中国古代数学中的极限思想开题报告

毕业论文开题报告

信息与计算科学

中国古代数学中的极限思想

一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）

微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。美国学者C.B.波斯湾耶在他的《微积分概念史》一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无线性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的启迪，继承并发展了极限思想，在为《九章算术》作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成为数学方法，这种方法在圆田术和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准备了必要的条件(参见文献[1][2])。本次论文设计针对极限思想的萌芽、发展到完善过程，以及其在古代数学中应用和影响做较为全面的探讨。

数学中有很多重要的思想和方法，比如极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联系初等数学和高等数学的一条重要的纽带[3]。这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。作为研究函数最基本的方法——极限方法，早在古代就有比较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具体实例。因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想的理论及实际应用进行研究十分必要。

以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学, 是雪白梅香, 各有所长(参见文献[4])。我们知道, 极限概念是微积分的最重要概念之一。数学家们如果一开始因为无穷小的概念不严格而放弃它, 那么微积分就不会诞生。当时的微积分是建立在经验观察或并不很审慎的直观的基础上的, 以在天文力学上的实用性为其后盾。这和中国学者走的道路类似。到了19世纪, 微积分开始严格化运动, 它要求高度演绎。只有这样才便于理论自身的发展, 这又和古希腊学者走的道路一致。可见,在数学的发展过程中, 不能偏废任何一方（参见文献[5]）。在古代西方, 芝诺的四个著名悖论首先触及到数学上敏感而后困惑的“无限”问题。欧多克斯的穷竭法, 阿基米德的无穷小思想都含有非常重要的微积分思想。到16 世纪末, 由于实践的需要和对穷竭法的好奇与兴趣, 那些促使微积分产生的数学问题引起了数学家们的广泛兴趣, 他们做了大量有意义的工作, 为微积分的创

立做了思想上和技术上的准备。到17 世纪, 牛顿、莱布尼茨终于在前人的基础上创立了微积分（参见文献[6]）。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

极限思想是人们对有限、无限问题不断深化认识的过程中取得的。从萌芽到完善，经过了近2000年时间，可以说是数学史上一次漫长的旅途。

早在春秋战国时期（公元前770——前221）道家的代表人物庄子就有了极限思想，据《庄子》“天下篇”中记载：“一尺之棰，日取其半，万事不竭”[7]。意思是说一尺长的木棒每天去下前一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。这反映了古人对极限的一种思考，它不但表达了我们祖先的极限思想，也提供了一个“无穷小量”的实际例子。这个经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用。

我国古代的极限思想与方法主要寓于求积(面积、体积)理论。

刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求积问题。在《九章算术》的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则:“半周半径相乘得积步。”即圆的面积S 与一个长为半周C /2,宽为半径的长方形的0面积相等:S=C/2×R（参见文献[8][9]）。

西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中，发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为3.1547。东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时，数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155（参见文献[10]）。

刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天、皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428；皮延宗求出圆周率值为22/7≈3.14。以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献(参见文献[11])。

祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书·律历志》的记载，祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；一个是朒数（即不足的近似值），为3.1415926。圆周率真值正好在盈朒两数之间。祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形⋯⋯一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用（参见文献[12]）。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

研究方法与技术路线：本论文主要以查找资料，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上进行分析已有的数据、资料——对这些内容进行总结——最后运用相关的知识，提出自己的见解。

研究难点：（1）从大量的阅读材料中整理出与论文相关、符合现有知识水平的资料。

（2）如何应用极限思想解决实际生活中的问题。

（3）在前人的研究基础上，对论题的创新和延伸是一个挑战。

预期目标：通过这次论文的撰写，能更深的理解极限思想，更熟练地掌握极限的相关知识。同时在本文的撰写过程中掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，学会从不同角度看待问题，从而达到对所学知识融会贯通的能力。在文章撰写的过程中更详细的了解中国古代的极限思想，更加热爱祖国的灿烂文化。

四、论文详细工作进度和安排

第7学期12周至第7学期18周：

完成毕业论文文献检索、开题报告、文献综述及外文文献翻译初稿。

第7学期18周至第7学期21周：

完成毕业论文开题报告、文献综述及外文文献翻译，上交。

第7学期21周至第8学期3周：

完成毕业论文的数据收集、分析；

第8学期3周至第8学期13周：

完成毕业论文初稿，对论文进行修改，进一步完善毕业论文；

第8学期13周（5月23日）至第8学期15周（6月10日）：

完成毕业论文答辩.

五、主要参考文献：

[1] 吴文俊.九章算术与刘徽[M].北京:北京师范大学出版社，1982.

[2] 陈宇.极限论的发展[J].邯郸大学学报.2000,2:11-12.

[3] Walter.Rudin. Principles of Mathematical Analysis [M]. Library of Congress Cataloging in Publication data. 1976.

[4] M·克莱因. 古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,1979.

[5]王晓硕. 极限概念发展的几个历史阶段[J].高等数学研究.2001,4(3):40-43.

[6] 谭琼华.从中西方哲学传统看微积分的创立[J].数学理论与应用. 2004,24(4) :100-102.

[7] 华东师范大学数学系.数学分析(上册,第三版)[M].北京:高等教育出版社.2001.

[8] 陈顺清. 中国古代数学对微积分形成的贡献[J].四川文理学院学报(自然科学).2007,17(2)：1-5.