江苏省高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ)回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题.预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质.2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证.1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25.a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：102．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－303．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________．解析：根据理想数的意义有，2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500500，∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500501＝501×12＋2 004×500501＝2 012.答案：2 0124．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：函数y ＝x 2(x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：215．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．解析：前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋62[典例1](1)已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，若a 2＝4，则a n ＝________. (2)数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前n 项和S n ＝________.[解析] (1)由a p ＋q ＝a p ·a q ，a 2＝4，可得a 2＝a 21＝4⇒a 1＝2，所以a p ＋1＝a p ·a 1，即a p ＋1a p＝a 1＝2，即数列{a n }为等比数列，所以a n ＝a 1·q n －1＝2·2n －1＝2n .(2)设等比数列的公比为q ，由a n ＋a n ＋1＝6a n －1知，当n ＝2时，a 2＋a 3＝6a 1.再由a 2＝1，得1＋q ＝6q，化简得q 2＋q －6＝0，解得q ＝－3或q ＝2.∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12，∴S n ＝121－2n1－2＝2n －1－12.[答案] (1)2n(2)2n －1－12这两题分别是由“a p ＋q ＝a p ·a q ”和“a n ＋a n ＋1＝6a n －1”推出其他条件来确定基本量，不过第(1)小题中首先要确定该数列的特征，而第(2)小题已经明确是等比数列，代入公式列方程求解即可．[演练1]已知{a n }是等差数列，a 10＝10，前10项和S 10＝70，则其公差d ＝________. 解析：法一：因为S 10＝70，所以10a 1＋a 102＝70，即a 1＋a 10＝14.又a 10＝10，所以a 1＝4，故9d ＝10－4＝6，所以d ＝23.法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，10a 1＋45d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝23.答案：23[典例2]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n，n ≥1. (1)写出数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23×－1n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．[解] (1)在S n ＝2a n ＋(－1)n，n ≥1中分别令n ＝1,2,3得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)由S n ＝2a n ＋(－1)n，n ≥1，得S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1，n ≥2.两式相减得a n ＝2a n ＋(－1)n －2a n －1－(－1)n －1，n ≥2.即a n ＝2a n －1－2(－1)n，n ≥2.a n ＝2a n －1－43×(－1)n －23×(－1)n ＝2a n －1＋43×(－1)n －1－23×(－1)n ， a n ＋23×(－1)n ＝2(a n －1＋23×(－1)n －1)(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23×－1n 是以a 1－23＝13为首项，2为公比的等比数列．所以a n ＋23×(－1)n＝13×2n －1，即a n ＝13×2n －1－23×(－1)n.1．求数列通项公式的方法：(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法；(3)已知前n 项和公式用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求解．2．数列求和的基本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法．[演练2]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝pa n －2n ，n ∈N *，其中常数p >2. (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列； (2)若a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)对于(2)中数列{a n }，若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋1)(n ∈N *)，在b k 与b k ＋1之间插入2k －1(k ∈N *)个2，得到一个新的数列{c n }，试问：是否存在正整数m ，使得数列{c n }的前m 项的和T m ＝2 011？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．解：(1)证明：因为2S n ＝pa n －2n ， 所以2S n ＋1＝pa n ＋1－2(n ＋1)， 所以2a n ＋1＝pa n ＋1－pa n －2， 所以a n ＋1＝pp －2a n ＋2p －2，所以a n ＋1＋1＝p p －2(a n ＋1)． 因为2a 1＝pa 1－2，且p >2，所以a 1＝2p －2>0. 所以a 1＋1＝pp －2>0.所以a n ＋1＋1a n ＋1＝pp －2≠0. 所以数列{a n ＋1}为等比数列． (2)由(1)知a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －2n ，所以a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫p p －2n －1.又因为a 2＝3，所以⎝⎛⎭⎪⎫p p －22－1＝3.所以p ＝4，a n ＝2n－1.(3)由(2)得b n ＝log 22n＝n (n ∈N *)，数列{c n }中，b k (含b k 项)前的所有项的和是(1＋2＋3＋…＋k )＋(20＋21＋22＋…＋2k －2)×2＝k k ＋12＋2k－2，当k ＝10时，其和是55＋210－2＝1 077<2 011， 当k ＝11时，其和是66＋211－2＝2 112>2 011， 又因为2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数， 所以当m ＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时，T m ＝2 011，所以存在m ＝988使得T m ＝2 011.[典例3]将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝10.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围． [解] (1)设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且32<13<42， 所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3.又a 13＝1，解得q ＝12.因此c n ＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝n2n －2.所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝12－1＋220＋…＋n －12n －3＋n 2n －2，12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1.因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1，解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知c n ＝n 2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n n ＋12n －2≥λ.设f (n )＝n n ＋12n －2，计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－n2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )． 因为集合M 的元素的个数为3， 所以λ的取值范围是(4,5]．本题第二小问中②的参数取值范围问题，运用了函数的思想方法，进行参数分离转化为n n ＋12n －2≥λ，再构造函数求出n n ＋12n －2的取值范围，从而得到参数λ的取值范围，这里要注意n 只能取正整数．[演练3]下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式，c n ＝________；(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝________.(用数字作答) 解析：由1,2,3,4,5，…猜想a n ＝n ； 由2,4,8,16,32，…猜想b n ＝2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n ＝n ＋2n.从而M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝10×10＋12＋2210－12－1＝2 101.答案：(1)n ＋2n(2)2 101[专题技法归纳]1．数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．2．数列求和问题，主要考查利用公式法求数列的前n项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形．3．数列中a n或S n的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列a n或S n的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是n只能取正整数．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列中的参数取值范围问题在处理时，首选还是参数分离，分离后根据新数列的单调性确定最值或范围．1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值为________．解析：由a7＋a9＝16，得a8＝8，由a4＋a12＝2a8，得a12＝15.答案：152．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a20＝________.解析：由a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，得a2＝－3，a3＝3，a4＝0，……由此可知：数列{a n}是周期变化的，且循环周期为3，所以可得a20＝a2＝－ 3.答案：－ 33．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2a ＋b ，b 2＝a 2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，b ＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.由0<log m 8<1，得m >8. 答案：(8，＋∞)4．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则n ＝________. 解析：由12a 1＋a 2n ＋1n ＋112a 2＋a 2n n ＝n ＋1n ＝319290，得n ＝10. 答案：105．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：由题意可知q ≠1，∴可得2(1－q n)＝(1－qn ＋1)＋(1－qn ＋2)，即q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(不合题意，舍去)，∴q ＝－2.答案：－26．所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 第一行 1 第二行 3 5 第三行 7 9 11 13 ……则第6行中的第3个数是________．解析：由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得第六行第三个数为第34个正奇数，所以这个数是2×34－1＝67.答案：677．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析：记a 2＝m ，则1≤m ≤q ≤m ＋1≤q 2≤m ＋2≤q 3，要q 取最小值，则m 必定为1，于是有1≤q ≤2,2≤q 2≤3，3≤q 3，所以q ≥33.答案：338．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为________．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，得a 2＝5×2－133×2－7＝3，a 3＝5×3－133×3－7＝1，a 4＝5×1－133×1－7＝2，则{a n }是周期为3的数列，所以S 100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.答案：2009．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i ＋j＝k ＋l 时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12 010∑2 010i ＝1(a i ＋b i )的值是________． 解析：由题意得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5；b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，b 4＝5，b 5＝6.归纳得a n ＝n ，b n ＝n ＋1；设c n ＝a n ＋b n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋n ＋1＝2n ＋1，则数列{c n }是首项为c 1＝3，公差为2的等差数列，所以12 010∑2 010i ＝1 (a i ＋b i )＝12 010×2 010×3＋4 0212＝2 012. 答案：2 01210．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________． 解析：y ′＝nxn －1－(n ＋1)x n ，曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线的斜率为k ＝n ·2n －1－(n ＋1)·2n ，切点为(2，－2n )，所以切线方程为y ＋2n ＝k (x －2)，令x ＝0得a n ＝(n ＋1)·2n ，令b n ＝a n n ＋1＝2n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－211．已知数列{a n }满足a n >0且对一切n ∈N *，有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝S 2n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n .(1)求证：对一切n ∈N *有a 2n ＋1－a n ＋1＝2S n ；(2)求数列{a n }通项公式．解：(1)证明：∵a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝S 2n ，①∴a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝S 2n ＋1.②②－①得S 2n ＋1－S 2n ＝a 3n ＋1，即(S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n )＝a 3n ＋1， a n ＋1(2S n ＋a n ＋1)＝a 3n ＋1.∵a n ＋1≠0，∴a 2n ＋1－a n ＋1＝2S n (n ∈N *)．(2)由a 2n ＋1－a n ＋1＝2S n 及a 2n －a n ＝2S n －1(n ≥2)两式相减，得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n .∵a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1－a n ＝1(n ≥2)．当n ＝1,2时，易得a 1＝1，a 2＝2也适合a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }是等差数列，且a n ＝n .12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1(n ∈N *)． (1)求S 1，S 2及S n ；(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，若对一切n ∈N *，均有∑n k ＝1b k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，m 2－6m ＋163，求实数m 的取值范围． 解：依题意，n ＝1时，S 1＝2；n ＝2时，S 2＝6. 因为1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝nn ＋1(n ∈N *)，n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＝n －1n，所以1S n ＝n n ＋1－n －1n，所以S n ＝n (n ＋1)．上式对n ＝1也成立，所以S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 所以a n ＝2n (n ∈N *)，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b nb n －1＝14.所以数列{b n }是等比数列．则∑n k ＝1b k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .因为13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 随n 的增大而增大，所以14≤∑nk ＝1b k <13，由⎩⎪⎨⎪⎧1m <14，m 2－6m ＋163≥13，得⎩⎪⎨⎪⎧ m <0或m >4，m ≤1或m ≥5，所以m <0或m ≥5，即m 的取值范围为(－∞，0)∪[5，＋∞)．。