辽宁省五校高一数学上学期期末考试试题
辽宁省五校学年度高中高一上学期期末联考数学试卷试题包括答案.docx
2013～ 2014 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷命题学校：大连市第二十四中学命题人：庄杰 校对人：李响第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1.已知集合 A{1,2}, B {1,2,3} ，集合 C{ t |txy, xA, y B} ，则集合 C 中的元素个数是（ ）（ A ） 4(B) 5 (C) 6(D)72.已知空间两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面,，则下列命题正确的是（ ）（ A ）若 m / / , n , 则 m / /n (B) 若m, m n, 则 n(C) 若 m / /, n / / ,则 m / / n(D) 若 m / / , m, n, 则 m / / n3.在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9), B(10, 1,6), C( x,4,3) 为顶点的ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，则实数 x 的值为（）（ A ） -2 (B) 2 (C) 6(D)2 或 64.设 f (x)x 2,( x 10)f [ f ( x，则 f (5)（）6)],( x 10)（ A ） 10(B) 11(C) 12(D)135.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） （ A ）23(B) 23(C)11 (D)10 36336.已知函数 f (x)2x 1 ，对于满足 0 x 1 x 2 的任意 x 1 , x 2 ，下列结论：（ 1） ( x 2 x 1)[ f (x 2 ) f ( x 1 )] 0 ；（ 2） x 2 f ( x 1 ) x 1 f ( x 2 )（ 3） f ( x 2 )f ( x 1 ) x 2 x 1 ；（4）f (x 1)f ( x 2)f (x1x2 )22其中正确结论的序号是（）（ A ）（ 1）（ 2） (B) （ 1）（ 3） (C) （ 2）（ 4）(D) (3)(4)7.设 A, B 是 x 轴上的不同两点，点P 的横坐标为2 ， |PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为x y 10 ，则直线 PB 的方程是（ ）（ A ） xy 50 (B) 2xy 1 0(C) 2 y x 4 0 (D) 2x y 7 08.下列结论： ①函数yx 2 和 y ( x )2 是同一函数； ②函数 f ( x 1) 的定义域为 [1,2] ，则函数 f ( 3x2 )的定义域为[ 0 ,3]；③函数y log2 (x22x3)的递增区间为3( 1,) f (2 x1)的最大值为3 f (12x)的最小值就是3.；④若函数，那么其中正确的个数为 ()（ A） 0 个(B) 1 个(C) 2 个(D) 3 个9.曲线y4x21( 2x2)与直线 y kx2k 4 有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是（）（ A）(53](B)5,)(C)13(D)(5)3),4(( ,),( , 121234124110.已知f ( x)为偶函数，当x0 时，f ( x)( x1)21，满足 f [ f (a)]的实数 a 的2个数为（）（ A） 2(B) 4(C) 6(D) 811.在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为36， M ， N分别是SC,BC的中点，且MN AM ,则此三棱锥侧棱SA= （）（ A） 1(B) 2(C)3(D) 2 312.定义函数y f (x), x D ,若存在常数C，对于任意的x1 D ，存在唯一的x2 D ，使得f ( x1)f ( x2 ) C ，则称函数 f ( x)在 D 上的“均值”为 C ，已知2f (x)lg x, x[10,100] ，则函数f (x)lg x,在x[10,100]上的均值为（）（ A）3(B)3(C)1(D) 102410第Ⅱ卷选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分）13.设f ( x)是定义在 R 上的奇函数，且y f ( x) 的图象关于直线1对称，则x2f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) =________14.若圆心在直线y x 上，半径为 2 的圆M与直线x y 4 相切，则圆M的标准方程是_____________f ( x)x(11定义域为 (,1)(1,) ，则满足不等式m f(a) 的实数15.函数x)a2a2m 的集合 ____________16.如图，三个半径都是10cm 的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R 是 ________________cm三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）已知函数4x f ( x)24x（ 1）若 0 a 1，求 f (a)f (1 a) 的值；（ 2）求 f (1 ) f (2 ) f (2012) 的值 .2013 2013201318.（本小题满分12分）已知 ABC 的顶点 A(3， 1) , B 的内角平分线所在直线方程是过点 x 4 y 100 ，过点 C 的中线所在直线的方程是6x 10 y 59 0（ 1）求顶点 B 的坐标；（2）求直线 BC 的方程；19. （本小题满分 12 分）如图 C,D 是以 AB 为直径的圆上的两点，AB2AD2 3, ACBC ,F 是AB上的一点，且AF1 AB,将圆沿AB折起，使点C3在平面ABD的射影E 在BD上，已知CE2(1) 求证： AD 平面 BCE（ 2）求证 AD// 平面 CEF ；（ 3）求三棱锥 A-CFD 的体积20．（本小题满分12 分）某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5—8 千美元的地区销售，该公司M 饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中（ x 表示人均 GDP,单位：千美元； y 表示年人均 M 饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均,饮料销量与地区的人均GDP 的关系更合适？说明理由.（ A） f ( x)ax2bx(B) f (x)log a x b(C) f (x) a x b(D) f (x)x b(2) 若人均 GDP 为 1 千美元时，年人均M 饮料的销量为 2 升；人均年人均 M 饮料的销量为 5 升；把你所选的模拟函数求出来.;(3) 因为 M 饮料在 N 国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，不高于 3 千美元的地区销量下降5%，不低于 6 千美元的地区销量下降量下降 10%，根据（ 2）所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均多少？GDP 为 4 千美元时，M 饮料在人均GDP 5%，其他地区的销M 饮料的销量最多为21. （本小题满分12 分）已知圆M : 2x2 2 y28x 8 y 1 0，直线l : x y 90 ，过l 上一点A 作ABC 使得BAC 45，边AB过圆心M，且B,C在圆M上，求点A纵,坐标的取值范围。
2023届辽宁省五校高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析
A.5，7
B.5，6
C.4，5
D.5，5
7．函数 f x x2 2 x 2x2 1的零点个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
8．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则
A. A1E DC1
B. A1E BD
C. A1E BC1
D. A1E AC
9．若函数 f (x) log2 (x 1) 的定义域是[0,1] ，则函数 f (x) 值域为（ ）
A. [0,1]
B. (0,1)
C. (,1]
D.[1, )
10．已知 f x 为 R 上的奇函数，g x xf x ， g x 在 ,0为减函数．若 a g log25.1 ， b g 20.8 ，
【解析】通过计算 f a f b 0 ，判断出零点所在的区间.
【详解】由于 f 2 log3 2 3 2 log3 2 1 0 ， f 3 log3 33 3 1 0 ， f 2 f 3 0 ，故零点在区间 2,3，故选 B.
【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题. 2、A
,1
；
故选 D
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将 f 2x 1 f x 转化为关于 x 不等式，属于基础题
6、A
【解析】由于除掉 2 处的数字后剩余 5 个数据的中位数为 15 10 x 10 x ，故污点1处的数字为 2
x 5 ， 8 13 24 20 y 17 ，则污点 2 处的数字为 y 7 ，故选 A. 6
辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（ ）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（ ）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（ ） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ， 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （ ） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数： ， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到 ，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析 （3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知， ，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若 ，， 恒成立， ； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若 ，， 能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。
2013-2014学年辽宁省五校联考高一(上)数学期末试卷 及解析
2013-2014学年辽宁省五校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．（5.00分）已知集合A={1，2}，B={1，2，3}，集合C={t|t=x+y，x∈A，y∈B}，则集合C中的元素个数是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（5.00分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n 3．（5.00分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．2或64．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值为（）A．10 B．11 C．12 D．135．（5.00分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．6．（5.00分）已知函数f（x）=2x﹣1，对于满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，给出下列结论：（1）（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0（2）x2f（x1）＜x1f（x2）（3）f（x2）﹣f（x1）＞x2﹣x1（4）＞f（）其中正确结论的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）7．（5.00分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=08．（5.00分）下列结论：①函数和是同一函数；②函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（3x2）的定义域为；③函数的递增区间为（﹣1，+∞）；④若函数f（2x﹣1）的最大值为3，那么f（1﹣2x）的最小值就是﹣3．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．（5.00分）曲线y=1+（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞） C．D．10．（5.00分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5.00分）在正三棱锥S﹣ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（）A．1 B．2 C．D．12．（5.00分）定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．已知f（x）=lgx，x∈[10，100]，则函数f（x）=lgx在x∈[10，100]上的均值为（）．A．B．C．D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=．14．（5.00分）若圆心在直线y=x上、半径为的圆M与直线x+y=4相切，则圆M的方程是．15．（5.00分）函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式a x≥f（a）的实数x的集合为．16．（5.00分）如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是cm．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．18．（12.00分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC的方程．19．（12.00分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=，AC=BC，F是AB上一点，且，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E 在BD上，已知．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．20．（12.00分）某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销量，单位；升），用哪个来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由．（A）y=ax2+bx（B）y=log a x+b（C）y=a x+b（D）y=x a+b（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把你所选的模拟函数求出来．（3）因为A饮料在B国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均A饮料的销量最多为多少？21．（12.00分）已知圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，直线l：x+y﹣9=0，过l上一点A作△ABC，使得∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，求点A纵坐标的取值范围．22．（12.00分）已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2013-2014学年辽宁省五校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．（5.00分）已知集合A={1，2}，B={1，2，3}，集合C={t|t=x+y，x∈A，y∈B}，则集合C中的元素个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：x的取值可以是1，2．y的取值可以是1，2，3．∴t可以等于2，3，4，5共四个结果．即C={2，3，4，5}．故选：A．2．（5.00分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n【解答】解：A中m∥α，m与α无公共点，故l与α内的直线平行或异面，故A 错误；B中n与α可以是任意的位置关系，故B错误；C中m与n可以是任意的位置关系，故C错误；D为线面平行的判定定理，故正确．故选：D．3．（5.00分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．2或6【解答】解：∵以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴|AB|=|AC|∴=，∴7=，∴x=2或x=6故选：D．4．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解析：∵f（x）=，∴f（5）=f[f（11）]=f（9）=f[f（15）]=f（13）=11．故选：B．5．（5.00分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥，其直观图如图：其中AB=BC=2．AB⊥BC，D为侧棱的中点，侧棱长为2，∴几何体的体积V=×2×2×2﹣=．故选：D．6．（5.00分）已知函数f（x）=2x﹣1，对于满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，给出下列结论：（1）（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0（2）x2f（x1）＜x1f（x2）（3）f（x2）﹣f（x1）＞x2﹣x1（4）＞f（）其中正确结论的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）【解答】解（1）∵f（x）=2x﹣1为R上的单调增函数，故满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，总有f（x1）＜f（x2），即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴（x2﹣x1）[f（x2）﹣f （x1）]＞0，故（1）错误；（2）设y===，其几何意义为f（x）图象上的点与原点连线斜率，由函数f（x）=2x﹣1在（0，+∞）上的图象可知y=为增函数，∵0＜x1＜x2，∴＜，即x2f（x1）＜x1f（x2），（2）正确；（3）∵函数f′（x）=2x ln2，由x＞0，∴2x ln2∈（ln2，+∞），即存在x0，使f′（x0）＜1，而f（x2）﹣f（x1）＞x2﹣x1⇔⇔函数f（x）在所给的区间上导数值恒大于1，∴（3）错误；（4）＞f（）反映函数f（x）为凹函数，由f（x）=2x﹣1的图象可知此函数在（0，+∞）上确为凹函数，（4）正确故正确结论的序号是：（2）、（4）故选：C．7．（5.00分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=0【解答】解：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|=|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又当x=2时，y=3，即P（2，3），∴直线PB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0．故选：A．8．（5.00分）下列结论：①函数和是同一函数；②函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（3x2）的定义域为；③函数的递增区间为（﹣1，+∞）；④若函数f（2x﹣1）的最大值为3，那么f（1﹣2x）的最小值就是﹣3．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，由于函数的定义域为R，的定义域为[0，+∞），这两个函数的定义域不同，故不是同一函数，故①不满足条件．对于②，由于函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]，故有0≤x﹣1≤1．对于函数f（3x2），可得0≤3x2≤1，解得x∈[﹣，]，故函数f（3x2）的定义域为[﹣，]，故②不正确．对于③，函数，令t=x2+2x﹣3＞0，求得x＜﹣3，或x＞1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），本题即求t在定义域内的增区间，利用二次函数的性质可得t的递增区间为（1，+∞），故③不正确．对于④，设函数f（2x﹣1）=3﹣x2，显然它的最大值为3，令t=2x﹣1，可得f（t）=3﹣，那么f（1﹣2x）=f（﹣t）=3﹣=3﹣（1﹣x）2，显然f（1﹣2x）的最大值就是3，故④不正确．故选：A．9．（5.00分）曲线y=1+（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞） C．D．【解答】解：曲线即x2+（y﹣1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和D），是一个半圆，如图：直线y=k（x﹣2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则BC的斜率为K BC==．设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为y﹣4=k′（x﹣2），根据圆心A到线BE距离等于半径得2=，k′=，由题意可得k′＜k≤K BC，∴＜k≤，故选：A．10．（5.00分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f （a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选：D．11．（5.00分）在正三棱锥S﹣ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：取AC的中点E，连结BE、SE，∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SA=SC，BA=BC．又∵E为AC的中点，∴SE⊥AC且BE⊥AC∵SE、BE是平面SBE内的相交直线，∴AC⊥平面SBE，可得SB⊥AC又∵MN是△SBC的中位线，∴MN∥SB，可得MN⊥AC又∵MN⊥AM且AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，结合MN∥SB，可得SB⊥平面SAC又∵三棱锥S﹣ABC是正三棱锥，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，设球的半径为R，可得4πR2=36π，解得R=3，∴，解之得SA=2故选：D．12．（5.00分）定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．已知f（x）=lgx，x∈[10，100]，则函数f（x）=lgx在x∈[10，100]上的均值为（）．A．B．C．D．10【解答】解：根据定义，函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．令x 1•x2=10×100=1000当x1∈【10，100】时，选定【10，100】可得：故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），，∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0故答案为：014．（5.00分）若圆心在直线y=x上、半径为的圆M与直线x+y=4相切，则圆M的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣3）2+（y﹣3）2=2．．【解答】解：由题意可设所求圆的圆心为（a，a），可得圆心到直线x+y=4的距离d==r=，化简可得|a﹣2|=1，可解得a=1，或a=3，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣3）2+（y﹣3）2=2故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣3）2+（y﹣3）2=2．15．（5.00分）函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式a x≥f（a）的实数x的集合为{x|x≥1} ．【解答】解：由函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a=2∴，f（a）=f（2）=2由a x≥f（a）可得，2x≥2∴x≥1故答案为{x|x≥1}16．（5.00分）如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是cm．【解答】解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，∵小球的半径为10cm，∴三个球心之间的长度为20cm，即OA=cm．，在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），和切点A构成直角三角形，则OA2+AB2=OB2，其中OB=R﹣10，AB=10，∴，即，∴，即R=10+=cm．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵函数，∴f（a）+f（1﹣a）=．（2）∵f（a）+f（1﹣a）=1，∴=．18．（12.00分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC的方程．【解答】解：设B（a，b），由过点B的角平分线方程x﹣4y+10=0得a﹣4b+10=0，①…（2分）又AB中点（）在过点C的中线上，6×（）+10×=59，②由①②可得a=10，b=5，∴B点坐标为（10，5）…（5分）则直线AB的斜率K AB==又∠B的内角平分线的斜率k=…（6分）所以得⇒=解得K BC=﹣…（10分）∴直线BC的方程为y﹣5=﹣（x﹣10）⇒2x+9y﹣65=0综上，所求点B的坐标为（10，5），直线BC的方程为2x+9y﹣65=0…（12分）19．（12.00分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=，AC=BC，F是AB上一点，且，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E 在BD上，已知．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．【解答】（1）证明：依题意：AD⊥BD∵CE⊥平面ABD∴CE⊥AD∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．（2）证明：Rt△BCE中，，∴BE=2（5分）Rt△ABD中，，∴BD=3．（6分）∴．∴AD∥EF∵AD在平面CEF外∴AD∥平面CEF．（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD﹣BE=1∴F到AD的距离等于E到AD的距离，为1．∴．∵CE⊥平面ABD∴．20．（12.00分）某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销量，单位；升），用哪个来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由．（A）y=ax2+bx（B）y=log a x+b（C）y=a x+b（D）y=x a+b（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把你所选的模拟函数求出来．（3）因为A饮料在B国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均A饮料的销量最多为多少？【解答】解：（1）用A来模拟比较合适因为B，C，D表示的函数在区间[0.5，8]上是单调的；（2）依题意知，函数过（1，2）和（4，5），则有，解得：，∴y=﹣x2+x（0.5≤x≤8）；（3）当x∈[0.5，3]时，，在x∈[0.5，3]上递增，所以当x∈[6，8]时，，在x∈[6，8]上递减，所以当x∈（3，6）时，，，所以比较大小得：当时，答：当人均GDP在4.5千美元的地区，人均A饮料的销量最多为．21．（12.00分）已知圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，直线l：x+y﹣9=0，过l上一点A作△ABC，使得∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，求点A纵坐标的取值范围．【解答】解：由2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0得，圆的标准方程：（x﹣2）2+（y﹣2）2=，∴圆心M（2，2），半径，∵直线l：x+y﹣9=0，∴设A（9﹣a，a），∵B，C在圆M上，∴直线AC和圆M相交或相切，∴圆心M到AC的距离d≤r，∵∠BAC=45°，∴，因此，即，化简得，a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6，故点A的纵坐标的取值范围是[3，6]．22．（12.00分）已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（﹣x）=f（x），即log9（9﹣x+1）﹣kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．即恒成立即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒为零，所以．（2）由题意知方程即方程log9（9x+1）﹣x=b无解．令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．因为任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，从而．于是，即g（x1）＞g（x2），所以g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数．因为，所以．所以b的取值范围是（﹣∞，0]．（3）由题意知方程有且只有一个实数根．令3x=t＞0，则关于t的方程（记为（*））有且只有一个正根．若a=1，则，不合，舍去；若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．由或﹣3；但，不合，舍去；而；方程（*）的两根异号⇔（a﹣1）•（﹣1）＜0，即﹣a+1＜0，解得：a＞1．综上所述，实数a的取值范围{﹣3}∪（1，+∞）．。
辽宁高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设，则“”是“”的（ ） x ∈R 0x <()ln 10x +<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解出，然后判断即可 ()ln 10x +<【详解】因为， ()ln 10x +<所以01110x x <+<⇒-<<由为的真子集， {|10}x x -<<{|0}x x <所以“”是“”的必要不充分条件 0x <()ln 10x +<故选：B.2．已知向量，则（ ）()()1,23,5a b -= =，2a b += A ．(4，3) B ．(5，1) C ．(5，3) D ．(7，8)【答案】B【分析】根据向量的坐标运算即得. 【详解】∵， ()()1,23,5a b -==，∴．()()()221,23,55,1a b +=-+=故选：B. 3．若，，，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） 0.15a =21log 32b =3log 0.8c =A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.【详解】，且，0.1551a =>= 1222log 3log 0b ==>22log log 1b =<=，， 33log 0.8log 10c =<=c b a ∴<<故选：A4．定义在R 上的偶函数在上单调递增，，，，则a ，()f x [)0,∞+()ln 3a f =32b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1c f =b ，c 的大小关系为（ ） A ．B ． a b c ＞＞b c a ＞＞C ．D ．a cb ＞＞b ac ＞＞【答案】D【分析】先根据奇偶性把自变量全部转到 上，再比较 与 的大小关系，再根据单调[)0,∞+ln 332性判断.【详解】，又，即，即，所以， ln 3ln e 1>=233e <323e <3ln 32<31ln 32<<因为为偶函数，所以，又在上单调递增，()f x 3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [)0,∞+所以．即；()()31ln 32f f f <⎛⎫< ⎪⎝⎭b ac ＞＞故选：D ．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心， 则下列判断错误的是A ．B ．∥AB OC = AB DEC ．D ．AD BE = AD FC = 【答案】D【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项AB OC = AB DEAD BE = A 、B 、C 正确，故选D6．据某地区气象局发布的气象数据，未来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为（ ） A ．27 B ．26.5C ．25.5D ．25【答案】C【分析】先将所给数据按 小到大排序，再根据百分位数的定义求第40百分位数.【详解】先将这些数据按照从小到大进行排序，分别为23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，又，所以该组数据的第40百分位数为排序后的数列的第4个数和第5个数的平均数，1040%4⨯=即， 252625.52+=故选：C ．7．某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 24464则这组数据的中位数和众数分别为（ ）A ．48，4 B ．48.5，4C ．48，49D ．48.5，49【答案】D【分析】根据中位数和众数的定义即可求解. 【详解】数据总个数为20个，因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即， 484948.52+=众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次）， 故选：D. 8．若，，，则事件与的关系是（ ）()16P AB =()13P A =()14P B =A B A ．互斥 B ．相互独立 C ．互为对立 D ．无法判断【答案】B【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立，()13P A =()23P A =()14P B =A B 又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥. ()16P AB =()()()P AB P A P B =A B 故选：B二、多选题9．已知向量，若，则以下结论正确的是（ ）()(),2,1,1a m b m ==+ a bA A ．时与同向B ．时与同向1m =a b1m =-a bC ．时与反向D ．时与反向2m =a b2m =-a b【答案】AD【分析】由共线向量的坐标运算求出或，代入判断与的方向即可. 1m =2m =-a b【详解】解：，则即或，a b∥()12m m +=1m =2m =-当时，与的方向相同，故A 成立； 1m =()()1,2,1,2,,a b a b a === b当时，与的方向相反，故D 成立. 2m =-()()2,2,1,1,2,a b a b a =-=-=-b 故选:AD.10．已知函数，设命题p ：对任意，的定义域与值域都相同．下()f x =(0,)m ∈+∞()f x 列判断正确的是（ ） A ．p 是真命题B ．p 的否定是“对任意的定义域与值域都不相同” (0,),()m f x ∈+∞C ．p 是假命题D ．p 的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同” (0,)m ∈+∞()f x 【答案】AD【分析】由（）解得函数的定义域，再根据240x mx -+≥0m >()f x）求得函数的值域，即可判断选项A 、()f x ==04m x ≤≤()f x C ；再由命题的否定得到p 的否定即可判断选项B 、D.【详解】函数的定义域为，()f x {}2|40x x mx -+≥又，所以函数的定义域为，(0,)m ∈+∞()f x |04m x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭设（），()24t x x mx =-+04m x ≤≤则，当时，，()224816m m t x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭04m x ≤≤()2016m t x ≤≤此时，函数，()0,4m f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由上知，当时，函数的定义域与值域均为，(0,)m ∈+∞()f x 0,4m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以p 是真命题，且p 的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同”． (0,)m ∈+∞()f x 故选：AD.11．2022年夏天，我国部分地区迎来罕见的高温干旱天气，其特点是持续时间长、范围广、强度大、干旱少雨、极端性强．中央气象局国家气象中心发布的统计数据显示，本次高温热浪的综合强度，已达1961年有完整气象记录以来最强．某地气象部门统计当地进入8月份以来（8月1日至8月10日）连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（ ） A ．最高温的众数为37℃ B ．最高温的平均值为37.9℃ C ．第9天的温差最小 D ．最高温的方差大于最低温的方差【答案】AB【分析】根据折线图一一判断.【详解】对于A ．最高温37℃出现4次，所以最高温的众数为37℃，A 正确． 对于B ．，所以B 正确； ()13837373938393837393737.9C 10x =+++++++++=︒对于C ．第9天的温差为8℃．而第2和8天的温差为7°C ，所以C 不正确；对于D ．最高温的波动比最低温小，所以最高温的方差小于最低温的方差，所以D 不正确． 故选：AB ．12．已知函数，则下列关于函数的性质说法正确的是（ ） ()1e 1exxf x -=+()f x A ．在区间的值域为 ()f x []01，1e ,01e -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ．为奇函数()f x C ．在区间上存在零点 ()()1g x f x x =--()1,0-D ． ()01f =【答案】ABC【分析】A.首先函数变形为，再根据函数的定义域求值域； ()211e xf x =-++B.根据奇函数的定义，即可判断； C.根据零点存在性定理，即可判断；D.代入，即可求解.0x =【详解】A.,， ()()e 121e 211e 1e 1e x x x x xf x -++-===-++++[]0,1x ∈，则，则，故A 正确； []1e 2,1e x +∈+22,11e 1e x ⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦21e 1,01e 1e x -⎡⎤-+∈⎢⎥++⎣⎦B.函数的定义域为，，所以函数是奇函数，R ()()1e e 11e 1e x x x x f x f x -----===-++()f x 故B 正确；C.，，并且函数在区间上连续，所以根据零点()111e 11101e g ----=+->+()()00010g f =--<()1,0-存在定理可知，函数在区间上存在零点，故C 正确； ()1,0-D.，故D 错误.()01e 001e f -==+故选：ABC三、填空题13．某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有___________. 【答案】人##300300【分析】根据人数占比直接计算即可. 【详解】该校女生共有人. 803048030080-⨯=故答案为：人.30014．已知向量，，若A ，B ，C 三点共线，则____________． ()3,24AB m =- ()2,4BC =m =【答案】5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A ，B ，C 三点共线知，则，解得． //AB BC()34242m ⨯=-⨯5m =故答案为：5．15．已知函数，则函数的零点为__________.()20log ,0x f x x x x ≤=+>⎪⎩()3y f x =-【答案】和8-2【分析】分和两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 0x ≤0x >【详解】当时，令，解得；0x ≤()330y f x =-==8x =-当时，则在上单调递增，且， 0x >()23log 3y f x x x =-=+-()0,∞+2|0x y ==故在内有且仅有一个零点2； ()3y f x =-()0,∞+综上所述：函数的零点为和. ()3y f x =-8-2故答案为：和.8-216．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则()log 41a y x =+-A A 10mx ny ++=0mn >的最小值为___________. 11m n+【答案】4+4+【分析】先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解. A A 【详解】解：函数的图像恒过定点 ()log 41a y x =+-A 所以()3,1A --又点在直线上 A 10mx ny ++=所以，即310m n --+=31m n +=()111111134443m n m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⋅+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，取等号. 3n m nm=所以的最小值为 11m n+4+故答案为：.4+四、解答题17．在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，OAB BA C AC BA =OB D 13DB OB DC =，OA E 设，用表示向量及向量.OA a OB b == ，a b，OC DC【答案】；2OC a b =-523DC a b =-【分析】用平面基底向量表示向量，结合平面向量的线性运算求解.【详解】∵A 是的中点，则， BC ()2222OC OB BC OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r r r 故，2OC a b =-，22522333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=- 故.523DC a b =- 18．已知幂函数为奇函数.()()23122233m m f x m m x++=-+(1)求函数的解析式；()f x (2)若，求的取值范围.()()132f a f a +<-a 【答案】(1)()3f x x =(2)2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函2331m m -+=1m =2m =()f x 数，即可求解；（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. ()f x R 132a a +<-【详解】（1）解：由题意，幂函数，()()23122233m m f x m m x++=-+可得，即，解得或， 2331m m -+=2320m m -+=1m =2m =当时，函数为奇函数，1m =()311322f x x x ++==当时，为非奇非偶函数，2m =()21152322f x xx ++==因为为奇函数，所以.()f x ()3f x x =（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，()3f x x =()f x R 因为，所以，解得， ()()132f a f a +<-132a a +<-23<a 所以的取值范围为.a 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．函数的定义域为.()1423x x f x +=-+11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（1）设，求t 的取值范围； 2x t =（2）求函数的值域.()f x【答案】（1）（2）. t ∈2,5⎡-⎣【分析】（1）由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范2x t =11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围即可；（2）由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数()1423x x f x +=-+2x t =，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数()223g t t t =-+t ∈的值域.()f x 【详解】（1）在上单调递增2x t = 11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.t ∴∈（2）函数可化为：， ()y f x =()223g t t t =-+t ∈在上单调递减，在上单调递增 ()y g t = ⎤⎥⎦⎡⎣比较得，g g<，()()12min f x g ∴==()5max f x g ==-所以函数的值域为.25⎡-⎣，【点睛】本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.20．公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示.1000(1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表a x 2s 示)(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取[)185,205553件，求至少有件产品的质量指标在的概率. 2[)195,205【答案】(1)，， 0.002a =200x =2150s =(2) 710【分析】（1）根据频率和为1计算得到，根据公式计算平均值和方差即可.0.002a =（2）根据分层抽样的比例关系得到各层的个数，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1），解得； ()100.0090.0220.0330.0240.0081a a ++++++=0.002a =；1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200= ()()()22221702000.021802000.091902000.22s =-⨯+-⨯+-⨯.()()()2222102000.242202000.082302000.02150+-⨯+-⨯+-⨯=（2）由分层抽样可知，质量指标在的产品中抽个，记为； [)185,19522052550⨯=A B ，在的产品中抽个，记为，则任取个，[)195,20531,2,33所有的情况为，共()()()()()()()()()(),,1,,,2,,,3,,1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A B A B A B A A A B B B 种，10其中满足条件的为，共种， ()()()()()()(),1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A A A B B B 7故所求概率. 710P =21．乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． （I ） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（II ） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【答案】10.352 20.3072（）（）【分析】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题．首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论． 【详解】【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题．情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况．22．已知函数，．2()2f x x ax =++R a ∈(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；()0f x …2()1f x x -…(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a 的取值范围；[1x ∈-1]()2(1)4f x a x -+…(3)已知，若方程在有解，求实数a 的取值范围． 2()(2)1g x ax a x =+++()()f x g x =1(,3]2【答案】(1)，， (-∞1[12)∞+(2) 13a ≤(3)[0，1）．【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一a 元二次不等式即可；（2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出222x a x --…[1x ∈-1]22()2x h x x -=-[1x ∈-1]的范围即可； a （3）利用参数分离法进行转化求解即可．【详解】（1）解：若不等式的解集为，，()0f x …[12]即1，2是方程的两个根，220x ax ++=则，即，123a +=-=3a =-则，由得，2()32f x x x =-+2()1f x x -...22321x x x -+-...即得，得或， 22310x x -+...(21)(1)0x x --...1x (12)x …即不等式的解集为，，．(-∞1][12 )∞+（2）解:不等式恒成立，()2(1)4f x a x -+…即在，恒成立， 222x a x --…[1x ∈-1]令，，， 22()2x h x x -=-[1x ∈-1]则， 2242()(2)x x h x x -+'=-令，解得：，()0h x '=2x =故在，递增，在，递减，()h x [1-2(21]故（1）或，()min h x h =1()h -而（1），，h 1=1(1)3h -=故． 13a …（3）解：由得，()()f x g x =22(2)12ax a x x ax +++=++，即，2(1)210a x x ∴-+-=2(1)12a x x -=-若方程在，有解，等价为有解， ()()f x g x =1(23]2212121x a x x x--==-设， 22121()(1)1h x x x x =-=--，，，， 1(2x ∈ 3]∴11[3x ∈2)即，即，则， 1()0h x -<…110a --<…01a <…即实数的取值范围是，．a [01)。
辽宁省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设P 和Q 是两个集合，定义集合且.如果，{P Q x x P -=∈，}x Q ∉{}2log 1P x x =≤，那么=（ ）{}21Q x x =-≤P Q -A ．B ． {}01x x <<{}01x x <≤C ．D ．{}12x x ≤<{}23x x ≤<【答案】A【分析】化简集合P ，Q ，后由所给定义可得答案.P Q -【详解】由题，，2221202l og l og l og x x x ≤⇔≤⇔<≤则.， {}02P x x =<≤22144113x x x x -≤⇔-+≤⇔≤≤则.则由题中所给定义有：.{}13Q x x =≤≤{}01P Q x x -=<<故选：A2．已知，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ） :p x k ≥3:11q x ≤+A ．B ． [)2,+∞()1,+∞C ．D ． [)1,+∞(),1-∞-【答案】A【分析】求出不等式的解集， 由是的充分不必要条件列不等式确定的取值范围. 311≤+x p q k 【详解】由得，所以或，解得或， 311≤+x 201x x -+≤(2)(1)0x x -+<20x -=1x <-2x ≥所以或，又，是的充分不必要条件，:1q x <-2x ≥:p x k ≥p q 所以 或{}x x k ≥{1x x <-}2x ≥所以，2k ≥所以k 的取值范围是.[)2,+∞故选：A.3．若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（ ） ()y f x =()()11f x g x x +=-A ．[0，2022]B ． [)(]1,11,2022-⋃C ．（1，2024]D ．[)(]0,11,2022⋃【答案】D【分析】由抽象函数定义域相关概念可得答案.【详解】因的定义域是[1，2023]，()y f x =则由可得：， ()()11f x g x x +=-11202302022101x x x x ≤+≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩则定义域为：.()g x [)(]0,11,2022⋃故选：D4．已知某药店只有，，三种不同品牌的口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌A B C 95N 的口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是，，买B 品牌口罩的概率分别为，95N A 0.20.30.6，则甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为（ ）0.495N A ．B ．C ．D ．0.70.650.350.36【答案】D 【分析】甲、乙两人买相同品牌的口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌95N A B 或品牌的口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事C 95N 件的概率公式，即可得结果．【详解】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率分别是、，C 0.20.3所以甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为． 95N 0.20.30.60.40.20.30.36P =⨯+⨯+⨯=故选：D ．5．已知函数，是上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） ()212,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩R A ． B ． 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]1,2【答案】A【分析】由函数可得且，故可得函数只能是上的单调递减函数，结合二次函数和对数0a >1a ≠R 函数性质列不等式即可.【详解】由可得且，()212,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩0a >1a ≠所以当时，不可能是增函数，1x ≤()f x 所以函数在上不可能是增函数，()f x R 则函数是上的单调递减函数，()f x R所以，解得， 011145214a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩1184a ≤≤综上：实数a 的取值范围为， 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A.6．已知，，规定：当时，；当()21x f x =-()22g x x =-()()f x g x ≥()()h x f x =()()f xg x <时，，则（ ）()()h x g x =-()h x A ．有最小值－1，无最大值B ．有最小值－2，无最大值C ．有最大值2，无最小值D ．有最大值－1，无最小值【答案】B【分析】在同一直角坐标系画出函数，的图象，结合题中规定，得()21x y f x ==-()22g x x =-到函数的图象，最后利用数形结合进行判断即可.()h x 【详解】在同一直角坐标系内画出，的图象，如下图所示：()21x y f x ==-()22g x x =-根据题中规定，得到函数的图象如下图；()h x根据数形结合思想结合图象可知函数有最小值－2，无最大值，故选：B7．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a 的取值范围为()21log a x x -<0a >1a ≠(]1,2x ∈（ ）A ．B ． [)1,2()1,2C ．D ． ((【答案】B【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形01a <<1a >()log a f x x =()()21g x x =-结合得到实数a 的取值范围.【详解】若，此时，，而，故无解； 01a <<(]1,2x ∈log 0a x <()210x -≥()21log a x x -<若，此时，，而， 1a >(]1,2x ∈log 0a x >()210x -≥令，， ()log a f x x =()()21g x x =-画出两函数图象，如下：故要想在内恒成立， ()21log a x x -<(]1,2x ∈则要，解得：.log 21>a ()1,2a ∈故选：B.8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[]）和氢H +氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[]）的乘积等于常数．已知pH 值的定义OH -1410-为 ，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的pH 1H g +⎡⎤=-⎣⎦H OH +-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦可以为（参考数据：1g2≈0.301，1g3≈0.477）（ ） A ． B ． C ． D ． 14151718【答案】C【分析】利用[]，[]之间关系把转化为，结合题目条件可得H +OH -H OH +-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦21410H +⎡⎤⎣⎦，则.验证各选项以10为底的对数即可判断7457351010..H -+-⎡⎤≤≤⎣⎦{}214091007.l g H .+⎡⎤-≤≤-⎣⎦各选项正误.【详解】由题，，则. 14H OH 10+--⎡⎤⎡⎤⋅=⎣⎦⎣⎦H OH +-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦21410H +⎡⎤=⎣⎦又由题有：. {}7457357357451010...l g H .H +-+-⎡⎤⎡⎤≤-≤⇒≤≤⎣⎦⎣⎦则.2091407101010..H -+-⎡⎤≤≤⎣⎦{}214091007.l g H .+⎡⎤⇒-≤≤-⎣⎦A 选项，，其不在内，故A 错误； 12206024l g l g .⎛⎫=-≈ ⎪⎝⎭0907.,.⎡⎤--⎣⎦B 选项，，其不在内，故B 错误； ()151206995l g l g l g .⎛⎫=-=--≈- ⎪⎝⎭0907.,.⎡⎤--⎣⎦C 选项，注意到， 2111576l g l g l g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又， 22352231087515l g l g l g l g l g l g .⎛⎫=--=--≈- ⎪⎝⎭，则， 162307786l g l g l g l g .⎛⎫=-=--≈- ⎪⎝⎭1087507787.l g .⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭其在内，故C 正确；0907.,.⎡⎤--⎣⎦D 选项，，其不在内，故D 错误. 13209038l g l g .⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭0907.,.⎡⎤--⎣⎦故选：C二、多选题9．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ）A ．这种抽样方法是分层抽样B ．这5名男生成绩的20%分位数是87C ．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数【答案】BC【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系逐项判断即可．【详解】解：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A 错误，5名男生成绩的20%分位数是87，故B 正确， 86882+=5名男生成绩的平均数为， 1(8694889290)905⨯++++=5名女生成绩的平均数为， 1(8893938893)915⨯++++=5名男生成绩的方差为， 211(1616440)85s =⨯++++=5名女生成绩的方差为， 221(94494)65s =⨯++++=由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C 正确，D 错误. 故选：BC ．10．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲、然后由乙各抽一张，则下列结论正确的是（ ） A ．甲中奖的概率 ()25P A =B ．乙中奖的概率 ()35P B =C ．只有乙中奖的概率 ()35P C =D ．甲、乙都中奖的概率 ()110P D =【答案】AD【分析】由条件列出样本空间，利用古典概型概率公式求各事件的概率即可判断.【详解】设中奖奖券为1,2，不中奖的奖券为3,4,5，则随机试验首先由甲、然后由乙各抽一张的样本空间为,,, ()()()()1,2,1,3,1,4,1,5()()()()2,1,2,3,2,4,2,5()()()()3,1,3,2,3,4,3,5,，共20个基本事件，()()()()4,1,4,2,4,3,4,5()()()()5,1,2,2,5,3,5,4事件甲中奖包含基本事件,，共8个，所以事件甲中奖()()()()1,2,1,3,1,4,1,5()()()()2,1,2,3,2,4,2,5的概率，选项A 正确； ()82205P A ==事件乙中奖包含基本事件,，共8个，所以事件乙中奖()()()()1,2,2,1,3,1,3,2()()()()4,1,4,2,5,1,5,2的概率，选项B 错误； ()82205P B ==事件只有乙中奖包含基本事件,，共6个，所以事件只有乙中奖的()()3,1,3,2()()()()4,1,4,2,5,1,5,2概率，选项C 错误； ()632010P C ==事件甲、乙都中奖包含基本事件，共2个，所以事件甲、乙都中奖的概率()()1,2,2,1，选项D 正确. ()022011P D ==故选：AD.11．下列结论正确的是（ ）A ．当 0x >2≥B ．当时，的最小值是2 02x <<1x x +C ．当时，的最小值是5 54x <14245x x -+-D ．设，，且，则的最小值是 0x >0y >2x y +=14x y +72【答案】AB【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．【详解】，当且仅当时取等号，正确； 0x >2≥1x =A 当时，，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值是2，B 正02x <<12x x+≥1x =02x <<1x x +确；当时，， 54x <11142453(54331454554x x x x x x -+=-++=--++≤-+=---当且仅当时等号成立，故有最大值1，C 错误； 1x =14245x x -+-，，， 0x >0y >2x y +=则， 141411419()(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++⨯=++≥+=当且仅当且即，时取等号，的最小值是，D 错误； 4y x x y =2x y +=23x =43y =14x y +92故选：AB ．12．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2．定义函数：，则下()[]f x x x =-列命题正确的是（ ）A ．()1.80.2f -=B ．当时，10x -≤<()1f x x =+C ．函数的定义域为，值域为()f x R [0,1]D ．函数是增函数()f x 【答案】AB【分析】将代入解析式，即可判断A 项；当时，，得出，从而判断1.8x =-10x -≤<[]1x =-()f x B 项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C 项；取特殊值，判断D 项.[]x x 0[]1x x ≤-<【详解】对于A 项，，则A 正确；( 1.8) 1.8[ 1.8] 1.8(2)0.2f -=---=---=对于B 项，当时，，得出，则B 正确；10x -≤<[]1x =-()1f x x =+对于C 项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，()f x R []x x 所以，则C 错误；0[]1x x ≤-<对于D 项，，(1)1[1]1(1)0f -=---=---=( 1.5) 1.5[ 1.5] 1.5(2)0.5f -=---=---=，( 1.5)(1)f f ->- 函数不是增函数，则D 错误；∴()f x 故选：AB.三、填空题13．若关于x 的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为0ax b +<()2,-+∞230ax bx a +->______【答案】()3,1-【分析】根据一元一次不等式的解集得到且，从而得到，解出答案即可.a<02b a =2230x x +-<【详解】由题意得：，则，可知且， ax b <-b x a>-a<02b a =则变形为，230ax bx a +->2230ax ax a +->不等式两边同除以得：，a 2230x x +-<解得：，31x -<<不等式的解集为.()3,1-故答案为：()3,1-14．已知，，若对，，使得，则()()2ln 1f x x =+()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]10,3x ∀∈[]21,3x ∃∈()()12f x g x ≥实数m 的取值范围是______．【答案】 1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意只需根据去求出参数范围即可.min min ()()f x g x ≥【详解】由对数函数的单调性可知，在上单调递增，故；()()2ln 1f x x =+[]0,3min ()(0)0f x f ==由指数函数的单调性可知，在上单调递减，故， ()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,3min 1()(3)8g x g m ==-为使得，，使得，只需，即， []10,3x ∀∈[]21,3x ∃∈()()12f x g x ≥min min ()()f x g x ≥108m ≥-解得. 1,8m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为： 1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．已知函数，则不等式的解集为())2020ln 20202x x f x x -=++-+()()3124f x f x -+>______．【答案】 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】令，，判断函数的单调性与奇偶性，()20202020x x g x -=-())h x x =(),()g x h x 从而得到，则原不等式等价于，再根据函数的单调性化简可得()()4f x f x +-=()()312f x f x ->-不等式的解集.【详解】令，，则，定义域为，()20202020x x g x -=-())h x x =()g x ()h x R 则，()()2020202020202020()x x x x g x g x --=--=--=-，所以，为奇函数，又，在定义()()))h x x x h x -=-=-=-()g x ()h x ()g x ()h x 域上单调递增，所以为定义域上的奇函数，所以关于对称，()()y g x h x =+R ()()y g x h x =+()0,0因为，2021()2021log )20212x x f x x -=+-+所以关于对称，()()()2f x g x h x =++()0,2所以，即()()4f x f x +-=()()242f x f x -=-则，即，即()()3124f x f x -+>()()3142f x f x ->-()()312f x f x ->-所以，解得， 312x x ->-15x >不等式的解集为 ()()3124f x f x -+>1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．已知函数 ,则＝________. ()()1,421,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩()21log 5f +【答案】 120【分析】先判断的范围，根据周期性得到,从而得到21log 5+()()221log 52log 5f f +=+的值，()21log 5f +【详解】因为，所以，则， 22log 53<<231log 54<+<242log 55<+<则()21log 5f +()211log 5f =++()22log 5212log 52f +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 1114520=⨯=【点睛】本题考查求分段函数的函数值，属于简单题. 四、解答题17．已知集合，{}221212521log 24x x A y y B y y x x --+⎧⎫⎪⎪⎛⎫==+==-+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}()12R C x m x m m =-≤≤∈．(1)求A B ⋂(2)若，求m 的范围；A C A ⋃=【答案】(1)(]1,2A B = (2)． ()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【分析】（1）化简集合A ，B ，后由交集定义可得答案；（2）由，可得，分和 两种情况讨论可得答案. A C A ⋃=C A ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1）因， ()2221122x x x --+=-++≤则，故.2211215x x y --+<=+≤(]1,5A =因， ()2251121444x x x -+=-+≥则，故.2125224l og y x x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭(],2B =-∞则.(]1,2A B = （2）因为，则．A C A ⋃=C A ⊆当时，即当时，，满足题意； 12m m ->1m <-C A =∅⊆②当时，即当时，，要使得，12m m -≤1m ≥-C ≠∅C A ⊆则，解得． 1125m m ->⎧⎨≤⎩522m <≤综上所述，实数m 的范围是．()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦18．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件x ()W x 时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品()213W x x x =+()100638W x x x=+-售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； ()L x x （注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) ()2142,08310036,8x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润是16万元．【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数； 08x <<8x ≥（2）分别利用二次函数及基本不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元，依题意当x 5x 08x <<时，；()2211524233L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时，． 8x ≥()1001005638236L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. ()2142,08310036,8x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，08x <<()()22114261033L x x x x =-+-=--+此时，当时，取得最大值10；6x =()L x 当时，， 8x ≥()100363616L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭此时，当且仅当，即时，取得最大值16． 100x x=10x =()L x 因为，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是16万1016<元．19．函数．2(3)f x x ax =++（1）当时，恒成立，求实数a 的取值范围； x R ∈()f x a ≥（2）当时，恒成立，求实数a 的取值范围； []2,2x ∈-()f x a ≥（3）当时，恒成立，求实数x 的取值范围．[]4,6a ∈()0f x ≥【答案】（1）；（2） ；（3）[]6,2-[]7,2-(),33⎡-∞--+∞⎣U 【解析】（1）当时，恒成立，利用判别式，求解即可； x R ∈230x ax a ++-≥0∆≤（2）当时，恒成成立，令，该二次函数对称轴为，[]2,2x ∈-()f x a ≥2()3g x x ax a =++-2ax =-属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别22a -≤-222a -<-<22a-≥求，解不等式求实数a 的取值范围；min ()0g x ≥（3）令，恒成立，即恒成立，函数是关于a 的一次函数，只2()3h a xa x =++()0f x ≥()0h a ≥()h a 需，求解不等式得到实数x 的取值范围.(4)0(6)0h h ≥⎧⎨≥⎩【详解】（1）当时，恒成立，即恒成立，x R ∈2()3f x x ax a =++≥230x ax a ++-≥则，即，解得()2=430a a ∆--≤24120a a +-≤62a -≤≤所以实数a 的取值范围是．[]6,2-（2）当时，恒成成立，令，即，该二次函数对称[]2,2x ∈-()f x a ≥2()3g x x ax a =++-min ()0g x ≥轴为，分如下三种情况讨论： 2ax =-①当，即时，函数在上单调递增，，解22a-≤-4a ≥()g x []22-,min ()(2)4230g x g a a =-=-+-≥得，此时无解； 73a ≤②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，222a -<-<44a -<<()g x 2,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，解得，此时；22min ()()30242a a a g x g a =-=-+-≥62a -≤≤42a -<≤③当，即时，函数在上单调递减，，解得22a-≥4a ≤-()g x []22-,min ()(2)4230g x g a a ==++-≥，此时；7a ≥-74a -≤≤-综上可知，实数a 的取值范围是．[]7,2-（3）令，当时，恒成立，即恒成立，2()3h a xa x =++[]4,6a ∈()0f x ≥()0h a ≥函数是关于a 的一次函数，其图像在上是单调的，所以要，只需，即()h a x R ∈()0h a ≥(4)0(6)0h h ≥⎧⎨≥⎩，解得 22430630x x x x ⎧++≥⎨++≥⎩3x ≤-3x ≥-所以实数x 的取值范围是(),33⎡-∞--+∞⎣U 【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.20．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了名学生的成10050绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方[)50,60[)60,70[]90,100图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．(1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数x 50据用该组区间的中点值代表）；(2)用样本估计总体，若高三年级共有名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于分的人200080数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中任意抽取人70663参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有人被抽到的概率． []80,1001【答案】(1)，平均数为；中位数为 0.02742203(2) 600(3)． 920【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的1x 面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数； （2）由频率分布直方图求出不低于分的频率再乘以即可求解；802000（3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在[)70,80[)80,90[]90,100的学生恰有人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.[]80,1001【详解】（1）由频率分布直方图可得，第组的频率为， 4()10.010.030.030.01100.2-+++⨯=所以． 0.20.0210x ==由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为：50．()550.01650.03750.03850.02950.011074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=由于前两组的频率之和为，()0.010.03100.4+⨯=前三组的频率之和为，故中位数在第3组中．()0.010.030.03100.7++⨯=设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为． t ()700.030.40.5t -⨯+=2203t =2203（2）由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为，5080()0.010.02100.3+⨯=用样本估计总体，可以估计高三年级名学生中成绩不低于分的人数为． 20008020000.3600⨯=（3）由（1）可知，位于，，的人数分别为：[)70,80[)80,90[]90,100，，，500.031015⨯⨯=500.021010⨯⨯=500.01105⨯⨯=这三组中所抽取的人数分别为，，，156315105⨯=++106215105⨯=++56115105⨯=++记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为[)70,803a b c [)80,90d e 的名学生为，[]90,1001f 则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，3(),,a b c (),,a b d (),,a b e (),,a b f (),,a c d (),,a c e ，，，，，，，，，(),,a c f (),,a d e (),,a d f (),,a e f (),,b c d (),,b c e (),,b c f (),,b d e (),,b d f (),,b e f ，，，，共个，(),,c d e (),,c d f (),,c e f (),,d e f 20其中成绩在的学生恰有人被抽到包含的基本事件为，，，，[]80,1001(),,a b d (),,a b e (),,a b f (),,a c d ，，，，，有9个．(),,a c e (),,a c f (),,b c d (),,b c e (),,b c f 故成绩在的学生恰有人被抽到概率为． []80,100192021．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影35响．(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率； (2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率． 【答案】(1) 81125(2) 72625【分析】（1）三局两胜制甲胜，则包括三个基本事件，甲胜前两场比赛，第一或第二场比赛甲输了，其他两场比赛赢了，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.（2）五局三胜制，乙队在第四场比赛后即获得胜利，即第四场比赛乙赢，前三场比赛乙赢了二场比赛，根据相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】（1）设表示甲队在第场比赛获胜．则()1,2,3i A i =i ()()32,,55i i P A P A ==事件甲队获胜可表示为，12123123A A A A A A A A ++所以事件甲队获胜的概率， ()()()()1212312312123123P A A A A A A P A A P A A A P A A ++=++所以． ()()()()()()()()()1212312312123123P A A A A A A A P A P A P A P A P A P A P A P A ++=++ ()2212123123323812555125P A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫++=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设表示甲队在第场比赛获胜，则()1,2,3,4,5i A i =i ()()32,,55i i P A P A ==事件乙队在第四场比赛后获胜可表示为， 123412341234A A A A A A A A A A A A ++所以事件乙队在第四场比赛后获胜的概率为， ()123412341234P A A A A A A A A A A A A ++所以所以()()()()123412341234123412341234P A A A A A A A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ++=++， ()31234123412343272355625P A A A A A A A A A A A A ⎛⎫++=⨯⨯=⎪⎝⎭22．已知函数（其中为自然对数的底）是定义域为的奇函数．()()222e e x xf x t t -=---e R (1)求t 的值，并写出的解析式；()f x (2)判断在上的单调性，并用定义证明；()f x R (3)若函数在上的最小值为－2，求k 的值． ()()221e 2e xxg x kf x =+-[)0,∞+【答案】(1)或，3t =1t =-()e e x xf x -=-(2)在上单调递减，证明见解析 ()f x R (3)． 2k =-【分析】（1）由函数为R 上的奇函数，得到，求出或，所以，()00f =3t =1t =-()e e x xf x -=-（2）用定义法求解函数的单调性；（3）令，从而得到在上的最小值为－2，结合在()1e e x xu t x ==-()222h u u ku =++[)0,∞+()t x R 上是增函数，分和两种情况，求出相应的最小值，列出方程，求出的值.0k -≥0k -<k【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，()f x R 所以，即，()00f =()20230f t t --==解得:或，所以，3t =1t =-()e e x xf x -=-又此时满足，所以．()()f x f x -=-()e e x xf x -=-（2）在上单调递减．证明如下：()f x R 设，则，12x x <()()()11222112121e e e e e e 1e e x x x x x x x x f x f x --⎛⎫--+=-+ ⎪⎝-=⋅⎭因为，所以，所以，，12x x <120e e x x <<21e e 0x x ->12110e ex x +>⋅可得，即 ()()120f x f x ->()()12f x f x >所以在上单调递减；()f x R （3）由（1）可知， ()2221111e 2e e 2e 2e e e e x x x x x xx xg x k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎝⎭-⎭-令，则， ()1e exx u t x ==-()222h u u ku =++因为在上是增函数，且，所以．()t x R 0x ≥()00u t ≥=因为在上的最小值为－2， ()()221e 2e xxg x kf x =+-[)0,∞+所以在上的最小值为－2． ()h u [)0,∞+因为，()()222222h u u ku u k k =++=++-所以当时，即时，0k -≥0k ≤()()2min 22h u h k k =-=-=-解得或（舍去）；2k =-2k =当时，即时，不符合题意，舍去； 0k -<0k >()()min 022h u h ==≠-综上可知，．2k =-。
辽宁省五校协作体高一数学上学期期末考试试题
2014-2015学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}{}1,2,,,aA B a b ==若1,2AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭则()A B =A 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C 11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D 11,,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、圆()()22211x y +++=关于直线1y x =-对称的圆的方程为（ ）A ()2231x y +-= B ()2231x y ++= C ()2231x y -+= D ()2231x y ++=3、如果幂函数()22233n n y n n x--=-+的图像不过原点，则取n 值为（ ）A 12n n ==或B 10n n ==或C 1n =D 2n = 4、函数()1ln 3f x x x =+的零点所在的区间是（ ）A ()1,+∞ B 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ()1,0- 5、一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（ ）A 16πB 14πC 12πD 8π6、若点()()3,4,6,3A B --到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为（ ） A79 B 13- C 7193或 D 71--93或 7、若()()112,3xg x x f g x ⎛⎫=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则()()4f =A 27- B 127 C 9 D 33 8、在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设11111111,,,,,0,,,22222333A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A OA AB ⊥ B AB AC ⊥ C AC BC ⊥ D OB OC ⊥9、,αβ表示两个不同的平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，若以①l α⊥②//l β③αβ⊥中其中两个作为条件，第三个作为结论，构成的命题中正确个数为（ ）A 0 B 1 C 2 D 310、已知()()(]()3,,1,1,x a x x f x a x ⎧-∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ()0,3 B ()1,3 C ()1,+∞ D 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ ）A 62-B 62- C 103- D 222-12、定义()()()()()()()(),m i n ,,f x f x g x f x g x g x f x g x ≤⎧⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩，若函数()2f x x tx s =++的图像经过两点()()12,0,,0x x ，且存在整数m ，使得121m x x m <<<+成立，则（ ）A ()()1min ,14f m f m +<⎡⎤⎣⎦ B ()()1min ,14f m f m +>⎡⎤⎣⎦ C ()()1min ,14f m f m +=⎡⎤⎣⎦ D ()()1min ,14f m f m +≥⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、设二次函数()22f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减，且()()0f n f ≤，则实数n 的取值范围是 ；14、过原点O 作圆的两条切线，设切点分别为M ，N ，则线段MN 的长为 ；15、已知正方形ABCD 的边长是4，若将BCD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折过程中，四面体C ABD -的体积的最大值是 ； 16、已知偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()13f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，则()2015f = ；三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分） 设全集为U R =，集合()(){}(){}2340,log 23A x x x B x x =+-≤=+< （1）求U AC B （2）已知{}21C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围。
辽宁省部分高中2023-2024学年高一上学期期末联考试题 数学含解析
2023—2024学年度上学期期末考试高一试题数学（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1.已知集合{}30log 2A x x =≤≤，{}33B x x =-≤，则A B = （）A.[]0,1 B.[]0,9 C.[]1,6D.[]6,92.“12a >”是“12a<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知0.643a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，141log 5b =，0.934c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b c a>> B.c a b >> C.b a c>> D.a c b>>4.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411231324412112443213144331123114142111344312334223122113133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）A.110B.320 C.15D.145.已知(1,2)a = ，(3,1)b =- ，若()//(2)kb a a b -+ ，则k =（）A.1- B.12-C.23-D.136.已知函数()2()lg 67f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[7,)+∞ B.[3,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,1]-∞-7.若关于x 的不等式20x px q ++>的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，则不等式280x qx x p+->+的解集为（）．A.(4,1)(2,)-+∞ B.(2,1)(4,)-+∞ C.(,2)(1,4)-∞- D.(,4)(1,2)-∞- 8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()++-=f x y f x y f x f y ，(1)1f =，则（）A.(0)0f =B.函数()f x 为奇函数C.(2)1f =- D.函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．全对得5分，漏选得2分，错选不得分）9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法正确的是（）A.AH ED=B.OA EF FO-=C.OA OC +=D.AB 和GD不能构成一组基底10.已知函数2log ||()2a x m f x x b+=+的图象如图所示，当x n <时，有()0f x >，则下列判断中正确的是（）A.2m =-B.1n = C.0b > D.01a <<11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）A.甲地：中位数为2，极差为5B.乙地：总体平均数为2，众数为2C.丙地：总体平均数为1，总体方差大于0D.丁地：总体平均数为2，总体方差为312.如图，对于任意正数u ，()v u v <．记曲线1y x=与直线x u =，x v =，0y =所围成的曲边梯形面积为(,)L u v ，并约定(,)0=L u u 和(,)(,)=-L v u L u v ．已知(1,)ln =L x x ，则以下命题正确的有（）A.()1e ,21ln 2L -=+B.(2,3)(4,6)L L >C.对任意正数k 和1<<u v ，有(,)(,)=L u v L ku kv D.对任意正数k 和1<<u v ，有()(,),k kkL u v L u v=第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）13.函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）的反函数过定点_________．14.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x y +=______.15.若函数y =的定义域为R ，则m 的取值范围是______.16.已知函数()()2221,2log 2,2x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则函数[]3()()2()4F x f f x f x =-+有_________个零点．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知幂函数()22()1m f x m m x +=-+，（1）求m 的值；（2）若_________写出函数()f x 的单调区间（不需证明单调性），并利用()f x 的单调性解不等式(1)(3)f x f x +>-．①函数()f x 为奇函数；②函数()f x 为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．18.碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为P ，死亡年数为t ．（1）试将P 表示为t 的函数；（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：lg 20.3≈）19.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A +，A ，B ，C ，D 五个等级．若两科笔试成绩均为A +，则直接参加；若一科笔试成绩为A +，另一科笔试成绩不低于B ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为14，15，25，110，120；甲、乙在面试中通过的概率分别为15，516．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．20.已知函数2()log ()f x x a =+．（1）当2a =时，解不等式：2()2log f x x >；（2）当0a >时，记1()(4)2g x f x =，若对任意的(0,2)x ∈，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =的图像的下方，求正数a 的取值范围．21.如图，在ABC 中，点P 满足2PC BP =，O 是线段AP 的中点，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点,E F ．（1）若23AF AC = ，求AEEB 的值；（2）若(0)EB AE λλ=> ，(0)FC AF μμ=>，求111λμ++的最小值．22.已知2()21x x af x +=+是定义在R 上的奇函数．（1）求a 的值，指出()f x 的单调性（单调性无需证明）；（2）若函数2()22xxb g x ⋅=+的图象可以由函数()f x 的图象通过平移得到，求函数()g x 的值域；（3）若存在区间[,]()m n m n <，使得函数()y f x t =+在[,]m n 上的值域为2,2m n⎡⎤⎣⎦，求t 的取值范围．2023—2024学年度上学期期末考试高一试题数学考试时间：120分钟满分：150分第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1.已知集合{}30log 2A x x =≤≤，{}33B x x =-≤，则A B = （）A.[]0,1 B.[]0,9 C.[]1,6D.[]6,9【答案】C 【解析】【分析】首先解对数不等式和绝对值不等式求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由30log 2x ≤≤，即333log 1log log 9x ≤≤，所以19x ≤≤，所以{}{}30log 219A x x x x =≤≤=≤≤，由33x -≤，即333x -≤-≤，解得06x ≤≤，所以{}{}33|06B x x x x =-≤=≤≤，所以{}16A B x x ⋂=≤≤.故选：C 2.“12a >”是“12a<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.【详解】因为112122a a a>⇒>⇒<，而12a <推不出12a >，例如1a =-满足12a <，但12a >不成立，所以“12a >”是“12a<”的充分不必要条件，故选：A3.已知0.643a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，141log 5b =，0.934c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b c a >>B.c a b >>C.b a c >>D.a c b>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性判断出1a c >>，再利用对数函数14log y x =的单调性判断出1b >即可.【详解】0.60.64334a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝，因为34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且00.60.9<<，所以00.60.9333444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎝>⎭⎝⎭>⎭，即1a c >>；因为14log y x =在(0,+)∞上单调递减，且1145>，所以414111log log 54<，即1b >；因此b a c >>.故选：C.4.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411231324412112443213144331123114142111344312334223122113133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）A.110B.320 C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解.【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为320P =.故选：B5.已知(1,2)a =，(3,1)b =- ，若()//(2)kb a a b -+，则k =（）A.1-B.12-C.23-D.13【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.【详解】因为(3,)(1,2)(31,2)kb a k k k k -=--=--- ，2(2,4)(3,1)(5,3)a b +=+-=，且()//(2)kb a a b -+ ，所以()()313520k k -⨯---=，即147k =-，解得12k =-.故选：B6.已知函数()2()lg 67f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[7,)+∞B.[3,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,1]-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据对数型复合函数的单调性求出()f x 的单调区间，即可求出参数的取值范围.【详解】对于函数()2()lg 67f x x x =--，令2670x x -->，解得7x >或1x <-，所以函数()f x 的定义域为()(),17,∞∞--⋃+，又267y x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()7,+∞上单调递增，lg y x =在定义域上单调递增，所以()2()lg 67f x x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()7,+∞上单调递增，因为函数()2()lg 67f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，所以7a ≥，即a 的取值范围是[7,)+∞.故选：A7.若关于x 的不等式20x px q ++>的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，则不等式280x qx x p+->+的解集为（）．A.(4,1)(2,)-+∞B.(2,1)(4,)-+∞ C.(,2)(1,4)-∞- D.(,4)(1,2)-∞- 【答案】B【分析】根据关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，利用韦达定理可得1,2=-=-p q ，将不等式等价转化为()()4201x x x -+>-，进而求解.【详解】因为关于x 的不等式20x px q ++>的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，所以20x px q ++=的两根是1-或2，由韦达定理可得：1,2=-=-p q ，所以280x qx x p +->+可转化为()()4201x x x -+>-，解得2<<1x -或>4x .所以原不等式的解集为(2,1)(4,)-+∞ ，故选：B.8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()++-=f x y f x y f x f y ，(1)1f =，则（）A.(0)0f =B.函数()f x 为奇函数C.(2)1f =-D.函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法得到()(2)1()f x f x f x +=+-，再令1,0x y ==即可求出()0f ，从而判断A 、B ，在由赋值法判断C 、D.【详解】依题意，()11f =，()()()()++-=f x y f x y f x f y ，令1y =得()(1)(1)()(1)f x f x f x f f x ++-==，所以()(1)(1)f x f x f x +=--，则()(2)1()f x f x f x +=+-，令1,0x y ==，则(1)(1)(1)(0)f f f f +=，所以()02f =，故A 错误；因为()00f ≠，所以()f x 不是奇函数，故B 错误；()()()210121f f f =-=-=-，故C 正确；令0x =可得()()()()()02f y f y f f y f y +-==，所以()()-=f y f y ，所以()f x 为偶函数，故D 错误；二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．全对得5分，漏选得2分，错选不得分）9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法正确的是（）A.AH ED=B.OA EF FO-=C.OA OC +=D.AB 和GD不能构成一组基底【答案】BCD 【解析】【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解.【详解】因为正八边形ABCDEFGH 中，DEA HAE ∠=∠，所以//AH DE ，但,AH ED方向不同，所以AH ED =不正确，故A 错误；由OA EF EO EF FO -=-= ，所以OA EF FO -=正确，故B 正确；由正八边形知，π2AOC ∠=，且OA OB = ,根据向量加法法则可知：OA OC +为以,OA OC 为邻边的正方形中以O 为始点的一条对角线所对应的向量，所以OA OC += ，又OA OB = ，OB与以O 为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以OA OC +=，故C 正确；在正八边形ABCDEFGH 中，AB FE = ，FE 和GD 平行，所以AB 和GD 共线，故AB 和GD不能构成一组基底，故D 正确.故选：BCD10.已知函数2log ||()2a x m f x x b+=+的图象如图所示，当x n <时，有()0f x >，则下列判断中正确的是（）A.2m =- B.1n = C.0b > D.01a <<【答案】ABC【解析】【分析】根据()f x 的定义域为()()22-∞⋃+∞，，，分情况得到2m =-，判断A 选项；根据()2log 02a n m f n n b +==+，得到1n =，判断B ；再结合1x <时，()0f x >得到0b >，判断C 选项；根据()log 20a f b=，0b >得到1a >，排除D 选项.【详解】由图象可得，()f x 的定义域为()()22-∞⋃+∞，，，所以2x ≠可能是220x b +≠的解，也可能是0x m +≠的解，当2x ≠是220x b +≠的解时，8b =-，此时220x b +≠的解为2x ≠±，跟题意不符；当2x ≠是0x m +≠的解时，2m =-，符合要求，故A 正确；因为2m =-，所以()2log 02a n mf n n b +==+，解得1n =或3n =，因为2n <，所以1n =，故B 正确；当1x <时，()2log 02a x mf x x b +=>+，而21x ->，所以log 2a x -的符号在1x <时不变，则22x b +的符号也不变，所以22x b +只能大于零，即0b >，故C 正确；因为()log 20a f b=，0b >，所以2log 0a >，即1a >，故D 错误.故选：ABC.11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）A.甲地：中位数为2，极差为5B.乙地：总体平均数为2，众数为2C.丙地：总体平均数为1，总体方差大于0D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3【答案】AD【解析】【分析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.【详解】对A ，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257+=，故A 正确；对B ，若乙地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误；对C ，若丙地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误；对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于()2182 3.6310⨯-=>.与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D 正确.故选：AD12.如图，对于任意正数u ，()v u v <．记曲线1y x =与直线x u =，x v =，0y =所围成的曲边梯形面积为(,)L u v ，并约定(,)0=L u u 和(,)(,)=-L v u L u v ．已知(1,)ln =L x x ，则以下命题正确的有（）A.()1e ,21ln 2L -=+B.(2,3)(4,6)L L >C.对任意正数k 和1<<u v ，有(,)(,)=L u v L ku kv D.对任意正数k 和1<<u v ，有()(,),k k kL u v L u v=【答案】ACD【解析】【分析】根据新定义中的运算律(,)0=L u u 和(,)(,)=-L v u L u v 及(1,)ln =L x x 逐项计算分析即可得解.【详解】()()()()1111e ,2e ,11,21,e ln 2ln e ln 21ln 2L L L L ----=+=-+=-+=+，故A 正确；()()()()()32,32,11,31,21,3ln 2ln 3ln 2L L L L L =+=-+=-+= ，()()()()()634,64,11,61,41,6ln 6ln 4ln ln 42L L L L L =+=-+=-==，()()2,34,6L L ∴=，故B 错误；对任意正数k 和1<<u v ，因为()()(),1,1,ln ln lnv L u v L u L v v u u=-+=-=，()()(),1,1,ln ln ln v L ku kv L ku L kv kv ku u =-+=-=，所以(,)(,)=L u v L ku kv ，故C 正确；对任意正数k 和1<<u v ，则()()(),1,1,ln ln L u v L u L v v u =-+=-，()()()()(),1,1,ln ln ln ln ,k k k k k k L u v L u L v u v k u v kL u v =-+=-=-=，故()(,),k k kL u v L u v=，故D 正确.故选：ACD 第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）13.函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）的反函数过定点_________．【答案】()2,1【解析】【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.【详解】对于函数11x y a -=+（1a >且0a ≠），令10x -=，即1x =，所以012y a =+=，即函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）恒过点()1,2，所以函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）的反函数恒过点()2,1.故答案为：()2,114.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x y +=______.【答案】3【解析】【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x 、y 即可求解.【详解】由题意，甲的中位数为：1220162+=，故乙的中位数1910162y ++=①7+121220203110266x x x ++++++=甲，8+91910252899=66y y x ++++++=乙，因为平均数相同，所以1029966x y ++=②，由①②可得3y =，0x =，所以3x y +=，故答案为：3.15.若函数()21y mx m x m =--+的定义域为R ，则m 的取值范围是______.【答案】1[,)3+∞【解析】【分析】根据函数定义域为R ，转化为不等式2(1)0mx m x m --+≥恒成立，即可得到结论．【详解】 函数的定义域为R ，∴不等式2(1)0mx m x m --+≥，对任意x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式等价为0x -≥，不恒成立，此时不满足题意．当0m ≠，要使不等式恒成立，则满足()220140m m m >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得13m ≥，即实数m 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1[,).3+∞16.已知函数()()2221,2log 2,2x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则函数[]3()()2()4F x f f x f x =-+有_________个零点．【答案】4【解析】【分析】令()t f x =，由()0F x =可得，3()204f t t -+=，转化为数形结合，判断图象交点个数，即可得解.【详解】令()t f x =，由()0F x =可得，3()204f t t -+=，作()y f t =与324y t =-的图象，如图，由图象知有两个交点，分别设横坐标为12,t t ，则120,(2,3)t t =∈，由1()0f x t ==可知2x =或3x =，有两个根，由2()(2,3)f x t =∈，显然有两个根，综上，[]3()()2()04F x ff x f x =-+=有4个根，即()F x 有4个零点.故答案为：4四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知幂函数()22()1m f x m m x+=-+，（1）求m 的值；（2）若_________写出函数()f x 的单调区间（不需证明单调性），并利用()f x 的单调性解不等式(1)(3)f x f x +>-．①函数()f x 为奇函数；②函数()f x 为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．【答案】（1）0m =或1m =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数可知系数为1，解方程即可得解；（2）选①，根据奇函数确定函数解析式，根据单调性可得不等式求解即可，选②根据偶函数确定m ，由解析式确定单调性，结合偶函数的性质转化为代数不等式求解.【小问1详解】因为()f x 为幂函数，所以211m m -+=，解得0m =或1m =.【小问2详解】选①，若函数()f x 为奇函数，则1m =，即函数3()f x x =，此时函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞，所以13x x +>-，解得1x >，即不等式的解集为{}1x x >．选②，若函数()f x 为偶函数，则0m =，即函数2()f x x =，此时函数()f x 单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞，由偶函数性质可知(1)(3)f x f x +>-，由单调性可知|1||3|x x +>-，即222169x x x x ++>-+，解得1x >，即不等式的解集为{}1x x >．18.碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为P ，死亡年数为t ．（1）试将P 表示为t 的函数；（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：lg 20.3≈）【答案】（1）57301(0)2tP t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭（2）13370年【解析】【分析】（1）设出函数解析式t P a =，代入所给数据，求出a 得解；（2）利用函数解析式，根据题意建立方程求解即可.【小问1详解】已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设t P a =，由经过5730年衰减为原来的一半，可得573012a =，所以1573012a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故碳14的含量P 与死亡年数t 的函数关系式为57301(0)2tP t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭；【小问2详解】由已知57301202100t⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1220lg 20lg 20lg1001lg 27100log 15730100lg 2lg 23lg 2t --====≈-，即13370t ≈，所以推算该生物死亡的年代距今13370年．19.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A +，A ，B ，C ，D 五个等级．若两科笔试成绩均为A +，则直接参加；若一科笔试成绩为A +，另一科笔试成绩不低于B ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为14，15，25，110，120；甲、乙在面试中通过的概率分别为15，516．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．【答案】（1）作图见解析，76.25分；（2）35；（3）132.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；（2）根据古典概型的概率计算公式求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知[70,80)的频率为1(0.0150.0300.0100.005)100.40-+++⨯=，所以[70,80)组的纵轴为0.40100.040÷=，所以频率分布直方图如下所示：又(0.0100.005)100.150.3+⨯=<，0.4(0.0100.005)100.550.3++⨯=>，所以第70%分位数位于[70,80)，且0.40.15107076.250.4-⨯+=，所以入围分数应设为76.25分.【小问2详解】依题意从[80,90)抽取0.01640.010.005´=+人，标记为1,2,3,4；从[90,100]抽取0.005620.010.005´=+，标记为a ，b ；从6人中随机选2人其样本空间可记为()()()()()()()()(){()()()()()()}Ω1,21,31,41,1,2,32,42,2,3,43,3,4,4,,a b a b a b a b a b =，共包含15个样本点，即有15种选法．设事件A =“至少有1名学生成绩不低于90”，则其中2人都是[80,90)的样本空间可记为{}(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)A =，共包含6个样本点，即有6种选法．则63()1()1155P A P A =-=-=；所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为35.【小问3详解】依题意甲能参加冬令营的概率2221111255561255P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭甲，乙能参加冬令营的概率11112552444551632P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭乙，二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率15153232P P P ==⨯=甲乙．20.已知函数2()log ()f x x a =+．（1）当2a =时，解不等式：2()2log f x x >；（2）当0a >时，记1()(4)2g x f x =，若对任意的(0,2)x ∈，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =的图像的下方，求正数a 的取值范围．【答案】（1）(0,2)（2）(0,1]【解析】【分析】（1）依题意可得22log (2)2log x x +>，根据对数函数的单调性得到22002x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得即可；（2）依题意可得()()f x g x <在(0,2)x ∈上恒成立，整理得222(2)0x a x a a +-+-<在(0,2)x ∈上恒成立，设22()2(2)0m x x a x a a =+-+-<，(0,2)x ∈，则(0)0(2)0m m ≤⎧⎨≤⎩，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】由2()2log f x x >，2a =，得22log (2)2log x x +>，即222log (2)log x x +>，所以22002x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得02x <<，即不等式的解集为(0,2)．【小问2详解】因为211()(4)log (4)(0)22g x f x x a a ==+>，对任意的(0,2)x ∈，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =图像的下方，则()()f x g x <在(0,2)x ∈上恒成立，即221log ()log (4)(0)2x a x a a +<+>在(0,2)x ∈上恒成立，即222log ()log (4)x a x a +<+在(0,2)x ∈上恒成立，即222log ()log (4)x a x a +<+，2()4x a x a +<+在(0,2)x ∈上恒成立，整理得222(2)0x a x a a +-+-<在(0,2)x ∈上恒成立，设22()2(2)0m x x a x a a =+-+-<，(0,2)x ∈，则只需要22(0)0(2)340m a a m a a ⎧=-≤⎨=+-≤⎩即可，可得01a ≤≤，又因为0a >，所以01a <≤，所以正数a 的范围为(0,1]．21.如图，在ABC 中，点P 满足2PC BP =，O 是线段AP 的中点，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点,E F．（1）若23AF AC = ，求AE EB 的值；（2）若(0)EB AE λλ=> ，(0)FC AF μμ=> ，求111λμ++的最小值．【答案】（1）45AE EB =（2）34+【解析】【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到2133AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，134x AO AE AF =+ ，再根据,,E O F 三点共线，求得94x =即可求解.（2）根据题意得到(1)AB AE λ=+ ，(1)AC AF μ=+ ，结合,,E O F 三点共线得到23λμ+=，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【小问1详解】因为2PC BP =，所以1121()3333AP AB BP AB BC AB BA AC AB =+=+=++=+ ，因为O 是线段AP 的中点，所以111236AO AP AB AC ==+ ，又因为23AF AC = ，设AB xAE = ，则有134x AO AE AF =+ ，因为,,E O F 三点共线，所以1134x +=，解得94x =，即49AE AB =，所以45AE EB =．【小问2详解】因为(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+ ，()1AC AF FC AF AF AF μμ=+=+=+ ，由（1）可知，111236AO AP AB AC ==+ ，所以1136AO AE AF λμ++=+ ，因为,,E O F 三点共线，所以11136λμ+++=，即23λμ+=，所以1111113(21)314144λμλμλμ⎛⎛⎫++=+⋅++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当1μ+=，即4λ=-5μ=-时取等号，所以111λμ++的最小值为34+．22.已知2()21x x a f x +=+是定义在R 上的奇函数．（1）求a 的值，指出()f x 的单调性（单调性无需证明）；（2）若函数2()22xx b g x ⋅=+的图象可以由函数()f x 的图象通过平移得到，求函数()g x 的值域；（3）若存在区间[,]()m n m n <，使得函数()y f x t =+在[,]m n 上的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦，求t 的取值范围．【答案】（1）1a =-，()f x 在R 上单调递增，（2）(0,2)（3）()2,1【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义求参数a 的值，根据复合函数的单调性判断()f x 的单调性；（2）根据函数平移的性质求得参数b 的值，再求函数()g x 的值域；（3）根据函数单调性结合题意将问题转化为关于x 的方程210x tx t --+=有两个不相等的正实根，然后利用一元二次方程根的分布求解即可.【小问1详解】因为2()21x x a f x +=+是定义在R 上的奇函数，所以()()0f x f x -+=，即2202121x x x x a a --+++=++，所以()()222021221x x x x x x a a --+++=++，即12201221x x x x a a +⋅++=++，所以1220x x a a +⋅++=，整理得()()1212x xa +=-+，得1a =-，所以212122()1212121x x x x x f x +--===-+++，所以()f x 在R 上单调递增；【小问2详解】由（1）得2()121x f x =-+，()111112122()22212121x x x x x x x b b b b b g x b -----+-⋅⋅====-++++，因为函数2()22xx b g x ⋅=+的图象可以由函数()f x 的图象通过平移得到，所以2b =，所以12()221x g x -=-+，因为120x ->，所以1211x -+>，所以122021x --<-<+，所以1202221x -<-<+，所以函数()g x 的值域为(0,2)；【小问3详解】由（1）得212()12121x x x y f x t t t -=+=+=+-++，令2()121x h x t =+-+，则2()121x h x t =+-+在R 上递增，因为函数()y f x t =+在[,]m n 上的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦，所以2()12212()1221m m n n h m t h n t ⎧=+-=⎪⎪+⎨⎪=+-=⎪+⎩，所以()()2222102210m m n n t t t t ⎧-⋅-+=⎪⎨⎪-⋅-+=⎩，因为022m n <<，所以关于x 的方程210x tx t --+=有两个不相等的正实根，所以2Δ4(1)0010t t t t ⎧=-->⎪>⎨⎪->⎩，解得21t <<，即t的取值范围为()2,1．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、函数图象平移的综合问题，第（3）问解题的关键就是利用转化的数学思想将问题转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解.。
辽宁省五校2023-2024学年高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析
A.{2，3，4}
B.{1，2，4，5}
C.{2，5}
D.{2}
9．函数 f（x）=|x3|•ln 1 x 的图象大致为（ ） 1 x
A.
B.
C.
D.
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 8 3
C. 6
B. 10 3
D. 3
11．已知 a 、 b 为非零向量，“ a = b ”是“ a = b ”的（）
3
时，求证：
PC
PD
；
（2）求 (PC PD) AP 的最大值.
22．已知 a R
，函数
f
x
log2
1 x
a
.
（1）当 a 5 时，解不等式 f x 0 ；
（2）若关于 x 的方程 f x log2 a 4 x 2a 5 0 的解集中恰有一个元素，求 a 的取值范围；
（3）设
因为 a 0 且 a 1，解得 a 3 .
故选：D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13、 1 2
【解析】求出 a b 2 x, 1 ，根据 a a b ，即 a a b 0 ，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求
解
【详解】由题意知，平面向量 a 2,3 ， b x, 4 ，则 a b 2 x, 1 ；
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．已知 O 是
ABC 所在平面内的一定点，动点 P 满足 OP OA
AB
AC
, (0, ) ，则动点 P 的轨迹
| AB | | AC |
一定通过 ABC 的（ ）
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
6.辽宁省五校高一上学期期末考试
6.辽宁省五校高一上学期期末考试数学(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}()(){}|0,|130,M x x N x x x =≥=+-<则M N ⋃=( )A.()1,3-B.()1,-+∞C.()0,3D.[)0,32.倾斜角为60，在y 轴上的截距为-1的直线方程是( )10y --=10y -+=310y --=310y +-=3.函数()28f x ax bx =++满足条件()()13f f -=，则()2f 的值为( )A.5B.6C.8D.与,a b 值有关4.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积为( )A.32B.48D.32335.直线34x y +=与圆224x y +=的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.位置关系不确定6.下列命题中真命题的个数为( )①平行于同一平面的两直线平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直.A.0个B.1个C.2个D.3个7.一个容器装有西沙3,acm 细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3,bt y ae cm -=经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过___min,容器中的沙子只有开始时的八分之一( )A.8B.16C.24D.328.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.5B.132D.1529.已知三点()()()1,3,4,2,1,7,A B C -则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A.10B.C.510.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,3,4,5,ABC PA AB AC ===三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A.17πB.25πC.34πD.50π11.已知函数()()y f x x R =∈是奇函数且当()0,x ∈+∞时是减函数，若()10,f =则函数()22||y f x x =-的零点共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个12.已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠为三棱锥,A BCD -则在折叠过程中，不能出现( )A.BD AC ⊥B.平面ABD ⊥平面CBDC.3A CBD V -= D.AB CD ⊥第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.若直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则实数m =___.14.已知幂函数()22422m m y m m x +=--的图像关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为___.15.已知圆()()22:131C x y -+-=和两点()()()0,,0,0,A m B m m ->若圆C 上存在点,P 使得90,APB ∠=则实数m 的取值范围为___.16.已知函数()()|log |1||0,0,a f x x a a =->≠若1234,x x x x <<<且()1f x = ()()()234,f x f x f x ==则12341111x x x x +++=___. 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知三个集合(){}{}2243:|log 591,|21,x A x R x x B x R -=∈-+==∈= {}22|190.C x R x ax a =∈-+->(I)求A B ⋂；(II)已知,,A C B C ⋂≠∅⋂=∅求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)如图，四棱锥,P ABCD -侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点.(I)求证：PC AD ⊥；(II)求D MAC V -.19.(本小题满分12分)设函数()()()2101x x f x k a a a a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数.(I)求k 的值；(II)若()51,6f =-不等式()()3210f x t f x -+-+≥对[]1,1x ∈-恒成立，求实数t 的最小值.20.(本小题满分12分)已知两个定点()()4,0,1,0,A B --动点P 满足||2||.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线,E 直线: 4.l y kx =-(I)求曲线E 的轨迹方程；(II)若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且90COD ∠=(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；(III)若1,2k Q =是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,,QM QN 切点为,,M N 探究：直线MN 是否过定点.21.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形,,PAD PAB AC BD ∠=∠交于O . (I)求证：平面PAC ⊥平面;PBD(II)延长BC 至,G 使,BC CG =连接,.PG DG 试在棱PA 上确定一点,E 使//PG 平面,BDE 并求此时AE EP的值.22.(本小题满分12分)设函数()()()log 30,1,a f x x a a a =->≠且当点(),P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =图象上的点.(I)写出函数()y g x =的解析式；(II)把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数()()()22,h x h x F x a a --⎡⎤=-+⎣⎦是否存在实数(),,m n m n <使函数()F x 的定义域为(),,m n 值域为(),.m n 如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由； (III)若当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()||1,f x g x -≤试确定a 的取值范围.参考答案1.答案：B解析：本题考查集合的运算.{}|13,N x x =-<<则()1,,M N ⋃=-+∞故选B. 2.答案：A解析：本题考查直线的方程、直线的倾斜角与斜率的关系.直线斜率tan603,k ==在y 轴上的截距为1,b =-则直线方程为1,y =-即10,y --=故选A.3.答案：C解析：本题考查函数的对称性、函数值的计算.由二次函数的对称性及()()13,f f -=则()()208,f f ==故选C.4.答案：A解析：本题考查正四棱锥的结构特征和侧面积.由题意，正四棱锥的斜高为4，则正四棱锥的侧面积为144432,2⨯⨯⨯=故选A. 5.答案：B解析：本题考查直线与圆的位置关系.由题知圆心()0,0到直线40x -=的距离42,2d ==又圆的半径为2，所以题中直线与圆相切，故选B. 技巧点拨：直线与圆的位置关系的判断，有代数法与几何法，通常利用几何法，即运用圆心到直线的距离与半径进行比较.6.答案：C解析：本题考查直线与平面间位置关系的判定.由题意，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故①不正确；平行于同一平面的两个平面平行，②正确；垂直于同一平面的两条直线平行，③正确；垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④不正确，综上，真命题的个数为2个，故选C.7.答案：B 解析：本题考查指数函数模型.依题意有ln 2881ln 2,,,28t b a e a b y ae --⋅=∴=∴=若容器中只有开始时的八分之一时，则有ln 281,8t ae a -=解得24,t =∴再经过24-8=16()min 时，容器中的沙子只有开始时的八分之一，故选B.8.答案：C解析：本题考查由三视图还原几何体的直观图、几何体的体积.由几何体的三视图得该几何体是棱长为2得正方体得上方切去一个棱长为1的小正方体后剩余的部分，则该几何体的体积为33217,V =-=故选C.根据三视图正确还原出几何体的直观图是解答此类问题的关键.9.答案：D解析：本题考查圆的方程.由题意，设圆的方程为220x y dx ey f ++++= ()2240,d e f +->因为圆M 过三点()()()1,3,4,2,1,7,A B C -所以1030,20420,5070,d e f d e f d e f +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩解得2,4,20,d e f =-==-所以圆的方程为22x y + 24200,x y -+-=即()()221225,x y -++=故该圆的圆心坐标为()1,2,-故圆心到=故选D.待定系数法是求圆的一般方程的常用方法.10.答案：C解析：本题考查数学文化、三棱锥外接球的表面积.由题意知，PC 为球O 的直径，PC ==球O 的半径,2R =∴球O 的表面积224434,S R πππ==⨯=⎝⎭故选C.求三棱锥外接球的表面积的关键是根据三棱锥的结构特征找到并求出球的直径或半径.11.答案：D解析：本题考查函数的零点、函数的奇偶性与单调性.由题意，函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，则()00,f =当()0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，且()10,f =则函数()f x 在()0,+∞上只有一个零点，因为函数()y f x =是奇函数且当()0,x ∈+∞时是减函数，则()f x 在(),0-∞为减函数，又由()10,f =则()()110,f f -=-=则函数()f x 在(),0-∞上只有一个零点，故函数()y f x =共有3个零点，分别为-1，0，1.当22||1x x -=-时，解得1x =±；当22||0x x -=时，解得0x =或2±；当22||1x x -=时，解得12x =+或12,--则函数()22||y f x x =-的零点共有7个，故选D.12.答案：D解析：本题考查空间直线与直线、平面与平面垂直关系的判定、三棱锥的体积.如图，设正方形中心为,,,,O BD OC BD OA AO CO O BD ⊥⊥⋂=∴⊥平面,AOC 又AC ⊂平面,,AOC BD AC ∴⊥故A 正确；由BD ⊥平面AOC 知AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，∴当2AOC π∠=时，平面ABD ⊥平面,CBD 故B 正确；当2AOC π∠=时，A CBD V -取得最大值为112222,33BCD S OA ∆⋅=⨯⨯=∴三棱锥A CBD -的体积的取值范围是220,,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦故C 正确；若,AB CD ⊥又,BC CD ⊥又,AB BC B ⋂=则CD ⊥平面,ABC 又AC ⊂平面,,,ABC CD AC AD CD ∴⊥∴>显然这与AD CD =矛盾，故在折叠过程中AB 与CD 不可能垂直，故选D.13.答案：见解析解析：本题考查直线与直线平行的条件.直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，2240,,22m m m m m -+∴≠=≠-+解得 2.m =- 知识拓展：若两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=平行，则()111222222,,0A B C A B C A B C =≠均不为，若两条直线垂直，则12120.A A B B += 14.答案：见解析解析：本题考查幂函数的概念.()22422m m y m m x +=--为幂函数，2221,m m ∴--=解得1m =-或 3.m =当1m =-时，函数3y x -=的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，当3m =时，函数21y x =的图象关于原点对称，但与x 轴、y 轴有交点，不合题意.综上，整数m 的值为-1.根据幂函数的定义求出m 的值是解题的关键.15.答案：见解析解析：本题考查圆的性质.由题意，圆()(2211C x y -+=：的圆心(,C 半径为1，圆心C 到点()0,0O 的距离为2，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为3，最小值为1，又90,APB ∠=以AB 为直径的圆和圆C 有交点，1,2PO AB m ∴==即13,m ≤≤∴实数m 的取值范围是[]1,3. 16.答案：见解析解析：本题考查对数的运算性质.由题意，不妨设1,a >令()|log |1||0,a f x x b =-=>则log |1|a x b -=或log |1|,a x b -=-解得1231,1,1,b b b x a x a x a --=-+=-+=+41,b x a =+所以221423112112,,11b b x x a x x a -+=+=--所以12341111x x x x +++= 2222 2.11b ba a -+=-- 17.答案：见解析解析：名师指导：本题考查交集、对数、指数的运算，解一元二次不等式. (I)分别求出集合,A B ，即可求出A B ⋂；(II)由已知条件和集合,C 建立方程组，即可求出实数a 的取值范围.解：(I){}{}{}{}22|5932,3,|402,2,A x R x x B x R x =∈-+===∈-==- {}2.A B ∴⋂=（4分）(II),,2,2,3.A C B C C C C ⋂≠∅⋂=∅∴∉-∉∈{}222222150,|190,2150,3100,a a C x R x ax a a a a a ⎧--≤⎪=∈-+->∴+-≤⎨⎪-->⎩解得3 2.a -≤<-∴实数a 的取值范围是[)3,2.--（10分）18.答案：见解析解析：名师指导：本题考查异面直线的垂直、三棱锥的体积.(I)取AD 中点O ，连接,,OP OC 由,OC AD OP AD ⊥⊥可得AD ⊥平面,POC 即可证明PC AD ⊥；(II)证明PO ⊥平面,ABCD 即OP 为三棱锥P ACD -的高，可求出,P ACD V -然后利用等体积法求解D MAC V -的体积.解：(I)证明：取AD 中点O ，连接,OP OC.依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，,,OC AD OP AD ∴⊥⊥又,OC OP O ⋂= OC ⊂平面,POC OP ⊂平面,POC AD ∴⊥平面,POC 又PC ⊂平面,.POC PC AD ∴⊥（6分）(II)由(I)可知,OP AD ⊥平面PAD ⊥平面,ABCD 平面PAD ⋂平面,ABCD AD OP =⊂平面,PAD PO ∴⊥平面,ABCD 即OP 为三棱锥P ACD -的高.又PAD ∆是边长为2的正三角形，1112 1.332P ACD ACD PO V S PO -∆∴=∴=⋅=⨯⨯又M 为PC 的中点， 1111.222D MAC M ADC P ACD V V V ---∴===⨯=（12分） 19.答案：见解析解析：名师指导：本题考查函数的单调性、奇偶性、恒成立问题.(I)根据定义域为R 的奇函数的性质()00f =求出k 的值，并检验；(II)由()1f 的值可得a 的值，求出函数()f x 的解析式，根据函数的单调性、奇偶性即可求得t 的最小值.解：(I)()f x 是定义在R 上的奇函数，()02110,f k ∴=--=解得 1.k = (),x x f x a a -∴=-经检验得()(), 1.f x f x k -=-∴=（4分）(II)由(I)知()()515.1,,66x x f x a a f a a -=-=-∴-=-解得23a =或32a =-(舍去)，故()23,32x xf x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则易知函数()y f x =在R 上为减函数， ()()()()3210,321,f x t f x f x t f x ∴-+-+≥∴-≥-即321,x t x -≤-1t x ∴≥+在[]1,1-上恒成立，则2,t ≥即实数t 的最小值是2.（12分） 20.答案：见解析解析：名师指导：本题考查点的轨迹方程、点到直线的距离公式、切线方程、圆的方程.(I)设点P 坐标为(),,x y 运用两点间距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；(II)由题意可得COD ∆为等腰直角三角形，运用弦长公式和点到直线的距离公式，计算即可得到所求直线的斜率；(III)由题意可知,,,O Q M N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设出Q 点的坐标，运用直径式圆的方程，及切点弦方程，结合直线方程，即可得到所求定点.解:(I)设点P 坐标为(),,x y 由||2||PA PB == 即()2222816421,x y x x y x +++=+++整理得2240,x y +-=∴曲线E 的轨迹方程为22 4.x y +=（3分）(II)直线l 的方程为4,y kx =-依题意可得COD∆为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为1||2CD =则d k ==∴=（7分） (III)由题意可知,,,O Q M N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设1,42Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则以OQ 为直径的圆的方程为()140,2x x t y y t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭即2240,2t x tx y y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭又点,M N 在曲线22:4E x y +=上，MN ∴的方程为 1440,2tx t y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭即()1410,2x y t y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭由10,210,x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得1,21,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线MN 过定点1,1.2⎛⎫- ⎪⎝⎭（12分） 21.答案：见解析解析：名师指导：本题考查空间面面垂直的判定、线面平行的判定. (I)由题可得,PAD PAB ∆≅∆证得,PO BD ⊥结合,AC BD ⊥可得BD ⊥平面,PAC 即可得证；(II)作辅助线，得线面平行，利用相似三角形，结合平行线的性质即可求值.解：(I)证明：,,,,.PAD PAB AD AB PA PA PAD PAB PB PD ∠=∠==∴∆≅∆∴= 点O 为BD 中点，.PO BD ∴⊥又四边形ABCD 为菱形，,AC BD ∴⊥ ,AC PO O BD ⋂=∴⊥平面.PAC 又BD ⊂平面,PBD ∴平面PAC ⊥平面.PBD （6分）(II)如图，连接AG 交BD 于点M ，在PAG ∆中，过点M 作//ME PG 交PA 于点,E 连接,ED EB .PG ⊄平面,BDE ME ⊂平面,//BDE PG ∴平面,//,BDE AD BG1,2,.2AM AD ADM GBM BG AD GM GB ∴∆∆=∴== 又1//,,2EA MA PG ME EP MG ∴==即1.2AE EP =（12分） 22．答案：见解析解析：名师指导：本题考查函数的图象与性质、绝对值不等式的解法、函数图象的平移、定义域、值域、恒成立问题.(I)根据题意,设点Q 的坐标为()'',,x y 分析,x y 与'',x y 的关系，即可得P 的坐标,将P 的坐标代入函数()f x 的解析式，即可得()g x 的解析式;(II)由对数的运算性质可得()F x 的解析式，结合二次函数的性质可得()F x 在(),m n 上单调递增，由22x x x -+=解得,m n 的值；(III)令()()()u x f x g x =-，解绝对值不等式并由二次函数的性质可得()u x 的最值，即可求出a 的取值范围.解:(I)根据题意，设点Q 的坐标为()'',,x y则''2,,x x a y y =-=-即''2,.x x a y y =+=-.点(),P x y 在函数()log 3a y x a =-的图象上，()''log 23,a y x a a ∴-=+-即''1log ,a y x a=∴-函数()y g x =的解析式为()1log .a g x x a=-（3分） (II)将()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()1log ay h x x a a ===+- ()()()(]()21log log ,20.,1,0,,a a x F x x x x F x x x =-∴=-+>∈-∞∈+∞ ()(],0,1,m n ∴⊆故()01,m n F x ≤<≤∴在(),m n 上单调递增， ()(),,,F m m F n n m n ∴==∴为(),F x x =即22x x x -+=的两个相异的非负实数根，解得0, 1.m n ==（7分）(III)令()()()()1log 3log ,a a u x f x g x x a x a =-=--- 由题意[]2,3,x a a ∈++又0,a >且1,a ≠ 则()()()()123220,01,|||log 3log |a a a a a a f x g x x a x a +-=-+>∴<<-=--- ()()()()2222|log 43|,||1,1log 431,a a x ax a f x g x x ax a =-+-≤∴-≤-+≤ 令()2243,r x x ax a =-+其对称轴为2,01,22,x a a a a =<<∴+> 则()2243r x x ax a =-+在[]2,3a a ++上为增函数， ∴函数()()22log 43a u x x ax a =-+在[]2,3a a ++上为减函数， 从而()()()()()()max min 2log 44,3log 96,a a u x u a a u x u a a =+=-=+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()log 961,0log 461,a a a a a -≥-⎧⎪∴∴<≤⎨-≤⎪⎩（12分）。
2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，则A B ⋃=（）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-【正确答案】D【分析】根据集合的并集运算即可得出答案.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，所以{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故选：D.2．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD =2，AB =BC =CD =1，E 为AD 的中点．则下列式子不正确的是（）A ．AB AE AC+= B ．BE EC = C ．AB CD ED -=D ．0ED CB += 【正确答案】C【分析】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析.【详解】由题意1,//,//,AE ED BC AE BC ED BC AE ED BC ===∴==，并且四边形ABCE 和四边形BCDE 都是平行四边形，即,BE CD AB EC ==，对于A ，AB AE AC +=，正确；对于B ，1,1BE CD EC AB ====，正确；对于C ，ED AE AB BE AB CD AB CD ==+=+≠-，错误；对于D ，,0ED BC CB ED CB ==-∴+=，正确；故选：C.3．“12x -≤”是“2211x x -≤+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】化简不等式，得到两个不等式的解，根据充分条件，必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：由12x -≤，解得13x -≤≤，由2211x x -≤+，解得13x -<≤，显然1313x x -<≤⇒-≤≤，但是13x -≤≤推不出13x -<≤，所以“12x -≤”是“2211x x -≤+”的必要不充分条件．故选：B.4．下列函数是增函数且在(0,5)上有零点的是（）A ．()4f x x =+B ．()4f x x =-C ．()ln 3f x x =-D ．()38xf x =-【正确答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及函数的零点存在性定理逐个选项判断即可．【详解】对于A ，()4f x x =+是增函数，令()40f x x =+=，则40x =-<，故A 错误；对于B ，()4f x x =-在()0,+∞上是减函数，故B 错误；对于C ，令()ln 30f x x =-=，则3e 5x =>，故C 错误；对于D ，()38x f x =-是增函数，令()380xf x =-=，则()3log 81,2x =∈，故D 正确；故选：D ．5．已知23log 2a =，5log 6b =，3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a>>【正确答案】C【分析】根据对数函数的单调性即可求解.【详解】由对数函数的单调性可知：2233log 2log 01a ==<，55log 65log 1b ==>，又()0,13c =，所以b c a >>．故选.C6．如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（）A ．38B ．716C ．58D ．916【正确答案】B【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为716．故选：B.7．下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：‰），根据下图，则（）A ．这10年的人口出生率逐年下降B ．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45%C ．这10年的人口出生率的80%分位数为13.57‰D ．这10年的人口出生率的平均数小于12‰【正确答案】D【分析】由走势图对选项一一验证即可.【详解】对于A ：这10年的人口出生率有升有降，故A 错误；对于B ：这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于50%，故B 错误；对于C ：由于100.88⨯=，则这10年的人口出生率的80%分位数为从小到大第8个和第9个数的平均数13.5713.8313.702+=，故C 错误；对于D ：这10年的人口出生率的平均数为()114.5713.0313.8311.9913.5712.6410.8610.418.527.5211.69410+++++++++=小于12‰，故D 正确；故选：D.8．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t S ab =，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为34a（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为3a（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg 20.30,lg 30.48≈≈）A ．13年B ．14年C ．15年D ．16年【正确答案】D【分析】由条件列式434a ab =先确定参数，再结合对数运算解方程3ta ab =.【详解】由题意，434a S ab ==，即434b =，所以b =，令3t a ab =，即13tb =，故13t=，即1lg 3t =，可得1(lg32lg2)lg34t -=-，即4lg 3162lg 2lg 3t =≈-．故选：D二、多选题9．已知e 是直线l 上的一个单位向量，a 与b都是直线l 上的向量，且2a e = ，3b e =- ，则（）A ．b的坐标为3-B ．||3b = C ．23a b +的坐标为5D ．|23|5a b += 【正确答案】ABD【分析】根据题意得到22a e == ，33b e =-= ，,a b的夹角为180 ，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为3b e =- ，所以b的坐标为3-，故A 正确；对选项B ，33b e =-=，故B 正确.对选项C ，因为2a e = ，3b e =-，所以23a b + 的坐标为5-，故C 错误；对选项D ，因为22a e == ，33b e =-= ，,a b 的夹角为180 ，所以()()222223491242991223125a ba b a b +=++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-=，所以|23|5a b +=，故D 正确.故选：ABD10．为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）A ．平均数为8.5B ．平均数为8C ．方差为10.5D ．方差为10【正确答案】BC【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.【详解】由题意，该样本数据的平均数10910781010a ⨯+⨯==+，方差222101011(98)8(78)10.52020s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：BC11．设函数()()ln f x x a =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．当1a =时，()f x 的单调递减区间为(),0∞-C ．若()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为(,0]-∞D ．若()f x 的值域为R ，则a 的取值范围为[0,)+∞【正确答案】AD【分析】根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解.【详解】对于A 选项，因为当0a >时，函数定义域为(,)(,)a a -∞-+∞ ，当0a =时，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ；当a<0时，函数的定义域为R ，函数定义域关于原点对称，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，故A 正确；对于B 选项，当1a =时，令10x ->，解得1x <-或1x >，由复合函数的单调性可知()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，故B 错误；对于C 选项，若()f x 的定义域为R ，则0x a ->恒成立，故a<0，则a 的取值范围为(),0∞-，故C 错误；对于D 选项，若()f x 的值域为R ，则0a -≤，故0a ≥，则a 的取值范围为[0,)+∞，故D 正确．故选.AD12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x 为偶函数，且()()11f x g x ++=，()()13f x g x +-=，则（）A ．()g x 的图象关于直线2x =对称B ．()f x 的图象关于点()0,2对称C ．()f x 是以3为周期的周期函数D ．()g x 是以4为周期的周期函数【正确答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可．【详解】由()()11f x g x ++=，可得()()121f x g x +++=，又()()13f x g x +-=，所以()()22g x g x ++=-，则()()422g x g x +++=-，所以()()4g x g x +=，所以()g x 周期为4，故D 正确；同理可得()()4f x f x +=，所以()f x 周期为4，故C 错误；．因为()g x 为偶函数，所以()()()4g x g x g x -==+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，故A 正确；因为()()11f x g x ++=，可得()()11g x f x =--，又()()13f x g x +-=，所以()()13g x f x -=--，由()()g x g x -=，可得()()1113f x f x --=--，即()()114f x f x -+-=，所以()f x 的图象关于点()0,2对称，故B 正确；故选：ABD ．三、填空题13．已知(,2)a m =- ，(3,1)b = ，若a b ∥，则a =r ______．【正确答案】【分析】首先根据a b ∥得到6m =-，再计算a 即可.【详解】由a b ∥，得60+=m ，则6m =-，故||a ==故四、双空题14．某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，将数据按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[]60,70分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则=a ______．要从日支出在[]50,70的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在[]60,70中被抽取的人数为______．【正确答案】0.0052【分析】根据频率之和为1列出方程，求出0.005a =，得到[50,60)内和[]60,70内的样本比例，从而得到在[]60,70中被抽取的人数.【详解】()20.020.0250.045101a ⨯+++⨯=，解得0.005a =．因为[50,60)内和[]60,70内的样本个数比例为0.020:0.0054:1=，根据分层抽样可知，日支出在[]60,70中被抽取的人数为110214⨯=+．故0.005，2五、填空题15．设a ，b ∈R ，若22936a b ab ++=，则3a b +的最大值为______．【正确答案】【分析】利用条件变形和问题建立起联系：()2336a b ab +=+，再利用基本不等式求出ab 的范围即可求解.【详解】()22293633a b ab a b ab ++==+-，即()2336a b ab +=+，因为229363a b ab ab ++=≥，可得23ab ≤，当且仅当3a b =时，等号成立，所以()23368a b ab +=+≤，即3a b +的最大值为故答案为.16．已知ABC 内一点P 满足14AP AB AC λ=+ ，若PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，则λ的值为______．【正确答案】512【分析】过点P 作//PM AC ，//PN AB ，根据向量运算和平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得PAC ABC S S λ=△△，14PAB ABC S S =△△，列方程求λ的值.【详解】如图，过点P 作//PM AC ，//PN AB ，则AP AM AN =+，又14AP AB AC λ=+ ，由平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC = ．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．又因为PNG BAH ∽△△，所以PG PNBH ABλ==，因为PAC ABC S S λ=△△，同理14PAB ABC S S =△△．因为PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，所以11143λ++=，解得512λ=．故答案为.512六、解答题17．已知命题:p x ∃∈R ，20x mx m ++<，集合A 是命题p 为假命题时实数m 的取值集合，函数()()ln f x x a a x=++-B ．(1)求集合A ；(2)已知0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．【正确答案】(1)[]0,4A =(2)()4,+∞【分析】（1）分析可知，命题p 的否定为真命题，由0∆≤可求得集合A ；（2）求出集合B ，分析可知A B ，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：命题p 的否定为x ∀∈R ，20++≥x mx m ，命题p 的否定为真命题等价于240m m ∆=-≤，解得04m ≤≤，所以[]0,4A =．（2）解：0a > ，要使()f x 有意义，则00x a a x +>⎧⎨->⎩，解得a x a -<<，则(),B a a =-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ，所以，04a a -<⎧⎨>⎩，解得4a >，当4a =时，()4,4B =-，此时AB .因此，实数a 的取值范围是()4,+∞.18．已知幂函数()()23mf x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减．(1)求()f x 的解析式；(2)若[]1,2x ∀∈，()2x af x x-≤，求a 的取值范围．【正确答案】(1)()2f x x-=(2)(,1]-∞【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；(2)根据题意分离变量得到12xa x≤-在[]1,2恒成立，利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为幂函数()()23mf x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减，所以2310m m ⎧-=⎨<⎩，解得2m =-，所以()f x 的解析式为()2f x x -=．（2）由()2x a f x x-≤，可得12x a x ≤-，则12xa x ≤-，因为12,xy y x==-在[]1,2上单调递增，所以12x y x=-在[]1,2上单调递增，所以当1x =时，取得最小值1．所以a 的取值范围为(,1]-∞．19．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12log 4f x x m =++．(1)求m 的值并求出()f x 在(),0∞-上的解析式；(2)若()1f a >，求a 的取值范围．【正确答案】(1)2m =，()()12log 42f x x =--+-(2)(),4-∞-【分析】（1）根据函数为R 上的奇函数得到()00f =，求出m 的值，并利用函数的奇偶性求出解析式；（2）得到函数的单调性及()124log 821f -=--=，从而解不等式，求出答案.【详解】（1）由题可知()020f m =-+=，即2m =，经检验符合题意，令0x <，则0x ->，()()12log 42f x x -=-++，又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()12log 42f x x -=-++，故()()12log 42f x x =--+-，故()f x 在(),0∞-上的解析式为()()12log 42f x x =--+-．（2）由函数性质可知()f x 在[0,)+∞上单调递减，则()f x 在R 上单调递减．又因为()124log 821f -=--=，所以()1f a >，即()()4f a f >-，所以当4a <-时，()1f a >，即a 的取值范围为(),4-∞-．20．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲未获得奖金的概率；(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．【正确答案】(1)0.825(2)0.0098【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未获奖金的概率；（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解.【详解】（1）获得二等奖的概率为0.70.50.50.80.14⨯⨯⨯=，获得一等奖的概率为0.70.50.50.20.035⨯⨯⨯=，所以甲未获得奖金的概率为10.140.0350.825--=．（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．甲和乙最后所得奖金之和为900元，则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，则所求的概率为0.0350.140.140.0350.0098⨯+⨯=．21．已知m >0，n >0，如图，在ABC 中，点M ，N 满足AM mAB = ，AN nAC = ，D 是线段BC 上一点，13BD BC = ，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线．(1)若点O 满足2AO OB OC =+ ，证明：//OE BC ．(2)求2m n +的最小值．【正确答案】(1)证明见解析(2)43【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用,AB AC 依次表示,,,,AD AE AO OE CB ，再结合向量共线定理证明//OE CB 即可；(2)由(1)1136AE AM AN m n =+ ，结合结论可得11136m n+=，再利用基本不等式求2m n +的最小值．【详解】（1）由题可知()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，因为点E 为AD 的中点，所以1136AE AB AC =+ ．由2AO OB OC =+ ，则2AO OA AB OA AC =+++ ，即()14AO AB AC =+ ，()111113641212OE AE AO AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭ ，又CB AB AC=- 所以//OE CB ，又,,E C B 三点不共线，所以//OE BC ．（2）因为M ，N ，E 三点共线，所以可设ME MN λ= ，又AM mAB = ，AN nAC = ，所以()()11AE AM AN mAB nACλλλλ=-+=-+ 又1136AE AB AC =+ ，所以()111,36m n λλ-==，所以11136m n+=，所以11112242(2)36333633n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23m =，13n =时，等号成立．所以2m n +的最小值是43．22．已知函数()()4422x x x x f x m n --=+-++．(1)证明：当0m n ==，()f x 在()0,∞+上单调递增．(2)若()f x 恰有3个零点，求m 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)()4,+∞【分析】（1）当0m n ==时，()44x x f x -=+，根据单调性定义证明设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，化简计算()()12f x f x -即可得到()()12f x f x <，即可证明；（2）计算可得()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，则当()f x 恰有3个零点时，()00f =，即可得到m 与n 的关系，即可代入函数解析式消去n ，得到()()()2222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点，根据单调性定义证明22x x y -=+在()0,∞+上单调递增，则令()222,x x t -=+∈+∞，得到2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，即可解出答案.【详解】（1）证明：当0m n ==时，()44x x f x -=+．设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()()()()1122121212144444414x x x x x x x x f x f x --+⎛⎫-=+-+=-- ⎪⎝⎭，因为120x x <<，所以12440x x -<，即121104x x +>-，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增．（2）因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称．因为()f x 恰有3个零点，所以()00f =，即220m n -+=．此时()()()()2442222222224x x x x x x x x f x m m m m ----=+-++-=+-++-，所以()()()2222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点．由（1）同理可知22x x y -=+在()0,∞+上单调递增．令()222,x x t -=+∈+∞，则2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，即2m t =+，则4m >，所以m 的取值范围为()4,+∞．。
辽宁省2022高一数学上学期期末考试试题
2022～2022学年度上学期高一期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分=M ∪N={1，2，3，4，5}，M ∩N C U =｛2，4｝，则N=A {1,2,3}B {1,3,5}C {1,4,5}D {2,3,4}2圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为 （ ） A 1)2(22=-+y x B 1)2(22=++y x C 1)3()1(22=-+-y x D 22(1)(2)1x y -+-=3已知四边形的斜二测画法的直观图是一边长为1正方形，则该四边形的的面积等于（ ） A 1 B 22 C42D 2 43log 21=a ，2log 31=b ，3.0)21(=c ，则 （ ）A a <b <cB a <c <bC b <c <aD b <a <c5长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 （ ） A π220 B π225 C π50 D π2006点),4(a A 和),5(b B 的直线与直线0=+-m y x 平行，则AB 的值为 （ ） A 6 B 2 C 2 D 不确定7若函数)12(log )(23-+=x ax x g 有最大值1，则实数a 的值等于 （ ） A 21-B 41C 41- D 48 直线03=-+m y x 与圆122=+y x 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是 （ ） A )2,1( B )3,3( C )3,1( D )2,3(9下列命题中正确命题的个数是 （ ）⑴如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直; ⑵过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直;⑶如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体; ⑷方程05222=--+y y x 的曲线关于轴对称A 0B 1C 2D 3:l y x =做圆2)1()5(22=-+-y x于直线l 对称时，∠A ︒30︒45︒60︒90⎩⎨⎧++-++=2222)(22x x x x x f 00<≥x x ()()4342>+-f a a f a αβαβββα32C342)(2+-=x x x f )(x f 1,2+a a a ______),(11y x A ),(22y x B 422=+y x ︒1202121y y x x +____APO P ACOO B C ，O PAC ∠M BCA P O M ，，，OAM APM ∠+∠3l 10-=kx y 04222=-+++y mx y x 02:=+y x m l :35n y x =-l n )(x f y =12-=x y )(x f 、n ，满足()f x 定义域为[m,n]时，值域为[m,n]，若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由。
2022-2023学年辽宁省五校联考高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析
（2）由 可得
考点：集合运算及集合的子集关系
21、（1）条件选择见解析，
（2）单调递减区间为 ，最小值为 ，最大值为2
【解析】（1）选条件①：利用同角三角函数的关系式以及两角和的正弦公式和倍角公式，将 化为只含一个三角函数形式，根据最小正周期求得 ，即可得答案；
选条件②：利用两角和的正弦公式以及倍角公式，将 化为只含一个三角函数形式，根据最小正周期求得 ，即可得答案；
【详解】因为 ，
所以 在 单调递增，
所以
所以 ，解得
故选D
【点睛】在比较大小或解不等式时，灵活运用函数的单调性以及常数和对指数之间的转化
9、A
【解析】判断函数的奇偶性，以及函数在 上的符号，利用排除法进行判断即可
【详解】∵f(x)＝ ，
∴ ， ，
∴函数 是奇函数，排除D，
当 时， ，则 ，排除B，C.
【详解】因为最小正周期为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以对称中心为 ；
因为 ， ，所以 ，
若 ，则 ，不符合，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： ； .
13、
【解析】由条件得到函数的对称性，从而得到结果
【详解】∵f ＝f ，
3． 的值域是（）
A. B.
C. D.
4．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝ ，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是（）
A. B.
C. D.
辽宁省沈阳市五校协作体21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)
辽宁省沈阳市五校协作体21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、已知集合A={(−1,1)}，B={y|y=x+2,x∈R}，则A，B的关系可以是（）A. A=BB. A∈BC. A∩B=⌀D. A⊆B2、已知命题p：“∃m∈R，f(x)=mx−1是增函数”，则p的否定为（）A. ∃m∈R，f(x)=mx−1是减函数B. ∀m∈R，f(x)=mx−1是减函数C. ∃m∈R，f(x)=mx−1不是增函数D. ∀m∈R，f(x)=mx−1不是增函数3、已知向量a⃗=(−3,2)，b⃗ =(x,−4)，若a⃗//b⃗ ，则x=（）A. 4B. 5C. 6D. 74、设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(−∞,0)单调递增，a=30.3,b=(1)−0.4,c=log40.3，则3（）A. f(c)>f(a)>f(b)B. f(a)>f(c)>f(b)C. f(c)>f(b)>f(a)D. f(a)>f(b)>f(c)5、一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1ℎ)（）A. 2.3小时B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时6、若函数y=f(x)的解析式为f(x)=2，则f(−2021)+f(−2019)+⋯+f(−3)+√1+x2+1+xf(−1)+f(1)+f(3)+⋯+f(2021)=（）A. 4041B. 2021C. 2022D. 40437、我国古代的《易经》中有两类最基本的符号：“─”和“--”，其中“─”在二进制中记作“1”，“--”在二进制中记作“0”.如符号“”对应二进制数1100(2)，化为十进制数计算如下：1100(2)=1×23+1×22+0×21+0×20=12.若从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为（）A. 16B. 13C. 12D. 238、已知α，β满足αeα=e2，β(lnβ−1)=e3，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为（）A. e4B. e3C. e2D. e二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、函数f(x)=a x−b(a>0且a≠1)，图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（）A. 0<a b<1B. 0<b a<1C. a b>1D. b a>110、在全球新型冠状病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）A. 平均数x−≤3B. 标准差S≤2C. 平均数x−≤3且极差小于或等于2D. 众数等于1且极差小于或等于411、如果e⃗1，e⃗2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A. λe⃗1+μe⃗2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B. 对于平面α内任一向量a⃗，使a⃗=λe⃗1+μe⃗2的实数对(λ,μ)有无穷多个C. 若向量λ1e⃗1+μ1e⃗2与λ2e⃗1+μ2e⃗2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e⃗1+μ1e⃗2=λ(λ2e⃗1+μ2e⃗2)D. 若实数λ，μ使得λe⃗1+μe⃗2≠0⃗，则λ≠0且μ≠012、已知函数y=f(x)与g(x)=log3(x1−x)关于y=x对称，设x i(i=1,2,3)为实数，且x1+x2+ x3=0.下列结论正确的是（）A. 函数f(x)的图象关于点(0,12)对称B. 不等式f(x−1)>12的解集为{x|x>1}C. 若x1⋅x2⋅x3<0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)<32D. 若x1⋅x2⋅x3<0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)>32三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、某同学10次测试成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则x 2+y 2的最小值为 ． 14、已知幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m ，且对于∀x 1，x 2∈(0,+∞)满足f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2，则m = ．15、已知函数y =f(x)是R 的奇函数，对任意x ∈R ，都有f(2−x)=f(x)+f(2)成立，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，有下列命题：①∑f 2023i=1(i)=0；②直线x =−5是函数y =f(x)图象的一条对称轴；③函数y =f(x)在[−7,7]上有5个零点；④函数y =f(x)在[−7,−5]上为减函数．则结论正确的是 ．16、已知O 为△ABC 内部一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√2 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则△ABC的面积为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)已知集合A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，U =R ．(1)若A ∪(∁U B)=U ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ≠⌀，求实数m 的取值范围．18、(本小题12.0分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生身高的80%分位数；(保留小数点后一位有效数字)(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件E ={|x −y|≤5}，求样本空间Ω及事件E 的概率P(E)．19、(本小题12.0分)已知定义域为R 的函数f(x)=a x −(k −2)a −x (a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f(1)<0，求不等式f(x 2+tx)+f(4−x)>0对任意的x ∈[1,3]恒成立时t 的取值范围．20、(本小题12.0分)如图，在△OAB 中，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 与BC 交于点M ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ，求x 及y ；(2)在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =q OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求7pq +2q 的最小值．21、(本小题12.0分)已知函数f(x)=log √3(3x −a)，当点P(x,y)在函数y =f(x)图像上时，点Q(3x,y2)在函数y =g(x)图像上．(1)求y =g(x)的表达式；(2)若A(x +a,y 1)，B(x,y 2)，C(3+a,y 3)为y =g(x)图像上的三点，且满足2y 2=y 1+y 3的实数x 有且只有两个不同的值，求实数a 的取值范围．22、(本小题12.0分)若函数y =f(x)对任意的x ∈R 均有f(x −1)+f(x +1)>2f(x)，则称函数具有性质P ．(1)判断下面函数①y =a x (a >1)，②y =x 3是否具有P 性，并说明理由；(2)全集为R ，函数g(x)={x(x −n),x ∈Q x 2,x ∈Q−，试判断并证明函数y =g(x)是否具有P 性； (3)若函数y =f(x)具有性质P ，且f(0)=f(n)=0(n >2,n ∈N)，求证：是否对任意1≤k ≤n −1，k ∈N 均有f(k)≤0．参考答案及解析1.答案：C解析：本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．可看出集合A的元素是有序数对，而集合B的元素是实数，从而得出这两个集合无公共元素，从而可得出正确的选项．集合A的元素是有序数对，集合B的元素是实数，∴A∩B=⌀．所以选：C．2.答案：D解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断即可．由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得p的否定为：∀m∈R，f(x)=mx−1不是增函数，所以选：D．3.答案：C解析：根据两个向量平行的充要条件，列出方程组并解之，即可得到实数x的值．本题给出两个向量平行，求未知数x的值，着重考查了平面向量的坐标运算和两向量平行的充要条件等知识，属于基础题．∵向量a⃗=(−3,2)，b⃗ =(x,−4)，若a⃗//b⃗ ，∴存在非零实数λ，使b⃗ =λa⃗，可得{x=−3λ−4=2λ，解之得λ=−2，x=6所以答案为：C4.答案：A解析：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，指数和对数的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．易知b>a>1，−1<c<0，且f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，从而得解．由题意知，f(x)在(0,+∞)上单调递减，因为a=30.3>30=1，b=(13)−0.4=30.4>a，所以f(a)>f(b)，因为c=log40.3∈(−1,0)，所以f(c)>f(a)>f(b)．所以选：A．5.答案：A解析：本题主要考查了指数函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题．设x小时后药物无效且但病人没有危险，由题意可得：500≤2500×(1−20%)x<1500，再利用对数的运算性质即可求出x的取值范围，进而求出结果．设x小时后药物无效且但病人没有危险，由题意可得：500≤2500×(1−20%)x<1500，整理得：15≤(45)x<35，∴log4535<x≤log4515，∵log4535=lg35lg45=lg3−lg5lg4−lg5=lg3−1+lg23lg2−1≈2.3，log4515=lg2−13lg2−1≈7.2，∴2.3<x≤7.2，∴应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药，但是为了保持疗效，需在2.3小时补充药物．所以选：A．6.答案：C解析：由题意得，f(−x)+f(x)=2，代入即可求解．本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是发现f(x)+f(−x)=2的规律，属于基础题．∵f(x)=√1+x2+1+x =1+x−√1+x2x，∴f(x)+f(−x)=1+x−√1+x2x +1−x−√1+x2−x=2，则f(−2021)+f(−2019)+⋯+f(−3)+f(−1)+f(1)+f(3)+⋯+f(2021)=[f(−2021)+f(2021)]+[f(−2019)+f(2019)]+⋯+[f(−1)+f(1)]=1011×2=2022，所以选：C．7.答案：B解析：可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，再将其分别转换为十进制数后，即可得解．本题考查古典概型，二进制与十进制的转换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，1100(2)=12，1010(2)=1×23+0×22+1×21+0×20=10，0011(2)=0×23+0×22+1×21+1×20=3，0101(2)=0×23+1×22+0×21+1×20=5，0110(2)=0×23+1×22+1×21+0×20=6，1001(2)=1×23+0×22+0×21+1×20=9，所以小于6的数有2个，所以P=26=13．所以选：B．8.答案：B解析：本题考查函数与方程、对数运算，考查数学运算能力，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017-2018学年度上学期期末考试高一年级数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}0)3)(1(|{},0|{<++=≥=x x x N x x M ，则=⋃N M （ ） A ．)3,1(- B ．),1(+∞- C ．)3,0( D ．)3,0[2.倾斜角为60，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．013=--y xB ．013=+-y xC ．0133=--y xD ．0133=-+y x3.函数8)(2++=bx ax x f 满足条件)3()1(f f =-，则)2(f 的值（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．与b a ,值有关4.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A ．32 B ．48 C. 64 D ．332 5.直线433=+y x 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切 C.相离 D ．位置关系不确定 6.下列命题中真命题的个数为（ ）①平行于同一平面的两直线平形；②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直； A ．0个 B ．1个 C. 2个 D ．3个7.一个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，min t 后剩余的细沙量为)(3cm aey bt-=，经过min 8后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.A ．8B ．16 C. 24 D ．328.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．213 C. 7 D ．215 9.已知三点)7,1(),2,4(),3,1(-C B A ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．10 B ．64 C. 5 D ．510.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面5,4,3,===AC AB PA ABC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．π17B ．π25 C. π34 D ．π5011.已知函数))((R x x f ∈是奇函数且当),0(+∞∈x 时是减函数，若0)1(=f ，则函数|)|2(2x x f y -=的零点共有（ ）A ．4个B ．5个 C. 6个 D ．7个12.已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠为三棱锥BCD A -，则在折叠过程中，不能出现（ ）A ．AC BD ⊥B ．平面⊥ABD 平面CBD C. 32=-CBD A V D ．CD AB ⊥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线0422=+-+m my x 与直线022=+-+m y mx 平行，则实数=m ． 14.已知幂函数mmx m m y 422)22(+--=的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为 ．15.已知圆1)3()1(:22=-+-y x C 和两点)0)(,0(),,0(>-m m B m A ，若圆C 上存在点P ，使得90=∠APB ，则实数m 的取值范围为 ．16.已知函数)1,0(||1|log |)(≠>-=a a x x f a ，若4321x x x x <<<，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知三个集合},12|{},1)95(log |{4232=∈==+-∈=-xR x B x x R x A}019|{22>-+-∈=a ax x R x C .（1）求B A ⋂；（2）已知=⋂C A ∅，=⋂C B ∅，求实数a 的取值范围.18. 如图，四棱锥ABCD P -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60=∠ABC 的棱形，M 为PC 的中点.（1）求证：AD PC ⊥； （2）求MAC D V -.19. 设函数xxa a k x f ---=)12()(（0>a 且1≠a ）是定义域为R 的奇函数.（1）求k 的值； （2）若65)1(-=f ，不等式0)12()3(≥+-+-x f t x f 对]1,1[-∈x 恒成立，求实数t 的最小值.20. 已知两个定点)0,1(),0,4(--B A ，动点P 满足||2||PB PA =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线4:-=kx y l .（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的D C ,两点，且90=∠COD （O 为坐标原点），求直线l 的斜率； （3）若Q k ,21=是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QN QM ,，切点为N M ,，探究：直线MN 是否过定点.21. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为棱形，AC PAB PAD ,∠=∠交BD 于O .（1）求证：平面⊥PAC 平面PBD ；（2）延长BC 至G ，使CG BC =，连结DG PG ,.试在棱PA 上确定一点E ，使//PG 平面BDE ，并求此时EPAE的值. 22. 设函数)3(log )(a x x f a -=（0>a 且1≠a ），当点),(y x P 是函数)(x f y =图象上的点时，点),2(y a x Q --是函数)(x f y =图象上的点. （1）写出函数)(x f y =的解析式；（2）把)(x f y =的图象向左平移a 个单位得到)(x h y =的图象，函数)(2)(2][)(x h x h a a x F --+-=，是否存在实数)(,n m n m <，使函数)(x F 的定义域为),(n m ，值域为),(n m .如果存在，求出n m ,的值；如果不存在，说明理由；（3）若当]3,2[++∈a a x 时，恒有1|)()(|≤-x g x f ，试确定a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BACAB 6-10:CBCDC 11、12：DD 二、填空题13. 2- 14. 1- 15. ]3,1[ 16. 2 三、解答题17.解：（1）}3,2{}395|{2==+-∈=x x R x A .}2,2{}04|{2-==-∈=x R x B}2{=⋂B A（2）≠⋂C A ∅，=⋂C B ∅，C C C ∈∉-∉∴3,2,2}019|{22>-+-∈=a ax x R x C⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-+≤--010301520152222a a a a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧-<>≤≤-≤≤-253553a a a a 或解得23-<≤-a . 所以实数a 的取值范围是)2,3[--.18.解：（1）取AD 中点O 连接AC OC OP ,,， 依题意可知ACD PAD ∆∆,均为正三角形，AD OP AD OC ⊥⊥∴,又⊂=⋂OC O OP OC ,平面⊂OP POC ,平面POC⊥∴AD 平面POC又⊂PC 平面POCAD PC ⊥∴（2）由（1）可知AD OP ⊥，又平面⊥PAD 平面ABCD平面⋂PAD 平面ABCD ⊂=OP AD ,平面PAD⊥∴PO 平面ABCD即OP 为三棱锥ACD P -的高又PAD ∆是边长为2的正三角形，3=∴PO 由PO S V ACD ACD P ⋅=∆-31又1,32432=∴=⨯=∆-ADC P V ADC 又M 为PC 的中点2121===∴---ADC P ADC M MAC D V V V .19.解：（1）)(x f 是定义在R 上的奇函数，)()(x f x f -=-∴对于任意的实数x 恒成立，即0))(22(=+--xxa a k 对于任意的实数x 恒成立，1=∴k .（2）由（1）知xxaa x f --=)(，因为65)1(-=f ，所以651-=-a a ， 解得32=a 或23-=a （舍去），故xx x f )23()32()(-=任取21,x x 且21x x <，则])23()23[(])32()32[(])23()32[()23()32()()(2121221121x x x x x x x x x f x f ---=---=-由指数函数的单调性知，2121)23()23(,)32()32(xx x x >>)()(21x f x f >∴故函数)(x f 是R 上的减函数0)12()3(≥+-+-x f t x f ，由函数)(x f 为奇函数且单调递减，知123),12()3(-≤--≥-∴x t x x f t x f ，即1+≥x t 在]1,1[-上恒成立 则2≥t ，即实数t 的最小值是2.20.解：（1）设点P 坐标为),(y x由||2||PB PA =，得：2222)1(2)4(y x y x ++=++ 整理得：曲线的E 轨迹方程为422=+y x （2）依题意21|4|2=+=kd7±=∴k（3）由题意可知：N M Q O ,,,四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设)421,(-t t Q ， 其方程为0)421()(=+-+-t y y t x x ，即：0)42(22=--+-y ty tx x 又N M ,在曲线4:22=+y x E 上，04)42(=--+=y ttx l MN即0)1(4)2(=+-+y t y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0102y y x 得⎪⎩⎪⎨⎧-==121y x ，∴直线MN 过定点)1,21(-.21.解：（1）AB AD PAB PAD =∠=∠,PAB PAD ∆≅∆∴，得PD PB =， O 为BD 中点，BD PO ⊥∴，底面ABCD 为菱形，⊥∴=⋂⊥∴BD O PO AC BD AC ,, 平面PAC ，⊂BD 平面∴，PBD 平面⊥PAC 平面PBD . （2）连接AG 交BD 于M ，在PAG ∆中，过M 作PG ME //交PA 于E ，连接ED 和EB ，⊄PG 平面⊂ME BDE ,平面//,PG BDE ∴平面BDE 21~,2,//==∴∆∆=BG AD GM AM BGM ADM AD BG BG AD ， 21,//==∴MG MA EP EA ME PG ，即21=EP AE . 22.（1）解：设点Q 的坐标为),(y x ''， 则y y a x x -='-=',2，即y y a x x '-=+'=,2.点),(y x P 在函数)3(log a x y a -=图象上，)32(log a a x y a -+'='-∴，即ax y a-'='1log ax x g a-=∴1log )( （2）)0(2)(2>+-=x x x x F ，]1,(),(],1,()(-∞⊆∴-∞∈n m x F ，故1≤n)(x F ∴在),(n m 上单调递增，⎩⎨⎧==n n F mm F )()(，即n m 、为x x F =)(的两相异的非负的实数 即x x x =+-22，解得1,0==n m （3）函数ax a x x g x f aa ---=-1log )3(log )()( 由题意]3,2[++∈a a x ，则0223)2(>+-=-+a a a ， 又0>a ，且10,1<<∴≠a a|)34(log ||1log )3(log ||)()(|22a ax x ax a x x g x f a aa +-=---=- 1)34(log 11|)()(|22≤+-≤-∴≤-a ax x x g x f a ，又2234)(a ax x x r +-=对称轴为a x 2=a a a 2210>+∴<< ，则2234)(a ax x x r +-=在]3,2[++a a 上为增函数，∴函数)34(log )(22a ax x x u a +-=在]3,2[++a a 上为减函数，从而)69(log )3()]().[44(log )2()]([min max a a u x u a a u x u a a -=+=-=+= 又10<<a ，则⎩⎨⎧≤--≥-1)44(log 1)69(log a a a a125790-≤<∴a .。