三角形的中线与面积的关系
三角形中线的性质
三角形中线的性质三角形是我们学习数学时经常遇到的一个重要几何形状。
在三角形中，有很多有趣的性质和定理，其中之一就是中线的性质。
本文将详细介绍三角形中线的性质，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、中线的定义和性质首先，让我们来了解中线的定义。
在任意三角形中，连接三角形的一个顶点和对边中点的线段称为中线。
一个三角形有三条中线，它们分别连接三个顶点和对边的中点。
中线在三角形中起到了很多重要的作用，具有以下性质：1. 三角形的三条中线在一个点上相交，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征，它对称于三角形的顶点，且到三角形的顶点距离的比例为2:1。
2. 三角形的重心到顶点的距离等于中线长度的三分之一。
换句话说，中线的长度是从重心到顶点距离的两倍。
3. 中线平分了三角形的面积。
也就是说，通过三角形的任意一条中线，可以将三角形分为两个面积相等的小三角形。
二、中线的证明接下来，我们来证明上述关于中线性质的结论。
1. 证明三条中线相交于一个点：设三角形ABC的顶点为A、B、C，分别连接BC、AC和AB的中点为D、E和F。
我们需要证明三条中线AD、BE和CF相交于一个点。
考虑三角形的平行四边形判定定理。
根据定理，如果两组对边分别平行，则这两组对边的中点连线相交于一个点。
在三角形ABC中，我们可以得到DE∥AB、EF∥AC和DF∥BC。
根据平行四边形判定定理，DE与EF的中点连线相交于一个点，记为G。
同理，DF与DE的中点连线和EF与DF的中点连线也相交于点G。
因此，三条中线AD、BE和CF相交于点G，即三角形的重心。
2. 证明重心到顶点的距离比例为2:1：设重心为G，顶点A到重心G的距离为x，重心到对边BC中点D的距离为y。
我们需要证明x:y=2:1。
由于D是BC的中点，所以BD=DC。
根据三角形重心定理，AG:GD=2:1。
我们可以得到AG=x，GD=2y。
根据比例的性质，我们可以得到AG:GD=x:2y。
三角形的中线与面积的三个重要结论
三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.一、三角形的中线与面积1、三角形的一条中线与面积如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则ABD S 三角形=21×BD ×AE,ACD S 三角形=21×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等.2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.2、三角形的二条中线与面积如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形.证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.3、三角形的三条中线与面积如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S.证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S. 由此我们得到如下结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一.二、结论在解题中的应用例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的31. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 31×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.解：1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。
专题03 三角形的中线与面积
专题03 三角形的中线与面积【专题解读】在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．由“等底同高”可知，三角形的一条中线能把这个三角形分成面积相等的两部分．利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还可解决许多其他的等分点问题．反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的面积问题时，如果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形面积”这一性质，那么往往可以事半功倍．思维索引例1．(1)如图，△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为DF 的中点．①作出△AED 中的高AH ；②连接BF ，当AH ＝4，DF ＝5时，求△BDF 面积．DABECF(2)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，AB ＝15，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t 秒． ①当t ＝ 时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分；②当t ＝5时，CP 把△ABC 分成的两部分面积之比是S △APC ︰S △BPC ＝ ； ③当t ＝ 时，△BPC 的面积为18．ACBB CA备用图例2．如图1，在△ABC 中，中线AM 可以将△ABC 分成两个面积相等的三角形，即S △ABM ＝S △ACM ．(1)请在图2，图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD 分成4个面积相等的小三角形； (2)如图4，在四边形ABCD 的边上找到一点E ，使得线段AE 将四边形ABCD 分为面积相等的两部分．DABCC BADM AB CDABC图1图2图3图4例3．(1)已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的一点，若△ABC 的面积为s ，①当点P 是AD 的中点(即PD ＝21AD )时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)； ②当PD ＝31AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)；③当PD ＝n1AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 、n 的代数式表示)． A PC(2)如图，△ABC 的面积为12cm 2．D 是AB 边的中点，E 为AC 边上一点，且AE ＝2EC ．O 为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为acm 2，△CEO 的面积为bcm 2，求a －b ．OE BDCA例4．(1)如图1，在△ABD 中，BE 是△ABD 的中线，则有S △ABE ＝ S △ABD ．(2)在四边形ABCD 中，E 是AD 边上的动点，分别连接AC 、BD 、EB 和EC ，设△EBC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，△DBC 的面积为S 3． ①如图2，当AE ＝21AD 时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系，并写出求解过程； ②如图3，当AE ＝n1AD (n 表示正整数)时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系． (直接给出答案，不必求解过程)DABEC CBADEBAD E 图3图2图1素养提升1．如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AD 、CE 边的中点，且24BEF S cm ∆=，则ABC S ∆为（ ）A .21cmB . 22cmC . 28cmD . 216cm2．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△BEF 的面积分别为,ABC BEF S S ∆∆，且12ABC S ∆=，则BEF S ∆=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点F ，已知FB=FD ，FC=2FE .若△BFC 的面积为2，则四边形AEFD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7CABDBB第1题图 第2题图 第3题图4．如图，△ABC 三边的中线AF ，BD ，CE 的公共点为G ，若12ABC S ∆=，则图中△BEG 与△CDG 的面积和是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5BCBFB第4题图 第5题图 第6题图5．如图，G 为△ABC 内一点，连接AG 、BG 、CG 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点F 、D 、E ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC 的面积为（ ） A ．300 B ．315 C ．279 D ．3426．如图，AE 、BD 是△ABC 的两条中线，AE 、BD 交于F ，则△BEF 和△AFD 面积的大小关系是_______________.7．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点G ，GF ⊥BC ，且AB=6，BC=5，AC=3，GF=2，则四边形ADGE 的面积是_________.8．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上任意一点，点F 是线段AD 的中点，点E 、点G 分别为BF 与CF 的中点，则:ABC EFGD S S ∆四边形=_____________.9．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为122cm ，则△ABF 的面积为___________2cm .EDFGCABFEB第7题图 第8题图 第9题图10．如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC=6cm ，点E 是CD 边上的一点，且DE=2cm ，动点P 从A 点出发，以2cm /s 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E .当△APE 的面积等于202cm 时，则点P 运动的时间________________s .CDFEBC第10题图 第11题图11．如图，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2：3的三个三角形。
三角形中线公式
三角形中线公式
三角形中线定理公式：AB^2+AC^2=2(BD^2+AD^2)，A、B、C分别为三角形的三条边。
文字表达：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种欧氏几何的定理，指三角形三边和中线长度关系。
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
三角形中线性质：三角形的三条中线都在三角形内。
三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2；mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2；mc=(1/2)√
2a^2+2b^2-c^2。
三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。
三角形的中线与三角形的中位线，这两者也只有一字之差，它们的不同点是：“三角形的中线”指的是连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段；“三角形的中位线”指的是连接三角形两边中点的线段。
三角形的中线定理解析
三角形的中线定理解析三角形的中线定理是指一个三角形的三条中线相交于一个点，且这个点离三角形的各顶点的距离相等。
本文将对三角形的中线定理进行深入解析，探讨其几何性质和相关应用。
一、定理表述在一个三角形ABC中，连接顶点A到边BC的中点D，连接顶点B到边AC的中点E，连接顶点C到边AB的中点F。
则线段AD、BE和CF三条中线交于一点G，且点G到三角形ABC的各个顶点的距离相等。
二、性质探讨1. 证明中线交点G的存在性：通过平行线性质可以证明线段AD、BE和CF是平行于边BC、AC 和AB的。
根据平行线的性质，可以得出线段AD、BE和CF是同一平面内的平行线，因此它们必然会相交于一点。
2. 点G到三角形各个顶点的距离相等：设线段AD的中点为M，线段BE的中点为N，线段CF的中点为P。
根据中线的定义，每条中线都会将相应边分为两等分，即AM=MD，BN=NE，CP=PF。
可以发现，三角形ABD与三角形ACE是全等的，所以可以得出AM=DN，同理可以得出AM=DN=EP=PM。
因此，点G到三角形ABC的各个顶点的距离相等。
三、相关应用1. 判断三角形是否为等腰三角形：根据中线定理，一个三角形是等腰三角形的充要条件是三角形的两条中线相等。
因此，我们可以利用中线定理来判断一个三角形是否为等腰三角形。
2. 定位三角形的重心：重心是三条中线的交点，利用中线定理可以准确定位三角形的重心。
重心在一个三角形内部，且距离各顶点的距离均一样，所以可以将中线定理应用于三角形的定位问题。
3. 探索三角形的面积关系：我们可以利用中线定理来研究三角形的面积关系。
根据中线定理，三角形的面积等于三角形的一条中线与对边的乘积的一半。
这一性质可以用来推导和证明与三角形面积相关的定理。
四、总结三角形的中线定理是一个重要的三角形性质，它揭示了三角形中线的几何性质和应用价值。
通过深入理解和应用中线定理，我们可以进一步认识和研究三角形的形状、关系和面积，使我们更加全面地掌握几何学的基础知识。
三角形的中线与面积的关系
尝试应用
已 知 在 ΔABC 中 ， D,E,F 分 别 为 BC,AD,EC 边 上 的 中 点 ， 且 ΔABC 的 面 积 为 4cm²” ， 同 学 们 能 求 出 ΔBEF 的 面 积吗？
探索发现 以静制动
已知ΔABC的面积为4cm²，E,F分别为 AD,EC边上的中点，随着点D在BC上来回移 动，同学们能求出ΔBEF的面积吗？
❖ 难点：经历三角形中线与面积的关系探究， 探索发现生活中该关系的妙用。
导学探究
1,已知:ΔABC中,D为 ΔABC的中点,思 考 SΔABD,SΔACD, SΔABC有何关系？
2 , 若在上题中，添加 条件“E为AD的中 点，连接BE,CE”,思 考：依据以上的条件， 你能探究出哪些三角 形的面积关系。
方案设计
如图,有一块三角形的有良品种试验基地, 由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这 块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种 以上的划分方案供选择(画图说明)
A
B
C
过A点作0条中线
A
B
C
过A点作1条中线
A
A
A
B
CB
CB
C
A
A
B
C
B
C
过A点作2条中线
A
A
B
CB
过A点作3条中线 A
A
CB
C
三角形的中线与面积的关系
郯城五中 高金德
2009年3月
教学目标
❖ 在理解三角形中线与面积的关系的基础上， 积极探索发现生活中该关系的妙用，培养学 生良好的动手动脑的好习惯。
❖ 通过本节课的探究活动，进一步激发学生求 知欲望和对数学学科的探索热情。
重点与难点
三角形中线重心分出来的面积之间的关系
三角形中线重心与其分出的面积之间的关系1. 介绍三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，有一些特殊的点和线，其中之一就是中线和重心。
中线是连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段。
重心是三角形中三条中线的交点。
在本文中，我们将探讨三角形中线和重心之间的关系，并研究中线所分出的面积与重心的位置之间的联系。
2. 中线的定义与性质首先，我们来了解一下中线的定义和一些基本性质。
定义：三角形中线是连接一个顶点与对应边中点的线段。
性质1：三角形的三条中线交于一点，即重心。
性质2：重心到三角形的顶点的距离与重心到对边中点的距离相等。
性质3：重心将每条中线按照1:2的比例分成两段。
性质4：重心到三角形三个顶点的距离之和等于重心到对边中点的距离之和。
通过这些性质，我们可以看出重心是一个非常重要的点，它在三角形中起着重要的作用。
3. 中线所分出的面积接下来，我们将研究中线所分出的面积与重心的位置之间的关系。
定理1：三角形中线所分出的面积等于三角形面积的三分之一。
证明：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，中线分别为AD、BE、CF，重心为G。
由性质3可知，AG = 2GD，BG = 2GE，CG = 2GF。
设三角形的面积为S，由面积的性质可知，三角形ABC的面积等于三角形AGB的面积加上三角形BGC的面积再加上三角形CGA的面积。
由于AG = 2GD，BG = 2GE，CG = 2GF，所以三角形AGB、BGC、CGA与三角形ABC 的面积之比分别为1:4、1:4、1:4。
因此，三角形中线所分出的面积等于三角形面积的三分之一。
定理2：三角形中线所分出的小三角形的面积之和等于三角形面积的三分之一。
证明：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，中线分别为AD、BE、CF，重心为G。
由性质3可知，AG = 2GD，BG = 2GE，CG = 2GF。
设三角形的面积为S，由面积的性质可知，三角形ABC的面积等于三角形AGB的面积加上三角形BGC的面积再加上三角形CGA的面积。
初中数学 如何计算三角形的中线
初中数学如何计算三角形的中线在初中数学中，计算三角形的中线是解决与三角形相关问题的重要技巧之一。
三角形的中线是从一个顶点向对边的中点引出的线段，它可以帮助我们计算三角形的面积、判断三角形的形状以及解决几何问题。
本文将详细介绍如何计算三角形的中线。
计算三角形的中线有几种常用方法，下面将介绍三种常见的方法：1. 使用中点定理计算中线：中点定理是指一个三角形的两个中线的交点是第三个中线的中点。
利用这个性质，我们可以计算三角形的中线。
具体步骤如下：（1）已知一个三角形的两条边的长度。
（2）使用中点定理，计算出第三条中线的长度。
例如，已知三角形ABC的边AB = 8 cm，边AC = 6 cm，我们可以使用中点定理计算出三角形ABC的中线。
解：根据中点定理，我们有：中线的比例= 边长的比例中线AB/中线AC = AB/AC中线AB/中线AC = 8/6中线AB = (8/6) × 中线AC因此，通过计算边长比例和已知中线的长度，可以得到三角形ABC的中线的长度。
2. 使用相似三角形的性质计算中线：如果两个三角形相似，它们的对应边长成比例。
利用这个性质，我们可以通过相似三角形的中线比例来计算中线。
具体步骤如下：（1）已知一个相似三角形和它的中线长度。
（2）计算另一个相似三角形的中线长度。
（3）通过对应边长的比例关系，计算出要求的三角形的中线长度。
例如，已知三角形ABC和DEF相似，已知三角形DEF的中线长度为4 cm，我们可以通过相似三角形的性质计算出三角形ABC的中线的长度。
解：根据相似三角形的性质，我们有：中线的比例= 对应边长的比例中线ABC/中线DEF = 边长AB/边长DE中线ABC/4 = AB/DE中线ABC = (AB/DE) × 4因此，通过计算边长比例和已知中线的长度，可以得到三角形ABC的中线的长度。
3. 使用三角形的面积公式计算中线：三角形的面积可以使用以下公式进行计算：面积= 底边长度× 高度的一半如果我们已知三角形的面积和底边长度，我们可以通过面积公式计算出高度，然后再根据中点定理计算出中线的长度。
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 利用等量代换求解
给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.（如右图）
解：连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF.
在△DEC和△PEB中
∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.
∴△DEC≌△PEB（SAS）.
∴CD=BP. S△DEC=S△PEB.
又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP.
∴EP平行且等于1/2AC.
即EP平行且等于AF.
∴四边形AEPF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）
∴AE=FP. S△EFP=S△AEF.
这样△ABC的三条中线CD,BF,EF就构成了△BFP.
∵BF为中线，平分△ABC面积.
∴S△BAF=S△BFC.
又∵EF为△BFC中线，平分△BFC面积.
∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.
又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积.
∴S△ADC=S△BDC.
又∵DE平分△BDC面积.
∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.
∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.
∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积.
∴S△BAE=S△AEC.
又∵EF平分△AEC.
∴S△AEF=S△EFC.
∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC
∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP
=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC
=3/4 S△ABC。
三角形中线与面积的关系
三角形中线与面积的关系
三角形中线与面积的关系
1.基本原理：三角形的面积和边的长度是有关系的，即三角形的面积受边的长度影响而变化。
2.三角形三边相等时：当三条边相等，即为三角形的时候，此时三角形的面积是和边的长度成正比的，即若边的长度增加，三角形的面积也会增加；同理，若边的长度减小，三角形的面积也会减小。
3.三角形任意两边相等时：当三角形任意两边相等时，三角形的面积和边的长度也是成正比的，即若边的长度增加，三角形的面积也会增加，同时若边的长度减小，三角形的面积也会减小。
4.三角形三边长度不一样时：当三角形三边长度不一样时，三角形的面积和边的长度也不再成正比，而是按照海伦公式计算。
海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]－在该公式中，S表示三角形的面积，a、b、c分别表示三角形的三条边，p表示三角形的半周长，p=（a+b+c）/2。
换句话说，只有当半周长发生变化时，三角形的面积才会发生变化，而且变化不是简单的成正比变化，而是通过海伦公式而不同程度变化。
5.结论：根据以上结论，可以得出结论，三角形的面积和边的长度有关系，当三角形的三边长度都相等时，三角形的面积和边的长度成正比；当三角形的任意两边长度相等时，三角形的面积和边的长度也成正比；而当边长度不相等时，三角形的面积不再和边长度成正比，而是通过海伦公式而不同程度变化。
三角形中线定理和性质
三角形中线定理和性质
定理
三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形有3条中线。
性质
任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分，中线都把三角形分成面积相等的两个部分，除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分，在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半。
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
三角形中线简介
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段，每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部，在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心，三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
性质证明
设△ABC的角A、角B、角C的对边分别为a、b、c。
三角形的三条中线都在三角形内。
三角形的三条中线长：
三角形的三条中线交于一点，该点叫作三角形的重心。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。
定理证明
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
证明：勾股定理。
中线的性质
中线的性质
1、三角形的三条中线都在三角形内；
2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2；
4、三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4；
5、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
三角形的中线与三角形的中位线，这两者也只有一字之差，它们的不同点是：“三角形的中线”指的是连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段；“三角形的中位线”指的是连接三角形两边中点的线段。
而这两个概念又存在着共同点：
1、都是线段；
2、每一个三角形都有三条中线，也都有三条中位线。
归纳总结
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性
质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题。
①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；
②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
初中数学 如何使用三角形的中线计算三角形的面积
初中数学如何使用三角形的中线计算三角形的面积三角形的中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
利用三角形的中线，我们可以计算三角形的面积。
下面是使用三角形中线计算三角形面积的步骤：假设已知一个三角形ABC，其中三个顶点分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C。
步骤1：确定已知的边长和角度。
在这个例子中，我们已知三角形ABC的边长a、b、c。
步骤2：根据三角形的性质，对于任意三角形ABC，它的三条中线AD、BE、CF都会交于一个点G，该点被称为三角形的重心。
步骤3：计算三角形的面积。
根据三角形的面积公式，我们可以计算三角形的面积。
对于三角形ABC，假设中线AD的长度为m，则三角形的面积为：面积= m × h ÷ 2其中h为与底边平行并通过顶点A的线段，也就是从顶点A到对边BC的距离。
步骤4：计算中线的长度。
三角形的中线可以通过以下方式计算：-对于任意三角形ABC，中线AD的长度可以通过以下关系计算：AD = 1/2 * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2)。
-同样地，BE和CF的长度也可以通过类似的关系计算。
步骤5：计算高度。
高度h可以通过以下方式计算：-对于任意三角形ABC，高度h可以通过以下关系计算：h = 2/3 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / a，其中s为三角形的半周长。
需要注意的是，中线的长度和高度的计算公式是基于三角形的边长的，所以在计算之前需要先确定边长的数值。
通过以上步骤，我们可以利用三角形的中线计算出三角形的面积。
这种计算方法适用于所有三角形，无论是直角三角形、等边三角形还是一般三角形。
需要注意的是，计算时需要注意单位和精度，以确保计算结果准确。
巧用中线 轻松求面积(初中数学)
巧用中线轻松求面积根据等底同高的三角形面积相等，我们得到三角形的中线具有一个重要的性质：“三角形的中线把三角形分成面积相等的三角形”.利用中线的这个性质我们可以快速地解决与面积相关的一类问题.例1如图1，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F.若BE=9，CF=8，求△ACE的面积.解析：因为CF⊥BE于点F，所以S△BCE=12BE•CF=12×9×8=36.因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.所以S△EBD=S△ECD=12S△EBC=18.因为E是AD的中点，所以S△ACE=S△ECD=18.例2 如图2，在△ABC中，已知D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC=13.求△CEF的面积.解析：因为E为AD的中点，所以S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD.所以S△BEC=S△BDE+S△CDE=12S△ABC=132.又因为F为BE的中点，所以S△EFC=12S△BEC=134.例3如图3，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CD，CE=2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为.图3 图4解析：方法1：如图4，连接CF.因为△AEF与△CEF等高，CE=2AE，所以S△CEF=2S△AEF=6.因为BD=CD，所以S△ABD=S△AC D=12S△ABC=18.所以S△CFD= S△ACD-S△AEF-S△CEF=18-3-6=9.所以S△BFD=S△CFD=9.故填9．方法2：观察图形发现△ABD与△ABE的公共部分是△ABF，因此有S△ABD-S△ABE=（S△ABF+S△BDF）-（S△ABF+S△AFE）=S△BDF-S△AFE.因为BD=CD，所以S△ABD=12S△ABC=18.因为CE=2AE，所以S△ABE=13S△ABC=12.所以S△BDF-S△AFE= S△ABD-S△ABE=18-12=6. 所以S△BDF=3+6=9.故填9.图1图2第1 页共1 页。
三角形的中线性质
三角形的中线性质三角形是几何学中的重要概念，研究三角形的性质可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
其中，三角形的中线性质是三角形研究中的一个重要方面。
在本文中，我们将探讨三角形的中线以及与之相关的性质。
一、中线的概念在三角形ABC中，连接三角形的两个顶点和对边的中点可以得到三条中线，分别记为AD，BE和CF。
其中，D是BC中点，E是AC 中点，F是AB中点。
这三条中线把三角形分成了三个面积相等的小三角形。
二、中线的长度关系三角形的中线有一个重要的长度关系，即三角形的中线相交于一个点，并且满足下述关系：AD=BE=CF=1/2AC。
三、中线与面积的关系由于三角形的中线把三角形分成了三个面积相等的小三角形，可以得出以下结论：1. 小三角形的面积等于三角形整体面积的1/3。
2. 三角形的三个小三角形的面积之和等于三角形整体的面积。
四、中线与角平分线的关系三角形的中线还与角平分线有一定的关系，具体如下：1. 三角形的三条中线相交于一个点，该点称为三角形的重心G。
2. 三角形的重心G与顶点的连线为角平分线。
五、中线及其延长线上的等分线在三角形的中线上可以找到一些特殊的点，如下所示：1. 中线的中点是三角形重心G。
2. 中线的一半长处是三角形外心O。
3. 中线的1/3处是三角形内心I。
4. 中线的2/3处是三角形垂心H。
总结：通过研究三角形的中线性质，我们得出以下结论：1. 三角形的中线相交于一个点，满足AD=BE=CF=1/2AC。
2. 三角形的中线把三角形分成了三个面积相等的小三角形，小三角形的面积等于三角形整体面积的1/3。
3. 三角形的中线相交于三角形的重心，重心与顶点的连线为角平分线。
4. 在中线及其延长线上可以找到一些特殊的点，如三角形外心、内心和垂心。
三角形的中线性质在几何学中具有重要意义，不仅可以帮助我们更好地理解三角形的特点，还可以应用于解决实际问题。
因此，深入研究三角形的中线性质对于我们学习和应用几何学知识都具有重要价值。
高中几何知识解析中线与三角形的性质
高中几何知识解析中线与三角形的性质几何学是数学的一个重要分支，而在高中几何学中，中线是一个重要的概念。
本文将对中线与三角形的性质进行解析，并探讨其相关应用。
一、中线的定义在三角形ABC中，从顶点A到边BC的中点D引一条直线，称为三角形ABC的中线。
同理，从顶点B和C也可以引出中线DE和FG。
二、中线的性质1. 三角形的三条中线交于一点中线的一个重要性质是它们三条始终交于一点，该交点称为三角形的重心，通常用G表示。
重心划分中线的长度成比例的规律是AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
2. 重心到顶点的距离连接重心G和三角形的各个顶点A、B、C，我们可以发现重心G到任意顶点的距离都等于中线的长度的两倍，即GA=2GD，GB=2GE，GC=2GF。
3. 中点连线平行于第三边三角形的任意两条中线连线，不仅与一条中线垂直相交于其中点，而且还与另一条中线平行。
例如，中线GF与中线DE平行。
4. 中线长度之比三角形的中线有一个有趣的性质，即三条中线的长度之比为1:1，即AD=BD=CD。
5. 中线与面积的关系三角形的中线与三角形面积之间有一定的关系。
根据公式，三角形的面积可由底边长度和对应的高得出。
因此，对于三条中线，它们可以将三角形分成六个小三角形，而这六个小三角形的面积之和等于整个三角形面积的三分之一。
三、中线的应用中线作为几何学中的基本概念之一，具有重要的应用价值。
1. 利用中线求三角形的重心通过求三角形的中线，我们可以轻松地求得三角形的重心G。
只需要连接中线的交点即可得到三角形的重心。
2. 研究三角形的形状特性通过研究中线，我们可以更深入地了解三角形的形状特性。
例如，通过研究什么样的条件下，三角形的中线与边相等或平行等，我们可以得到一些三角形的性质。
3. 解决实际问题中线作为几何学的一个概念，在解决实际问题时也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，通过中线我们可以更准确地确定建筑物的重心，从而保证建筑物的稳定性。
三角形的中线与重心演变与应用
三角形的中线与重心演变与应用三角形是几何学中研究的基本形状之一，具有广泛的应用和研究价值。
在三角形中，中线和重心是两个重要的概念。
本文将探讨三角形的中线和重心的演变和应用。
一、中线的概念在三角形中，中线是连接三角形两个顶点的边的中点所组成的线段。
三角形有三条中线，分别连接三个顶点的中点。
中线有很多独特的性质和应用。
二、中线的性质1. 三角形的三条中线的交点称为重心，记作G。
重心刚好位于三角形的内部。
2. 重心将每条中线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
3. 重心到三角形顶点的距离比重心到对边中点的距离长。
4. 中线和重心有着密切的关系，重心可以看作是三条中线的交点。
三、重心的演变随着三角形形状的改变，重心的位置也会发生变化。
在等边三角形中，重心位于三角形的重心，并且与每条边的中点重合。
在等腰三角形中，重心位于底边上的高所在的线段上。
四、中线与重心的应用中线和重心在几何学和实际问题中有广泛的应用。
1. 重心在建筑设计中的应用重心在建筑设计中起着重要的作用。
合理确定建筑物的重心位置可以确保建筑物的平衡和稳定性。
在高层建筑中，设计师通常会将重心放置在建筑物的核心部位，以提高抗风性能。
2. 重心在物体平衡中的应用在物体平衡和力学分析中，重心也扮演着重要的角色。
对于一个不规则形状的物体，通过确定其重心位置可以预测物体的平衡状态，并做出相应的调整。
这在物体运输和机械设计等领域都有重要应用。
3. 三角形中线的应用三角形的中线有许多应用。
比如，在三角形中，如果一条中线的长度已知，我们可以利用重心和中线的性质来计算其他中线的长度。
这种性质在工程设计和测量中有广泛的应用。
4. 三角形中线与面积的关系三角形的中线和三角形的面积之间有一定的关系。
根据中线定理，三角形的三条中线所围成的小三角形的面积之和等于原三角形的面积的3/4。
这个定理在计算和证明三角形的面积时非常有用。
五、总结三角形的中线和重心是三角形中重要的概念，具有独特的性质和应用。
三角形中线定理证明
三角形中线定理证明1. 引言三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和定理。
其中一个重要的定理就是三角形中线定理。
三角形中线定理是指：一个三角形的三条中线所组成的三角形，其面积是原三角形面积的四分之一。
这个定理在解决三角形相关问题时起到了重要的作用，具有广泛的应用。
在本文中，我们将对三角形中线定理进行证明，并通过推导和几何图像来展示其正确性。
2. 证明过程步骤1：绘制一个任意的三角形ABC我们需要绘制一个任意的三角形ABC。
可以使用直尺和量角器来确保绘制出一个精确的三角形。
假设已经绘制出了一个符合要求的三角形ABC。
步骤2：连接AB、AC、BC的中点D、E、F接下来，在已经绘制好的三角形ABC上，我们需要找到AB、AC、BC上对应线段的中点D、E、F，并用直线连接它们。
即连接AD、BE和CF。
步骤3：证明DE || AB根据平行线性质，我们需要证明DE || AB。
为了证明这一点，我们可以使用反证法。
假设DE与AB不平行，即它们会相交于一点G。
根据平行线性质，我们知道DF || AB，并且FG || AC。
根据平行线性质的传递性，我们可以得出DF || AC。
然而，这与三角形中线定理相矛盾。
根据三角形中线定理，我们知道DEF是原三角形ABC的中位三角形，其面积是原三角形面积的四分之一。
但是如果DF || AC，则DEF的面积将为零，与原定理相矛盾。
假设不成立，DE || AB。
步骤4：证明EF || BC 和 DF || AC类似地，我们可以使用类似的方法来证明EF || BC 和 DF || AC。
假设EF与BC不平行，则它们会相交于一点H。
根据平行线性质，我们知道DE || BC，并且DH || AB。
根据平行线性质的传递性，我们可以得出DH || AB。
同样地，假设DF与AC不平行，则它们会相交于一点I。
根据平行线性质，我们知道DE || AC，并且DI || AB。
根据平行线性质的传递性，我们可以得出DI || AB。
三角形面积与中线长的关系
三角形面积与中线长的关系三角形是几何学中最基本的形状之一，我们常常会遇到计算三角形的面积的问题。
除了使用底和高的方法，还可以利用三角形的中线来计算面积。
中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
那么，三角形的面积和中线的长度之间是否存在一定的关系呢？要探究三角形面积与中线长的关系，我们首先需要了解中线的性质。
对于任何一个三角形ABC，它的三条中线分别为AD、BE和CF。
其中D、E和F分别为BC、AC和AB的中点。
根据中线的定义，我们可以得出以下两个重要的结论：1.三角形的三条中线交于一点。
这一点被称为三角形的重心，记为G。
重心是三角形的一个重要特征，它将三角形划分为六个小三角形，每个小三角形的面积都是整个三角形面积的1/6。
2.三角形的一条中线长等于对边的一半。
例如，AD=1/2*BC，BE=1/2*AC，CF=1/2*AB。
基于以上性质，我们可以进一步探讨三角形面积与中线长的关系。
以三角形ABC为例，假设它的底为BC，高为h，中线AD的长度为m。
根据三角形的面积公式S=1/2*底*高，我们可以得出：S=1/2*BC*h另一方面，根据中线的性质，我们知道AD=1/2*BC。
将这个等式代入面积公式中，可以得到：S=1/2*AD*h*2从中可以看出，面积S与中线AD的长度m是成正比的关系。
也就是说，如果我们知道了中线的长度，就可以通过乘以一个常数来得到三角形的面积。
这个关系同样适用于其他两条中线和对应的高。
我们可以根据需要选择任意一条中线来计算三角形的面积。
综上所述，三角形的面积与中线长之间存在一定的关系。
通过了解三角形的中线性质，我们可以轻松计算三角形的面积，提高问题解决的效率。
这个关系在几何学中是非常重要的，对于理解和应用三角形的性质具有重要意义。
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尝试应用
已 知 在 ΔABC 中 ， D,E,F 分 别 为 BC,AD,EC 边 上 的 中 点 ， 且 ΔABC 的 面 积 为 4cm²” ， 同 学 们 能 求 出 ΔBEF 的 面 积吗？
探索发现 以静制动
已知ΔABC的面积为4cm²，E,F分别为 AD,EC边上的中点，随着点D在BC上来回移 动，同学们能求出ΔBEF的面积吗？
B
C
以上为过A点作中线的10中基本作图。
谈收获
通过本节课的学习,同学们有那些收获?
作业安排
关于中线与面积的习题（强化） 配套p41第3题 p42第5题 关于高线与面积的习题（预习） 配套p41第2题 同步p48第2题
三角形的中线与面积的关系
郯城五中 高金德
2009年3月
教学目标
❖ 在理解三角形中线与面积的关系的基础上， 积极探索发现生活中该关系的妙用，培养学 生良好的动手动脑的好习惯。
❖ 通过本节课的探究活动，进一步激发学生求 知欲望和对数学学科的探索热情。
重点与难点
❖ 重点：三角形一边上的中线不仅将该边分成 相等的两段,而且还将三角形分成相等的两部 分.
方案设计
如图,有一块三角形的有良品种试验基地, 由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这 块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种 以上的划分方案供选择(画图说明)
A
B
C
过A点作0条中线
A
B
C
过A点作1条中线
A
A
A
B
CB
CB
C
ALeabharlann ABCB
C
过A点作2条中线
A
A
B
CB
过A点作3条中线 A
A
CB
C
❖ 难点：经历三角形中线与面积的关系探究， 探索发现生活中该关系的妙用。
导学探究
1,已知:ΔABC中,D为 ΔABC的中点,思 考 SΔABD,SΔACD, SΔABC有何关系？
2 , 若在上题中，添加 条件“E为AD的中 点，连接BE,CE”,思 考：依据以上的条件， 你能探究出哪些三角 形的面积关系。