浅谈积分因子及首次积分

浅谈积分因子与首次积分

摘要：本文先给出了微分方程中的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并加深理解，后引出全微分方程积分因子存在的充要条件以及与之相关的两类重要命题，灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起来，为求特殊积分因子提供了方便，最后应用性的求出了常见的几类微分方程的积分因子.

关键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比

Introduction to integral factor and the points for the first time

Chen Xueyun

(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University 741000) Abstract This paper firstly presents the definition of the integral factors ,first integral in differential equation and the characteristic equation and leads to the necessary and sufficient condition for the existence of all the integrating factor of differential equation as well as in connection with the two important types of proposition, Then it provides conveniences for special integral factor by combining the method of integral factor to solve differential equations with partial differential equation flexibly,Finally it finds out the integral factor of some types of differential equations via application.

Keywords Differential equations,Integrating factor,For the first time points,Characteristic equation, Partial differential,points than

目录

0 引言 (1)

1 相关概念 (1)

1.1 积分因子 (1)

1.2 首次积分 (2)

1.3 特征方程（组） (2)

2 预备知识 (2)

3 问题的引入 (3)

4 有关积分因子存在的充要条件的两类命题 (5)

4.1 命题一 (5)

4.2 命题二 (7)

5 几类常见微分方程的积分因子 (8)

5.1 可分离变量的微分方程 (8)

5.2 齐次微分方程 (9)

5.3 线性微分方程 (10)

5.4 Bornoulli微分方程 (10)

6 小结 (12)

参考文献 (13)

致谢 (14)

浅谈积分因子与首次积分

0 引言

在微分方程的学习中，微分方程的求解是至关重要的，并且对于不同类型的微分方程可以给出不同的解法.Euler 曾在他的论文中指出：凡是可用分离变量法的地方都可以用积分因子法，这就启示我们要更多的了解和学习积分因子法.而这其中恰当微分方程就可以通过积分的方法求出，但并非所有的微分方程均为恰当微分方程，于是如何将一个非恰当微分方程转化为恰当微分方程，让求其通解变得简单？将是一个很显眼的问题，对此本文就特殊积分因子的求法引进了首次积分法，并加以论证运用.

1 相关概念

1.1 积分因子

定义1 对于下面的一阶方程 (,)dy f x y dx

= 现把它写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=或者把,x y 平等的处理，写成具有对称形式的一阶微分方程，如下

(,)(,)0,M x y dx N x y dy += （1.1.1）

其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，

(,)x y D ∈，D 为单连通区域.

这样如果存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得

(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=,

为一恰当微分方程，即存在函数(,)u x y ，使 u u Mdx Ndy du dx dy x y

μμ∂∂+≡=

+∂∂, 则称(,)x y μ为方程（1.1.1）的积分因子.

1.2 首次积分

定义2 对于一般的常微分方程组 1112221212(,,,,),

(,,,,),(,,,,).n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx

⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ （1.2.1）

其中，右端函数12,,,n f f f 都在某个域G 内连续.

设函数12(,,,

,)n x y y y Φ=Φ在域G 内连续可微，且12(,,,,)n x y y y const Φ=Φ≠，如果以方程组的

（1.2.1）的任一解()(1,2,)i y x i n =代入函数Φ时，使得函数12(,(),(),,())n x y x y x y x const Φ=Φ=（其中const 为任意常数），且此常数与x 无关，同时此常数值随不同解而异，

则称表达式12=(,,,

,)n x y y y const ΦΦ=为方程（1.2.1）的一个首次积分，有时也称12(,,,,)n x y y y Φ为首次积分.

1.3 特征方程（组）

定义3 对于一阶齐次线性偏微分方程 121(,,

,)0n i n i i

X x x x x μ=∂=∂∑, （1.3.1） 其中12,,,n x x x 是自变量，μ是12,,,n x x x 的未知函数，函数()(1,2,,)0i i

X x i n x μ∂==∂为域'G 内相应的已知函数，则常微分方程组 1212n n

dx dx dx X X X ===, （1.3.2） 称为一阶齐次线性偏微分方程（1.3.1）的特征方程组，也称特征方程.

2 预备知识

引理[1] 函数(,)x y μ是方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是