第六章 近独立粒子及其最概然分布
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热力学与统计物理学的研究方法
（热力学）
宏观理论
热现象 宏观量
微观理论
（统计物理学） 热现象 微观量
研究对象 物 理 量
出 发 点 方 法
优 点
观察和实验 总结归纳 逻辑推理
普遍，可靠 不深刻
微观粒子 统计平均方法 力学规律
揭露本质
缺 点
二者关系
无法自我验证
热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热 力学本质
x y z
2 m
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6.1
粒子运动状态的经典描述
三、常用粒子的空间及相体积：
2、对于一维自由粒子：（自由度为1）
px px
在μ空间中描述一维自由粒 子的方法：
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第六章
近独立粒子及其最概然分布
6.1、粒子运动状态的经典描述 6.2、粒子运动状态的量子描述 6.3、系统微观运动状态的描述 6.4、等概率原理 6.5、分布和微观状态 6.6、玻耳兹曼分布 6.7、玻色分布和费米分布 6.8、三种分布的关系
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6.1
结论：确定了系统的r个广义坐标和r个广义动量，就确定了体系的运动状态。
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6.1 二、 空间
粒子运动状态的经典描述
把遵从经典力学规律的粒子看作是具有r个自由度的力学体系时，近独 立粒子的运动状态由粒子r个广义坐标和r个广义动量确定----构成一个 2r维抽象空间，称为空间，也称为粒子相空间。 μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为 代表点（或相点）。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空 间中移动，描画出一条轨迹，称为相轨迹。 ①、相点是一个粒子运动状态，而不是粒子，粒子只能在真实空间运动。 ②、任何粒子总可以找到与其对应的空间，不同自由度的粒子不能用同一 空间描述状态。 ③、若粒子受 i E 的限制，粒子状态只能在能量曲面内，称为相体积。 H H ，q ④、 空间中相轨道不相交，因为在物理问题中 P 是单 q p 值函数。
i i i i
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6.1
粒子运动状态的经典描述
三、常用粒子的空间及相体积： 1、三维自由粒子：自由度：3；μ空间维数：6
广义坐标： q1 x，q2 y，q3 z ，p2 py my ，p3 pz mz 广义动量： p1 px mx
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热力学与统计物理学的研究方法
动力学规律: 确定性的理论. 在一定的初始条件下,某一时刻系统必然处于一定状态.
统计规律: 非确定性的理论. 由于宏观系统中粒子数的巨大和粒子相互作用的随即性,无法跟踪单个 粒子进行研究,也使得系统整体具有了不能归结为单个粒子行为简单叠 加的新性质和新规律,即统计性质和统计规律.
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热力学与统计物理学的研究方法
伽尔顿板实验
统计规律性的特点 (1)对大量随机事件整体起作用,对 少量粒子组成的系统失去意义. (2)在一定的宏观条件下,某一时刻 系统处在哪一个微观态是偶然的, 但处于某一微观态的概率是确定 的.改变宏观条件,不仅微观态发 生变化,而且系统处在一微观态的 概率也随之改变. (3)统计规律永远伴随着涨落. (4)宏观系统的演化是不可逆的,过 去和将来不等价, 即统计规律性 对时间反演是不对称的.
空间：6维抽象空间，相体积元: dxdydzdp x dpy dpz
1 2 2 0 ~ , ( 即： ( px py p z2 ) ) 相体积：粒子在体积V内运动，能量介于 2m
所以粒子在μ空间能达到的相体积为：
3 4 dxdydz dpx dpy dpz V dpx dpy dpz V 2m 2 3 V 0 p2 p2 p2
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第六章
三、本章研究的系统：
近独立粒子及其最概然分布
近独立粒子组成的系统①粒子：分子、原子、离子、电子、光子等。②近 独立：粒子间有相互作用，但可忽略不计。 四、最概然分布
1、分布：指系统中粒子在能级上的填布情况。 2、最概然分布：也称最可几分布，是概率最大的一种分布。 3、体系有多种不同分布，可以证明，最概然分布出现的概率比其余各 种所有可能分布的概率之和好要大得多，因此，体系绝大部分时间处于 这种分布。故可用最概然分布代替体系处于平衡态式的分布。 4、意义：求得最概然分布以后，可求得体系的统计平衡性质。
③写出系统的哈密顿量
Pi L i q
i L, H H q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr H Pi q
ii
只有保守力时，哈密顿量就是系统的总能量。 ④研究运动：运动规律有正则方程确定
H H ，q i P i qi pi
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Fra Baidu bibliotek
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第六章
近独立粒子及其最概然分布
概 论
一、统计物理的基本观点和方法
1、基本观点：①宏观物体是由大量微观粒子组成的。②物质的宏观热 性质是由大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观量的 统计平均值。 2、方法：深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用 出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。 二、任何统计理论要涉及解决的三个问题 1、研究对象是什么-------引入何种假设、模型，如何描述其研究对象的 运动状态（力学、几何） 2、如何求出概率分布-------这是核心。 3、如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8章作准备，研究解决前两个问题。
粒子运动状态的经典描述
一、粒子运动状态的经典描述 若粒子（系统）有r个自由度，则研究方法分为以下几步为: q1 , q2 , qr ①确定描述系统力学运动状态的r个广义坐标： ②写出系统的拉氏函数: L E K - U
E K＝E（ ; U＝U（q1 , q2 ,qr） K q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr） p1 , p2 , pr为与r个广义坐标q1 , q2 ,qr 相对应的r个广义动量。
（热力学）
宏观理论
热现象 宏观量
微观理论
（统计物理学） 热现象 微观量
研究对象 物 理 量
出 发 点 方 法
优 点
观察和实验 总结归纳 逻辑推理
普遍，可靠 不深刻
微观粒子 统计平均方法 力学规律
揭露本质
缺 点
二者关系
无法自我验证
热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热 力学本质
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粒子运动状态的经典描述
三、常用粒子的空间及相体积：
2、对于一维自由粒子：（自由度为1）
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在μ空间中描述一维自由粒 子的方法：
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第六章
近独立粒子及其最概然分布
6.1、粒子运动状态的经典描述 6.2、粒子运动状态的量子描述 6.3、系统微观运动状态的描述 6.4、等概率原理 6.5、分布和微观状态 6.6、玻耳兹曼分布 6.7、玻色分布和费米分布 6.8、三种分布的关系
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结论：确定了系统的r个广义坐标和r个广义动量，就确定了体系的运动状态。
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6.1 二、 空间
粒子运动状态的经典描述
把遵从经典力学规律的粒子看作是具有r个自由度的力学体系时，近独 立粒子的运动状态由粒子r个广义坐标和r个广义动量确定----构成一个 2r维抽象空间，称为空间，也称为粒子相空间。 μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为 代表点（或相点）。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空 间中移动，描画出一条轨迹，称为相轨迹。 ①、相点是一个粒子运动状态，而不是粒子，粒子只能在真实空间运动。 ②、任何粒子总可以找到与其对应的空间，不同自由度的粒子不能用同一 空间描述状态。 ③、若粒子受 i E 的限制，粒子状态只能在能量曲面内，称为相体积。 H H ，q ④、 空间中相轨道不相交，因为在物理问题中 P 是单 q p 值函数。
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粒子运动状态的经典描述
三、常用粒子的空间及相体积： 1、三维自由粒子：自由度：3；μ空间维数：6
广义坐标： q1 x，q2 y，q3 z ，p2 py my ，p3 pz mz 广义动量： p1 px mx
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热力学与统计物理学的研究方法
动力学规律: 确定性的理论. 在一定的初始条件下,某一时刻系统必然处于一定状态.
统计规律: 非确定性的理论. 由于宏观系统中粒子数的巨大和粒子相互作用的随即性,无法跟踪单个 粒子进行研究,也使得系统整体具有了不能归结为单个粒子行为简单叠 加的新性质和新规律,即统计性质和统计规律.
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伽尔顿板实验
统计规律性的特点 (1)对大量随机事件整体起作用,对 少量粒子组成的系统失去意义. (2)在一定的宏观条件下,某一时刻 系统处在哪一个微观态是偶然的, 但处于某一微观态的概率是确定 的.改变宏观条件,不仅微观态发 生变化,而且系统处在一微观态的 概率也随之改变. (3)统计规律永远伴随着涨落. (4)宏观系统的演化是不可逆的,过 去和将来不等价, 即统计规律性 对时间反演是不对称的.
空间：6维抽象空间，相体积元: dxdydzdp x dpy dpz
1 2 2 0 ~ , ( 即： ( px py p z2 ) ) 相体积：粒子在体积V内运动，能量介于 2m
所以粒子在μ空间能达到的相体积为：
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三、本章研究的系统：
近独立粒子及其最概然分布
近独立粒子组成的系统①粒子：分子、原子、离子、电子、光子等。②近 独立：粒子间有相互作用，但可忽略不计。 四、最概然分布
1、分布：指系统中粒子在能级上的填布情况。 2、最概然分布：也称最可几分布，是概率最大的一种分布。 3、体系有多种不同分布，可以证明，最概然分布出现的概率比其余各 种所有可能分布的概率之和好要大得多，因此，体系绝大部分时间处于 这种分布。故可用最概然分布代替体系处于平衡态式的分布。 4、意义：求得最概然分布以后，可求得体系的统计平衡性质。
③写出系统的哈密顿量
Pi L i q
i L, H H q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr H Pi q
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只有保守力时，哈密顿量就是系统的总能量。 ④研究运动：运动规律有正则方程确定
H H ，q i P i qi pi
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近独立粒子及其最概然分布
概 论
一、统计物理的基本观点和方法
1、基本观点：①宏观物体是由大量微观粒子组成的。②物质的宏观热 性质是由大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观量的 统计平均值。 2、方法：深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用 出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。 二、任何统计理论要涉及解决的三个问题 1、研究对象是什么-------引入何种假设、模型，如何描述其研究对象的 运动状态（力学、几何） 2、如何求出概率分布-------这是核心。 3、如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8章作准备，研究解决前两个问题。
粒子运动状态的经典描述
一、粒子运动状态的经典描述 若粒子（系统）有r个自由度，则研究方法分为以下几步为: q1 , q2 , qr ①确定描述系统力学运动状态的r个广义坐标： ②写出系统的拉氏函数: L E K - U
E K＝E（ ; U＝U（q1 , q2 ,qr） K q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr） p1 , p2 , pr为与r个广义坐标q1 , q2 ,qr 相对应的r个广义动量。