常用曲线的极坐标方程

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极坐标方程表达式

极坐标方程表达式极坐标方程是描述平面上点的位置的一种常用表达方式。

它利用距离和角度来表示点的坐标，相比直角坐标系更适合描述圆的形状和对称性。

本文将介绍极坐标方程的表达式形式以及如何将其转换为直角坐标系。

同时，还将介绍极坐标方程在数学和物理中的应用。

极坐标方程表达式的一般形式为：$r = f(\\theta)$其中，r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点与正 x 轴之间的角度，f是一个关于$\\theta$的函数。

极坐标方程的形式可以有很多种，取决于具体问题的性质。

以下是一些常见的极坐标方程的表达式。

1. 极坐标方程表示直线：$r = a\\sec(\\theta - \\alpha)$其中，a是一定的常数，$\\alpha$是直线与极轴之间的夹角。

2. 极坐标方程表示圆：$r = a$其中，a是圆的半径。

3. 极坐标方程表示椭圆：$r = \\frac{a(1 - e^2)}{1 - e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是椭圆的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是椭圆与极轴之间的夹角。

4. 极坐标方程表示双曲线：$r = \\frac{a(1 + e^2)}{1 + e\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，a是双曲线的长半轴，e是离心率，$\\alpha$是双曲线与极轴之间的夹角。

利用以上表达式，可以方便地描述出各种形状的曲线。

将极坐标方程转换为直角坐标系的表达式需要利用以下关系式：$x = r\\cos(\\theta)$$y = r\\sin(\\theta)$通过上述关系式，可以将极坐标方程中的$r$与$\\theta$表达式用$x$和$y$来表示，从而得到在直角坐标系中曲线的方程。

极坐标方程在数学和物理中有广泛的应用。

在数学中，它可以用来描述曲线和曲面的形状及其性质。

例如，极坐标方程可用于描述螺旋线、心形线等特殊曲线。

在物理中，极坐标方程可用于描述圆周运动、波动等循环性质的物理现象。

极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一：极坐标与参数方程题型/考向二：不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系：极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ，即以极轴OX 为始边，OM 为终边的角2．极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,，则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限，所以πθ34=，⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3．常见曲线的极坐标方程4．常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是：cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5：直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0，记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ，如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=，③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩，④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程，则由韦达定理得出：abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式：过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式，此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ，参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化：直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程：①普通方程：②极坐标方程：③参数方程：1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2．在平面直角标系xOy 中，曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程；(2)若D 为曲线M 上一动点，求D 到l 距离的取值范围．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线l 与x 轴相交于点P ，求PA PB ⋅的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩（其中ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一动点，求PAB 面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0M ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ参数）．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，则AB 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于两点A ，B ，求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)直线l ：()6πθρ=∈R 与曲线1C ，2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为2C 上的动点，求△PMN 面积的最大值．y =⎪⎩极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈），当且仅当a b =时，等号成立；（2）2a b ab +≥（,0a b >），当且仅当a b =时，等号成立；（3）33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立（4）2b a a b+≥（,a b 同号，a b =时取等号。

极坐标与参数方程

选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=，故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。

曲线的极坐标方程

1附录1 曲线的极坐标方程一. 极坐标我们知道，单元实函数()y f x =(x ∈()f D )的图形一般是平面上的一条曲线（段）L , 而()y f x =(x ∈()f D )就是L 的方程. 由给定曲线建立其方程是平面解析几何的基本任务之一，也是本课程所必须的. 但是，在直角坐标系中，对于许多曲线来说，要建立其方程是比较困难的，即使是常用曲线（如等速螺线）也是这样. 然而在极坐标系中，有些问题可以迎刃而解.极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法. 例如，炮兵射击时，以大炮为基点，利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的. 在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.在平面内取定一点O ，称之为极点，引一条射线Ox ，称之为极轴. 再选定单位长度和角的正向（通常取逆时针方向）（见图F-1）.图 F —1对于平面内任意一点M ，用ρ表示M 到O 的距离，即线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度. 其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角，当M 为极点O 时，其极径0ρ=，其极角可取任意值. 于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了，有序对实数(, )ρθ称为点M 的极坐标.反过来，给定一对有序实数,ρθ（假定0ρ≥），以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角，在其终边上截取长为ρ的线段OM ，则M 是平面上极坐标为(, )ρθ的唯一的点.2极坐标为(, )ρθ的点M 也可表示为(,)M ρθ. 这样建立起来的坐标系称为极坐标系.例1 在极坐标系中画出下列各点：.()()()()()π5π4π5π2π1,,(2,0), 1.5,,3,,2,,3,.46333A B C D E F −解图 F —2注意：()()4π2π3,3,33D F −与是同一点.上例表明，平面上点的极坐标不是唯一的. 事实上，一个点的极坐标有无穷多，因为始边为Ox 、终边为OM 的角有无穷多个. 例如，()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+−，以及()π2,2π()4k k +∀∈Z 等，都是同一点A 的极坐标.不仅如此，在某些情况下，允许ρ取负值，是方便的. 当0ρ<时，点.(, )M ρθ可按下列规则确定：作射线OP ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使得OM ρ=，则点M 就是极坐标为(, )ρθ的点（见图F —3 ）.例如，上例中的点()π2,4A 也可以表示为()π2,(21)π()4M k k −++∀∈Z .3图F —3如果限定0, 02πρθ≥≤<（或πθπ−<≤），则除极点外，平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.二. 曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线L 可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程(,)0F ρθ=来表示. 这种方程叫做曲线L 的极坐标方程. 此时，以这个方程的每一组解为坐标的点都在曲线L 上，然而曲线L 上每个点的极坐标有无穷多个，故可能不全满足这个方程，但其中至少有一个坐标能满足这个方程. 这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.求曲线的极坐标方程的方法与步骤，同直角坐标方程类似，即视曲线为满足某种条件的点的集合（或动点的轨迹），将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程.例2 （1）求从极点出发、倾角为π4的射线的极坐标方程；（2）求过极点且倾角为π4解（1）设(,)M ρθ（图F —4），由条件得π4θ= （0ρ≥）.图F —4这就是所求射线的方程，因为对于任意0ρ≥，坐标为()π,4ρ的点均在此射线上，另一方面，在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ（0ρ∀≥）来4表示，故其至少有一个坐标满足方程π4θ= （0ρ≥）.（2）易知所求直线的极坐标方程为π4θ= （ρ∀∈R ）（见图F —4 ）.图F —5例 3 求中心在极点、半径为 (0)a a >的圆的极坐标方程.解设(,)M ρθ为圆上动点，由轨迹条件OM a =，得所求圆的方程为a ρ= （θ∀∈R ）.如果限制02πθ≤<，则此圆上的点的极坐标与方程a ρ=（02πθ≤<）的解是一一对应的.图F —65例4 求圆心在点(,0) (0)a a >其中、半径为a 的圆的极坐标方程. 解由条件知，圆心在极轴上，且圆经过极点O . 设圆与极轴的另一交点为A （见图F —7），则2OA a =.设(,)M ρθ是圆上任意一点，则OM MA ⊥，于是有 cos OM OA θ=. 所以此圆的极坐标方程为2cos a ρθ= （ππ22θ−≤≤）.图F —6 例5 阿基米德螺线由极坐标方程a ρθ= （0a >为常数）确定的曲线，通常称为阿基米德螺线（或等速螺线）.请画出基米德螺线. 解在极坐标系中作图的方法和步骤，同直角坐标系中是一样的. 给出θ的一系列允许值，通过()ρρθ=算出ρ的对应值（可列成表格），再根据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点，然后依次将这些点连成平滑的曲线，便得到()ρρθ=的图形.对于a ρθ=（0a >为常数）有：O6图F —7如果允许ρ取负值，则当,ρθ是方程a ρθ=的解时，,ρθ−−也是a ρθ=的解. 因为在极坐标系中，点(,)ρθ−−与点(,)ρθ关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故a ρθ=的图形也关于该直线对称. 同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分，而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M 的轨迹：以点O 为端点的射线l ，绕点O 作等角速度的转动，而l 上的点M 从O 出发沿l 作等速直线运动. 因此，阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线. 在机械传动的凸轮装置中，将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线，以使从动杆作等速直线运动.例6 心脏线用同样的方法，可画出由极坐标方程(1cos )a ρθ=+ （0a >为常数）确定的曲线（见图F —8），称为心脏线（或心形线），它是外摆线的一种.更多曲线的极坐标方程请见同济附录II7三. 直角坐标与极坐标的转换关系为了研究的方便，有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种坐标系下的方程. 如图F —9所示，把直角坐标系的原点为极点，Ox 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 为平面上任意一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 则有“极—直”关系转换式：cos sin (0)x y ρθρθρ⎧≥⎨⎩==. 图F —9 由此也有关系转换式：,tan (0)yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下，由tan θ确定θ时，可根据点M 所在的象限取最小正角. 例7 （1）将点M 的极坐标()π5,6化为直角坐标；（2）将点P 的直角坐标()1−化为极坐标.解（1）x = π55sin ,62y ==即点M 的直角坐标为)52.（2）2, tan ρθ====因为点P 在第三象限，而20,ρ=> 故最小正角为7π6θ=. 因此，P 的极坐标为()7π2,6.例8 化圆的直角坐标方程2220(0)x y ay a +−=>为极坐标方程.8解将cos (0)sin x y ρθρρθ=⎧≥⎨=⎩2222cos sin 2sin a ρθρθρθ+−即 2sin a ρθ=（0θπ≤≤）.图F —10*例9 广义极坐标变换co s n s i x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩将椭圆22221y x a b+=变换成极坐标系中的单位圆 1 (02π)ρθ=≤≤.习题F-11．极坐标方程22cos 2 (0)a a ρθ=>的图形称为双纽线. 请描绘出双纽线.2．指出下列极坐标方程表示什么曲线，并画图：（1）3ρ=；（2）π ()3θρ=−∞<<+∞；（3）cos 2ρθ=；（4）10sin ρθ=；（5）10(1cos )ρθ=+.。

极坐标方程公式大全

极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。

如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。

4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。

当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。

5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。

当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。

6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。

当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。

7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。

当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。

8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。

9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。

10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。

以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。

这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。

不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。

简单曲线的极坐标方程

)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
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【解析】
∵ρ＝cosπ4－θ＝
22cosθ＋
2 2 sin
θ，
ρ2＝
2 2 ρcos
θ＋
2 2 ρsin
θ，
∴x2＋y2＝ 22x＋ 22y，这个方程表示一个圆．
【答案】 D
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[小组合作型] 直线或射线的极坐标方程
和54π<θ<2π，ρ≥0.
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法二以极点 O 为直角坐标原点，极轴为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy. ∵直线的斜率 k＝tanπ4＝1， ∴过点 A(1,0)的直线方程为 y＝x－1. 将 y＝ρsin θ，x＝ρcos θ 代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0 和54π<θ<2π，ρ≥0.
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即 ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0 的距
离为
d＝|2－21|＝
1， 2
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
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1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 ρcos θ， ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．

常见曲线的极坐标方程

常见曲线的极坐标方程
答案
ρ＝rρ＝2r cosθρ＝2r sinθρcosθ＝aρsinθ＝a
4．圆ρ＝5cosθ－53sinθ的圆心的极坐标为________．
解析：将方程ρ＝5cosθ－53sinθ两边都乘以ρ得：ρ2＝5ρcosθ
－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0.圆心的坐标
为⎝ ⎛⎭⎪⎫
52
，－532，化成极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3. 答案：⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5，5π3(答案不唯一)
5．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________，过(0，－1)与极轴平行的直线方程是________．
解析：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1.过(0，－1)且与极轴平行的直线，在直角坐标系中是y ＝－1，所以其极坐标方程为ρsin θ＝－1.
答案：ρcos θ＝1 ρsin θ＝－1
6．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程是________．解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρ
sin (θ－90°)
，化简得ρ＝－22cos θ.
答案：ρ＝－22cos θ。

圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析

圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析极坐标方程与参数方程是圆锥曲线的两种常用表示形式。

在研究圆锥曲线时，利用这两种方程形式可以更加直观地描述曲线的特征与性质。

本文将详细介绍圆锥曲线的极坐标方程和参数方程的解析过程，并通过具体的例子来进一步说明。

一、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程可以用极坐标系中的极径r和极角θ来表示。

对于圆锥曲线而言，其极坐标方程的一般形式如下：r = f(θ)其中，函数f(θ)代表了曲线的性质与形状，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而异。

以下是几种常见的圆锥曲线的极坐标方程及其解析过程：（一）圆的极坐标方程圆是一种特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a其中，a代表圆的半径。

（二）椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程形式如下：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的半长轴长度，ε代表椭圆的离心率。

（三）双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以写为：r = a(1 + εcosθ) / (1 - εcosθ)其中，a代表双曲线的焦距，ε代表双曲线的离心率。

（四）抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为：r = a / (1 + cosθ)其中，a代表抛物线的焦点到准线的距离。

通过以上例子可以看出，圆锥曲线的极坐标方程形式多样，每一种形式代表了不同的曲线类型和特征。

研究圆锥曲线时，可以根据需要选择不同的极坐标方程进行分析。

二、圆锥曲线的参数方程除了极坐标方程外，参数方程也是描述圆锥曲线常用的一种形式。

在参数方程中，圆锥曲线的坐标可以通过参数t的取值得到。

一般来说，圆锥曲线的参数方程具有以下形式：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)分别表示曲线的x坐标与y坐标，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而定。

以下是几种常见圆锥曲线的参数方程及其解析过程：（一）圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = asin(t)其中，a代表圆的半径，t取值范围通常为0到2π。

双曲线的四种参数方程

双曲线的四种参数方程双曲线是数学中的一种曲线，它可以通过四种不同的参数方程来描述。

在本文中，将分别介绍四种参数方程，并详细讨论每种方程的特点和性质。

第一种参数方程是极坐标方程。

极坐标方程是用极坐标系中的径向距离r和偏离角度θ表示双曲线的方程。

对于双曲线，极坐标方程可以表示为：r = c / cos(θ)其中c是双曲线的焦点到中心的距离。

这个方程表示了极坐标系中距离焦点一定距离的点在角度θ上的位置。

通过选择不同的θ值，可以得到双曲线上的所有点。

第二种参数方程是直角坐标方程。

直角坐标方程是用直角坐标系中的x和y坐标表示双曲线的方程。

对于双曲线，直角坐标方程可以表示为：(x/a)^2-(y/b)^2=1其中a和b是双曲线的参数，它们分别表示x和y轴上的方向对曲线的影响程度。

这个方程表示了满足双曲线定义的所有点。

第三种参数方程是参数化方程。

参数化方程是通过引入参数t，用参数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。

对于双曲线，参数化方程可以表示为：x = a * cosh(t)y = b * sinh(t)其中cosh和sinh是双曲函数。

这个方程表示了通过参数t控制双曲线上的点。

第四种参数方程是参数值方程。

参数值方程是通过引入参数t，用参数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。

x = a * sec(t)y = b * tan(t)其中sec和tan是三角函数。

这个方程通过三角函数来描述双曲线的形状。

以上是四种常见的双曲线的参数方程。

每种方程都有其独特的数学性质和几何特征。

它们在不同的数学和物理领域中有广泛的应用，例如椭圆轨道的描述、反应堆中的粒子运动等。

同时，通过这些参数方程，我们可以更加深入地研究和理解双曲线的形态和性质。

圆锥曲线的极坐标方程

圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程是一种用极坐标表示的曲线形式。

它是由一条椭圆和一条圆组成，它们之间有一个共同点，就是这一点处曲线可以分成左右两部分，而这一点也是圆锥曲线的焦点。

圆锥曲线的极坐标方程可以用如下的公式表示：
r = a*secθ
其中，a 为椭圆的长轴，θ 为极坐标里的角度，r 为曲线上每一点的半径。

圆锥曲线的极坐标方程的特点是，它的图形可以从椭圆和圆的并集看出来，它的性质可以从极坐标中的变量及其依赖关系看出来。

圆锥曲线的极坐标方程是数学中一类相对简单的曲线形式，它在计算中有着重要的作用，比如可以用它来表示二次抛物线、双曲线、等等。

圆锥曲线的极坐标方程是一种通用的曲线形式，它在计算中有着广泛的应用，比如在空间几何中，可以用它来表示某一个曲面，而在天文学中，则可以用它来表示某一个星系的形状等。

圆锥曲线的极坐标方程的优点是，它能够将一个数学问题转化成一种更加容易理解的形式，并且它的计算比较简单，从而大大简化了计算的过程。

总的来说，圆锥曲线的极坐标方程是一种比较常用的曲线形式，它在数学计算中有着重要的应用，而且因为它的简单性，所以比较容易理解和计算。

简单曲线的极坐标方程课件

即可.
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程

(完整版)极坐标基础

1．极坐标系(1)定义在平面内取定点O，叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系；(2)点的极坐标点M在极坐标平面内，|OM|=ρ，∠MOX=θ，则点M的坐标为M(ρ，θ)，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角．当ρ＜0时，∠XOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=|ρ|，点M就是坐标为(ρ，θ)的点．由于(ρ，θ+2kπ)，(-ρ，θ+(2k+1)π)(k∈Z)都表示同一点，因此在极坐标平面上点与有序数对不是一一对应的．但如果限定ρ＞0，0≤θ＜2π或-π＜θ≤π，则除极点外就可以一一对应了；(3)对称点坐标点M(ρ，θ)关于极轴的对称点为M；(ρ，-θ)，点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M。

(-ρ，θ)，点M(ρ，θ)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-ρ，-θ)；(4)极坐标内两点的距离公式2．直角坐标与极坐标的互化(1)互化条件原点与极点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致．(2)互化公式(3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中，点(ρ，0)与(-ρ，π-θ)的位置是 [ ]A．关于极轴所在直线对称；B．关于极点对称；D．重合．说明一般地，为了求出点(ρ，θ)满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标．【例4】已知点B，C，D的直角坐标为(2，-2)，(0，-15)，(-12，5)，求它的极坐标(ρ＞0，0＜θ＜2π)．[ ]A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线分析将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状．因为给定的[ ]∴极坐标方程是ρ=1+cosθ(图形是心脏线)．说明通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状，但如曲线是由动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单．解法2 由圆锥曲线的统一方程可知∴b2=a2-c2=132-122=52以下同上．说明显然解法2简便，直接根据ρ，θ的几何意义求出a和c．*【例8】求以抛物线y2=3x的焦点为极点，对称轴向右的方向为极轴的正方向时，抛物线的极坐标方程．说明本例作了特殊的要求，则不能用互化公式，利用圆锥曲线统一的极坐标方程不仅方程形式简单，而且几何意义明显，这种特殊的互化方法有广泛的应用，应予以特别注意．解ρ(0)=6即a+c=6ρ(π)=2即a-c=2【例10】点P在直线x+y=1上移动，在连接原点与点P的射线上取点Q，使|QP|·|OQ|=4，求点Q的轨迹方程(如图3-2)解 x+ y=1化成极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1即x′2+y′2=±(4x+4y)．故Q点轨迹方程为 x2+y2-4x-4y=0，和x2+y2+4x+4y=0．3．曲线的极坐标方程在极坐标系中，称方程F(ρ，o)=0是曲线C的极坐标方程，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点，而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程．4．求曲线的极坐标方程和直角坐标系中一样，在极坐标系中求曲线的极坐标方程的主要方法有直接法、转移法和参数法，每种方法的计算步骤与直角坐标系完全类似，只需把步骤中的直角坐标(x，y)改成极坐标(ρ，θ)就可以了．求曲线的极坐标方程，经常要用正、余弦定理三角形面积公式和有关三角知识．5．常见曲线的极坐标方程(1)经过极点倾斜角为α的直线方程为θ=α和θ=α+π；(2)与极轴平行并与极轴距离为a(a＞0)的直线方程为ρsinθ=±a；(3)与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b＞0)的直线方程ρcosθ=±b；(4)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r；(5)圆心在O′(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0；当0＜e＜l时，方程表示椭圆，当e=1，θ≠2kπ时方程表示抛物线，*(7)等速螺线方程(二)极坐标·习题解法提要(1)极坐标系是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系，通常点的极坐标(ρ，θ)中，ρ取非负值，表示极点O到点A的距离，极角θ采用弧度制．必要时，ρ也可取负值．极坐标平面上同一点的极坐标有无数种表示法，即若(ρ，θ)是一个点的极坐标，则(ρ，2kπ+θ)，[-ρ，(2k+1)π+θ](k∈Z)都是此点的极坐标．(2)在极坐标系中，由于曲线上同一点有不同的坐标，故对于一条曲线的同一极坐标方程，点的坐标中有的满足该方程，有的则不一定满足；但曲线上点的极坐标中应至少有一个满足此曲线的这一方程．同一曲线的极坐标方程也可能不止一种形式．(3)由于极坐标是用长度和角度来表示的，故在求曲线的极坐标方程时，常构造三角形，利用三角形中的边角关系及三角函数的有关公式求出ρ和θ的关系式，即曲线的方程．求曲线的极坐标方程的基本方法有：①直接法：建立极坐标系，根据动点的运动规律，列出动点的极径ρ与极角θ间的关系式，化简整理得出极坐标方程ρ=f(θ)．同时应注意θ的取值范围．②代入法：若已知Q点的轨迹方程和动点P与Q点的相关关系，则可先求出P，Q的极坐标间的关系式，再将关系式代入Q点满足的极坐标方程中，求出P点的轨迹的极坐标方程．③先求曲线的普通方程，再转化为极坐标方程．(4)在同一平面内建立的一个极坐标系和一个直角坐标系，当极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合时，平面上任一点P的极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)之间存在下列关系：(5)常见曲线的极坐标方程：(i)直线①过极点、倾斜角为α的直线：θ=α(ρ∈R)②与极轴垂直的直线：ρcosθ=a③与极轴平行的直线：ρsinθ=a④倾斜角为α、极点到它的距离在d的直线：ρsin(α-θ)=d(ii)圆①圆心在极点、半径为a的圆：ρ=a②过极点、圆心为(a，0)、半径为|a|的圆：ρ=2acosθ④圆心为C(ρ0，θ0)，半径为r的圆：(iii)圆锥曲线的统一的极坐标方程其中e为离心率，p为焦点到对应准线的距离．①当0＜e＜1时，方程表示极点为左焦点，极轴所在直线为对称轴的椭圆；②当e=1时，方程表示极点为焦点，开口向右的抛物线；③当e＞1时，方程表示极点为右焦点，极轴所在直线为对称轴的双曲线．ρ＞0时，为右支；ρ＜0时，为左支．椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)是以左焦点F1为极点O，射线F1F2为极轴，依据椭圆的第二定义得来此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P（ρ，θ)满足ρ/(p+ρcosθ)=e--->ρ=ep+eρcosθ--->ρ(1-ecosθ)=ep--->ρ=ep/(1-ecosθ)(0<e<1)这就是椭圆的极坐标方程。

高等数学18种曲线

高等数学18种曲线以下是高等数学中18种曲线的详细介绍：1.星形线：星形线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=sinθ，直角坐标方程为x2+y2−x=0。

星形线是围绕原点对称的，并且在直角坐标系中呈现出类似于星形的形状。

2.心形线：心形线也是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=1+cosθ，直角坐标方程为x2+y2−2x=0。

心形线也是围绕原点对称的，并且在直角坐标系中呈现出类似于心形的形状。

3.摆线：摆线是一种在圆上运动的质点在直线上的轨迹曲线。

其极坐标方程为ρ=a+bθ，直角坐标方程为x=a(1−cos t)和y=b(1+sin t)。

摆线有许多有趣的性质，例如它的长度和圆的半径相等。

4.对数螺线：对数螺线是一种以原点为中心，向四周无限延伸的曲线。

其极坐标方程为ρ=eθ，直角坐标方程为x=et cos t和y=et sin t。

对数螺线的形状类似于螺壳，并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。

5.双曲螺线：双曲螺线是一种在双曲线上运动的点在直线上的轨迹曲线。

其极坐标方程为ρ=a2−b2sinθ，直角坐标方程为x=a cosh t cosθ和y=b sinh t sinθ。

双曲螺线的形状类似于螺线，但是它的曲率是负的。

6.阿基米德螺线：阿基米德螺线是一种在平面内无限延伸的曲线，其极坐标方程为ρ=aθ，直角坐标方程为x=a(1−os t)和y=a(1+sin t)。

阿基米德螺线的形状类似于螺线，并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。

7.伯努利双纽线：伯努利双纽线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=±2a sin2θ，直角坐标方程为(x2+y2)2=4a2y2。

伯努利双纽线的形状类似于两个交叉的圆环，并且在不同的参数条件下表现出不同的性质。

8.三叶玫瑰线：三叶玫瑰线是一种具有三个叶子的特殊曲线，其极坐标方程为ρ=3a cosθ，直角坐标方程为x=3a cos3t和y=3a sin3t。

三叶玫瑰线的形状类似于三片叶子连接在一起，并且它的曲率随着半径的变化而变化。

极坐标方程和参数方程转化

极坐标方程和参数方程转化极坐标方程和参数方程是在数学中常用的两种表示平面上曲线的方式。

本文将介绍极坐标方程和参数方程的定义以及它们之间的转化方法，并举例说明其应用。

希望通过本文的介绍，读者能够理解和掌握这两种方程的概念和转化方法。

首先，我们来看一下极坐标方程的定义。

极坐标方程是用极坐标表示的平面上一个点的坐标表示。

在极坐标系中，一个点的位置由它与原点的距离和与极轴的夹角确定。

如果一个点的极坐标为(r, θ)，其中r表示该点与原点的距离，θ表示该点与极轴的夹角，则极坐标方程为r = f(θ)，其中f(θ)为一个以θ为自变量的函数。

然而，在某些情况下，使用参数方程能够更加简洁和直观地描述一个曲线。

参数方程是将一个曲线上的点的坐标表示为参数的函数。

如果一个点的参数方程为(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)分别表示点的x坐标和y坐标，则参数方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)接下来，我们将讨论如何从极坐标方程转化为参数方程。

如果给定一个极坐标方程r = f(θ)，我们可以通过以下步骤将其转化为参数方程。

第一步，将极坐标方程转化为直角坐标方程。

我们可以使用三角函数来表示极坐标中的两个变量r和θ。

例如，如果有r = 2cos(θ)，我们可以将其转化为直角坐标方程x = 2cos(θ)，y = 2sin(θ)。

第二步，将直角坐标方程转化为参数方程。

我们可以设定一个参数t，将x和y表示为t的函数。

例如，如果x = 2cos(θ)，我们可以令t = θ，并将x表示为t的函数x(t) = 2cos(t)。

综上所述，我们可以将极坐标方程转化为参数方程的步骤为：将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为参数方程。

类似地，我们也可以将参数方程转化为极坐标方程。

如果给定一个参数方程x = x(t)，y = y(t)，我们可以通过以下步骤将其转化为极坐标方程。

第一步，将参数方程表示为直角坐标方程。

曲线的极坐标方程

上述方程统一表示椭圆,双曲线, 上述方程统一表示椭圆,双曲线,抛物线当0<e<1时,方程表示时椭圆, 是左焦点是左焦点, 椭圆,F是左焦点,L 是左准线. 是左准线. 当1<e时,方程表示双时曲线, 是右焦点是右焦点, 曲线,F是右焦点,L 是右准线. 是右准线. 当e=1时,方程表示抛时物线, 是焦点是焦点, 是物线,F是焦点,L是准线,开口向右. 准线,开口向右.
M y o x M
同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例 3 化圆的直角坐标方程 2+y2-2ax=0为化圆的直角坐标方程x 为极坐标方程. 极坐标方程. 解题时,应用公式,注意整体替代. 解题时,应用公式,注意整体替代.把 x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入直角坐标方程得 ρ ρ θ ρ2-2aρcosθ = 0ρ(ρ-2acosθ)=0 ρ θ ρ θ 所示的极坐标方程是ρ 或所示的极坐标方程是ρ=0或ρ-2acosθ =0 θ 是极点, ρ =0 是极点, ρ=2acosθ θ 表示以(a, 为圆心为圆心, 为表示以 ,0)为圆心,a为 o (a,0) x , 半径,且过极点的圆, 半径,且过极点的圆,所以不必写出来. ρ =0不必写出来. 不必写出来
o x
把极坐标方程ρ2sin2θ =2tgθ化为直角坐标方程把极坐标方程ρ θ θ 解:把原方程化为ρsinθ ρcosθ = tg θ 把原方程化为ρ θ θ y x= ρcosθ ,y= ρsinθ ,— = tgθ θ θ θ x 它的直角坐标方程是 y xy= — y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 x 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线是什么,化为直角坐标方程后知道它表示的是什么, 是三条直线:y=0或x=1或x=-1 是三条直线: 或或

总结：高中数学极坐标公式及常见极坐标方程

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总结：高中数学极坐标公式及常见极坐标方程
2019-02-12| 转藏
大中小
1.极坐标与直角坐标的互化公式；
2.常见圆的极坐标方程；
3.常见直线的极坐标方程
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