概率问题—递推数列(精华)

一、a n =p ·a n －1+q 型

【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合

1

2起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率

13233

5是，记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。 2

5

(1)求：P 2；

(2)求证：P n < (n ≥2) ；

1

2(3)求。

lim n n P →∞

解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P 2=P 1·+(1－P 1)·=。

13357

15

(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后出现绿灯的情况，有 P n =P n －1·+(1－P n －1)·=－P n －1+，

13354153

5再利用待定系数法：令P n +x =－

(P n －1+x )整理可得x =－ 4159

19

∴{P n －

}为首项为(P 1－)、公比为(－)的等比数列 9199194

15

P n －

=(P 1－)(－)n －1=(－)n －1，P n =+(－)n －1 9199194151384159191384

15

∴当n ≥2时，P n <+=

91913812(3)由(2)得=。

lim n n P →∞9

19

【例2】 A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，

(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率. 解析：第n 次由A 掷有两种情况：

① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为

P n －1； 12

36

② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为(1－)(1－P n －1)。 12

36

∵两种情形是互斥的

概率问题——递推数列

∴P n =P n －1+(1－)(1－P n －1)(n ≥2)，即P n =－P n －1+(n ≥2)

12361236132

3∴P n －=－(P n －1－)，(n ≥2)，又P 1=1

12131

2

∴{P n －}是以为首项，－为公比的等比数列。

12121

3∴P n －=(－)n －1，即P n =+(－)n －1。

12121312121

3⑵。 2881

二、a n +1=p ·a n +f (n )型

【例3】 (传球问题)A 、B 、C 、D 4人互相传球，由A 开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A 手中，则不同的传球方式有多少种？若有n 个人相互传球k 次后又回到发球人A 手中的不同传球方式有多少种？

分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模型则可深入问题本质。

4人传球时，传球k 次共有3k 种传法。设第k 次将球传给A 的方法数共有a k (k ∈N *)种传法，则不传给A 的有3k －a k 种，故a 1=0，且不传给A 的下次均可传给A ，即

a k +1=3k －a k 。两边同除以

3k +1得

=－·+， a k +13k +113a k 3k 1

3

令b k =，则b 1=0，b k +1－=－(b k －)，则b k －=－(－)k －1

a k 3k 14131414141

3∴a k =+(－1)k

3k 43

4当k =5时，a 5=60.

当人数为n 时，分别用n －1，n 取代3，4时，可得a k = + (－1)k 。

(n －1)k n n －1

n

【例4】 (环形区域染色问题)将一个圆环分成n (n ∈N *，n ≥3)个区域，用m (m ≥3)种颜色给这n 个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？

分析：设a n 表示n 个区域染色的方案数，则1区有m 种染法，2区有m －1种染法，3，……，n －1，n 区各有m －

1种染色方法，依乘法原理共有m (m －1)n －1种染法，但是，这些染中包含了n 区可能和1区染上相同的颜色。而n 区与1区相同时，就是n －1个区域涂上m 种颜色合乎条件的方法。

∴a n =m (m －1)n －1－a n －1，且a 3=m (m －1)(m －2) a n －(m －1)n =－[a n －1－(m －1)n －1] a n －(m －1)n =[a 3－(m －1)3](－1)n －3 ∴a n

=(m －1)n +(m －1)(－1)n (n ≥3)

用这个结论解：2003年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4

种

不同颜色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有 种。

只需将图变形为圆环形，1区有4种栽法。不同的栽法数为 N =4a 5=120。 三、a n +1=a n ·f (n )型

【例5】 (结草成环问题)现有n (n ∈N *)根草，共有2n 个草头，现将2n 个草头平均分成n 组，每两个草头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数。

分析：将2n 个草头平均分成n 组，每两个草头打结，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m 2=a n 。

将草头编号为1，2，3，……，2n －1，2n 。

草头1可以和新草头3，4，5，……，2n －1，2n 共2n －2个新草头相连，如右图所示。 假设1和3相连，则与余下共n －1条相连能成圆环的方法数为a n －1。 ∴a n =(2n －2)a n －1，(n ≥2，n ∈N *)，a 1=1，得

=2n －2

a n a n －1

a n =··……··a 1=(2n －2)(2n －4)……2×1=2n －1(n －1)! a n a n －1a n －1a n －2a 2

a

1变式游戏：某人手中握有2n (n ∈N *)根草，只露出两端的各自2n 个草头，现将两端的2n 个草头各自随机平均分成n 组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率。

分析：两端的2n 个草头随机两个相连不同的方法数为N =()2

CC……C n !能够构成圆环的连接方法分两步：

第一步，先将一端的2n 个草头平均分成n 组，每两根连接起来，得到n 组草，认为得到n 根“新草”，连接方法数m 1=。

CC……C

n !第二步，将另一端的2n 个草头平均分成n 组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m 2=2n －1(n －1)!。 ∴所求的概率P n ==

m 1m 2N (n －1)!n!22n －1

(2n )!

变式：(06 江苏) 右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是(D )

（A ）

（B ） （C ） （D ） 4451364158

15

四、a n +1=p ·a n +q ·a n －1型

【例6】 某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站.一

1

2枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k 到k +1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从k 到k +2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为P n .

4……

62n -1

2n