电磁场与电磁波第五章
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显见R2 =z2 +{a2 +x2 -2axcos`} =(rcos)2+ a2+(rsin)2-2arsin cos ’ =r2+ a2-2arsin cos ’ 远场区r>>a
一般来讲a无限缩小，r>>a总可满足,令πa2=ds, Pm=IdS便成为微小磁偶极子：
这个式子对磁偶极子所在点外区域均成立。
-dl
立体角改变量为: 即: 书上错误
此为P点位移dl时的变量,那么P沿C移动一周时 立体角改为:
可得:
书上错误
环积分结果取决于ΔΩ,一般有两种情况:
(1)回路C不与源电流回路C`相套链: 此时,从某点开始又回到原始点, 则ΔΩ=0,上式可变为:
-dl
(2)回路C与源电流回路C`相套链:
即C穿过C`所围的面S`,取起点 为S`上侧的A点,终点为下侧的 B点,由于上侧的点所张的立体 角为(-2π),而下侧的为2π,故 ΔΩ=4π,
0 B x, y , z ) （ 4 0 B x, y , z ) （ 4
J ( x ', y ', z ') er dV ' 2 ' r V J S ( x ', y ', z ') er dS ' 2 ' r S
对照静电场中电荷作体分布时电场强度的表达式:
E (r ) E (r ) 1 4 0 1 4 0
1
Idl R 1 ( R3 ) 4 c
Idl eR ( R 2 ) 5.1.4 c
所以在外场中受到的安培力为:
dFm Idl B Idl H
B ( r ) 0 H ( r )
电磁场与电磁波第五章解读
（5-1-7b）
( H 0)
2 H H 0 2 t
2
（5-1-8a） （5-1-8b）
E 1 H t
第五章
平面电磁波
5.2 时谐电磁场的复数表示
时谐电磁场场矢量的每一个分量都随时间按正弦或余弦 形式变化。时谐场在工程实践中最常用，而且，任何周期性 或非周期性的电磁场都可以分解为许多不同频率的时谐场的 叠加。以下我们只讨论时谐电磁场。
解：(1)因为 所以
(2)因为
π sin( t kx ) cos( t kx ) 2
E (e y Ey 0 ez Ez 0 e
j
π 2
)e jkx (e y Ey 0 ez jEz 0 )e jkx
所以
(3)
π cos( kz t ) cos( t kz ), sin( kz t ) cos( t kz ) 2 a π π H [e x jH 0 k sin( x) e z H 0 cos( x)]e jkz a a
(5-2-26)
上式即为复坡印亭定理。 设介质介电常数 、磁导率 为复数，电导率为 ，则有
1 1 E J* E2 2 2
第五章
平面电磁波
j j 1 1 B H* ( ' j ) H 2 H 2 j H 2 2 2 2 2 j j 1 1 E D* ( j ) E 2 E 2 j E 2 2 2 2 2
第五章
平面电磁波
由此可以导出时谐场的复数形式波动方程为
2 E k 2 E 0 H k H 0
2 2
（5-2-19）
其中 k 2 2 。上述方程也称为齐次亥姆霍兹方程。 因此，对于时谐场，在各向同性均匀介质的无源区域内， 与式(5-1-7)和(5-1-8)相应的方程为
电磁场与电磁波课件第五章
E 0
B 0
D
J 0 t
恒定磁场与恒定电场相互无关，没有能量的相互转换 D B 时变电磁场 H J E J B 0 t t t 法拉第电磁感应定律和麦克斯韦位移电流假设，使得即使在远离场源 （天线）的无源区，时变电场与时变磁场也能相互转换，形成电磁场 的辐射和传播，也就是电磁波。 天线——产生电磁波辐射的能量装臵，以保证电磁波有方向性的辐射。
第五章 恒定电场与恒定磁场
第五章
电磁波的辐射
主 要 内 容
时谐电磁场，矢量磁位和标量电位的
达朗贝尔方程，坡印亭定理和坡印亭矢量，
电基本振子，对称天线
Nanjing
University
of
Information
Science
&
Technology
第五章 恒定电场与恒定磁场
恒定电磁场
H J
en E1 E2 0
B 0 en B1 2 D s en D1 2
B1 n B2 n 0
D1 n D2 n s
S t J S t
Nanjing University of
D E
H E j E j E j E
复介电常数
j j j
其中，
－－导电媒质的介电常数
－－导电媒质的损耗
A E 0 t
Nanjing University of Information Science & Technology
电磁场与电磁波(电磁场理论)第五章解读
求电场强度和磁场强度的瞬时表示式。
解：设电场强度的瞬时表示式为 式中
对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件t = 0、z =1/8 m 时，电场达到幅值，得
所以
磁场强度的瞬时表示式为
式中 因此
例5.1.4 自由空间中平面波的电场强度 求在z = z0 处垂直穿过半径R = 2.5m 的圆平面的平均功率。 解：电场强度的复数表示式为 自由空间的本征阻抗为
方向传播。当t = 0 和 z = 0 时 ，若 的表示式，并求出频率和波长。
解：以余弦为基准，直接写出
因
，故
则
例5.1.3 频率为100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿 +z 方
向传播，其电场 。已知该媒质的相对介电常数εr = 4、相对 磁导率μr =1 ，且当t = 0、z =1/8 m 时，电场幅值为10－4 V/m 。 试
(4)
解：（1） （2） 左旋圆极化波 右旋圆极化波 线极化波 左旋椭圆极化波
（3）
（4）
例5.3.1 一沿 x 方向极化的线极化波在海水中传播，取+ z 轴 方向为传播方向。已知海水的媒质参数为εr = 81、μr =1、
σ= 4 S/m ，在 z = 0 处的电场Ex = 100cos(107πt ) V/m 。求： （1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度；
（2）电场强度幅值减小为z = 0 处的 1/1000 时，波传播的距离
（3）z = 0.8 m 处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式；
（4） z = 0.8 m 处穿过1m2面积的平均功率。 解：（1） 根据题意，有
所以 此时海水可视为良导体。
故衰减常数
相位常数 本征阻抗 相速 波长
高等出版社电磁场与电磁波 第五章 均匀平面波在无界媒要点
电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 36 5.4 色散与群速色散现象：相速随频率变化电磁波的传播特性与介质参数( 、 和 有关，当这些参数和传播常数随频率变化时，不同频率电磁波的传播特性就会有所不同，这就是色散效应，这种媒质称为色散媒质。
单一频率的电磁波不载有任何有用信息，只有由多个频率的正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息。
群速：载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。
高等教育出版社出版电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 37 不同频率电磁波的叠加两个振幅均为Em、角频率分别为 0 + 和 0－ 、相位常数分别为0+ 和 0－ 的同向行波 E1 ( z, t ex Em cos[( 0 t( 0 z ] E2 ( z, t ex Em cos[( 0 t ( 0 z] E ( z, t E1 ( z, t E2 ( z, t ex 2 Em cos( t z cos( 0t 0 z振幅，包络波，以角频率 缓慢变化高等教育出版社出版合成波电场行波因子，代表沿 z 轴传播的行波电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 38 相速vp：载波的群速vg：包络波的恒定相位恒定相位点推进速度 0t 0 z C 0 vp 0d dvp点推进速度 d vg lim t z const 0由 vg vp vp vp vg d dd d( vp dvp d dvp———无色散 d vp dvp 0, v vd vp d d vp d dvp 0, vg vp——反常色—正常色散 vg g p d dvp 1 dvp vp d 0, vg vp散 d 高等教育出版社出版电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 39 例5.3.2 载频为 f=100 kHz 的窄频带信号在海水中传播，试求群速。
解：海水的参数： = 4，可视为良导体由S/m、 r = 81、 r = 1，当 f = 100 kHz 时，有 1vp ( 2 2 1.26 rad/m vp 5 105 m/s 0 631群速：vgvg > vp 反常色散媒质得 dvp d 631 1 (631 d d 2 5 105106 m/s > vp 5 105 m/s 631 1 1 vp 2 高等教育出版社出版。
电磁场与电磁波第5章.ppt
E z, t ex Ex z, t ex Em cos t kz xE
?
Em 104V / m
k 2 108 r r 2 108 4 4 0 0 8 3 10 3
2 f 2 108
E1x ( z) A1e
jkz
E1xme
j 1 x jkz
e
E1x Emcos(t kz) 的波形
E1x ( z, t ) Re[ E1xme j 1 x e jkz e jt ] E1xm cos(t kz 1x )
可见， A1e jkz 表示沿 +z 方向传播的波。 第二项 E2 x ( z ) A2e
；(2) 求 :(1) 传播方向 H m ex 6 e y 9 ez 3 A / m r , en
Hz 0
结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向 —— 横电磁波（TEM波）
鲁东大学 设电场只有x 分量，即 d 2 Ex ( z ) 2 E ( z ) ex Ex ( z ) k Ex ( z ) 0 2
dz
k
其解为： Ex ( z ) A1e jkz A2e jkz 解的物理意义 第一项
鲁东大学 。其实数形
0
π
2π
在不同时刻，波形如右图。
3π
kz
从图可知，随时间t增加，波形向+z方向平移。故：
e
jkz 表示向+z方向传播的均匀平面波函数；
同理可知：
e
jkz 表示向-z方向传播的均匀平面波函数；
亥姆霍兹方程通解的物理意义：表示沿z向(+z,-z)方向传播 的均匀平面波的合成波。
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
电磁场与电磁波(第5章)OKppt课件
泊松方程。
如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为
2 0
我们将这种形式的方程称为
拉普拉斯方程。它
是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。
拉普拉斯算符 2 在不同的坐标系中有不同的表达形式：
精选课件
9
在直角坐标系中
2
2
x2
y22
z22
在圆柱坐标系中 21 rr(rr)r1222 z22
式中a、b均为常系数。
5.3.3 唯一性定理
唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定 后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉 斯方程的解是唯一的。
精选课件
20
5.4 镜象法
镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来 代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷 称为镜象电荷，然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产 生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的 合成电场，这种方法称为镜象法。
1、静电场的基本方程
静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方
程为
D
s Dds v dv q
E 0
l Edl 0
上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可 能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。
精选课件
4
静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，
即
E
另外：电介质的物态方程为
精选课件
21
5.4.1 点电荷与无限大的平面导体的合成场计算
如图取直角坐标系，使z=0的平面与导体平面
z
重合，并将+q电荷放在z轴上。这时整个电场是静
q
电场，是由电荷q和导体平面上的感应电荷产生的。
电磁场与电磁波(西安交大第三版)第5章课后答案解析
第五章 习题5.1如图所示的电路中,电容器上的电压为)(t u c ,电容为C, 证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。
解：设电容器极板面积为S ，电容器中的位移电流为D i ,传导电流为c i c C C S D D i tu C t C u t q t S t D S SJ i =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂==)(ρ5.2由麦克斯韦方程组推导H满足的波动方程。
解：解：对麦克斯韦的旋度方程tE J H ∂∂+=⨯∇ε两边取旋度得tEJ H ∂∂⨯∇+⨯∇=⨯∇⨯∇ε上式左边利用矢量恒等式A A A 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到0=⋅∇H ，上式右端代入麦克斯韦方程t HE ∂∂-=⨯∇μ，得J tH H ⨯-∇=∂∂-∇222με5.3 在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明),(t r H满足下列方程0222=∂∂-∂∂-∇t H tH H μσμε 解：在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，麦克斯韦旋度方程为tE E H ∂∂+=⨯∇εσ两边取旋度得tEE H ∂∂⨯∇+⨯∇=⨯∇⨯∇εσ上式左边利用矢量恒等式A A A 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，并考虑到0=⋅∇H ，上式右端代入麦克斯韦方程t HE ∂∂-=⨯∇μ，得0222=∂∂-∂∂-∇t H tH H σμμε 5.4 在11,με和22,με两种理想介质分界面上z E y E xE E z y x ˆˆˆ0001++=z H y H xH H z y x ˆˆˆ0001++=求22,H E。
题5.4图解：由两种理介质分界面的边界条件 t t E E 21= n n E E 2211εε= t t H H 21= n n H H 2211μμ=得 z E y E xE E z y x ˆˆˆ021002εε++= ，z H y H x H H z y x ˆˆˆ021002μμ++=5.5在法线方向为x nˆˆ=的理想导体面上 t J y t J zJ y z S ωωcos ˆsin ˆ00-=求导体表面上的H。
电磁场与电磁波 第五章答案
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。
电磁场与电磁波(金立军)第五章答案
1.25 20 4 100
半
圆
受
到
的
力
为
题 5-9 图
F2 Idl B I ade Be z
BIa e d
0
BIa (cos e y sin e x )d
0
2 BIae x
2 1.25 120 1a x 50ex
e z 0 I 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ln 2 2 2 4 5 z x ( y 1) ( z 5)
则 A(3, 4,0) = ez 4.5 10 Wb / m
-6
y 1 y 1 B = A = ex (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 y 1 y 1 e x (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 x x e y (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 x x e y (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2
半
圆
受
到
的
力
为
题 5-9 图
F2 Idl B I ade Be z
BIa e d
0
BIa (cos e y sin e x )d
0
2 BIae x
2 1.25 120 1a x 50ex
e z 0 I 5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ln 2 2 2 4 5 z x ( y 1) ( z 5)
则 A(3, 4,0) = ez 4.5 10 Wb / m
-6
y 1 y 1 B = A = ex (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 y 1 y 1 e x (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 x x e y (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 x x e y (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 (5 z x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2 ) x 2 ( y 1) 2 ( z 5) 2
大学电磁场与电磁波第五章5.7时变电磁场的能量及功率
Ε
⋅
∂D
=
εΕ
⋅
∂Ε
=
1ε
∂(Ε ⋅ Ε)
=
∂
(
1
Ε
⋅
D)
∂t
∂t 2 ∂t
∂t 2
H
⋅
∂B
=
µH
⋅
∂H
=
1µ
∂(H
⋅H)
=
∂
(1
H
⋅ B)
∂t
∂t 2
∂t
∂t 2
再利用矢量恒等式： Ε ⋅∇ × H − H ⋅∇ × Ε = −∇ ⋅ (Ε × H )
即可得到坡印廷定理的微分形式
E
O
S
H
能流密度矢量
S(r,t)=E(r,t)H(r,t) 由于式中的E(r,t)和H(r,t)都是瞬时值，所以能流密度 S(r,t)也是瞬时值，只有当E(r,t)和H(r,t)同时达到最大值 时， S(r,t)才能达到最大。若某一时刻，E(r,t)或H(r,t) 为零，则S(r,t)=0。
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其 间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过 的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传
E
⋅
J
∂t 2
2
∫d
其中：
(1
E⋅D
+
1
H
⋅ B) dV
——
单位时间内体积V
中所增加
dt V 2
2
的电磁能量。
∫ E ⋅ J dV —— 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功； V 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。
∫− (E × H ) ⋅ dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。 S
电磁场与电磁波课件第5章
解：（1）设E的瞬时表示式为
E(z,t)
ex Ex
ex104
cos(t
kz )
2f 2 108
k
r r
c
2 108
3 10 8
4 4
3
当t=0，z=1/8时 t
E
(
z,
t
)
ex104
kz 0
cos(2 108t
上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式
表示为 或
1
Ex
Hy ez Ex
z
Ex H y ez
Hy
对于传播方向而言，电场及磁场仅具有
Ex
横向分量，因此这种电磁波称为横电磁波，或
称为TEM波。以后我们将会遇到在传播方向
z
上具有电场或磁场分量的非TEM波。
Hy
由上可见，均匀平面波是TEM波，只有非均匀平面波才可形成非 TEM波，但是TEM波也可以是非均匀平面波。
均匀平面波在无损耗介质中的特点
3. 电场强度、磁场强度、相速满足右手螺旋 关系。
4.电场强度和磁场强度的比值等于波阻抗 Ex ，真空中的波阻抗为 0 120 π 377 (Ω)，
Hy
由于波阻抗是实数，所以任意点的电场和磁 场是同相位的。
例1 已知均匀平面波在真空中向正 Z 方向传播，其电场强度的瞬时值
面上一个周期内所画出的轨迹的形状表示波 的极化 如果轨迹是直线，则波称为直线极化 如果轨迹是圆，则波称为圆极化 如果轨迹是椭圆，则波称为椭圆极化 注意：这里所说的极化与以前讨论过的介质 的极化是完全不同的
电磁场与电磁波金立军第五章答案
5-9
题
5-9
图示一个在
xy
平面上的弯曲线，通过
20A
电流。在这区域内的磁场为
B
1.25ezT
。求导
线所受的力。
解 两端直线受到力为 F1 F3 Idl B BIlex
1.25 20 4 100
半圆受到的力为
题 5-9 图
F2 Idl B I ade Bez
l z 2
dm
l z 2
(b2
m2 )3/ 2
ez
0b2 NI 2l
l z
arctan( 2 b
)
b sec2 d
b sec l
z
3
3
arctan( 2 )
b
ez
0 NI 2l
l z
2
( l z)2 b2
2
l z
2
(l 2
2.5107
上下两边产生的磁感应强度
B2
B4
2 10 4
左边产生的磁感应强度
B3
u0I 4
0
0.05da (0.05)a 0.053
6.28104
总的磁感应强度
B总
1.031035
题 5-2 图
5-3 在氢原子中，电子绕半径为 5.3×10-11m 的圆轨道运动，速度为 2200m/s，求圆轨道圆心处的磁场。
解 建立圆柱坐标系，另圆柱轴线为 z 轴。那么根据真空中的安培环路定律可知，
（1）在圆柱内线积分包围的部分电流为 I1
电磁场与电磁波_第五章
1 2
Re[ez
|
E
|2
1
|c
|
e j
]
ez
2
1
|c
|
|
E
|2
cos
总结
• 1. 电场E、磁场H与传播方向之间相互垂直， 仍然是横电磁波(TEM)
• 2. 电场与磁场的振幅呈指数衰减 • 3. 波阻抗为复数，电场与磁场不同相位 • 4. 电磁波的相速与频率有关 • 5. 平均磁场能量密度大于平均电场能量密
•
亥姆霍兹的 解为 ：
E
ex ex
exEx Exme( E x me z
ex Exme
j ) z
e jz
z
• 式中第一个式子 ez 表示电场的振幅随传播
距离 z而呈指数衰减， 称为衰减常数，表
示每传播一个单位距离其振幅的衰减量;第二
个因子 e jz是相位因子， 称为相位常数
•
瞬时值为：E
2ExmEym
Exm2
E
2 ym
cos
5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播
• 在导电媒质中，由于电导率不为零，当电 磁波在其中传播时，其中必然有传导电流， 这将导致电磁能量的损耗。
• 5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
• 在均匀导电媒质中，由
•得
H
J
jE
j(
j
)E
j cE
1
E
( H ) 0
• 可见，在弱导电媒质中，除了有一定的损 耗所引起的衰减外，与理想介质中平面波 的传播特性基本相同
5.3.3 良导体中的均匀平面波
• 良导体是指 1的媒质 • 传播常数为
j ( j ) j (1 j )
电磁场与电磁波第五章
D
三、复数形式的波动(bōdòng)方程——亥姆霍兹方程
波动方程
设为时谐场
2E
2E t 2
0
2E t 2
2
Re
t
2
Em
e
jt
Re 2
Em
e
jt
得
同理
2E k2E 0
亥姆霍兹方程
2H k 2H 0
式中 k 2 2
◇ 用复数形式研究时谐场称为频域问题。
◇ 复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。 第四页，共四十一页。
一． 基本概念 正弦电磁波由三个主要(zhǔyào)参量描述，即振幅，频率，相位。 1 ．等相面
相位相同(xiānɡ tónɡ)的点连成的面称为等相面。 2 ．波的分类：以等相面的形状分类。
球面波，柱面波，平面波 均匀平面波：等相面上振幅相等的平面波称为均匀平
面波。
非均匀平面波：等相面上振幅不等的平面波称为非均 匀平面波。
（2）
Ex Eme jkz Eme jkz
沿+z方向传播的波 沿-z方向传播的波
（3） 传播(chuánbō)特
性
将第一项写为瞬时值形式
(xíngshì)
Ex z,t Re Eme jkze jt Em cos t kz
均匀平面波的瞬时表示
在研究该均匀平面波的时空变量时有两种方式。时间观察方式是在固定的 空间位置观察变量随时间的变化。空间观察方式是在不同的确定时刻观察变 量随空间坐标的变化，就象多次拍照。
E0 ez 0 （即电场方向与传播方向垂直）
若均匀平面波沿 en方向传播,如图所示。
y 沿任意方向传播的波 z
第十五页，共四十一页。
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D J j
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
电荷守恒定律及介质特性方程也可写成复数形式
D E
B H
（5. 46） （5. 47） （5. 48）
J E J
例5.3
第五章 时变电磁场
§5.4 .2 复数形式的坡印廷定理
间坐标的函数，而与时间变量无关。 式中
E Re(Exme jt ex Eyme jt ey Ezme jt ez ) Re( Ee jt ) E Exmex Eymey Ezmez
（5. 28） （5. 29）
真实的场矢量是它的实部，即场矢量的瞬时表达式。
I2
I2 2 a
3
er
I2 Pr S径向d 2 3 2al l I 2R 2 a a 2
电阻R的耗散功率，即由于该段导体非理想形成电阻而消耗的功 率。
第五章 时变电磁场
§5.3 时变电磁场惟一性定理
时变电磁场的惟一性定理（Uniqueness Theorem） 在闭合面S包围的区域V中，当t=0时刻的电场强度E及磁场强 度H的初始值给定时，又在t>0的时间内，只要边界S上的电场 强度切向分量Et或者磁场强度的切向分量Ht给定后，那么在
2 Ey x
2
（5. 7） （5. 8） （5. 9）
2 Ey y
2
2 Ey z
2
2 Ey t
2
0
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 2 2 0 x 2 y z t
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。
2 2 2
（5. 21）
第五章 时变电磁场
§5.4 正弦电磁场
将电场的3个分量分别改写为下列复数的实部形式
Ex Re( Exme jt ) Ey Re(Eyme jt )
Ez Re(Ezme jt )
（5. 22-24）
Exm E ymEzm 分别称为3个电场分量的相量或复数振幅，它们仅为空
S
D dS dV J dS j dV
S V S V
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
麦克斯韦方程微分形式的复数形式
H J j D E jB B 0
（5. 41） （5. 42） （5. 43） （5. 44） （5. 45）
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
当场随时间变化时，空间各点的电磁能量密度也随时间改变， 从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入能流密 度(Energy Flow Density)矢量，又称为功率流动密度矢量，也称为 坡印廷（Poynting）矢量，用S表示，单位为W/m2（瓦/米2）。 其方向表示能量的流动方向； 其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位 面积的能量。
E( x, z) sin10 xe jkz zey
功率流密度矢量的平均值为
kz
) ex k z sin10 x ez 10 cos10 x e jkz z ( E j0 j0 j0
1 1 H ) Re[e x ( E y H z Ez H y ) e y ( Ez H x Ex H z ) ez ( Ex H y E y H x )] S av Re( S ) Re( E 2 2
b
H
E
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理 如果导体非理想，其电导率为 ，则导体内存在电场，即
E内 J
I ez 2 a
根据电场强度切向连续的边界条件，即 E外 E内
在内导体表面外侧有 S径向 r a E外 H r a
流入长度为l的导体段内部的功率为
量Et或磁场强度切向分量Ht给定；
（3）区域V中的源给定，时变电磁场满足麦克斯韦方程组。
第五章 时变电磁场
§5.4 正弦电磁场
当电荷或电流是时间的正弦函数时，空间任一点的电场和磁场 的每一个分量都是时间的正弦函数，称这类电磁场为时谐电磁 场或正弦电磁场。对于这种正弦场，各电磁场量可以很方便地 用相量（Phasor）形式表示。 设在空间中有一时变电场强度E,在直角坐标系中，它可表示为
ez
20
sin 2 10 x
自学Leabharlann 5.5第五章 时变电磁场
本章总结
1．时变电磁场的波动方程 2．电场能量密度与磁场能量密度
3．坡印廷矢量及坡印廷定理 4．时变电磁场的惟一性定理 5．麦克斯韦方程组的复数表示 6．复数形式的坡印廷定理
复数形式坡印廷定理的数学表示式
1 * 1 1 (E H ) dS E E*dV j ( E E* H H* )dV S 2 V 2 2 V 复坡印廷矢量，记为 S ，即
（5. 54）
= 1 (E H *) （5. 55） S 2 平均坡印廷矢量（即平均功率流密度矢量）为 1 T 1 T1 H )dt 1 T 1 Re( E He j 2t ) dt Sav = Sdt = Re( E 0 2 T 0 T 0 2 T 1 即 H ) 1 T Sdt S = Re( E
2 H H - 2 0 t
2 E E - 2 0 t
（5. 5）
（5. 6）
第五章 时变电磁场
§5.1 时变电磁场的波动性
在直角坐标系中波动方程可以分解为3个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 E x 2 Ex 2 2 2 0 2 x y z t
E( x, y, z, t ) Ex ( x, y, z, t )ex Ey ( x, y, z, t )ey Ez ( x, y, z, t )ez
（5. 17）
若该电场的3个分量的初始相位相等时，此时有
E E x E y Ez
2 2 2
Exm Eym Ezm cos(t )
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
麦克斯韦方程组的积分形式 H dl (J jD) dS
l S
（5. 36）
（5. 37） （5. 38） （5. 39） （5. 40）
E dl j B dS
l S
B dS 0
av
2
T
0
第五章 时变电磁场
§5.4 .2 复数形式的坡印廷定理
例 5.4 已知真空中的某时谐电场瞬时值为
E ( x, z, t ) sin10 x cos(t kz z)ey
试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。
解 电场强度复矢量为
则电场强度复矢量为
H ( x, z) 1
第五章 时变电磁场
解 若内外导体均为理想导体利用高斯定律和安培环路定律，得
E U
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
ln
b a
H
I 2
S
z
则
S EH
UI b 2 ln a
2
ez
a
a
则单位时间内通过任意横截面的能量 b （通过任意横截面的功率）为 UI 2d P Sd 2 UI L b 2 ln a
电磁场与电磁波理论
信息工程学院电子系
主讲教师：辛莉
Xinli_0601@
第五章 时变电磁场
本章提要
时变电磁场的波动性 电磁场的能量 坡印廷定理 时变电磁场惟一性定理 正弦电磁场
第五章 时变电磁场
§5.1 时变电磁场的波动性
时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，波动使时变电 磁场的叠加不仅要考虑矢量的方向，同时还要考虑波相位对叠加 的影响；电磁场的大小和方向随时间而变化，将导致介质的极化 和磁化特性随时而变，使介质呈现色散特性等。 在线性、各向同性的均匀媒质中，由麦克斯韦方程可得无源 区域中电场强度矢量E满足的波动方程 同理可得到无源区域中磁场强度矢量H满足的波动方程
S EH
（5. 13）
S、E、H三者是相互垂直的，且成右旋关系
H
E
S
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
任一时刻、空间任一点的能流密度矢量的大小为
S (r , t ) E (r , t ) H ( r , t )
（5. 14）
E(r,t)和H(r,t)都是瞬时值，所以能流密度S(r,t)也是瞬时值， 只有当E(r,t)和H(r,t)同时达到最大值时，能流密度S(r,t)才达到最 大。若某一时刻， E(r,t)或H(r,t)为零，则能流密度S(r,t)也为零。 例5. 2 同轴电缆的内外导体半径分别为a和b，其间为真空，如图 所示。导体内通有电流I，内外导体间电位差为U，求能流密度S 和功率P。
t>0的任意时刻，体积V中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟
一确定。为了证明这个定理，可以直接利用由麦克斯韦方程 导出的能量定理式，采用反证法进行证明。
第五章 时变电磁场
§5.3 时变电磁场惟一性定理
时变场的惟一性定理说明，在某区域V中，当满足以下3个条件 时，时变电磁场是惟一的： （1）初始条件，即在t＝0时区域V中的电磁场给定； （2）边界条件，即在包围区域V的边界S上，电场强度的切向分