电磁场与电磁波第五章
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S EH
（5. 13）
S、E、H三者是相互垂直的，且成右旋关系
H
E
S
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
任一时刻、空间任一点的能流密度矢量的大小为
S (r , t ) E (r , t ) H ( r , t )
（5. 14）
E(r,t)和H(r,t)都是瞬时值，所以能流密度S(r,t)也是瞬时值， 只有当E(r,t)和H(r,t)同时达到最大值时，能流密度S(r,t)才达到最 大。若某一时刻， E(r,t)或H(r,t)为零，则能流密度S(r,t)也为零。 例5. 2 同轴电缆的内外导体半径分别为a和b，其间为真空，如图 所示。导体内通有电流I，内外导体间电位差为U，求能流密度S 和功率P。
2 Ey x
2
（5. 7） （5. 8） （5. 9）
2 Ey y
2
2 Ey z
2
2 Ey t
2
0
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 2 2 0 x 2 y z t
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。
S
D dS dV J dS j dV
S V S V
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
麦克斯韦方程微分形式的复数形式
H J j D E jB B 0
（5. 41） （5. 42） （5. 43） （5. 44） （5. 45）
I2
I2 2 a
3
er
I2 Pr S径向d 2 3 2al l I 2R 2 a a 2
电阻R的耗散功率，即由于该段导体非理想形成电阻而消耗的功 率。
第五章 时变电磁场
§5.3 时变电磁场惟一性定理
时变电磁场的惟一性定理（Uniqueness Theorem） 在闭合面S包围的区域V中，当t=0时刻的电场强度E及磁场强 度H的初始值给定时，又在t>0的时间内，只要边界S上的电场 强度切向分量Et或者磁场强度的切向分量Ht给定后，那么在
间坐标的函数，而与时间变量无关。 式中
E Re(Exme jt ex Eyme jt ey Ezme jt ez ) Re( Ee jt ) E Exmex Eymey Ezmez
（5. 28） （5. 29）
真实的场矢量是它的实部，即场矢量的瞬时表达式。
复数形式坡印廷定理的数学表示式
1 * 1 1 (E H ) dS E E*dV j ( E E* H H* )dV S 2 V 2 2 V 复坡印廷矢量，记为 S ，即
（5. 54）
= 1 (E H *) （5. 55） S 2 平均坡印廷矢量（即平均功率流密度矢量）为 1 T 1 T1 H )dt 1 T 1 Re( E He j 2t ) dt Sav = Sdt = Re( E 0 2 T 0 T 0 2 T 1 即 H ) 1 T Sdt S = Re( E
2 H H - 2 0 t
2 E E - 2 0 t
（5. 5）
（5. 6）
第五章 时变电磁场
§5.1 时变电磁场的波动性
在直角坐标系中波动方程可以分解为3个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 E x 2 Ex 2 2 2 0 2 x y z t
量Et或磁场强度切向分量Ht给定；
（3）区域V中的源给定，时变电磁场满足麦克斯韦方程组。
第五章 时变电磁场
§5.4 正弦电磁场
当电荷或电流是时间的正弦函数时，空间任一点的电场和磁场 的每一个分量都是时间的正弦函数，称这类电磁场为时谐电磁 场或正弦电磁场。对于这种正弦场，各电磁场量可以很方便地 用相量（Phasor）形式表示。 设在空间中有一时变电场强度E,在直角坐标系中，它可表示为
D J j
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
电荷守恒定律及介质特性方程也可写成复数形式
D E
B H
（5. 46） （5. 47） （5. 48）
J E J
例5.3
第五章 时变电磁场
§5.4 .2 复数形式的坡印廷定理
E( x, z) sin10 xe jkz zey
功率流密度矢量的平均值为
kz
) ex k z sin10 x ez 10 cos10 x e jkz z ( E j0 j0 j0
1 1 H ) Re[e x ( E y H z Ez H y ) e y ( Ez H x Ex H z ) ez ( Ex H y E y H x )] S av Re( S ) Re( E 2 2
b
H
E
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理 如果导体非理想，其电导率为 ，则导体内存在电场，即
E内 J
I ez 2 a
根据电场强度切向连续的边界条件，即 E外 E内
在内导体表面外侧有 S径向 r a E外 H r a
流入长度为l的导体段内部的功率为
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
当场随时间变化时，空间各点的电磁能量密度也随时间改变， 从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入能流密 度(Energy Flow Density)矢量，又称为功率流动密度矢量，也称为 坡印廷（Poynting）矢量，用S表示，单位为W/m2（瓦/米2）。 其方向表示能量的流动方向； 其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位 面积的能量。
第五章 时变电磁场
解 若内外导体均为理想导体利用高斯定律和安培环路定律，得
E U
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
ln
b a
H
I 2
S
z
则
S EH
UI b 2 ln a
2
ez
a
a
则单位时间内通过任意横截面的能量 b （通过任意横截面的功率）为 UI 2d P Sd 2 UI L b 2 ln a
2 2 2
（5. 21）
第五章 时变电磁场
§5.4 正弦电磁场
将电场的3个分量分别改写为下列复数的实部形式
Ex Re( Exme jt ) Ey Re(Eyme jt )
Ez Re(Ezme jt )
（5. 22-24）
Exm E ymEzm 分别称为3个电场分量的相量或复数振幅，它们仅为空
t>0的任意时刻，体积V中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟
一确定。为了证明这个定理，可以直接利用由麦克斯韦方程 导出的能量定理式，采用反证法进行证明。
第五章 时变电磁场
§5.3 时变电磁场惟一性定理
时变场的惟一性定理说明，在某区域V中，当满足以下3个条件 时，时变电磁场是惟一的： （1）初始条件，即在t＝0时区域V中的电磁场给定； （2）边界条件，即在包围区域V的边界S上，电场强度的切向分
E( x, y, z, t ) Ex ( x, y, z, t )ex Ey ( x, y, z, t )ey Ez ( x, y, z, t )ez
（5. 17）
若该电场的3个分量的初始相位相等时，此时有
E E x E y Ez
2 2 2
Exm Eym Ezm cos(t )
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
麦克斯韦方程组的积分形式 H dl (J jD) dS
l S
（5. 36）
（5. 37） （5. 38） （5. 39） （5. 40）
E dl j B dS
l S
B dS 0
av
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
T
0
第五章 时变电磁场
§5.4 .2 复数形式的坡印廷定理
例 5.4 已知真空中的某时谐电场瞬时值为
E ( x, z, t ) sin10 x cos(t kz z)ey
试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。
解 电场强度复矢量为
则电场强度复矢量为
H ( x, z) 1
ez
20
sin 2 10 x
自学
5.5
第五章 时变电磁场
本章总结
1．时变电磁场的波动方程 2．电场能量密度与磁场能量密度
3．坡印廷矢量及坡印廷定理 4．时变电磁场的惟一性定理 5．麦克斯韦方程组的复数表示 6．复数形式的坡印廷定理
电磁场与电磁波理论
信息工程学院电子系
主讲教师：辛莉
Xinli_0601@126.com
第五章 时变电磁场
本章提要
时变电磁场的波动性 电磁场的能量 坡印廷定理 时变电磁场惟一性定理 正弦电磁场
第五章 时变电磁场
§5.1 时变电磁场的波动性
时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，波动使时变电 磁场的叠加不仅要考虑矢量的方向，同时还要考虑波相位对叠加 的影响；电磁场的大小和方向随时间而变化，将导致介质的极化 和磁化特性随时而变，使介质呈现色散特性等。 在线性、各向同性的均匀媒质中，由麦克斯韦方程可得无源 区域中电场强度矢量E满足的波动方程 同理可得到无源区域中磁场强度矢量H满足的波动方程
（5. 13）
S、E、H三者是相互垂直的，且成右旋关系
H
E
S
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
任一时刻、空间任一点的能流密度矢量的大小为
S (r , t ) E (r , t ) H ( r , t )
（5. 14）
E(r,t)和H(r,t)都是瞬时值，所以能流密度S(r,t)也是瞬时值， 只有当E(r,t)和H(r,t)同时达到最大值时，能流密度S(r,t)才达到最 大。若某一时刻， E(r,t)或H(r,t)为零，则能流密度S(r,t)也为零。 例5. 2 同轴电缆的内外导体半径分别为a和b，其间为真空，如图 所示。导体内通有电流I，内外导体间电位差为U，求能流密度S 和功率P。
2 Ey x
2
（5. 7） （5. 8） （5. 9）
2 Ey y
2
2 Ey z
2
2 Ey t
2
0
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 2 2 0 x 2 y z t
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。
S
D dS dV J dS j dV
S V S V
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
麦克斯韦方程微分形式的复数形式
H J j D E jB B 0
（5. 41） （5. 42） （5. 43） （5. 44） （5. 45）
I2
I2 2 a
3
er
I2 Pr S径向d 2 3 2al l I 2R 2 a a 2
电阻R的耗散功率，即由于该段导体非理想形成电阻而消耗的功 率。
第五章 时变电磁场
§5.3 时变电磁场惟一性定理
时变电磁场的惟一性定理（Uniqueness Theorem） 在闭合面S包围的区域V中，当t=0时刻的电场强度E及磁场强 度H的初始值给定时，又在t>0的时间内，只要边界S上的电场 强度切向分量Et或者磁场强度的切向分量Ht给定后，那么在
间坐标的函数，而与时间变量无关。 式中
E Re(Exme jt ex Eyme jt ey Ezme jt ez ) Re( Ee jt ) E Exmex Eymey Ezmez
（5. 28） （5. 29）
真实的场矢量是它的实部，即场矢量的瞬时表达式。
复数形式坡印廷定理的数学表示式
1 * 1 1 (E H ) dS E E*dV j ( E E* H H* )dV S 2 V 2 2 V 复坡印廷矢量，记为 S ，即
（5. 54）
= 1 (E H *) （5. 55） S 2 平均坡印廷矢量（即平均功率流密度矢量）为 1 T 1 T1 H )dt 1 T 1 Re( E He j 2t ) dt Sav = Sdt = Re( E 0 2 T 0 T 0 2 T 1 即 H ) 1 T Sdt S = Re( E
2 H H - 2 0 t
2 E E - 2 0 t
（5. 5）
（5. 6）
第五章 时变电磁场
§5.1 时变电磁场的波动性
在直角坐标系中波动方程可以分解为3个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 E x 2 Ex 2 2 2 0 2 x y z t
量Et或磁场强度切向分量Ht给定；
（3）区域V中的源给定，时变电磁场满足麦克斯韦方程组。
第五章 时变电磁场
§5.4 正弦电磁场
当电荷或电流是时间的正弦函数时，空间任一点的电场和磁场 的每一个分量都是时间的正弦函数，称这类电磁场为时谐电磁 场或正弦电磁场。对于这种正弦场，各电磁场量可以很方便地 用相量（Phasor）形式表示。 设在空间中有一时变电场强度E,在直角坐标系中，它可表示为
D J j
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
电荷守恒定律及介质特性方程也可写成复数形式
D E
B H
（5. 46） （5. 47） （5. 48）
J E J
例5.3
第五章 时变电磁场
§5.4 .2 复数形式的坡印廷定理
E( x, z) sin10 xe jkz zey
功率流密度矢量的平均值为
kz
) ex k z sin10 x ez 10 cos10 x e jkz z ( E j0 j0 j0
1 1 H ) Re[e x ( E y H z Ez H y ) e y ( Ez H x Ex H z ) ez ( Ex H y E y H x )] S av Re( S ) Re( E 2 2
b
H
E
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理 如果导体非理想，其电导率为 ，则导体内存在电场，即
E内 J
I ez 2 a
根据电场强度切向连续的边界条件，即 E外 E内
在内导体表面外侧有 S径向 r a E外 H r a
流入长度为l的导体段内部的功率为
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
当场随时间变化时，空间各点的电磁能量密度也随时间改变， 从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入能流密 度(Energy Flow Density)矢量，又称为功率流动密度矢量，也称为 坡印廷（Poynting）矢量，用S表示，单位为W/m2（瓦/米2）。 其方向表示能量的流动方向； 其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位 面积的能量。
第五章 时变电磁场
解 若内外导体均为理想导体利用高斯定律和安培环路定律，得
E U
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
ln
b a
H
I 2
S
z
则
S EH
UI b 2 ln a
2
ez
a
a
则单位时间内通过任意横截面的能量 b （通过任意横截面的功率）为 UI 2d P Sd 2 UI L b 2 ln a
2 2 2
（5. 21）
第五章 时变电磁场
§5.4 正弦电磁场
将电场的3个分量分别改写为下列复数的实部形式
Ex Re( Exme jt ) Ey Re(Eyme jt )
Ez Re(Ezme jt )
（5. 22-24）
Exm E ymEzm 分别称为3个电场分量的相量或复数振幅，它们仅为空
t>0的任意时刻，体积V中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟
一确定。为了证明这个定理，可以直接利用由麦克斯韦方程 导出的能量定理式，采用反证法进行证明。
第五章 时变电磁场
§5.3 时变电磁场惟一性定理
时变场的惟一性定理说明，在某区域V中，当满足以下3个条件 时，时变电磁场是惟一的： （1）初始条件，即在t＝0时区域V中的电磁场给定； （2）边界条件，即在包围区域V的边界S上，电场强度的切向分
E( x, y, z, t ) Ex ( x, y, z, t )ex Ey ( x, y, z, t )ey Ez ( x, y, z, t )ez
（5. 17）
若该电场的3个分量的初始相位相等时，此时有
E E x E y Ez
2 2 2
Exm Eym Ezm cos(t )
第五章 时变电磁场
§5.4 .1 麦克斯韦方程的复矢量形式
麦克斯韦方程组的积分形式 H dl (J jD) dS
l S
（5. 36）
（5. 37） （5. 38） （5. 39） （5. 40）
E dl j B dS
l S
B dS 0
av
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
T
0
第五章 时变电磁场
§5.4 .2 复数形式的坡印廷定理
例 5.4 已知真空中的某时谐电场瞬时值为
E ( x, z, t ) sin10 x cos(t kz z)ey
试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。
解 电场强度复矢量为
则电场强度复矢量为
H ( x, z) 1
ez
20
sin 2 10 x
自学
5.5
第五章 时变电磁场
本章总结
1．时变电磁场的波动方程 2．电场能量密度与磁场能量密度
3．坡印廷矢量及坡印廷定理 4．时变电磁场的惟一性定理 5．麦克斯韦方程组的复数表示 6．复数形式的坡印廷定理
电磁场与电磁波理论
信息工程学院电子系
主讲教师：辛莉
Xinli_0601@126.com
第五章 时变电磁场
本章提要
时变电磁场的波动性 电磁场的能量 坡印廷定理 时变电磁场惟一性定理 正弦电磁场
第五章 时变电磁场
§5.1 时变电磁场的波动性
时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，波动使时变电 磁场的叠加不仅要考虑矢量的方向，同时还要考虑波相位对叠加 的影响；电磁场的大小和方向随时间而变化，将导致介质的极化 和磁化特性随时而变，使介质呈现色散特性等。 在线性、各向同性的均匀媒质中，由麦克斯韦方程可得无源 区域中电场强度矢量E满足的波动方程 同理可得到无源区域中磁场强度矢量H满足的波动方程