第一节 随机事件的概念
概率论知识点
第一章随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是，在相同的条件下重复观察时，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先不能断言将出现哪种结果•例如,投掷一枚五分硬币，可能国徽”向上,也可能伍分”向上；从含有5件次品的一批产品中任意取出3件，取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一•指在科学研究或工程技术中，对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察（包括试验、实验、测量和观测等）,事先不能精确地断定其结果，而且在相同条件下可以重复进行，这种试验就称为随机试验。
样本空间：概率论术语。
我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为1。
样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点。
随机事件：实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E的样本空间I ■■的子集为E的随机事件，简称事件•在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.样本空间门包含所有的样本点，它是门自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集？不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A B =①，则称事件A与事件B是互斥（或互不相容）事件。
互逆事件：事件A与事件B满足条件A B =①，A B =1 ,则称A与B是互逆事件，也称A与B是对立事件，记作B （或A = B ）。
互不相容完备事件组：若事件组A,A2,…A满足条件A i A j二①，（i,i=t n ）,nA-、_:，则称事件组A, A2,…A n为互不相容完备事件组（或称A, A2,…A n为样本空i=1间门的一个划分）。
§ 1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。
随机事件的概念
(5)你能列举与事件(3)相似的事件吗？
师生活动：学生根据题意完成操作，针对问题，小组内讨论解答，教师进行提问，订正答案后，进行总结．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
活动三：提出问题，探索概念
展示问题：
(1)什么是必然事件，什么是不可能事件，什么是随机事件？
(2)怎样的事件称为随机事件呢？
④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形．
其中确定性事件有(B)
A．1个B．2个C．3个D．4个
活动
活动：学生自主进行解答，教师进行巡视、个别指导，最后全班交流，订正答案，教师做好最后总结．
数学公式、定理、公理等属于必然事件；确定性事件包括必然事件和不可能事件.
活动二：小组合作，掷一枚质地均匀的正方体骰子，一人掷，其他人观察并做好记录，骰子的六个面上分别标有1至6的点数．掷一次骰子，观察骰子向上一面的点数，同学们可通过大量试验，来发现并回答以下问题：
(1)可能出现哪些点数？
(2)出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
(3)出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
(3)必然事件和不可能事件的区别在哪里？
师生活动：学生用自己的语言进行描述，教师给予充分的肯定和鼓励，师生共同总结．
教师讲解并板书：
在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件．
在一定条件下，不可能发生的事件叫做不可能事件．
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
其中必然事件与不可能事件统称确定性事件．
教学设计
随机事件的概念
课题
第1课时 随机事件的概念
授课人
教
概率论重要知识点总结
概率论重要知识点总结概率论重要知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
下面为帮助同学们更好地理解概率论，小编汇总了关于概率论的重要知识点总结，希望对同学们学习上有所帮助。
第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω 表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A－B。
用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时可记为A＋B。
对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC) ABAC（4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω 个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ 理解为长度或体积即可. 第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的`相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)= 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= 两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
《8.1.1 随机事件的概念》学历案-中职数学高教版21基础模块下册
《随机事件的概念》学历案（第一课时）一、学习主题本学习主题为《随机事件的概念》，是中职数学课程中概率与统计的基础知识之一。
本课时将引导学生认识随机事件的概念、特征及分类，理解其在现实生活中的应用，并培养学生的数据分析与推理能力。
二、学习目标1. 知识与理解：掌握随机事件的定义及基本特征，能分辨随机事件与确定事件的区别。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生从具体问题中抽象出随机事件的能力。
3. 情感态度与价值观：引导学生体会随机事件在生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和好奇心。
三、评价任务1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、互动情况及对知识点的理解程度。
2. 作业评价：通过课后作业的完成情况，评价学生对随机事件概念的理解及运用能力。
3. 小组讨论评价：组织学生进行小组讨论，评价学生在团队合作中分析、解决问题的能力。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例（如抛硬币、抽卡片等）引出随机事件的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：通过PPT、板书等形式，详细讲解随机事件的定义、特征及分类。
重点强调随机事件与确定事件的区别。
3. 实例分析：选取几个生活中的实例，引导学生分析其中涉及的随机事件，培养学生从具体问题中抽象出随机事件的能力。
4. 课堂互动：提出问题，组织学生进行课堂讨论，加深学生对随机事件概念的理解。
5. 总结回顾：对本课时所学知识进行总结回顾，强调重点、难点内容。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过小测验的形式，检测学生对随机事件概念的理解及运用能力。
2. 课后作业：布置相关练习题，要求学生运用所学知识解答，巩固对随机事件概念的理解。
3. 学习反思：要求学生完成学习反思，总结本课时的收获与不足，为后续学习做好准备。
六、学后反思通过本课时的学习，学生应该能够掌握随机事件的概念及基本特征，能分辨随机事件与确定事件的区别。
在教学过程中，教师应关注学生的反馈，及时调整教学方法和策略，确保学生能够充分理解并掌握所学知识。
高中数学知识点：随机事件的概念
高中数学知识点：随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；
确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.
(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.
要点诠释：
1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；
2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.
第1 页共1 页。
1-1随机事件的概念
注 1° 试验不同，样本空间不同。
2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的 样本空 间也不同.
如： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{ HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0, 1,
2,
3}.
3°一个样本空间可以概括许多内容大不相同 的实际问题。
如： 只包含两个样本点的样本空间,
{H , T }
0 1模型
它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
但能事先明确试验的所有可能结果。
实例 “抛掷一枚硬币，观察正面、反面
出现的情况”。
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面，反面;
进行一次试验之前不能确定 哪一个结果会出现，故为随机试验。
同理可知下列试验都为随机试验 1.“从一批产品中，依次任选三件，记录
帕斯卡、费马、惠更斯
他们三人提出的解法中,都首先涉及了 数学期望
这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象, 随机现象。
1.确定性现象 在一定条件下可以准确预言结果的现象称为 确定性现象.又称必然现象。 实例 “在一个标准大气压下100度的水必定沸腾 ”; “没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落 ”; “函数在间断点不存在导数”;
出现正品与次品的情况”.
2. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
概率论
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。
1-1节随机事件的概念
二,随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 "太阳不会从西边升起", 太阳不会从西边升起" "水从高处流向低处", 水从高处流向低处" "同性电荷必然互斥", 同性电荷必然互斥"
(2) 试验的所有可能结果 试验的所有可能结果: 正面,反面 正面,反面; (3) 进行一次试验之前不能 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 确定哪一个结果会出现 同理可知下列试验都为随机试验 1."抛掷一枚骰子,观察出现的点数". "抛掷一枚骰子 观察出现的点数 观察出现的点数" 2."从一批产品中,依次任选三件 "从一批产品中 依次任选三件 依次任选三件, 录出现正品与次品的件数" 记 录出现正品与次品的件数". 故为随机试验. 故为随机试验
随机试验, 随机试验,样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 每一个随机试验相应地有一个样本空间 样 本空间的子集就是随机事件. 本空间的子集就是随机事件 随机试验 样本空间 子集 随机事件
必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件
�
2. 概率论的应用
概率论是数学的一个分支,它研究随机现象 概率论是数学的一个分支 它研究随机现象 的 数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科 数量规律 学 领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 领域 例如天气预报 地震预报 产品的抽样调查 在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨 在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性 分辨 率 等等. 等等
专题01 随机事件(基础)(解析版)
专题01 随机事件要点一、必然事件、不可能事件和随机事件1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.一、单选题1．（2019·河北九年级其他模拟）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12【答案】D【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；故选D．【点睛】此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件定义．2．（2020·威远县凤翔中学九年级月考）下列判断正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件【答案】C【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D．“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．故选C．【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．3．（2014·山西九年级专题练习）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【答案】A根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选A．4．（2020·广西河池市·九年级二模）下列事件中，属于必然事件的是（．A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（2020·厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）九年级其他模拟）下列事件是必然事件的是（）A．乘坐公共汽车恰好有空座B．同位角相等C．打开手机就有未接电话D．三角形内角和等于180°【答案】D【解析】A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；B．同位角相等，是随机事件；C．打开手机就有未接电话，是随机事件；D．三角形内角和等于180°，是必然事件，故选D．二、填空题6．（2020·江苏盐城市·）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．【答案】随机．【解析】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件，故答案为随机．7．（2020·全国八年级课时练习）一个口袋中装有红、黄、蓝三个大小和形状都相同的三个球，从中任取一球得到红球与得到蓝球的可能性______．【答案】相等【解析】一个口袋中装有红,黄,蓝三个大小和形状都相同的三个球,从中任取一球得到红球的概率是1 3, 从中任取一球得到蓝球的概率是13,所以从中任取一球得到红球与得到蓝球的可能性相等,故答案为:相等.8．（2019·昆明市实验中学九年级期末）下列事件：①打开电视机，它正在播广告；②从一只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰是白球；③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和＜13；④抛掷硬币 1000 次，第 1000 次正面向上，其中为随机事件的有_____个．【答案】2【解析】【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详解】①打开电视机，它正在播广告是随机事件；②从一只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰是白球是不可能事件；③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和＜13是必然事件；④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上是随机事件；故答案为：2．【点睛】本题主要考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．（2020·全国九年级单元测试）班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围是_____．【答案】18＜a＜33【分析】利用随机事件的定义进而得出答案.【详解】∵班里有18个男生15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到的是必然事件，．18．a．33.【点睛】本题考查的知识点是随机事件的定义，解题关键是正确把握定义．三、解答题10．（2015·山西九年级专题练习）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个.．1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：．2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于45，求m的值.【答案】(1) 4．2或3．．2．m=2.【解析】试题分析：．1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；．2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．试题解析：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件，故答案为4．2．3.．2）根据题意得：64= 105m．解得：m=2．所以m的值为2.11．（2018·全国九年级单元测试）抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为1﹣6点）1次，落地后：（1）朝上的点数有哪些结果？他们发生的可能性一样吗？（2）朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件的发生可能性大小相等吗？（3）朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4，这两个事件的发生可能性大小相等吗？如果不相等，那么哪一个可能性大一些？【答案】（1）它们的可能性相同；（2）发生的可能性大小相同；（3）朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4可能性大小不相等，朝上的点数不大于4发生的可能性大【解析】【分析】(1)根据实验可能出现情况分析；（2）列出所有可能，计算概率；（3）根据具体情况计算概率.【详解】解：（1）因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为1﹣6点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，所以它们的可能性相同；（2）因为朝上的点数是奇数的有1，3，5，它们发生的可能性是12，朝上的点数是奇数的有2，4，6，它们发生的可能性是1 2所以发生的可能性大小相同；（3）因为朝上的点数大于4的数有5，6，发生可能性是26=13，朝上的点数不大于4的数有1，2，3，4，发生可能性是46=23，所以朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4可能性大小不相等，朝上的点数不大于4发生的可能性大．【点睛】本题考核知识点：概率. 解题关键点：根据具体情况计算概率.12．（2020·灌云县四队中学八年级月考）在三个不透明的布袋中分别放入一些除颜色不同外其他都相同的玻璃球，并搅匀，具体情况如下表：在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？(1)随机从第一个布袋中摸出一个玻璃球，该球是黄色、绿色或红色的；(2)随机的从第二个布袋中摸出两个玻璃球，两个球中至少有一个不是绿色的；(3)随机的从第三个布袋中摸出一个玻璃球，该球是红色的；(4)随机的从第一个布袋中和第二个布袋中各摸出一个玻璃球，两个球的颜色一致．【答案】．1）必然事件．．2）必然事件．．3）不可能事件．．4）随机事件.【解析】试题分析：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据定义即可作出判断．试题解析．．1）一定会发生，是必然事件．．2）一定会发生，是必然事件．．3）一定不会发生，是不可能事件．．4）可能发生，也可能不发生，是随机事件.13．（2020·全国七年级课时练习）从1．2．3．4．5这五个数中任意取两个相乘，问：．1）积为偶数，属于哪类事件？有几种可能情况？．2）积为奇数，属于哪类事件？有几种可能情况？．3）积为无理数，属于哪类事件？【答案】（1）随机事件，7；（2）随机事件，3；（3）不可能事件【详解】（1）积为偶数的有2，4，6，8，10，12，20共7种可能，是随机事件；（2）积为奇数的有3，5，15，共3种可能，是随机事件；（3）∵这五个数都是整数，∴积为整数，不可能是无理数，∴积为无理数，属于不可能事件．【点睛】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．14．（2018·全国九年级单元测试）下列事件中，哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是随机事件？(1)中秋节晚上一定能看到月亮；(2)各边相等的多边形是正多边形；(3)在面值为1元、2元、5元的三张人民币中任取两张，面值的和小于8元；(4)买一张彩票，末位数字是8．(5)从装有2个红球和3个黄球的袋子中摸出一个白球．【答案】(3)是必然事件，(1)(2)(4)是随机事件，(5)是不可能事件．【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【详解】(1)是随机事件；(2)是随机事件；(3)是必然事件；(4)是随机事件；(5)是不可能事件．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．15．（2018·全国七年级单元测试）在不透明的袋子中装有4个红球和7个黄球,每个球除颜色外都相同,(1)从中任意摸出一个球,摸到球的可能性大.(2)如果另外拿5个球放入袋中,你认为怎样放才能让摸到红球和黄球的可能性相同?【答案】(1)黄;(2)放入4个红球,1个黄球【解析】试题分析：（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．．2）另外放入5个球，那么共有16个球，每个球各有8个时，摸到红球和黄球的概率都是12．试题解析：解：（1）摸到红球的可能性为：411．摸到黄球的可能性为711．故摸到黄球的概率大；．2）拿5个球放入袋中，那么共有16个球，每个球有8个时，可能性相同，∴要放入4个红球，1个黄球．点睛：本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．。
概率论
1第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件一. 必然现象与随机现象在自然界里，在生产实践和科学实验中，人们观察到的现象大体可归结为两种类型。
一类是可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或是根据它过去的状态，在相同条件下完全可以预言将来的发展。
我们把这一类型现象称之为确定性现象或必然现象。
如在一个大气压下，水在100度时会沸腾等。
一类是事前不可预言的，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或是知道它过去状况，在相同条件下，未来的发展事前却不能完全肯定。
这一类型的现象我们称之为偶然性现象或随机现象。
如掷一个质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，或是背面向上。
二. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为ω；它们的全体称为样本空间, 记为Ω.事件 是指某一可观察特征的随机试验的结果。
基本事件是相对观察目的而言不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.如掷一枚骰子，向上的一面会出现1点，2点，3点，4点，5点，6点。
则样本点有6个。
若记,16i i i ω=≤≤，i ω即为样本点。
样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=。
记{}i i A ω=，i A 为一个基本事件，把“出现偶数点”这样一个事件记为B ，则246{,,}B ωωω=。
B 为一个复合事件。
三. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,第二节 随机事件的概率一. 概率的定义定义1 设E 是随机试验, Ω是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件:1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：()1P Ω=;3. 可列可加性：设 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i AP A P2则称)(A P 为事件A 的概率.二. 概率的性质性质1：()0P ∅=。
概率论与数理统计初步(第一节 随机事件与概率)
解 根据题意知 ， ，， ， ，，
例4 随机地抽取三件产品，设表示“三件产品中至少有一件是废
品”，表示“三件中至少有两件是废品”,表示“三件都是正品”，
问，，，，各表示什么事件？
解 =“三件都是正品”；
=“三件产品中至多有一件废品”；
=（必然事件）；
（不可能事件）；
=“三件中恰有一件废品”。
例5 向目标射击两次，用表示事件“第一次击中目标”，用表示事
定义4 在同样条件下进行大量的重复试验，当试验次数充分大时， 事件发生的频率必然稳定在某一确定的数附近，则称为事件的概率，记 为，即有。
以上定义称为事件概率的统计定义。根据此定义和频率的有关性质 可知概率具有以下性质：
性质1 ≤≤； 性质2 ； 性质3 ； 性质4 若事件与事件互不相容，则。 这一性质可以进行推广：设为两两互不相容的个事件，则
第七章 概率论与数理统计初步
第一节 随机事件与概率
1．1 随机试验与随机事件 1．随机现象与随机试验
自然界和社会上发生的现象是多种多样的。有一类现象在一定 的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。例如，沿水平方 向抛出的的物体，一定不作直线运动。另一类现象却呈现出非确定 性。例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能 是“反面向上”。又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产 品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。这类现象可看 作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一 个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。人们发现， 这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验 或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类 现象为随机现象。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门数学学科。
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案
当且仅当属于该集合的某一个样本点在试验中出现。不可 能事件就是空集Φ 。必然事件就是样本空间Ω 。于是事件 之间的关系和运算就可以用集合论的知识来解释。 为了直观，人们还经常用图形表示事件。表示方法与集 合论中表示集合的方法相同。 （三）事件之间的关系及其运算 1.事件的包含 如果事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每一 个样本点也属于B,则称事件B包含事件A，或称事件A包含于 事件B中。记作 B⊃A，A⊂B B⊃A的一个等价说法是：如果事件B不发生，必然导致事 件A也不会发生。显然对于任何事件A,有 Φ ⊂A⊂Ω 。
8. 完备事件组 若事件A1,A2,…,An为两两互不相容的事件，并且A1+A2+… +An=Ω ,则称A1,A2,…,An构成一个完备事件组。 例1，例2，例3，例4
7
§1.2 概率 概率论研究的是随机现象量的规律性。因此仅仅知道试验中 可能出现哪些事件是不够的，还需要对事件发生的可能性大小 的问题进行描述。 上面所提到的随机事件在一次试验中是否发生是不确定的， 但是在大量的重复试验中，它的发生确具有统计规律性，所以 应用中从大量的试验出发来研究它。 先来看看两个例子，掷一枚均匀硬币的试验中，出现文字 （反面）或国徽（正面）的事件，总体来看，在试验中两面中 总有一面会出现，而且他们出现的机会是相等的。但是在一次 是一次试验中，这两面中究竟哪一面出现我们无法确定，但我 们可以确定两面出现的机会是相等的。又如，掷一枚均匀的 骨殳子，在一次试验中，1点，2点，3点，4点，5点，6点都可
15
全非废品的概率。 例3 两封信随机的向标号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒 投寄，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 补充例题 例题1 随机地安排甲、乙、丙三人在一星期内各学习一 天，求： （1）恰好有一人在星期一学习的概率； （2）3人学习日期不相重的概率； 解：（1）基本事件的总数为7×7×7=343 甲、乙、丙三人中只有一人排在星期一由3种排法A31其余两 人排在其余的6天之中的任何一天，没人有6种排法，所以 三人中在一周内切恰有一人排在周一的排法共有A31×62=3× 36=108,所以恰好有一人在星期一学习的概率为108/343。
1-1节随机事件的概念
察出现的点数”.
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”
实例4
“从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “一只灯泡的寿命” 可长可短.
随机现象的分类 个别随机现象现象：原则上不能在相同条件下重 复出现（例5） 大量性随机现象现象：在相同条件下可以重复出 现（例1-4） 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系 , 其数量关系无法用函数的形式加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的 出现具有一定的统计规律性 。 概率论就是研究 随机现象及其统计规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人 数. 4. 考察某地区 10 月
份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用 或S表示
第 一 章
随 机 事 件 及 其 概 率
第一节 随机事件的概念及其运算
一、 随机现象
二、 随机试验 三、 样本空间 样本点
四、 随机事件的概念 五、 小结
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、随机试验
1.问题的提出 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的.
2.定义 在概率论中, 把具有以下两个特征的试验 称为随机试验.
1. 允许在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的结果具有随机性，即结果会 不一定相同，试验之前不能确定哪一个结果出现，
但能事先明确试验的所有可能结果.
注 1° 随机试验简称为试验, 是一个广泛的 术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客 观事物行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2°随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面，反面;
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “在相同条件下生产同一种零件，观察 它们的尺寸”. 结果: “它们的尺寸总会有一点差异 ”.
实例3 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
2. 概率论的应用 近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论
大量应用到国民经济、工农业生队 论、控制论等，都是以概率论作为基础的.
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象, 随机现象. 1.确定性现象
在一定条件下可以准确预言结果的现象称为 确定性现象.也称为必然现象.
四、样本空间 样本点
1. 问题的提出 随机试验的结果怎么去表述？ 现代集合论为表述随机试验提供了一个方
便的工具. 2. 定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集 合称为 E 的样本空间, 记为 .
样本空间的元素 , 即试验E 的每一个(最简 单的不能再分解的)可能结果, 称为样本点， 记 作.
2019/9/7
2
第一节 随机事件的概念
一、概率论的诞生及应用
二、随机现象
三、随机试验
四、样本空间 样本点
回
五、随机事件的概念
停
下
一、概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生 概率论是一门研究随机现象规律的数学分支.
起源于十七世纪，当时在误差、人口统计、人寿 保险等范畴中，需整理和研究大量的随机数据资
实例4 “从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品”.
其结果可能为: 正品 、次品
实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果.
3. 随机现象的分类 个别随机现象： 原则上不能在相同条件下重
复出现（例6）. 大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现
料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律 性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论 的问题，却是来自赌博者的问题 . 数学家费马向 帕斯卡提出下列的问题： “有两个赌徒相约赌 若干局，谁先赢 s 局就算赢, 当赌徒A赢a局(a < s),
而赌徒B赢b局(b < s)时, 赌博中止, 那赌本如何
（例1-5）.
注 1°随机现象揭示了条件和结果之间的非确 定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2°随机现象从表面上看，似乎杂乱无章, 没 有规律.但实践证明, 如果同类的随机现象大量重 复出现, 它的总体就呈现出一定的规律性.
这种规律性随着我们观察的次数的增多而 愈加明显.这种由大量同类随机现象所呈现出来 的集体规律性叫做统计规律性.概率论和数理统 计就是研究这种统计规律性的数学学科.
例1 写出下列随机试验的样本空间. 1)观将一枚硬币连抛N次,观察正面出现的次数.
1 {0,1, 2, 3, , N } 2) 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3) 从一批产品中,依次任选三件,记录 出现正品与次品的情况. 记 Z 正品, C 次品. 则 Ω3 { ZZZ, ZZC, ZCZ , CZZ , ZCC, CCZ , CZC, CCC }.
进行一次试验之前不能确定 哪一个结果会出现. 故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件,记录 出现正品与次品的件数”.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
样本空 间也不同. 如： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
4) 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.
Ω4 {0, 1, 2,}.
5) 考察某地区 12月份的平均 气温.
Ω5 {t T1 t T2}.
其中 t 为平均温度 . 6) 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
Ω6 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
注 1° 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的
实例 “在一个标准大气压下100度的水必定沸腾 ”; “没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落 ”; “恒定外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然 作匀速直线运动”;
“函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征
条件完全决定结果.
2. 随机现象 在基本条件完全相同的条件下，可能发生
也可能不发生的现象称为随机现象.
分才合理?” 于是他们从不同的理由出发,都给出 了正确的解法，而在三年后,荷兰的数学家惠根斯 (1629-1695)亦用自己的方法解决了这一问题, 更 写成了《论赌博中的计算》一书, 此即概率论最 早的论著, 在他们三人提出的解法中, 首先都涉 及了数学期望(mathematical expectation) 这一概念，并由此奠定 了古典概率论的基础.