第六章近独立粒子及其最概然分布

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第六章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。

解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。

解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l

l
l
1
（经典极限条件或所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l

l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N

第六章近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。

而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。

热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。

μ空间：设粒子的自由度为r 。

经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。

粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。

粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。

第六章：近独立粒子的最概然分布热力学统计物理汪志诚

新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m

V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子：分解自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间

第六章近独立粒子的最概然分布(复习要点)

第六章近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。

②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系：对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。

这里0h 由测量精度决定的一个常数。

经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。

空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。

并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。

③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。

若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。

在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。

热力学与统计物理教案：第六章近独立粒子的最概然分布

为随机事件 A 出现可能性的客观量度，称为事件 A 发生的概率 PA ：
lim PA
N
NA N
PA 0 ， A 不可能发生； PA 1， A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几次，正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。当然，从本质上讲，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条件下，经典理论还是有意义的。粒子运动状态的经典描述
相体积。统计物理中的几个例子
（1）自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度 3 ，所以相空间是 6 维的，粒子在任一时刻的位置由坐标 x, y, z 确定，共轭的动量分别为 px mx ， py my ， pz mz ，
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性：粒子波
， p k
, p 粒子量，
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S ， 2
量纲： T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典：粒子沿轨道运动。
量子：无轨道， x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。量子态数的计算，量子态的描述

第六章近独立粒子的最概然分布

讨论热力学第二定律与几率的关系中，他证明熵与几率W 的对数成正比。后来普朗克把这个关系写成
S=klnW 并且称k 为玻尔兹曼常数。
§6.1 粒子运动状态的经典描述
1.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。
例如：气体中的分子；金属中的离子和电子；辐射场中的光子。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。

pz2 )
等能面：px2 py2 pz2 2m
等能面是动量空间半径为 2m 的球面。
相空间体积（能量小于或等于ε）：

dxdydz dpxdpydpz

4 V (2m )3/2
3
③线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 f = -kx 作用下，将在原点附近作圆频率 ω= ��/�� 的简谐振动，称为线性谐振子。
玻
在麦氏速度分布律的基础上，第一次考虑
尔兹
了重力对分子运动的影响，建立了更全面的玻
曼
尔兹曼分布律，建立了玻尔兹曼熵公式。
dN

n0
(
m
2kT
3
)2
e
(
K

P
)
/
kT dv
x
dv
y dv
z
dxdydz
1877 年玻尔兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释，
玻尔兹曼写道：“（热力学）第二定律是关于几率的定律，”在
气体中双原子分子的振动，晶体中的原子或离子在平衡位置附近的振动均可看作是简谐运动。
自由度：1 μ空间维数：2
广义坐标 : q x,
广义动量: p px mx
能量： p2 1 m2x2

第6章近独立粒子的最概然分布

西北师范大学物理与电子工程学院
6.1
粒子运动状态的经典描述
（2）、线性谐振子（自由度为1）
p2 1 ;能量ε 坐标x;动量p x mx mω2 x 2 2m 2
p
能量椭圆：
p2 x2 1 2ε 2m ε mω2
n=2 n=1 n=0 x
（3）、转子(自由度为2)
坐标θ , φ;动量pθ mr θ , pφ mr sin θ φ;
西北师范大学物理与电子工程学院
6.3
系统微观运动状态的描述
（3)、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数最多只能为1，受泡利不相容原理的限制。
自旋角动量在外磁场方向上的投影Sz只能取两个值： S z 在外磁场方向的投影相应为： Z 在外磁场B中的势能为： μB
e 2m
1 2
e B 2m
将S z 表为S z m S , 描述粒子的自旋状态只要一个量子数 m s， 1 它只能取两个分立的值。 2
3
L 量子态数为： dn x dn y dnz dp x dp y dpz 2 π
由测不准关系：pq h 对应μ空间的一个体积元，量子相格。
自由度为r，相格大小为： q1，，qr p1，，pr hr
因此dnx dn y dnz 表示：Vdpx dp y dpz除以相格大小 hr而得到的三维自由粒子在 Vdpx dp y dpz内的量子态数

第六章近独立粒子的最概然分布(复习要点)

这里0h 由测量精度决定的一个常数。

空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。

并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。

③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。

若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。

热力学与物理统计第六章03讲述

微观粒子的运动不是轨道运动。
第六章近独立粒子的最概然分布
经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运动状态。
量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐标，那么，该如何描述粒子的运动状态？
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目等于粒子的自由度数。
S 2 s(s 1) 2
其中s称为自旋量子数，可以是整数或半整数。例如电子的自旋量子数为1/2 对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其本征方向（z轴）上的投影Sz。
共2s+1个可能的值。对于电子，有2个可能值。
第六章近独立粒子的最概然分布
自旋角动量与自旋磁矩质量为 m ，电荷为 - e 的电子，
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
由于不确定关系，xp h 。
p p
即在体积元 h 内的各运动状态，
p
它们的差别都在测量误差之内，
其自旋磁矩 μ 与自旋角动量 S 大小的比值为：
e
S
m
当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外
磁场方向。以z表示外磁场方向，B为磁感应强
度。电子自旋角动量在z投影为
第六章近独立粒子的最概然分布
自旋磁矩在z投影为
电子在外磁场中能量为
第六章近独立粒子的最概然分布
三、系统微观运动状态的描述
系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这里讨论由全同和近独立粒子组成的系统

第六章近独立粒子的最概然分布教案资料

热力学与统计物理课程教案第六章近独立粒子的最概然分布 6.1 粒子运动状态的经典描述首先介绍如何描述粒子的运动状态。

这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。

粒子的运动状态是指它的力学运动状态。

如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。

1、粒子运动状态经典描述的两种方法设粒子的自由度为r 。

经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标r q q q ,,,21 和与之共轭的r 个广义动量r p p p ,,,21 在该时刻的数值确定。

粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：()r r p p p q q q εε,,,;,,,2121 = 如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。

为了形象地描述粒子的力学运动状态，用r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 共r 2个变量为直角坐标，构成一个r 2维空间，称为μ空间。

粒子在某一时刻的力学运动状态（r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 ）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。

当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。

2、下面介绍统计物理中用到的几个例子（1）、自由粒子：自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。

粒子在任一时刻的位置可由坐标z y x ,,确定，与之共轭的动量为：⋅⋅⋅===z m p y m p x m p z y x ,, 自由粒子的能量就是它的动能：()22221z y x p p p mε++=，对应的μ空间是6维的。

（2）线性谐振子对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为⋅=x m p x ，它的能量是其动能和势能之和：2222221222x m m p x A m p ωε+=+=以x 和p 为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。

热力学-统计物理第六章近独立粒子的最概然分布

j 0
又
E N
j 0
nj N
j N p j j
j 0
0 pj 1
p
j
j
1
是个概率。
找到微观粒子系统对能量分布的概率，就可以求出系统的能量。
目的：求出系统在热平衡状态的概率分布。
二、可分辨和不可分辨粒子系统微观粒子全同性原理 (量子理论)：微观粒子（位置可以在大范围变化——非定域系）是不可分辨的。 x x 波粒二相性重叠
研究对象的描述——引入何种假设、模型，如何描述研究对象的运动状态(力学、几何)（第六章前 3节）。
如何求出概率分布——这是核心（第六章后5节）。
如何求出热力学量的统计表达式（七、八两章）。
主要内容
系统微观状态的经典描述和量子描述等概率原理及微观状态分布玻耳兹曼统计
玻色统计与费米统计
h3大小的相格内只能有一个运动状态；对于有r 个自
由度的粒子，hr相体积内只能有一个状态。所以在相体积之dw内的量了态数为
dp V L3 ，p p 中的量子态数
，与动量的方向无关，积分之球极坐标系变换
V dn 3 h
4V 2 p sin dpdd 3 p dp. h
空间中的一个 “点”进行描述。
相点：运动状态相轨道：运动状态的变化相体积：粒子状态代表点在μ空间所能充斥的范围。
二、常见粒子微观运动状态描述实例
1、自由粒子
三维空间中，如果是直角坐标，三个坐标 x, y, z 三个动量能量运动状态
, px mx
, py my
pz mz
L
x
即，一个量子态对应粒子相空间一个 h 大小的体积元。三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 h3。则相空间体积 Vdpx dp中量子态数为 y dpz

第六章近独立粒子的最概然分布 - 副本

波矢量：动量：
2 kx nx L
2 px nx L
L ny
L ny
2 kz nz L
pz 2 nz L
2 ky ny L
2 py ny L
能
量：
2 2 2 2 x nx 2 mL
2 2 2 2 y ny 2 mL
2 2 2 2 z nz 2 mL
相空间 2维 2r 维
p2 A 2 p2 1 能量是其动能和势能之和 m 2 x 2 x 2m 2 2m 2
中北大学
物理系
以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹就由如下方程确定：
p2 2 m x2 2 m 2 1
由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格,相格的大小为h.
一、经典描述设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr在该时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数即更一般 ε = ε （ q1、q2、…qr ， p1、p2、…pr） ε = ε （qi、pi、λi ）（i = 1、2、…r） λ为非参量
上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。
线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为 ħ ，其大小取决于振子的圆频率。
中北大学
物理系
（三）自由粒子空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。
y
A' 0 A
在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程：

热力学与统计物理：第六章近独立粒子及其最概然分布

dny
L
2
dpy
dnz
L
2
dpz
在V=L3内，符合上式的量子态数：
dnx dny dnz
(
L
2
)3
dpx
dpy
dpz
可由不确定关系理解分母中的 h ----相格的概念
采用球极坐标，用 p, , 代替 px , py , pz
px p sin cos py p sin sin pz p cos
量子数：3个
nx , ny , nz
n
p2 2m
p
2 x
p
2 y
2m
pz2
2 22
m
nx2
n
2 y
L3
nz2
简并度：6
.量子状态数与态密度
例五、求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
在能级密集的假设下，令n连续
dnx
L
2
dpx
量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，由一组
量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。
例一、自旋
电子、质子、中子等粒子具有内禀角动量（自旋）
或内禀磁矩。其量子数为 1
2
e
(SI )
Sm
自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取两个值
1 Sz 2 mS , ms 1/ 2
在外场B中的势能为
N e s
s
E
e s s
s
S为所有量子态
几点说明:
1、以上求得的结果为极大值分布,即包含状态数最多的分布，因为：
δ2 ln ln

高教热统答案第六章

第六章近独立粒子的最概然分布习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒=于是。

()εεεεd mh L d D 2+= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围内，量子态数为()επεεmd hL d D 222=证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。

ϕPdPd hSdP dP h S dn y x 22== (s －面积)因m P 22=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()22hmS D πε=⇒ (s=L 2) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。

试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。

解：φθθd dpd p hVdp dp dp h V dn z y x sin 233==由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是⎰⎰===ππεππφθθεε200322323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =⇒=εε于是， 32)(4)(hc V D επε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。

假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。

热力学统计第6章近独立日子的最概然分布

M2 H 2I
M l (l 1) , l 0, 1, 2, M z m , m l , l 1, , l 1, l
2 2
z
m r O

y

l (l 1) l ,m 2I l ,m
2
x
l 0, 1, 2, , m l , l 1,
m
O x x
三维线形谐振子：
nx 0, 1, 2, 3 nx ,ny ,nz (nx n y nz ) 2 , n y 0, 1, 2, nx ,ny ,nz nz 0, 1, 2,
——除了基态外，能量是简并的。
2.3 转子
自由运动的质点：r=3 定轴转动的刚体：r=1 定点转动的刚体：r=3
A O x z C
过定点轴线AC的方位 : 2 绕轴AC转动的角位置 : 1
任意运动的刚体：r=6

y

2.2 广义坐标决定一个物体在空间的位置所需的独立量。
自由运动的质点：(x, y, z) (x, y, z , , , ) 任意运动的刚体：
1 2 1 2 2 k mv mr ( sin 2 2 ) 2 2
k p mr 2 p k mr 2 sin 2
1 2 1 2 k ( p 2 p ) ( I mr 2 ) 2I sin
x r O m (x, y, z)
d D( ) d
1.量子力学对粒子运动状态的描述
1.1 经典力学和量子力学对粒子运动状态的不同描述
经典力学：粒子可以同时有确定的坐标和动量，所以
ST(q1 , q2 ,
, qr , p1 , p2 ,

热力学统计物理第六章近独立粒子的最概然分布

自由度 r =1（曲线上运动) : x 和 px 描述其状态； r = 3（3D空间中运动): x, y, z 和 px , py , pz 描述状态。
若粒子有内部运动, 则 r 更大。如双原子分子, φ, p , pφ
一般地，设粒子的自由度为 r ，其力学运动状态由粒子的 r 个广义坐标 q1、q2、…qr 和相应的 r 个广义动量 p1、 p2、… pr 共 2r 个量的值确定。粒子能量ε： ε=ε( q1、q2、…qr ，p1、p2、…pr ) 。总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐标和动量共同描述的方法。
热统
而 S z （自旋方向取向量子化） 2 e e B e B B ms 所以 z 2m 2m m 即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数 m s
2

13
2 自由粒子（1）一维自由粒子：自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即
能级为
2
1 ， n 2

px
x
n 0, 1, 2,
热统 21
相邻两个状态之间所夹的面积为

2 1 1 n 1 n ( n 1 ) ( n ) h 2 2 推广之：粒子的一个状态在空间中占有的体积为相格 hr
② 3D自由粒子：r = 3 , 设粒子处于体积 V 中。状态由 x、 y、z、px、py、pz 确定，μ空间是 6 维的。粒子能量 ε= ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m 动量子空间的半径 p p 2 p 2 p 2 2m x y z
热统

《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲

《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲习题6.1试证明，在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：()εεπεεd m hV d D 2123322)(⋅=证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。

在六维相空间，相体积元z y x dp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为：33h dp dp dxdydzdp h d zy x =τ 体积3L V =内，动量在范围z z z y y y x x x dP P P dP P P dP P P +++~,~,~的自由粒子量子态数。

3233sin hd dPd VP h dp dp Vdp h dp dp dxdydzdp zy x Vzy x ϕθθ==⎰⎰⎰对ϕθ,积分,可得体积3L V =内自由粒子动量大小在dP P P +~范围的量子态3220324sin hdPVP h d dPd VP πϕθθππ=⎰⎰由m 2P 2=ε进行变量代换：21)m 2(P ε=，εεd 21)m 2(dP 2121-⋅=代入上式可得：在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：()εεπεεd mh V d D 2123322)(⋅=其中)(εD 为在ε到εεd +的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度证毕。

习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，在长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证明：一维粒子局域于宏观长度L 内运动，其能量值和动量值是准连续的。

在二维相空间，相体积元x dxdp d =τ内的微观量子态为：hdxdp h d x=τ 在长度L x =内，动量在范围x x x dP P P +~的自由粒子量子态数。

h Ldp h dxdp xLx =⎰ 对x p 在范围P dP P ---~及dP P P +~积分,可得在长度L x =内，自由粒子动量大小在dP P P +~范围的量子态h Ldp h Ldp h Ldp pdp dp p p xx 2p =+⎰⎰---+ 由m 2P 2=ε进行变量代换：21)m 2(P ε=，εεd 21)m 2(dP 2121-⋅=代入上式可得：长度L x =内，在ε到εεd +的能量范围内，一维自由粒子的量子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到εεd +的能量范围内，量子态数为()επεεmd hL d D 222=证明：二维粒子局域于宏观面积L 2内运动，其能量值和动量值是准连续的。