线性相关与线性无关

结论(1)任意一个含零向量的向量组必为线性相关组.
如：1，2 , ,m ,0, 则必有 01 02 0m 1 • 0 0.
(2)单个向量线性相关 0；单个向量线性无关
0.
(3)两个非零的n维向量 , 线性相关当且仅当存在不全
为零的数k,l,使得k l 0,即 l 或 k .
方 程x11 x22 x33 0的 同 解 线 性 方 程 组 为
x1 x2
x2 x3 5x3 0.
0,
令x3 1, 可 得 一 组 解 为x2 5, x1 4.取k1 4,
k2 5, k3 1, 得 41 52 3 0
两个重要结论：
（1）n个n维 列 向 量1,2 ,
成 比 例).
(3)k1(1,0,0) k2 (0,1,0) k3 (0,0,1) 0 k1 k2
km 0,因 此,向 量 组1 , 2 , 3是 线 性 无 关.
定义2 设1 ,2 , ,m是一个n维向量组.若 k1 1 k22 kmm 0仅当k1 k2 km 0 时成立, 则称向量组1 ,2 , ,m线性无关.
,
线
n
性
无
关
矩阵
A (1,2 , , an ) 0.
(因为齐次线性方程组Ax 0只有零解当且仅当A 0)
(2)当m n时 ，m个n维 列 向量1,2 , ,m一 定 线性 相 关. - 1 3 1 即变量个数大于方程个数有自由变量
例10 因为 2 1 0 0，所以下面的两个向量组都是
1 41
是否线性相关？
解 设x11 x2 2 x3 3 0,即
x1 2，3，1 x2 1,2,1 x3 3,2,1 0,0,0.
令 等 式 两 边 的 三 个 分 量分 别 相 等 ， 就 可 以 列 出
组 合 系 数 满 足 的 线 性 方程 组
2 x1 x2 3 x3 0,
3x1 2x2 2x3 0,
x1
x2
x3
0.
因为它的系数行列式
2 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 0, 111 1 0 0
所 以 此 线 性 方 程 组 只 有零 解,这 说 明1,2 ,3
线性 无关.
例7若1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
证
明
以
下
向量
组
线
性
无
关
：
1 2 3，2 1 3，3 1 2 .
k1
,
k
2
,
k
使得
3
k11 k22 k33 0.
2 1 3
1 1 1
解
A
(1
,
2
,
3
)
3
2
2
r1 r3
3
2
2
1 1 1
2 1 3
1 1 1
1 1 1
r1 ( 3 ) r1 ( 2 )
r2
r3
0 0
1 1
5
r2 ( 1)r3
0
1
5
5
0 0 0
由于 R( A) 2 3 ,从而 1,2,3 线性相关
把它们相加得到2(k1 k2 k3 ) 0.据此立得
k1 k2 k3 0, 这就证明了1 , 2 , 3线性无关.
3.2.2求相关系数的方法
考虑m个n维列向量：
a11
a12
a1m
1
a21 an1
,
2
a22 an2
,
,m
a2m anm
.
1,2 , m线 性 相 关 存 在m个 不 全 为 零 的 数 k1 , k2 , , km , 使 得k11 k22 kmm 0
证 设k11 k22 k33 0.将 已 知 条 件 代 入 得
k1(2 3 ) k2 (1 3 ) k3 1 2 0.
把它整理后可得
（k2 k3 )1 (k1 k3 )2 (k1 k2 )3 0.
因为
1
,
2
,
线性无关
3
，
必有
k2 k3 0, k1 k3 0, k1 k2 0.
k
l
例5 n维 标 准 单 位 向 量 组 ：
i
0,
,0, 1 ,0, 第i列
,0 ,
i
1,2,
,n
线 性 无 关.
因 为k1 1,0, ,0 k2 0,1,0 ,0 kn 0, ,0,1 (0, ,0)
k1
k2
kn
百度文库0,
所
以
1，
2，
，
线
n
性
无
关
。
例6 问 向 量 组1 （2，3，1）,2 1,2,1,3 3,2,1
线
性
相
关
组
：
（
1，3，1）, (2,1,0), (1,4,1)和
2
1， 43， 00
1 0 2
2 30 因 为 1 4 0 22 0，
见书中例1－2（P87）
3.2.1线性相关性概念
定义1 设 1 ,2 , ,m是m个n维向量，如果存
在m个不全为零的数 k1, k2 , , km 使得
k11 k22 kmm 0
则称向量组1,2 ,
,
线
m
性
相
关,
称k1
,
k2
,
, km
为相关系数.否则，称向量组1,2 ,
,
线
m
性
无
关.
例3(1)单个向量 (1,1,2)线性相关还是线性无关? (2)向量1 (1,2,3)与向量2 (2,4,6)是否线性相关? (3)判断向量组1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)线性相关性.
以 下m元 齐 次 方 程 组 有 非 零 解
a11 x1 a12 x2 a1m xm 0,
a21x1a22 x2 a2m xm
0,
an1 x1 an2 x2 anm xm 0,
即 Ax 0有非零解，这里A (1,2 , ,m )为 n m
矩阵.求出的非零解的m个分量x1 k1, x2 k2 , , xm km ,
就是所要求的相关系数。类似地，
m个n维行向量1 ,2 , ,m 线性相关
m个n维列向量
T 1
,
T 2
,
,
T 线性相关
m
齐次线性方程组 Ax 0有非零解，这里
A
(
T 1
,
T 2
,
,
T m
)为n
m矩阵
.
2 1 3
例
讨论向量组
1
3
,
2
2
,
3
2
的线性相关性.若
1
1
1
线性相关，则 求出一组不全为零的数
解 (1)k(1,1,2) 0 k 0所 以 向 量线 性 无 关.
切 记 任 意 非 零 向 量 都 是线 性 无 关 的.
(2)k1(1,2,3) k2(2,4,6) (0,0,0),取k1 2, k2 1,
所
以
向
量
组
1
,
线
2
性
相
关.
(两 个 向 量 的 向 量 组 线 性相 关 充 要 条 件 为 对 应 分量