高中数学三角函数中的拆角技巧

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三角函数诀窍

三角函数诀窍三角函数是高中数学中的重要内容，也是后续学习数学和物理领域中的基础。

它们在解决几何问题、分析问题以及工程应用中都有着广泛的应用。

掌握好三角函数的性质和技巧，对于提高数学水平和解决实际问题都非常有帮助。

下面我将介绍一些三角函数的诀窍，希望能对大家的学习有所帮助。

诀窍一：记住常用角度的三角函数值。

我们在学习三角函数的时候，经常会遇到一些特殊的角度。

例如，30°、45°、60°等，这些角度的三角函数值是非常常用的。

要牢记这些特殊角度的正弦、余弦和正切的值，不仅可以避免频繁计算，还可以方便地应用到各种问题中。

诀窍二：运用“合并”和“拆分”的技巧。

合并是指将多个三角函数的和差进行合并，转化为一个三角函数。

例如，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB。

拆分则是将一个三角函数分解成两个三角函数的和差。

通过合并和拆分的技巧，我们可以简化计算，转化复杂的题目为简单的计算。

诀窍三：掌握半角公式和倍角公式。

半角公式和倍角公式是三角函数运算中常用的重要公式。

半角公式有sin(A/2)、cos(A/2)和tan(A/2)的表达式，通过这些公式，我们可以将一个三角函数的半角值表示为角度A的三角函数的表达式。

倍角公式则是将一个三角函数的倍角值表示为角度A的三角函数的表达式，如sin2A、cos2A和tan2A。

对于复杂的三角函数运算，半角公式和倍角公式可以大大简化计算过程。

诀窍四：利用图形直观理解三角函数的性质。

三角函数与单位圆的关系是高中三角函数的重点内容。

通过绘制单位圆和三角函数图像，我们可以直观地理解三角函数的周期性、周期、奇偶性和单调性等性质。

通过观察图形，我们可以更好地理解三角函数的性质，从而更灵活地运用到问题中。

诀窍五：多做题、多总结。

三角函数的学习需要大量的练习和巩固。

多做题可以加深对知识点的理解和掌握，同时也可以提高解题的速度和准确性。

在做题的过程中，及时总结解题的方法和技巧，形成自己的解题思路和方法，从而可以更好地解决类似的问题。

三角函数拆分公式

三角函数拆分公式三角函数拆分公式，也叫和差公式，是指将三角函数表达式中两个角的和或差拆分成两个角的三角函数的和或差的公式。

这些公式是解决三角函数表达式中的复杂度的重要工具。

在这篇文章中，我们将详细介绍一些常见的三角函数拆分公式和它们的证明。

1.正弦和差公式sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB这个公式表明，两个角的正弦的和等于两个角的正弦的乘积之和的正弦，两个角的正弦的差等于两个角的正弦的乘积之差的正弦。

证明：我们可以利用三角函数的定义来证明这个公式。

根据正弦函数的定义，有sin(A ± B) = √(1-cos²(A ± B))= √(1 - cos²Acos²B ± 2cosAcosBsinAsinB + cos²Asin²B)= √(cos²A(1 - sin²B) ± sin²B(1 - cos²A))= √(cos²A - cos²Asin²B ± sin²B - sin²Bcos²A)= √(cos²A(1 - sin²B)) ± √(sin²B(1 - cos²A))= cosA√(1 - sin²B) ± sinB√(1 - cos²A)= cosAcosB ± sinBsinA2.正弦倍角公式sin2A = 2sinA*cosA这个公式表明，一个角的正弦的平方等于这个角的两倍角的正弦的乘积。

证明：我们可以利用正弦和差公式来证明这个公式。

将A和A相加，得到sin(A + A) = sin2A = sinAcosA + cosAsinA = 2sinA*cosA3.正弦半角公式sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)这个公式表明，一个角的正弦的一半等于这个角的余弦减1之后的一半的平方根。

三角函数换角技巧

高一数学必修四辅导资料三角变换的技巧与方法知识要求：1、熟悉各公式在恒等变形中的作用，才能在解决各种总题时，合理选择公式，灵活运用公式，提高分析和解决有关三角问题的能力。

2、常用的技巧有：○1角的变换；○2函数名称变换；○3常数代换；○4幂的变换；○5公式变形；○6结构变形；○7消元法；○8思路变化；变换技巧与方法归纳：1、切割化弦：就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，这样可有利于问例1：求证：ααααααcos sin 11sec -tan 1-sec tan +=++2、“1”的代换：在三角函数中，“1”的代换有：1cos sin ,45,1cot tan 122o =+=∙=αααα等，在具体的三角变换过程中将“1”作某种合适的变形，往往能收到意想不到的效果。

例2：已知2cos sin sin -1,1-tan tan 2++=ααααα求的值；例3：已知ααααcos2sin2-1,25tan -1tan 1求+=+的值；例4：已知tanx1sin2xx 2cos 0,3cosx 6sinx -sinxcosx x cos -x 2sin 222++=++求的值；3、分拆与配凑：“凑角法”是解三角题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角例5：设)cos(,,02,32)-2sin(,91)2-cos(βαπβπαπβαβα+<<<<==求的值；例6：已知)sin(,135)43sin(,53)-4cos(43440βαβπαππαππβ+=+=求，＜＜，＜＜的值；例7：(1997年全国高考题)oooo o o sin8sin15-cos7sin8cos15sin7+的值为。

4、引入辅助角：ϕϕθθθ这里辅助角可化为),sin(b a bcos asin 22+++所在的象限由a,b 的符号确定，ab tan =ϕϕ角的值由确定。

高中数学三角函数的解题技巧

高中数学三角函数的解题技巧高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，也是考试中常见的题型。

掌握好三角函数的解题技巧，不仅可以帮助学生提高解题效率，还可以帮助他们在考试中取得好成绩。

本文将通过具体的题目举例，介绍一些高中数学三角函数解题的技巧，并给出一些解题的思路和方法。

一、角度的换算在三角函数的运算中，经常需要将角度转换为弧度或将弧度转换为角度。

对于角度的换算，我们需要掌握以下两个基本公式：1. 弧度 = 角度× π / 1802. 角度 = 弧度× 180 / π例如，如果要将角度60°转换为弧度，可以使用公式1：弧度= 60 × π / 180 = π / 3。

反之，如果要将弧度π/4转换为角度，可以使用公式2：角度= π / 4 × 180 / π = 45°。

在解题过程中，如果涉及到角度与弧度的转换，可以根据具体情况选择适当的公式进行换算。

二、三角函数的基本关系三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用的三个函数。

它们之间有一些基本的关系，掌握好这些关系可以帮助我们解题。

1. 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)例如，如果要求sin30°的值，可以利用这个关系式：sin30° = cos(90° - 30°) =cos60° = 1/2。

2. 正切函数和余切函数的关系：tanθ = 1/cotθ例如，如果要求tan60°的值，可以利用这个关系式：tan60° = 1/cot60° = 1/tan30°= 1/(1/√3) = √3。

在解题过程中，如果遇到需要求解某个三角函数的值，可以利用这些基本关系进行转化，简化计算过程。

三、三角函数的周期性三角函数在一定范围内具有周期性，这也是解题过程中需要注意的一个重要点。

高中数学三角函数知识点解题技巧总结

高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中，三角函数是一个重要的内容，也是高考数学中出现频率最高的内容之一。

掌握好三角函数的解题技巧和思路，对于提高数学成绩至关重要。

下面将总结一下高中数学中三角函数解题的技巧和思路。

第一，理解三角函数的基本定义和性质。

三角函数的基本定义是：正弦函数sinx、余弦函数cosx、正切函数tanx等。

理解这些函数的定义并记住它们的性质是解题的基础。

同时要熟练掌握它们在特殊角上的取值，如sin30°=1/2，cos60°=1/2，tan45°=1等。

第二，理解三角函数的周期性。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，所以可以利用周期性来简化解题过程。

在一些问题中，可以利用周期性把给定的范围转化到一个周期内来求解。

在区间[0,12π]上求sinx=1/2的解，可以先求出[0,2π]上sinx=1/2的解，然后再把2π的整数倍加上去求解。

合理利用三角函数的性质。

三角函数有一些特殊的性质，可以利用这些性质来简化解题过程。

sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，tan(-x)=-tanx，可以利用这些性质求解一些简单的题目。

第四，利用三角函数的图像和关系。

三角函数的图像是由单位圆上的点（x，y）的坐标决定的。

对于一个三角函数的图像，可以通过改变参数a、b、c、d来对其进行平移、伸缩和反射。

利用图像和函数的关系，可以求解关于三角函数的方程。

已知f(x)=sinx和g(x)=cosx在[0,π/2]上相等，可以通过观察图像得出解为π/4。

第五，利用三角函数的和差化积公式和倍角公式。

三角函数有一些重要的公式可以用来化简复杂的式子。

sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB，tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)等。

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中，三角函数是一个重要的概念和工具，掌握好三角函数的解题技巧和思路对于解决数学问题至关重要。

下面是我对高中数学三角函数解题技巧和思路的总结：1. 理解三角函数的定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

了解它们的定义和性质是解题的基础。

特别要注意解题中的角度单位，是弧度还是角度。

2. 熟悉三角函数的基本性质：正弦函数和余弦函数的值域都在[-1,1]之间，而正切函数的值域是整个实数集。

可以利用这些性质来限制方程的解域和范围。

3. 找到角度的周期性：三角函数都具有周期性，在一定的区间内值循环重复。

对于周期函数，可以通过一些性质和等式进行化简，简化计算和分析过程。

4. 角度的换算和关系：在解题过程中，角度的换算很重要，能够灵活地在弧度制和角度制之间切换。

要注意角度之间的关系，如补角、余角、同角等。

5. 利用三角函数的图像分析问题：根据三角函数的图像，可以直观地分析问题，找到关键点、关系和规律。

根据正弦函数的图像可以判断极值点和交点的位置等。

6. 运用三角恒等式和简化公式：三角恒等式是解题中常用的工具，可以将复杂的三角函数化简为简单的形式。

掌握常见的三角恒等式和简化公式，能够提高解题效率。

7. 利用三角函数的性质求导和积分：三角函数的导数和积分公式是高中数学的重点，能够通过求导和积分来解决一些与三角函数相关的问题。

熟练掌握导数和积分的运算规则，并注意应用定积分中的边界条件和积分上下限。

8. 与其他数学知识的结合：三角函数与其他数学知识有很多联系，如与向量、数列、解析几何等的关系。

在解题过程中，要善于将三角函数与其他数学概念相结合，推导出更多的解题思路和方法。

9. 多做题，多总结：解题是数学学习的重要环节，通过多做题目，不断总结解题思路和方法，才能提高解题能力和技巧。

可以选择一些经典的三角函数题目进行练习和归纳。

要掌握好高中数学三角函数的解题技巧和思路，需要对三角函数的定义和性质有深入的理解，熟悉角度的换算和关系，善于利用图像分析问题，灵活运用三角恒等式和简化公式，结合其他数学知识进行思考和推导，通过多做题目不断总结经验。

高中数学三角函数中的拆角技巧

三角函数中的“拆角”技巧及应用三角函数的计算是高中的一个重要考点.对于一些和角的计算问题除了掌握和角（差角）及倍角公式之外，还要掌握一些必要的“拆角”技巧.这样可以简化运算.有时候，在利用两角和差的余弦、正玄和正切公式时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式。

即要把所求的角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知的角简单变形就能得到的两个角）的和差，并且这两个角的正、余玄函数值和正切函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解。

这里以正、余玄公式求解为例。

通过认真审题，我们就可以发现已知角和所求角之间的关系，这样我们就可以进去“拆角”。

第一类：只有抽象的角，没有具体的角。

如：已知两个角,(0,)2παβ∈，那么通过简单变形就可得到：ββαα-+=)(，αβαβ-+=)(；2()()ααβαβ=++-，(2)()ααβαβ=+-+，()()22αααββ=++-；，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-；()()222αββααβ+=---…………正确利用它们具有的这些关系进行“拆角”就能避免求某个角的三角函数值而带来的麻烦。

我们来看看具体实例：例1：已知两角,(0,)2παβ∈满足53cos =α，135)cos(-=+βα，则____cos =β。

[解析]：由,(0,)2παβ∈，53cos =α，得54sin =α，且),(,πβαo ∈ 。

所以1312)sin(=+βα，那么])cos[(cos αβαβ-+= =αβααβαsin )sin(cos )cos(+++=54131253)135(⨯+⨯-=6533 [评注]:通过观察发现所给条件中的角与待求角之间的关系.巧妙地把β拆成αβ+与α差,再利用差角公式进行计算。

例2．若,(0,)2παβ∈，1sin()23βα-=,1sin()24αβ-=-，则cos()2αβ+的值等于 .[解析]：由,(0,)2παβ∈，则242βππα∈－（－，），224αππβ∈－（－，），又1sin()23βα-=，1sin()24αβ-=-，所以，cos()23βα-=，cos()2αβ-=, 则coscos[()()]222αββααβ+=---cos()cos()sin()sin()2222βαβααβαβ=--+--11()3434=⨯+⨯-112=.故填:112. [评注]:本题通过观察角之间的关系,把2αβ+拆成()2βα-与()2αβ-差的形式,从而避免了求2α与2β的三角函数值,巧妙地得到了cos()2αβ+的值。

高考数学中的解三角函数题技巧

高考数学中的解三角函数题技巧数学是高考中最重要的科目之一，而解三角函数题更是数学中的重点和难点之一。

在高考中，解三角函数题往往可以占到总分数的30%，因此，我们必须掌握一些解题技巧，才能在高考中取得好的成绩。

下面，我将分享一些解三角函数题的技巧，希望对大家有所帮助。

一、基本得数解三角函数题，首先需要掌握的就是基本的三角函数值，包括正弦、余弦、正切等。

这是解题的基础，也是高考中比较容易考察的内容。

因此，我们需要利用课余时间逐渐掌握这些基本的三角函数值。

二、替换在解三角函数题中，有些题目比较复杂，难以直接求解。

这时，我们可以通过替换变量的方式简化问题。

例如，如果题目中出现了$3\sin x-\cos x=2$，我们可以令$y=\sin x$，然后将原式转化为$3y-4y^2=2$。

这样，我们就可以利用常规的求解方法来求解该方程，最后再回归到变量$x$中，得到最终的答案。

通过替换变量，我们可以将原本复杂的问题简化为易于处理的问题。

三、换元除了替换变量以外，还可以通过换元的方式简化问题。

例如，如果我们遇到了$2\cos x+\sqrt{3}\sin x=1$这样的方程，我们可以尝试利用恒等式($\cos^2 x+\sin^2 x=1$)来进行换元。

具体来说，我们可以将该式变形为$2\cos x+\sqrt{3}(1-\cos^2 x)=1$，然后令$y=\cos x$，得到$2y+\sqrt{3}(1-y^2)=1$。

这样，我们就可以利用常规的求解方法来求解方程。

通过换元，我们可以将复杂的问题转化为易于处理的问题。

四、化简有时，在解题过程中，我们会遇到较为繁琐的式子，难以进行进一步的运算。

这时，我们可以尝试通过化简的方式来简化问题。

例如，如果题目中出现了类似于$\frac{\cos x}{\sin x+\sqrt{3}}$这样的式子，我们可以将分母进行有理化，得到$\frac{\cos x}{\sinx+\sqrt{3}}\times\frac{\sin x-\sqrt{3}}{\sin x-\sqrt{3}}=\frac{\cosx(\sin x-\sqrt{3})}{\sin^2 x-3}$。

三角函数中的拆角技巧

这里以正、余玄公式求解为例。

通过认真审题，我们就可以发现已知角和所求角之间的关系，这样我们就可以进去“拆角”。

第一类：只有抽象的角，没有具体的角。

我们来看看具体实例：例1：已知两角,(0,)2παβ∈满足53cos =α，135)cos(-=+βα，则____cos =β。

[解析]：由,(0,)2παβ∈，53cos =α，得54sin =α，且),(,πβαo ∈ 。

所以1312)sin(=+βα，那么])cos[(cos αβαβ-+==αβααβαsin )sin(cos )cos(+++=54131253)135(⨯+⨯-=6533 [评注]:通过观察发现所给条件中的角与待求角之间的关系.巧妙地把β拆成αβ+与α差,再利用差角公式进行计算。

例2．若,(0,)2παβ∈，1sin()23βα-=,1sin()24αβ-=-，则c o s ()2αβ+的值等于 .[解析]：由,(0,)2παβ∈，则242βππα∈－（－，），224αππβ∈－（－，），又1sin()23βα-=，1sin()24αβ-=-，所以，cos()2βα-=，cos()2αβ-= ,则coscos[()()]222αββααβ+=--- cos()cos()sin()sin()2222βαβααβαβ=--+--11()334=⨯-=.故填. [评注]:本题通过观察角之间的关系,把2αβ+拆成()2βα-与()2αβ-差的形式,从而避免了求2α与2β的三角函数值,巧妙地得到了cos()2αβ+的值。

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结【摘要】高中数学三角函数是数学中的重要部分，掌握其解题技巧和思路对学生来说至关重要。

本文首先介绍了三角函数的基本概念，包括正弦、余弦和正切等基本函数的定义和性质。

接着，详细讲解了三角函数的性质，如周期性、奇偶性等，帮助读者更好地理解和运用三角函数。

然后，重点介绍了三角函数的变换公式，包括角度和函数值的变化规律，以及如何灵活运用这些公式解决问题。

文章还涉及了如何在实际问题中运用三角函数进行解题，通过实例展示了解题方法。

总结了常见的解题技巧和思路，并强调了练习的重要性。

通过本文的学习，读者能够更好地掌握高中数学三角函数的解题技巧和思路，提升解题能力。

【关键词】高中，数学，三角函数，解题技巧，思路，基本概念，性质，变换公式，实际问题，常见解题方法，总结1. 引言1.1 高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中的三角函数是一个重要的章节，它涉及到角的概念、三角比值以及三角函数的图像等内容。

在解题过程中，掌握一定的技巧和思路可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。

我们需要理解三角函数的基本概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等的定义及其性质。

了解三角函数的定义和图像是解题的出发点，只有对这些概念有清晰的认识，才能更好地应用到实际问题中。

掌握三角函数的性质也是解题的重要基础。

利用三角函数的周期性和奇偶性可以简化解题过程，减少计算量。

熟练掌握三角函数的性质，能够帮助我们更高效地解题。

在解题过程中，熟练运用三角函数的变换公式是必不可少的。

利用和差化积、倍角公式等可以简化复杂的三角函数表达式，加快解题速度。

灵活运用三角函数解决实际问题也是我们的目标之一。

通过将实际问题转化为三角函数的问题，我们可以更快地找到解题的方法，提高解题的效率。

总结常见解题方法是解题过程中的重要环节。

通过总结已解题目的方法和技巧，我们可以为将来的解题提供参考，并不断提高解题的能力。

掌握高中数学三角函数的解题技巧和思路是十分重要的。

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结

高中数学三角函数解题技巧和思路的总结三角函数在高中数学中占有重要地位，涉及到三角函数的图像、性质、基本关系、单位圆等多方面知识。

三角函数的解题思路也比较特别，需要考虑到角度的变化以及不同函数之间的关系。

本文将从应用数学的角度，总结高中数学中三角函数的解题技巧和常见思路。

1、熟悉三角函数的定义和性质三角函数的定义主要有正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等。

在解题前必须明确这些函数的定义以及它们的图像、定义域、值域和周期等性质。

熟练掌握三角函数的定义和性质，可以帮助我们更快地解题，减少错误的可能性。

2、运用三角函数间的基本关系三角函数之间存在着很多基本关系，比如正弦和余弦的关系、正切和余切的关系、正割和余割的关系等。

理解这些基本关系，可以用一种函数来表示另一种函数和方便我们解题。

比如，对于一道题目中给出的正切和余切的关系，我们就可以利用正切和余切的定义式，将问题转化为正弦和余弦的关系，这样就更容易求解了。

3、掌握三角函数的反函数及展开式三角函数的反函数是解决一些特殊问题的关键。

比如，求反正弦或反余弦的值时，需要先确定解的范围，然后再利用反函数公式，求出对应的角度值。

展开式也是一种重要的技巧，可以将一些复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而更容易进行计算。

4、注意角度与弧度的转换在三角函数的运算中，角度和弧度单位经常需要相互转换。

因此，我们需要掌握角度与弧度相互转换的方法。

一般情况下，我们可以利用下列公式进行转换：- 弧度制转角度制：$180^\circ × \frac{π}{180}=π$- 角度制转弧度制：$π × \frac{180}{180^\circ}=180^\circ$同时，在解题过程中还要注意单位不一致的问题，经常需要将给出的数据转化为相同单位后再进行计算。

5、善于利用三角函数的图像解题三角函数的图像是帮助我们理解三角函数性质的重要工具。

通过观察函数的图像，我们可以判断函数在不同象限中的正负情况、奇偶性以及周期等特征。

高中数学中的三角函数解三角函数方程的基本技巧

高中数学中的三角函数解三角函数方程的基本技巧三角函数方程是高中数学中重要的一部分，解这种方程需要掌握一些基本的技巧和方法。

本文将介绍高中数学中解三角函数方程的基本技巧，并提供一些例题来帮助读者更好地理解。

一、利用基本三角函数的性质在解三角函数方程时，我们可以利用基本三角函数的性质来简化方程，使其更易求解。

下面是一些常用的基本性质：1. 余角关系：$sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx$，$cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx$，$tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx$，$cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx$。

2. 互余关系：$sin(\pi-x)=sinx$，$cos(\pi-x)=-cosx$，$tan(\pi-x)=-tanx$，$cot(\pi-x)=-cotx$。

3. 三角函数的正负关系：$sin(-x)=-sinx$，$cos(-x)=cosx$，$tan(-x)=-tanx$，$cot(-x)=-cotx$。

根据这些基本性质，我们可以将原方程转化为等价的简化形式，从而更方便地求解。

二、利用恒等变换在解三角函数方程时，我们还可以利用恒等变换将方程转化为更简单的形式。

下面是常用的一些恒等变换：1. 三角函数的和差化积：$sin(A\pm B)=sinAcosB\pm cosAsinB$，$cos(A\pm B)=cosAcosB\mp sinAsinB$，$tan(A\pm B)=\frac{tanA\pm tanB}{1\mp tanAtanB}$。

2. 三角函数的二倍角公式：$sin2A=2sinAcosA$，$cos2A=cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1=1-2sin^2A$，$tan2A=\frac{2tanA}{1-tan^2A}$。

3. 三角函数的半角公式：$sin\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$，$cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$，$tan\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA}}$。

2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)

三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。

高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀

第12讲三角函数一、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

三角函数中的拆角技巧

三角函数中的拆角技巧拆角技巧是在三角函数中化简、转换等问题中常常使用的技巧。

通过拆角，我们可以将一个较为复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，以便进行进一步的计算和分析。

下面，我将介绍一些常见的拆角技巧。

1.二倍角公式：正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) =2cos^2(θ) - 1 = 1 - 2sin^2(θ)正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = 2tan(θ)/(1 - tan^2(θ))这些公式对于角度的二倍角转换非常有用，可以减少计算的复杂度，常常用于证明和推导中。

2.半角公式：正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/2)余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)正切函数的半角公式：tan(θ/2) = sinθ/(1 + cosθ)半角公式常常用于计算较大角度的三角函数值，可以通过将大角度转换为半角度，然后使用较小角度的三角函数值进行计算和推导。

3.和差公式：正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ和差公式可以将一个三角函数的和或差转换为两个较简单的三角函数的乘积，便于进一步的计算和分析。

4.积化和差公式：正弦函数的积化和差公式：sinαsinβ = (cos(α - β) - cos(α + β))/2余弦函数的积化和差公式：cosαcosβ = (cos(α - β) + cos(α + β))/2积化和差公式可以将两个三角函数的乘积转换为两个较简单的三角函数的和或差，类似于和差公式，方便后续的计算和推导。

5.倍角公式：正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2(θ) - sin^2(θ)正切函数的倍角公式：tan2θ = 2tan(θ)/(1 - tan^2(θ))这些公式可以将一个角度的两倍转换为两个较简单的三角函数的乘积或差的形式，类似于二倍角公式。

三角函数中角的拆分与整合

三⾓函数中⾓的拆分与整合数学家名⾔多数的数学创造是直觉的结果，对事实多少有点⼉直接的知觉或快速的理解，⽽与任何冗长的或形式的推理过程⽆关。

—— 卢卡斯前⾔三⾓函数中⾓的拆分与整合，是个技术活；为何拆+整在求解三⾓函数问题时，常常需要对题⽬中给定的⾓进⾏拆分与整合，如果不做拆分和整合⼯作，也许能做出问题的答案，但是有些问题会⾮常⿇烦，还有⾓的拆分和整合技巧，也能体现我们的数学素养的⾼低和思维的灵活性，尤其在充分恰当的利⽤已知条件上，体现的淋漓尽致；№1已知 sin(α−π3)=1517sin(α−π3)=1517，α∈(π2,5π6)α∈(π2,5π6)，则 sinαsinα的值为【】A.817A.817B.15√3+834B.15√3+834C.15−8√334C.15−8√334D.15+8√334D.15+8√334法 1：不做拆分与整合⼯作的解法；将 sin(α−π3)=1517sin(α−π3)=1517打开整理，即12sinα−√32cosα=151712sinα−√32cosα=1517，则联⽴平⽅关系，得到接下来，转化为关于 sinαsinα的⼆次⽅程求解即可，思路很清晰，但是运算确实⽐较难；我算到⼀半就放弃了；法 2：采⽤拆分与整合⼯作的解法；因为α∈(π2,5π6)α∈(π2,5π6)，所以α−π3∈(π6,π2)α−π3∈(π6,π2) 是锐⾓，cos(α−π3)>0cos(α−π3)>0，cos(α−π3)=1−(1517)2=817cos(α−π3)=1−(1517)2=817，所以.=sin(α−π3)cosπ3+cos(α−π3)sinπ3=sin(α−π3)cosπ3+cos(α−π3)sinπ3=1517×12+817×√32=15+8√334=1517×12+817×√32=15+8√334，故选DD.反思总结：两相⽐较，你⾃然就能理解为什么要学习⾓的拆分和整合了；何时拆+整三⾓函数化简时需要⽤到拆分与整合；№2化简：√2+2cos8+2√1−sin8√2+2cos8+2√1−sin8分析：如果你能注意到 8=2×48=2×4，则可能想到利⽤⼆倍⾓公式，想办法将被开⽅数凑成⼀个完全平⽅数的形式，原式=√2√1+cos8+2√1−sin8=√2√1+cos8+2√1−sin8=√2√2cos24+2√sin24+cos24−2sin4⋅cos4=√2√2cos24+2√sin24+cos24−2sin4⋅cos4=2|cos4|+2√(sin4−cos4)2=2|cos4|+2√(sin4−cos4)2=2|cos4|+2|sin4−cos4|=2|cos4|+2|sin4−cos4|=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4反思总结：4rad≈229∘4rad≈229∘，终边在第三象限的后半段，此时cos4>sin4cos4>sin4。