反常积分法收敛判别法

f (x) ≥ 0 ， K 是正常数。
⑴
若
f
(x)
≤
K xp
，且
p
> 1，则
+∞
∫a
f
(x)dx
收敛；
⑵
若
f
(x)
≥
K xp
，且
p
≤ 1，则
+∞
∫a
f
(x)dx
发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[a, + ∞) ⊂ (0, + ∞) 上恒有
f (x) ≥ 0 ，且
lim x p f (x) = l ，
ϕ(x) ≥ 0 ，且
lim f (x) = l ，
x→+∞ ϕ (x)
则
⑴
若
0
≤
l
<
+∞
，则
∫ +∞ϕ(x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛；
⑵
若
0
<
l
≤
+∞
，则
∫ +∞ϕ(x)dx a
发散时
+∞
∫a
f
( x)dx
也发散。
所以，当
0
<
l
<
+∞
∫ 时， +∞ϕ(x)dx a
和
+∞
∫a
f
( x)dx
−1
解 因为
3 x4
lim
=1
x→+∞ 3 x 4 + 3x3 + 5x 2 + 2x − 1
由于
∫ +∞ 1
3
1 x4
dx
收敛，所以
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
+ 2x −1
dx 收敛。
将定理 8.2.2 中的 ϕ(x) 取为 1 ，就得到如下的 Cauchy 判别法：
xp
定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[a, + ∞) ⊂ (0, + ∞) 上恒有
x→+∞ ϕ (x)
f (x)
ϕ ( x)
>
l′
，
其中 0 < l′ < l （当 l = +∞ 时， l′可取任意正数）即
f (x) > l′ϕ(x) 。
于是，由比较判别法，当
∫ +∞ ϕ a
( x)dx
发散时
+∞
∫a
f
( x)dx
也发散。
例 8.2.2
讨论
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
0 ，由于
∫ +∞
|
a
f
(x)
| dx
收敛，所以存在
A0
≥
a
，使
得对任意 A, A′ ≥ A0 ，成立
∫ A′ |
f
(x) |
dx
<
ε
。
A
利用定积分的性质，得到
∫ ∫ A′
f (x)dx ≤
A′
|
f
( x)|
dx
<ε
，
A
A
由
Cauchy
收敛原理，可知
+∞
∫a
f
(x)dx
收敛。
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件， 但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。
| dx
收敛，则称
+∞
∫a
f
( x)dx
绝对收敛（或称
f
(x) 在 [a,+∞)
上绝对
可积）。
若
+∞
∫a
f
( x)dx
收敛而非绝对收敛，则称
+∞
∫a
f
( x)dx
条件收敛（或称
f (x) 在[a,+∞) 上条件可积）。
推论
若反常积分
+∞
∫a
f
( x)dx
绝对收敛，则它一定收敛。
证对任意给定的 ε
>
绝
∫ 对收敛，所以 +∞ cos 2x sin x dx 收敛。
1
x3 + a2
注意：在以上定理中，条件“在[a, + ∞) 上恒有 0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x) ”， 可以放宽为“存在 A ≥ a ，在[A,+ ∞) 上恒有 0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x) ”。
推论（比较判别法的极限形式）设在 [a, +∞) 上恒Baidu Nhomakorabea f (x) ≥ 0 和
证 ⑴ 若 lim f (x) = l < +∞ ，则存在常数 A ≥ a ，当 x ≥ A 时成立
x→+∞ ϕ (x)
f (x) < l +1，
ϕ(x)
即
f (x) < (l + 1)ϕ(x) 。
于是，由比较判别法，当
∫ +∞ϕ(x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛。
⑵ 若 lim f (x) = l > 0 ，存在常数 A ≥ a ，使得当 x ≥ A 时成立
§2 反常积分的收敛判别法
反常积分的 Cauchy 收敛原理
下面以
+∞
∫a
f
( x)dx
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
+∞
∫a
f
( x)dx
收敛即为极限
lim
A→+∞
A
∫a
f
( x)dx
存在，因此对
其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以
表述为如下形式：
§2 反常积分的收敛判别法
+ 2x
dx 的敛散性。
−1
解 因为
3 x4
lim
=1
x→+∞ 3 x 4 + 3x3 + 5x 2 + 2x − 1
由于
∫ +∞ 1
3
1 x4
dx
收敛，所以
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
+ 2x −1
dx 收敛。
例 8.2.2
讨论
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
+ 2x
dx 的敛散性。
反常积分的 Cauchy 收敛原理
下面以
+∞
∫a
f
( x)dx
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
+∞
∫a
f
( x)dx
收敛即为极限
lim
A→+∞
A
∫a
f
( x)dx
存在，因此对
其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以
表述为如下形式：
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理）
反常积分
∫ +∞ a
f
( x )dx
收敛的充
分必要条件是：对任意给定的 ε > 0 ，存在 A0 ≥ a ，使得对任意 A, A′ ≥ A0 ，
有
∫ A′ f (x)dx < ε 。 A
定义 8.2.1 设 f (x) 在任意有限区间 [a, A] ⊂ [a,+∞) 上可积，且
∫ +∞
|
a
f
(x)
也发散。
例 8.2.1
讨论
+∞
∫1
cos 2 x3
x sin + a2
x
dx
的敛散性（
a
是常数）。
解 因为当 x ≥ 1时有
cos 2x sin x ≤ 1 ，
x3 + a2 x x
在例
8.1.2
中，已知
∫ +∞ 1
x
1 x
dx
收敛，由比较判别法，∫1+∞
cos 2x sin x x3 + a2
dx
x→+∞
则
⑴
若
0
≤
l
<
+∞
，且
p
>
1 ，则
+∞
我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。
非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a, +∞) 上恒有 0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x) ，其
中 K 是正常数。则
（1） 当
∫ +∞ϕ (x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛；
（2） 当
+∞
∫a
f
( x)dx
发散时
∫ +∞ϕ (x)dx a
同时收敛或同时发散。
证 ⑴ 若 lim f (x) = l < +∞ ，则存在常数 A ≥ a ，当 x ≥ A 时成立
x→+∞ ϕ (x)
f (x) < l +1，
ϕ(x)
即
f (x) < (l + 1)ϕ(x) 。
于是，由比较判别法，当
∫ +∞ϕ(x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛。