆每堆都是2个，有多少
种不同的分堆方法?
(二)分组与分配问题的综合应用：
例2、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有
多少种?
分析：要使一个空盒，必须有一个盒子放2个小球，另外两个盒子各放1个小球；
因此，该题转化为4个不同的小球分成3组，然后将3组小球分别投入到4
个盒子中的任意3个盒子中。
解：第一步：4个小球分成3组的分组方法数共有
211
421
2
2
C C C
A
种；
第二步：再把3组分好的小球投入到4个盒子中的任意3个小盒中，分配方法数共有3
4
A种；
所以，要完成四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，需要
两步骤完成，利用乖法原理，共有方法数
211
3
421
4
2
2
C C C
A
A
种。
变式题：四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，，则愉有2个空盒的放法共有多少种?
例3、有5件不同的奖品发给4位先进工作者，每人至少1 件，有多少种不同的发法?
分析：5件不同的奖品发给4位先进工作者，至少有一位先进工作者要领2件不同的奖品；因此，可以把5件奖品分成4组，每组分别有2件、1件、1件，1件；
然后再把四组奖品分别发给4 个不同的先进工作者。
解：第一步：5件不同的奖品分成4个小组，分组方法数共有
2111
5321
3
3
C C C C
A
种；
第二步：再把4 个小组的奖品分给4 个不同的先进工作者，分配方法数有4
4
A种；
所以，要完成5件不同的奖品发给4位先进工作者，需分两步骤完成，利用乖法原
理，发放奖品的方法数共有
2111
4
5321
4
3
3
C C C C
A
A
•种。
变式题：有5件不同的奖品发给3位先进工作者，每人至少1件，有多少种不同的发放奖品的方法?
练习题：
1、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，有多少种不同的分配方案?
2、2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，
不同的分配方法共有多少种?
3、将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，
且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数有多少种?。