2-拉姆齐模型

七、修正的黄金资本存量
定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于索洛模
型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金资本存量”。
定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡增
长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化的
家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*<k(gold)。
定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路径，而
是收敛于一个较低的水平c*。
【证明】c*<c(gold)的前提是，它表明贴现率较高，家庭和个人更
重视现期消费，而不是未来消费。
图示（在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响）：
c(gold)
c*
c0
c0
t
t
s较大的提高
s较小的提高
思考：在动态转移过程中ρ、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么？ 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。
九、基本结论
1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结 论。
2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于 后者特殊的参数和稳态。
3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基 础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资 本存量，因此c和k是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决定被内生 化了。
六、平衡增长路径
均衡点E(c*,k*)的解为： 因此模型中的各个变量的长期变动如下：
变量
含义
平衡增长速度
K
资本存量
n+g
绝 对
L
劳动力
n
量
A
知识或技术
g
AL
有效劳动
n+g
Y
总产出
n+g
C
总消费
n+g
k(Y/AL) 有效劳动的平均资本
0
相
K/L
人均资本
g
对
y(Y/AL) 有效劳动的人均产出
0
量
Y/L
人均产出
第3章 无限期界模型（拉姆齐模型）
一、问题的提出
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响 稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当时，与最优储蓄（相对应于 最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的 情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当时，只有在 给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储 蓄率的合理性。
4．拉姆齐模型避免了在索洛模型中的无效过度资本积累。 5．拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳态，会存在发散 的情况，而索洛模型则不会。
作业： （对比较静态的扩展）考虑当其他外生参数、和上升时，由和共同 决定的拉姆齐模型中的稳态均衡会发生怎样的变化？
k
（2）图中
【证明】
，，而收敛条件，故 <，因此。
（3）鞍点路径（或稳定臂）
c
=0
E
k*
k
根据相位图描绘在(c, k)空间上从初始值(c0, k0资本存量为负和超过资本黄金存量的轨
迹，得到鞍点路径（或稳定臂）。因为：
（1） 最终资本存量必须为正； （2）超过资本黄金存量会使发散（思考：为什么？），即家庭收 入的现值无穷大于消费的现值，这与家庭效用最大化的目标不一致。 因此，鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量的稳态、 资本存量非负和家庭预算约束的要求。对于任意k0，c0必须等于鞍点路 径上的相应值，并沿着鞍点路径收敛到均衡点E。
再考虑有效劳动的增长，， 代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得： 5．横截面条件 利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。 已知 ，故 将积分改写成为极限形式，有： 定义第v期的家庭资本持有量的总和为： 右式第一项表示第v期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表
示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。 整理有： 代入极限形式的预算约束得： ，表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 由于 因此， 6．家庭的最优化问题 根据前面的推导已知 a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）： b．跨期预算约束： （均从有效劳动的人均情况来考虑） 因此可以构造拉格朗日函数：
图示：s的变动对稳态和动态的人均消费的影响 c*
cgold
s低 sgold s高
s
c
动态无效区 c
cgold
s上升
s下降
t
那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析
跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定
1．完全竞争市场结构 2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义 的代际转让） 3．家庭和个人完全同质 4．忽略资本的折旧 5．暂不考虑政府行为 在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：
平时，。（思考：为什么？）
图示：
c
k
2．c的动态学（c的微分方程）
将代入欧拉方程，得：
当=0时，
再考虑非稳态的情况，当k>k*时，，则<0;
当k<k*时，，则>0。
图示：
c
=0
>0
<0
k*
k
3. k和c的动态学（k和c的微分方程组和横截面条件共同构成）
（1）综合上两图，有以下相位图：
c
=0
k* kgold
五、稳态均衡
1．k的动态学（k的微分方程）
与索洛模型一样，k的稳态的条件是实际投资等于持平投资。实际
投资为，持平投资为（n+g）k（没有考虑折旧）。因此，
（思考：该式表明f(k)的用途是什么？）
当时，
根据黄金律规则，当时，c最大，c随着k的增加先增加后下降。
再考虑非稳态的情况，当c超过使时的水平时，；当c低于使时的水
，，则 例如：一个两期的效用函数为，可以证明（思考：为什么？）。 常数替代弹性意味着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。 但决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，越小，家庭越愿意接受消费 较大的波动。 （3）边际效用为正；当<1时，边际效用随C增加而增加，当>1时， 边际效用随C增加而减少。 （4）是为保证效用不发散（受到约束）。 3．考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数 考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为 c(t)，有： [注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得： 再代入家庭效用函数，得： 其中，，（收敛条件） 4．家庭的跨期预算约束 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上 一生的收入（利息r和工资w，均为外生变量）。 定义，因此在0期投资的1单位产品在t期产生单位的产品，它说明在 期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。为现值因子。当r不变为时，则 R=t。（思考：如果r是变动的，平均r怎样表示？） 家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H，消费支出是C(t)L(t)/H，则家 庭的跨期预算约束为： 类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平 均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有： C(t)= A(t)c(t) K(0)= k(0)A(0)L(0)/H 代入得：
租让资本，获取利息 租用资本，支付利息 雇佣劳动，支付工资 购买产品，进行消费 提供劳动，赚取工资
厂商 家庭
相互拥有 销售产品，获得利润
三、厂商行为
沿用新古典生产函数 根据欧拉定理， 其中，资本的边际产品为：（真实利率） 有效劳动的边际产品为：（工资率）
四、家庭行为
1.一些假定和符号 总人口为L，以速率n增长，； 家庭的个数为H，每个家庭有L/H个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动； 资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H。 2. 家庭效用函数和即期效用函数 定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为： 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，为即期效用函数，为贴现率 （越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。 注意：表示将第t期的消费的效用按照贴现到第0期，即，。 即期效用函数的形式为： ，， 该函数具有以下三个特点：
八、比较静态和动态转移：贴现率的变动
贴现率变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动。 比较静态：由c的稳态条件可知，当贴现率下降时，k*提高，因此 =0线右移，导致c和k*都增加。
图示： c =0
E E’
k* k*’(k(gold)) k 动态转移：k连续变化，而c瞬时变化，均沿鞍点路径收敛于新均衡 点E’。
求解最优的c(t)使最大，对c(t)求导数，得到一阶条件为： 两边取对数得： 两边再对 t求导数，有： 因此， 这就是描述c调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改变一 生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。 对欧拉方程的理解： 已知，C(t)=c(t)A(t) 则 因此，当时，>0；当时，<0；越小，C的变化率越大。（思考：为 什么？） 此外，欧拉方程还说明了与之间的关系与区别（思考：是怎样的关 系和含义？）
（1） 边际效用弹性不变，为。 定义边际效用弹性。 （2）跨期替代弹性不变，为1/，表示相对风险回避系数不变。 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为： 由消费者均衡条件得： 代入得， 其中，（边际替代率） 图解：
C2
MRS
C1 可见，是射线比率的变化率，是切线斜率的变化率。 令时间1趋近于2，得到瞬时弹性（常数相对风险回避系数） 根据有：
g
c(Y/AL) 有效劳动的人均消费
0
C/L
人均消费
g
K/Y