添加辅助线方法小总结

【解析】证法一：如图，过点 A 作 AN BC 于 N ，交 BC 于 M ．
∵ AB AC ， BAC 90°，
A
∴ 3 DAM 45°． ∵ C 45°，∴ 3 C ． ∵ AF BD ，∴ 1 BAE 90° ∵ BAC 90°，∴ 2 BAE 90°．
临近期末，应同学的要求，老师我在这里简单的把课程里提到过的添加辅助线的方法做一个 简单的总结。希望能对你们期末考试中的几何题目有所帮助。不过，平时在课程中说到的方 法很多，涉及到的知识点也很多，在此不能一一说全，只简单做个归纳，同学们课下还是要 多复习，做题中遇到后也要善于自己总结。
一、关于角平分线问题的辅助线添加。 在解某些题中含有角平分线的问题时，常需添加辅助线，下面介绍几种常用的方法： （1）由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，如图 1，可利用角的平分线性 质定理解题； （2）以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，如图 2， 使已知与结论发生关系．
1 B
32 M ED
C NF
∴ 1 2 ．
1 2
在
△ABM
和பைடு நூலகம்
△CAF
中，

AB

AC
3 C
∴ △ABM ≌△CAF ．∴ AM CF ．
AD CD 在 △ADM 和 △CDF 中， DAM C
AM CF
∴ △ADM ≌△CDF ． ∴ ADB CDF ．
三、其它 如果题目中有出现需要证明 AB+CD=EF，这样的需要的话，可以考虑截长补短。 如果是证明两线段相等或两角相等，则需要利用全等这个“工具”，如果没有现成的全 等，就通过辅助线去构造全等。有时还会需要借用到第三个量，通过找到第三个量做一 个桥梁，来达到证明的目的。 如果是求线段长。可以考虑到三个有用的工具：勾股定理、相似、面积相等。 其中还有很多设计到各类几何模型的，在此补一一赘述。希望大家今后在做题的过程中 能多总结，多积累。几何辅助线就不再是难题了。
在 △AMF
和 △BMN
中，

AM

BM
AMF BMN
∴ △AMF ≌△BMN ．∴ MF MN ．
MN MF 在 △MDN 和 △MDF 中， 1 2
MD MD
∴ △MDN ≌△MDF ．∴ NDM FDM ． ∵ ADB NDM CDF FDM ， ∴ ADB CDF
边上的中线。
看一道简单的题：
已知：如图，△ABC 中， AB AC ，BAC 90°， D 是 AC 的中点， AF BD 于 E ，交 AC 于 F ，连结 DF ．求证： ADB CDF ．
【分析】分析 1：从图形上看 ADB 和 CDF 所在的三角形不全等，故考虑构造全等三角 形．CDF 所在的 △CDF 中，C 45°，又 CD AD ，所以构造的三角形应以 AD 为边且有 45°角，故作 AN BC 于 N ，则 DAM 45°，证 △ADM ≌CDF△ 即可．
图1
图2
（3）当题设有角平分线及角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交， 构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质，中位线定理证题，如图 3． （4）过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形，利用等腰三角形的性 质，沟通题设与结论的联系，如 4．
图3
图4
如题：已知： 1 2 ， 3 4， 求证： AP 平分 BAC ．
辅助线添加小总结
几何中最让同学们头疼的就是添加辅助线。遇到一道题总觉得无处下‘爪’，一看答案或者 一听老师讲，就不禁想问一句“你怎么能想到要在那里加辅助线啊？我怎么想不到呢？”。 其实添加辅助线，除了要多做练习，多见题型，开拓自己的眼界之外，最重要的还是要多总 结归纳。这样你想遇到一道题目的时候就不会有无处下手的困惑了。这也就要求你在听老师 讲课的时候要做好笔记，遇到老师总结的时候一定要格外注意，把老师每节课的总结都记在 心上，记在笔记上，多复习，积少成多。总有一天，你就不会觉得添加辅助线是一件很恼人 的事情了。
A
分析二：若把 ADB 看成 Rt△ABD 的角，可考虑将 CDF 转 化 为一 个 Rt△ 的 角， 注意 到 AB AC ， 1 3 ， 过 C 作
21 ED
CM AC ，交 AF 的延长线于 M ，则 △ABD≌△CAM ，则
3
ADB M ，再证 M CDF 即可．
B
C
F
证法二：如图，作 CM AC ，交 AF 的延长线于 M ． ∵ AF BD ，∴ 3 2 90°，
M
∵ BAC 90°，
∴ 1 2 90°， ∴ 1 3 ． 在 △ACM 和 △BAD 中，
1 3

AC

AB
ACM BAD 90°
∴ △ACM ≌△BAD． ∴ M ADB ， AD CM ∵ AD DC ，∴ CM CD ．
CF CF 在 △CMF 和 △CDF 中， MCF DCF 45°
CM CM
∴ △CMF ≌△CDF ．∴ M CDF ∴ ADB CDF ．
∴ BM CM AM ．
A
∵ AD DC ， ∴ ADB BDM CDF FDM 90°． 1 2 ．
3 N ED
B 4 12
C
MF
∵ AE BD ， AM BC ， ∴ 4 MNB 3 ANE ，∴ 3 4
3 4
分析三：注意到 △ABC 是等腰三角形，考虑作高 AM ，则 △AMC 是等腰直角三角
形，又 D 为 AC 的中点，连结 MD ，则 MDA MDC．要证结论，只需证
MDN MDF ．
证法三：如图，作 AM BC 于 M ，交 BD 于 N ，连结 MD ．
∵ AB AC ， BAC 90°，
A
B 12
C 3
4
P
二、关于中点的辅助线添加
（1） 倍长中线。对于普通的一个中点，可以选择倍长中线。
（2） 中位线。对于题目中有多个中点，可以选择做中位线。
（3） 三线合一。如果题目中的中点是等腰三角形底边上的中点，这是你可以考虑三
线合一。
（4） 斜边上中线。如果中点是直角三角形斜边上的中点，可以考虑做直角三角形斜