第3章 应力分析基础

σ1>σ2=0>σ3
σ1=-σ3,=σ2=0
The geologic tensor sign convention for the stress components
构造应力场
：由构造作用形成的应力场，又 称地应力场。
。
非构造应力场：由非构造作用形成的应力场。 均匀应力场：各点应力状态相同的应力场
In an open water system all pores are in communication. In absence of tectonic stress, the depth evolution of pore pressure (σp), geostatic pressure (σg), and vertical effective pressure can be represented by a cross-plot depth / vertical pressure.
关键点：
1. 静水应力引起物体的体积变化，偏应力导致物体的形状变化。 2. 静水应力状态下偏应力为零。
应力摩尔圆（Mohr diagram）
斜截面上的应力分量
2
θ

B
1
1
t
2
1
Aθcosθ
O
θ
Aθsinθ
A
2
垂直于AB截面的作用力
∑Fθ = 0
B
θ
tห้องสมุดไป่ตู้
1Aθ cosθ cosθ + 2Aθsinθ sinθ - Aθ = 0
徐海军 地球科学学院
构造变形源于力的作用，
应力分析、应变分析和
岩石力学性质是研究岩
石受力变形的基础。

强作用力：强作用力是最大的力，短程力，强作用可视为 带强作用力的 “ 色荷 ”( 如同电磁力之电荷 ) 之产生。色荷分 Ｒ(red)，Ｇ(green)，Ｂ(blue)。
电磁力 &弱作用力：电荷的改变产生了电磁力，而〞色荷 〞则产生了强作用力，轻子(lepton)没有〞颜色〞，所以它 们不会参与强作用力；微中子 (neutrino)没有电荷，所以它 不会经验到电磁力，但是它们都有弱交互作用。有两种： 是由Ｗ或Ｚ做mediator的作用。 重力：重力场的量子称为graviton，它的静止质量要如同同 样是长程力(long range force)的电磁场的光子一样为零。它 的自旋(spin)必为２，因为宇宙中没有负的重力质量。
σ
Geometry of three-dimensional stress on a Mohr diagram
几种三维应力状态的摩尔圆
τ
单轴压应力
τ
静水压力
τ
三轴压应力
σ σ1 σ1>σ2=σ3=0 τ
双轴压应力
σ
σ
σ1=σ2=σ3>0 τ
平面应力
σ1>σ2>σ3>0 τ
纯剪应力
σ
σ
σ
σ1>σ2>σ3=0
In absence of tectonic stresses, the presence of overpressure zones reduces the effective vertical pressure, in which are represented the evolution, in depth, of: (a) Pore Pressure, (b) Geostatic Pressure, (c) Vertical Effective Pressure, (d) Transition Zone and (e) Top of Overpressure Zone.
1
2θ = 1cos2 θ + sin 2 θ
O + ) / 2+ ( A = ( cos2θ sinθ 1 2 1-θ 2) / 2×A
Aθcosθ
2
平行于AB截面的作用力
∑Ft =0
B
1Aθcosθsinθ - 2Aθsinθcosθ - τAθ = 0
1
τ = 1cosθsinθ - 2sinθcosθ θ
P(σθ, τθ)
2θ σθ
0
σ2
σ1
σ
应力摩尔圆的物理意义
当=0时 θ=1 当θ =90时 θ = 2 当θ =45时 θ = (1-2) / 2 (最大值) θ = 0 θ = 0
τ
τmax τθ
P(σθ, τθ)
2θ σθ
0
σ2
σ1
σ
Using the Mohr diagram to plot the stress at a point
σ1
σ2 σ3

当物体内一点主应力性质相同， 大小不同, 即σ1>σ2>σ3时, 可以取 三个主应力的矢量为半径 , 作一 个椭球体, 该椭球体代表作用于 该点的全应力状态, 称为应力椭 球体，其中长轴代表最大主应力 σ1, 短轴代表最小主应力σ3, 中间 轴代表中间主应力σ2。
沿椭球体三个主应力平面切割椭 球体, 可得三个椭圆, 叫应力椭圆, 每一个应力椭圆中有两个主应力, 代表二维应力状态。
A 应力等值线图；B 主应力轨迹图；C 剪应力轨迹图
均匀应力场
非均匀应力场
由于岩块或地块内部的局部不均匀性和不连续性等， 可造成应力场的局部变化．即称为应力场的扰动。
• 圆孔附近的应力场扰动 • 断裂尖端的应力场扰动
A.圆孔孔壁切向正应力的分布(引自王仁等，1979); B.四个特殊点的切向正应力矢量(引目Means, 1976)
x yx zx
xy y zy
xz yz z
如果包含物体中某点的单元
体的三个正交截面上只有正 应力的作用, 而无剪应力的 作用，则这六个面上的正应 力叫做主应力。分别以σ1、 σ2、σ3来表示，并在数值上 保持σ1≥σ2≥σ3。主应力的 方向称为该点的应力主方向。 主应力所作用的截面称为主 应力面或主平面。

正应力: 垂直于截面dF上的应力 σ =dN/dF 规定：压应力为正, 拉应力为负。

剪应力: 平行于截面dF 上的应力 τ=dT/dF
旧计算单位用巴（bar）和千巴（kb）
1Pa＝10－5bar＝0.9869×10－5 1kb＝1000bar
新计量单位一律用帕斯卡（Pa），兆帕斯卡
非均匀应力场：各点应力状态不相同的应力场 定常应力场：不随时间变化的应力场。 非定常应力场：随时间而变化的应力场。
。
一般地，用地质体（物体）内各点的主应力
1、2、3，或最大或最小剪应力的大小和 方位来表示其应力场的状态和特征。
依次沿相邻的各点的主应力或剪应力方向连
接得到的轨迹线称为应力轨迹线，它定性表 示某个地质体（物体）内的应力分布状态； 主应力或剪应力应力等值线图定量地表示地 质体内各点的应力分布及变化特点。
应力场变化与地震发 生的可能性
汶川地震与青藏高原
Royden LH 2008, Science
Scientific information on the Mw7.0, January 12, 2010 earthquake in Haiti and its geophysical context
1 2 3
3
以S值表示S=（σ1＋σ2＋σ3 ）/3（即平均应 力）；另一个应力状态为主应力 1'' , 2'' , 3'' ,分 '' '' '' S 别为 1 ， 2 2 S ， 3 3 S 。 1 前者称为各向等应力状态，而且当S>0(表示压缩)， 称为各向等压应力状态，后者为偏应力状态。
1 σ m (σ1 σ 2 σ 3 ) 3
偏应力
偏应力是指偏离静压应力系统并引起变形部分的 应力系统。例如，考虑物体内某点的应力状态， 并用主应力σ1，σ2，σ3来表达。这个应力状态 可以看作是由两个应力状态的同时作用，其中一 个应力状态的主应力σ1’，σ2’，σ3’为
' ' 1' 2 3
Representation of the state of three-dimensional stress at a point
任何应力状态，不论是二维的或三维的，都
由平均应力与应力偏量（或称偏应力）组成。
对于二 / 三维应力状态，平均应力（ σm ）就
是主应力的平均值。
1 σ m (σ1 σ 3 ) 2
（MPa）和千兆帕斯卡（GPa）
1MPa＝10bar 1kb＝100MPa 1GPa＝1000MPa＝10kb
Structure of the Earth’s interior
crust
660km (24GPa)
mantle
Vs
Vp
2900km (136GPa)
core
6400km (364GPa)
(24 GPa )
(136 GPa)
(364 GPa)
应力矢量（Ｐ）是与截 面联系在一起的．通过 地壳岩石中的任何一点 （m），可作出无数个 截面，因而存在无数个 应力矢量．故地块中某 一点的应力状态是不能 用一个简单的矢量来表 示的．
Force, traction, and surface stress
Seismotectonic context of the Caribbean plate. Seismicity from the USGS/NEIC database (1974-Present).
Transferring stress components from a diagram of physical space to a Mohr diagram
Planes of maximum shear stress
三维空间上的应力分析和应力莫尔圆
τ
σ2 σ3 σ3 σ1 σ1 σ3 σ2 σ2 σ1 图中阴影部分内的任一点的 横坐标和纵坐标代表了三维空间 中某截面上的正应力和剪应力。

应力：作用于单位面积上 的内力（附加内力），应 力也被认为内力在面积上 分布集度（内力集度）。
应力可以理解为一种趋向 于使某一种物体发生变形 的 作 用 （ Jaeger and Cook,1976 ）。在固体力学 中，必须用面力的分布强 度来描述这种作用的分布 情况。


在物体内任意选取一个与外力作用 方向不相垂直的小截面dF, 作用于截 面dF上的附加内力为dP 。根据平行 四边形法则, 可将内力dP 分解为垂 直于截面dF 的分力dN , 及平行于截 面dF 的分力dT. 合应力: σf=dP/dF


又称接触力，它是作用 于介质表面并使介质相 邻部分相互作用的力。
当物体受到外力作用（即 受到载荷作用）时，所引 起的物体内部质点之间相 互作用的力，称为内力， 又称为附加内力。
面力
内力
力 力 Force
体力
又称非接触力，它是弥 漫在物质中的作用力， 如重力、惯性力。
外力
研究对象以外的物体对 被 研 究 物 体施 加 的 作用 力称为外力。
O = ( 1 -2) / 2×sin2θ Aθsinθ A
Aθcosθ
2
应力摩尔圆
由上述两式平方和 得到：
τ
τmax τθ
[- (1+2) / 2 ]2 + 2 = [(1-2) / 2]2
该式表示以为横坐标轴和 为纵坐标的直角坐标系中的 一个圆的方程式，这个圆称 为应力莫尔圆。

三轴应力状态:三个主应力均不为零的状态,
这是自然界最普遍的一种应力状态.
双轴应力状态:一个主应力的值为零,
另外两
个主应力的值不为零的应力状态.
单轴应力状态:其中只有一个主应力的值不
为零, 另外两个主应力的值都等于零的应力 状态.
Representation of the state of two-dimensional stress at a point