(完整版)高二数学分组与分配问题专题

超越文化培训高二数学寒假专题讲座

探讨排列组合中分组与分配问题2017.3

分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。从而能掌握该节内容。下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：

一、分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对

象，称为分

配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k

组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平

均分组、和部分平均分组三种情况。

二、分组与分配模型的分类：

①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配；

④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；

三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（k n

<）个不同的对

象，每个对象至少分配1个元素。

四、例题精选:

(一)分组与分配问题的基本模型：

例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?

（1）平均分成三堆；-----------均匀分组

问题

（2）平均分给甲、乙、丙3人；-----------均匀分组

分配问题

（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；-----------非均匀分

组问题

（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；-----------非均匀分

组定向分配

（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；--------非均匀分组

不定向分配

分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有

222

642

3

3

C C C

A

种。注意：不

同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；

（2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。

可先对6本书进行分组，共有分组方法数

222

642

3

3

C C C

A

种；然后再把三堆书分别分给

甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3人的

方法数共有

222

3

642

3

3

3

C C C

A

A

•种，即222

642

C C C种。

（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本，这是非均匀分组问题，分组方法数共有123

653

C C C种。

（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本，这是非均分组定向分配问题，先对

6本书进行分组，分成三堆，共有方法数123

653

C C C，然后再进行定向分配，由于甲、乙、丙指定了书堆的个数，因此，甲得1本，乙得2本，丙得3本的方法

数还是123

653

C C C种。

(5) 一人得1本，一人得2本，一人得3本,这是非均匀分组不定向分配问

题，先把6本书分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3 本，分堆方法数共有123

653

C C C；

然后再分给三个人，一人得1本，一人得2本，一人得3本的方法数共有1233

6533

C C C A 种。

小结：

练习：

1、有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从

10人中选派4人承担这三项任务。则不同的选法种数有多少种?

2、有17个桃子，分成8堆，其中一堆1个，一堆4 个，另外6堆每堆都是2个，有多少

种不同的分堆方法?

(二)分组与分配问题的综合应用：

例2、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有

多少种?

分析：要使一个空盒，必须有一个盒子放2个小球，另外两个盒子各放1个小球；

因此，该题转化为4个不同的小球分成3组，然后将3组小球分别投入到4

个盒子中的任意3个盒子中。

解：第一步：4个小球分成3组的分组方法数共有

211

421

2

2

C C C

A

种；

第二步：再把3组分好的小球投入到4个盒子中的任意3个小盒中，分配方法数共有3

4

A种；

所以，要完成四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，需要

两步骤完成，利用乖法原理，共有方法数

211

3

421

4

2

2

C C C

A

A

种。

变式题：四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，，则愉有2个空盒的放法共有多少种?

例3、有5件不同的奖品发给4位先进工作者，每人至少1 件，有多少种不同的发法?

分析：5件不同的奖品发给4位先进工作者，至少有一位先进工作者要领2件不同的奖品；因此，可以把5件奖品分成4组，每组分别有2件、1件、1件，1件；

然后再把四组奖品分别发给4 个不同的先进工作者。

解：第一步：5件不同的奖品分成4个小组，分组方法数共有

2111

5321

3

3

C C C C

A

种；

第二步：再把4 个小组的奖品分给4 个不同的先进工作者，分配方法数有4

4

A种；

所以，要完成5件不同的奖品发给4位先进工作者，需分两步骤完成，利用乖法原

理，发放奖品的方法数共有

2111

4

5321

4

3

3

C C C C

A

A

•种。

变式题：有5件不同的奖品发给3位先进工作者，每人至少1件，有多少种不同的发放奖品的方法?

练习题：

1、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，有多少种不同的分配方案?

2、2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，

不同的分配方法共有多少种?

3、将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，

且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数有多少种?