2021学年高一数学下学期期中试题
辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin 240=A B ．12C ．D ．12-2．已知边长为ABC 的外接圆圆心为O ，则AOC ∠所对的劣弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．已知向量(1,1)a = ， b a 与b 的夹角为5π6，则||a b += （）AB ．2CD ．144．设函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，若12,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A ．12B ．2C ．2D ．15．已知O 为ABC 的外心，4AB =uuu r ，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．10C ．12D ．146．若sin 7a π=，3cos 7b π=，tan 7c π=，则a 、b 、c 之间的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b<c<a D ．a c b<<7．已知ABC 中，若sin 2cos A A -=tan A =（）A ．3-B ．3C ．3-或13D ．3或13-8．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像与直线2y =有且仅有一个交点，则ω的最小值为（）A ．43B ．34C ．32D ．1二、多选题9．已知向量()1,sin θ=a ，(cosb θ= ，则下列命题正确的是（）A ．存在θ，使得λa b=B ．当tan 2θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有a b≠r rD ．当a b ⋅a 在b 10．下列论述中正确的是（）A ．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a b ==r r ，c a b =- ，则c 与a 的夹角等于3πB ．若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠，则b c=C ．在四边形ABCD 中，()6,8AB DC == ，且AB AD ACAB AD AC +=，则BD = D ．在ABC 中，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r，则O 是ABC 外心11．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称B ．当[,]66x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为2-C ．若()65f πα-=，则44sin cos αα-的值为45-D ．要得到函数()f x的图象，只需要将()cos 2g x x 的图象向右平移6π个单位12．在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A ．sin A tan 3B =，则A B <B ．tan tan 1A B ⋅<C ．sin sin cos cos A B A B+>+D ．sin sin 1A B +>三、填空题13．已知α，β为锐角，4sin 5α=，()cos 5αβ+=-，则cos 2β=______.14．已知(),2a λ= ，()3,5b =- ，且a 与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是_________________．15．已知函数()22sin cos 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为______.四、双空题16．设tan θ＝2，则tan (4πθ+＝________，sin cos sin cos θθθθ-+＝________.五、解答题17．已知2= a ，b = ()()239a b b a +⋅-=(1)求a 与b的夹角θ；(2)在ABC 中，若AB a=，AC b = ，求BC 边的长度.18．已知1sin cos 2αα+=，0απ<<.(1)求sin cos αα的值.(2)求sin cos αα-的值.(3)-的值.19．已知以角B 为钝角的ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()sin ,2sin m A B =，)sin n A =-，且m n ⊥.(1)求角B 的大小；(2)求cos cos A C +的最大值.20．在①函数()()1sin 0,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向右平移12π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于原点对称；②函数()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；③函数()()1cos sin 064f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图像相邻两对称中心之间的距离为2π.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若06πθ<<，且()310f θ=，求cos 2θ的值.21．已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈.(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围.22．设O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),a M b O =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”.(1)设函数()2sin cos 36h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()h x 的“相伴向量”；(2)记()0,2OM =的“相伴函数”为()f x ，若函数()()1g x f x x =+-，[]0,2x π∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(),M a b 满足22340a ab b -+<，向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值.当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.参考答案：1．C【详解】试题分析：00sin 240sin 60=-=C ．考点：诱导公式2．D【分析】根据等边三角形的性质可得AOC ∠，再根据弧长公式求解即可【详解】因为边长为的等边ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边ABC 的中心，故23AOC π∠=，且6OA OC ==，故AOC ∠所对的劣弧长为2643ππ⨯=故选：D 3．A【分析】首先计算a r 和a b ⋅，再代入+= a b ，即可求得答案.【详解】 (1,1)a =，a == 又= b a 与b 的夹角为56π∴cos 32θ⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ a b ab +=== a b 故选：A.4．C【分析】根据图像求出()sin(2)3f x x π=+，由12()()f x f x =得到126x x π+=，代入即可求解.【详解】根据函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象，可得：A =1;因为236T πππω⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，2ω∴=，结合五点法作图可得2(06πϕ-+= ，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，结合2(0,)3x ππ+∈，可得122(23322x x πππ+++=，126x x π∴+=，12()()sin()6332f x x f πππ∴+===5．A【分析】根据平面向量数量积的几何意义，结合外心的性质求解即可【详解】取AB 中点D ，因为O 为ABC 的外心，故OD AB ⊥，故cos 248AO AB AO AB OAB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅=⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r故选：A 6．B【分析】根据诱导公式，结合正弦函数的单调性判断,a b ，再根据正弦与正切的关系判断,a c 即可【详解】由题，3cos cos sin sin 7214147b a πππππ⎛⎫==-=<= ⎪⎝⎭，又sin7tan sin 77cos 7c a ππππ==>=，故b a c <<故选：B 7．A【分析】由10sin 2cos 2A A -=，利用同角三角函数间的基本关系求出1tan 3A =或3-，再分类即可求解．【详解】10sin 2cos 2A A -=()22222sin 2cos 5tan 4tan 45sin cos 2tan 12A A A A A A A --+∴=⇒=⇒++1tan 3A =或3-，10sin 2cos 0sin 2cos 2A A A A -=⇒> tan 2(cos 0)A A ⇒>>或tan 0(cos 0)A A <<，tan 3A ∴=-，8．D【分析】结合函数()f x 图像的对称性，及()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，可知232T π≤，又()f x 的图像与直线2y =的交点的横坐标为()2Z 2k x k ππωω=+∈，从而得2222ππππωωω≤<+，进而可求出ω的取值范围.【详解】解：因为函数()2sin (0)f x x ωω=>的图像关于原点对称，并且在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以24323T T ππ≤⇒≥，又20T πωω⎧=⎪⎨⎪>⎩，得302ω<≤，令()2sin 2f x x ω==，得()2Z 2k x k ππωω=+∈，所以()f x 在()0,∞+上的图像与直线2y =的第一个交点的横坐标为2πω，第二个交点的横坐标为22ππωω+，所以2222ππππωωω≤<+，解得15ω≤<，综上所述，312ω≤≤，故ω的最小值为1故选：D 9．BD【分析】利用向量平行得关系验证可判断A；利用商数关系可得cos θ=θ，在判断0a b ⋅=是否成立，即可判断B ；通过向量的模得求法求解θ即可判断C ；利用向量数量积的坐标表示结合平方关系求得2cos θ，a 在b 方向上的投影向量的模长即为a 在b方向上的投影的绝对值，再根据向量的投影的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，若λa b =，则a b ∥，sin cos 0θθ-=，即1sin 22θ=，所以sin θ=又[]sin 21,1θ∈-，所以不存在θ，使得λa b =，故A 错误；对于B，当tan 2θ=-时，则cos θ=θ，则cos 0a b θθ⋅==，所以a 与b 垂直，故B 正确；对于C，若a b ==r r 若a b =r r，则221sin cos 2θθ+=+，则22cos sin 1θθ-=-，即cos 21θ=-，所以22k θππ=+，所以,Z 2k k πθπ=+∈，即存在,Z 2k k πθπ=+∈，使得a b =r r ，故C 错误；对于D，cos in a b θθ⋅==，则223cos 2sin cos θθθθ+=+，即()2222cos 2sin cos cos sin 3θθθθθθ+=++，化简得22sin cos 2cos 0θθθθ-+=，则2tan 20θ-θ+=，解得tan θ=，即22sin 2cos θ=θ，所以21cos 3θ=，a 在b方向上的投影向量的模长为a b b a b bb b⋅⋅⋅==D 正确.故选：BD.10．AC【分析】分别求出,a c c ⋅ ，再根据cos ,a ca c a c⋅=，即可判断A ；根据数量积的定义即可判断B ；易知四边形ABCD 是边长为10的菱形，且120BAD ∠=︒，从而可判断C ；由平面向量的数量积可知OA BC ⊥，,OB AC OC AB ⊥⊥，即可判断D.【详解】解：对于A ，()212a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅= ，1c a b =-=，则1cos ,2a c a c a c ⋅== ，所以c 与a 的夹角为3π，故A 正确；对于B ，若a b a c ⋅=⋅，则cos ,cos ,a b a b a c a c =r r r r r r r r ，所以cos ,cos ,b a b c a c =，故B 错误；对于C ，因为()6,8AB DC == ，所以四边形ABCD 为平行四边形，且10AB DC ==，又AB AD ACAB AD AC+= ，所以四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒，所以对角线BD =C 正确；对于D ，因为OA OB OA OC ⋅=⋅，所以()0OA OB OC OA CB ⋅-=⋅=uur uuu r uuu r uur uur，所以OA BC ⊥，同理,OB AC OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC.11．BD【分析】利用最值，半个周期，对称点，以及ϕ取值范围确定())6f x x π+，分别利用正弦函数的对称轴，整体法确定角度范围求最值，诱导公式和平方差公式，利用函数诱导公式变换表达式从而分析图像特点即可求解.【详解】 函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，∴A =1222ππω⋅=，2ω∴=，())f x x ϕ=+.又因为()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，所以())0,126f ππϕ-=-+=所以,6k k Z πϕπ-+=∈,所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为||2ϕπ<，所以6πϕ=.即())6f x x π=+.对选项5A,()012f ππ==≠A 错误.对选项B ，[,],2[,]66662x x πππππ∈-+∈-，当()2,66x f x ππ+=-时取得最小值B 正确.对选项C,()sin(2)cos 2625f ππααα--=，得到3cos 25α=.因为4422223sin cos (sin cos )(sin cos )cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误.对选项D ，把()2g x x =的图象向右平移6π个单位得到2())sin[(2)])63236y x x x x πππππ=-=-=+-+的图象，故D 正确，故选：BD .12．ACD【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角对于A ，sin 5A =，得cos A =，tan 2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+)sin()44A B ππ->-，化简得sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44A B ππ->-，得2A B π+>，符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π+>，所以，2A B π>-，所以，sin sin sin()sin 2A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π+≥1>，所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD13．35-##0.6-【分析】根据平方关系求出cos α，()sin αβ+，再根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求出sin β，再根据二倍角得余弦公式即可得解.【详解】解：因为α，β为锐角，则,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又4sin 5α=，()cos αβ+=-所以3cos 5α=，()sin 5αβ+=，则()()()sin sin sin cos cos sin 5βαβααβααβα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦，所以23cos 212sin 5ββ=-=-.故答案为：35-.14．10635λλ<≠-且【详解】试题分析：因为向量a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅<且a 与b 不共线，所以3100λ-+>且56λ≠-，解之得：10635λλ<≠-且考点：向量夹角及坐标运算.15．[]2,3【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数()f x 化简，再根据x 的取值范围，求出23x π-的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数2()2sin ()24f x x xπ=+-1cos(2)22x xπ=-+-sin 221x x =-+12sin 2212x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又42ππx ≤≤∴22633x πππ≤-≤∴1sin(2),132x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴[]2sin(2)1,23x π-∈，∴()[]2,3f x ∈；故答案为：[]2,316．－313【分析】由两角和的公式计算出tan(4πθ+，把它展开后切弦互化可得sin cos sin cos θθθθ-+．【详解】解：由tan θ＝2，得tan (4πθ+＝tan tan41tan tan4πθπθ+-＝－3，sin cos sin cos θθθθ-+＝tan 1tan 1θθ-+＝13.故答案为：3-；13．17．(1)56π【分析】（1）先求出a b ⋅，再带入公式计算即可；（2）根据题意得到()22BC b a =- ，展开计算求解即可.（1）因为()()22222335232529a b b a a a b b a b +⋅-=--⋅+=-⨯-⋅+⨯= ，所以3a b ⋅=-，所以cos a b a b θ⋅==- []0,θπ∈，所以56πθ=.（2）因为BC AC AB b a =-=-，所以()2222=213BC b a b a b a =--⋅+= ，所以BC =18．(1)38-(3)43-【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=（3=得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.【详解】（1）解：因为1sin cos 2αα+=，所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=，所以3sin cos 8αα=-；（2）解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 2αα-=；（3）解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-.19．(1)23B π=【分析】（1）利用0m n ⋅= ，结合正弦定理，求出sin B =，B 为钝角，所以23B π=.（2）化简cos cos 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可确定cos cos A C +的取值范围，(1)解：因为()sin ,2sin m A B =，)sin n A =- ，且m n ⊥.所以0m n ⋅=2sin sin 0A B A -=，因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以sin 2B =，因为B 为钝角，所以23B π=.(2)解：因为1cos cos cos cos cos cos sin 3223A C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故cos cos A C +的取值范围是32⎛ ⎝.所以cos cos A C +20．(1)最小正周期T π=，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)310【分析】（1）依题意函数的最小正周期T π=，再根据所选条件及三角恒等变换公式化简，即可得到()f x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后根据两角差的余弦公式计算可得；(1)解：若选条件①，由题意可知，2T ππω==，2ω∴=，∴1()sin(2)2f x x ϕ=+，将()f x 的图像向右平移12π个单位长度得到1()sin(2)26g x x πϕ=+-，又函数()g x 的图象关于原点对称，∴6k πϕπ=+，Z k ∈， ||2ϕπ<，∴6πϕ=，∴1()sin(226f x x π=+，所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件②，()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos 2sin 2cos cos 2sin 266x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭11cos 22222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件③，11()cos sin()cos (sin cos cos sin 64664f x x x x x x πππωωωωω=+-=+-211cos cos 224x x x ωω=+-12cos 244x x ωω=+1112cos 2)sin(2)2226x x x πωωω=+=+即()1sin(2)26f x x πω=+，又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)解：因为1()sin(2)26f x x π=+且()310f θ=，所以()13sin 22610f πθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以2662πππθ<+<，所以4cos 265πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以cos2cos 266θθππ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43132cos sin 2sin 666652520cos 1ππππθθ⎛⎫⎛=⎫+++=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．(1)()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，(2)3a ≥【分析】（1）化简函数()22sin 324a a f x x a ⎛⎫=+-- ⎝⎭，根据[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，分类讨论，即可求解函数的最小值；（2）由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t+=-，利用单调性，即可求解.(1)由题意，函数()222sin cos 4sin 324a a f x a x x a x a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，当<02a-时，即0a >时，则sin 0x =时，()f x 取得最小值()3g a a =-；当012a ≤-≤时，即20a -≤≤时，则sin 2ax =-时，所以()f x 取得最小值()234a g a a =-+-；当12a->时，即2a <-时，则sin 1x =时，()f x 取得最小值()4g a =．综上可得，()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，．(2)∵[0,]x π∈，∴sin [0,1]x ∈，由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x =时，此等式不成立．故有sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t +=-，令()[)()230,11+=∈-t F t t t，()()()()2311--+'=-t t F t t ，当[)0,1∈t 时，()0F t '>，()F t 单调递增，所以()3≥F t ，故3a ≥．【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，三角函数的基本关系式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式，转化为关于sin x 的二次函数，熟练应用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.22．(1)12OM ⎛=- ⎝⎭(2)[)1,3(3)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为()1sin 2h x x x =-+进而根据题意得答案；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3）由())f x x ϕ=+可求得02+,Z 2x k k ππϕ=-∈时，f (x )取得最大值，其中0tan ax b=，换元求得a b 的范围，再利用二倍角的正切可求得0tan 2x 的范围．（1）解：111()2sin sin sin 222h x x x x x x x ⎫⎛⎫=---=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()h x 的“相伴向量”为12OM ⎛=- ⎝⎭.（2）解：由题知：()0sin 2cos 2cos f x x x x =⋅+⋅=.4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩可求得()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3，ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，53ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减且5(0)1,3()33(2,),,133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()g x 图像与y k =有且仅有四个不同的交点13k ∴≤<所以，实数k 的取值范围为[)1,3（3）解：()sin cos sin()f x a x b x x ϕ=++其中cos sin tan baϕϕϕ===Rx ∈ ∴当2,Z 2x k k πϕπ+=+∈即022x k πϕπ=-+时，()f x 取得最大值.此时022tan tan 2tan(2)tan 21tan x ϕπϕϕϕ=-=-=--令tan b m a ϕ==，则由22430a ab b -+<知：23410m m -+<，解之得113m <<0222tan 211m x m m m=-=--，因为1y m m=-在1(,1)3m ∈上单调递增，所以0222tan 211m x m m m=-=--在1(,1)3m ∈上单调递减，从而03tan 2,4x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭。
湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
A．若 c 3 ，则 c c b 2
B． c b 1
C． t R ，有 b ta 3 2
D．若 c a 1 b ， R ，则 3
6
三、填空题
试卷第 3 页，共 7 页
13．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了 60 根棉花的纤 维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下： 25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303 305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357 358 360 370 380 383 385
机会，从第Ti2 题开始继续答题；直到 3 道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为 0 分，若挑战结束后，累计得分不低于 7 分，则选手挑战成功，否则挑 战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 3 ，各次作
4 答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对 2 道题的概率 P1 ；
cos a,b 2 ， 2
又
a,b
0,
，
a,b
3 4
，即
a
与b
的夹角为135
.
故选：D.
3．D
【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
镇江第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
得其直观图的面积为（ ）
A． 1
2
B． 3 4
C． 3 2 8
D． 3 2 4
5．在 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ，cos2 A b c ，则 ABC 的 2 2c
形状一定是（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
6．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐
π 6
________.
15．已知 G 是 ABC 的重心，若 AB 2 ， AC 10 ，则 AG BC 的值为________.
四、双空题 16．设 ABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，2a cosC 2b c ，点 M 在边 BC 上，AM 是 A 的平分线， AM 2 ，则 ABC 的面积的最小值为______， b 2c 的最小值为 ______.
江苏省镇江第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中数学试 题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量 a (3, 4),b (sin,cos) ，且 a b ，则 tan （ ）
A． 3 4
(1)求证： BD / / 平面 EFHG ；
(2)求证： EF / /GH .
20．如图，在菱形
ABCD
中，
BE
1 2
BC
，
CF
2FD
．
（1）若 EF x AB y AD ，求 3x 2y 的值； （2）若菱形 ABCD 的边长为 6， BAD 60 ，求 AC EF （3）若菱形 ABCD 的边长为 6，求 AE EF 的取值范围．
六安第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
故选：A.
6．C
【分析】连接 EF，FG，EG，根据异面直线所成角的意义，在 EFG 中分情况计算作答.
【详解】连接 EF，FG，EG，如图，
依题意， EF / / AC, FG / /BD ，且 EF 1 AC 1, FG 1 BD 1，
2
2
因 AC 与 BD 所成的角为 60°，则 EFG 60 或 EFG 120 ，
试卷第 3 页，共 5 页
幕式的时长（单位： min ）情况，样本数据按照40,50 ，50, 60 ，…，90,100 进行
分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a 的值并估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为
代表）和中位数；
(2)已知样本中有
2 3
的男生观看开幕式时长小于
球的表面积公式可求得结果.
【详解】 AB AC 3 ， BAC 120 ，ABC 30 ，
3 2r （ r 是 ABC 的外接圆半径），解得： r 3 ； sin 30
2
R2
3 2
R
r2 3 R2 3 ，解得： R2 12 ， 4
球 O 的表面积 S 4 R2 48 .
安徽省六安第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 是关于 x 的方程 ax2 bx 2 0a,b R 的一个根，则 a b （ ）
A．0
则这 20 位市民幸福感指数的方差为（ ）
A．1.75
B．1.85
C．1.95
D．2.05
黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
鹤岗一中2021—2022学年度下学期期中考试高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知2i z =-，则()i z z +=（）A．62i-B．42i-C．62i+D．42i+2．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径16cm AB =，圆柱体部分的高8cm BC =，圆锥体部分的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（）A．2192m c πB．2252m c πC．2272m c πD．2336m c π3．用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''．已知点O '是斜边B C ''的中点，且1O A ''=，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．4．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线5．向量()2,1a =在向量()3,4b = 上的投影向量的坐标为（）A．()6,8B．()6,8--C．68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D．68,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E 为BC 的中点，则在原几何体中，异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为（）A．6B．3C．3D．127．在△ABC 中，点M 是BC 上一点，且3BC BM =，P 为AM 上一点，向量(0,0)BP BA BC λμλμ=+>> ，则31λμ+的最小值为（）A．16B．12C．8D．48．在边长为6的菱形ABCD 中，3A π∠=，现将ABD △沿BD 折起，当三棱锥A BCD-的体积最大时，三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A．60πB．30πC．70πD．50π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数2i1+iz=，则z的共轭复数z是()A．1－i B．1＋i C．i D．－i 【答案】A【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】∵2i1iz=+＝()()()2i1i1i1i-+-＝1i+，∴1iz=-，故选：A．2．如图，在ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设,AB a AC b==，以向量,a b 为基底，则向量AE=（）A．1142a b+B．12a b+C．12a b D．1124a b+【答案】A【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．【详解】解：因为E为CD的中点，则1()2AE AD AC=+．因为D为AB的中点，则12AD AB=．所以1142AE AB AC=+，即1142AE a b=+.故选：A．包括（ ）A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆柱、一个圆台【答案】B【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥； 因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥. 故选：B.4．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则“3A π<”是“3sin A <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合三角函数的性质，利用充分性与必要性的定义，可得出答案. 【详解】A 是△ABC 的三个内角，()0,πA ∴∈当3sin A <时，由()0,πA ∈，可得π03A <<或2ππ3A <<，所以“3A π<”是“3sin A <”的充分不必要条件. 故选：A5．一海轮从A 处出发，以毎小时40海里的速度沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．3 B ．203C ．102海里D ．2【答案】C正弦定理可得到BC 的值． 【详解】解：如图，由已知可得，30BAC ∠=︒，3570105ABC ∠=︒+︒=︒，140202AB =⨯=， 从而1801803010545ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 在ABC 中，由正弦定理sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，可得1sin30102sin 4522AB BC =⨯︒=︒海里． 故选：C ．6．圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（ ） A ．185π B ．9(15)π+ C ．5π D ．9(15)π+【答案】D【分析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径r 和高h ,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．【详解】圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =， ∴2h r =，又圆锥的体积18V π=， 即32121833r r h πππ==， 解得3r =；母线长为22226335l h r =+=+=，则圆锥的表面积为2233539(15)S rl r πππππ=+=⋅⋅+⋅=+． 故选D ．【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.7．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和 MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是A ．20B ．18C ．16D ．9【答案】B【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc 的值，利用三角形的面积公式求得x+y 的值，进而把14x y +转化为利用基本不等式求得14x y+的最小值即可．因为C 23AB⋅A =，C 30∠BA =， 所以311123412222ABC bc bc S x y bcsin BAC x y ∆=∴=∴=++=∠=∴+=，，，，14144422525218y x y x x y x y x y x y x y ∴+=+⨯+=++≥+⨯=（）（）（）（）． 故选B ． 【解析】平面向量；均值不等式8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的底面边长与内切球半径比为（ ）A 2B ．22C 3D ．3【分析】画出上层轮廓近似正四棱锥示意图，设2AB BC CD DA a ====，由正四棱锥中内切球球心与各面的关系可得OF POO E PE='，结合已知面积比求PE ，进而求得PO '，即可求内切球半径r ，最后可求正四棱锥的底面边长与内切球半径比.【详解】上层轮廓近似正四棱锥如下图示，若O '为底面中心，O 为内切球球心，OF ⊥面PCD 且E 为CD 中点，令内切球半径为r ，2AB BC CD DA a ====，∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍， ∴42PCDABCD S S =，即1422PE CD AD CD ⨯⨯⨯=⨯，故2PE a =，则3PO a '=，又∵OF PO O E PE ='，即3r a ra -=， ∴3ar =:23CD r =故选：D【点睛】关键点点睛：依据正四棱锥中内切球的性质，得到相关线段的比例关系，设底面边长及内切球半径，进而确定它们之间的数量关系.二、多选题9．己知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．1a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD【分析】根据向量坐标的线性运算和模的坐标表示即可判断A ，根据向量数量积的坐标表示即可判断B ，根据()cos ,a b a a b a a b a+⋅+=+即可判断C ，根据投影向量的定义即可判断D.【详解】2,23a b +=，则4124a b +=+=，故A 错误；()(2,23)(1,0)212302a b a +⋅=⋅=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b a a b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误； 向量a b +在a 上的投影向量为()221a b a a a a aa+⋅⋅=⨯=，故D 正确. 故选：BD.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1AC BD ⊥B ．1A P 6C ．1//A P 平面1ACDD ．异面直线1A P 与1AD ，所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，所以()1,1,0AC =-，()11,1,1BD =--，()10,1,1A B =-，()11,0,1BC =-，所以10AC BD =，所以1AC BD ⊥，故A 正确； 因为P 是线段1BC 上一动点，所以1B B C P λ=()01λ≤≤，所以()()()110,1,11,0,1,1,1A P B B A P λλλ=+=-+-=--，所以()21221311222A P λλλ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当12λ=时m 1in 62A P=，故B 正确； 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n =，因为1110n P A λλ=-++-=，即1n A P ⊥，因为1A P ⊄平面1ACD ，所以1//A P 平面1ACD ，故C 正确；设直线1A P 与1AD 所成的角为θ，因为11//AD BC ，当P 在线段1BC 的端点处时，3πθ=，P在线段1BC 的中点时，2πθ=，所以,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误； 故选：ABC11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若cos cos a bB A=，则△ABC 为等腰三角形 B ．若30A =︒，4b =，3a = ，则△ABC 有两解 C ．若tan tan tan 0A B C ++<，则△ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】BCD【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论. 【详解】对于A ：cos cos a b B A=，由正弦定理得sin sin cos cos A BB A =，即sin 2sin 2A B =， 由于A 、B 为三角形的内角，∴22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误；对于B ：∵30A =︒，4b =，3a =，由正弦定理得，341sin B =，即2sin 3B =，cos A =，cos B ==， ()()cos cos cos sin sin cos cos C A B A B A B A B π=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦，若cos B =，B 是锐角，则12cos 023C =⨯=< ，C 是钝角，若cos B = ，B 是钝角，12cos 023C =⨯+=> ，C 是锐角，故B 有两角，故B 正确；对于C ：若tan tan tan 0A B C ++<，∵()tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B+=-+=--，tan tan tan A B C +=-()1tan tan A B -，tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=< ，∴tan A ，tan B ，tan C 中必有一个值为负，即A ，B ，C 中必有一个为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故C 正确； 对于D ：sin cos a b C c B =+，由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B C C B =+， 即()sin sin sin sin cos B C B C C B +=+，即sin cos sin sin B C B C =， ∵sin 0C ≠，∴cos sin C C =，即tan 1C =，∵0C π<<，∴4C π，故D 正确；故选：BCD ． 12．已知函数()()4e sin xf x bx +=，若存在实数a ，使得()y f x a =+是奇函数，则sin b 的值可能为（ ）A B C ．D ． 【答案】AC【分析】根据()y f x a =+是奇函数，可得()()f x a f x a =-+-+，由此可求出4a =-，,4k b k π=-∈Z ，对k 进行取值，由此即可求出结果. 【详解】因为函数()()4esin x f x bx +=，所以()()4sin x ay ebx f a ab x ++==++，若存在实数a ，使得()y f x a =+是奇函数， 所以()()f x a f x a =-+-+ 又()()4sin x af x a e bx ab -++=-+-+，所以()()()444sin sin sin x ax ax aebx ab e bx ab ebx ab ++++-++-+=--=-+，所以40a +=且,ab k k π=∈Z ， 所以4a =-，,4k b k π=-∈Z ， 所以sin sin ,4k b k π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z ， 当1k =时，sin sin 4b π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；当2k =时，2sin sin sin 142b ππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭； 当3k =时，3sin sin 4b π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当4k =时，()sin sin 0b π=-=；当5k =时，55sin sin sin 44b ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭当6k =时，63sin sin sin 142b ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭； 所以sin b的值可能为1,1,022-. 故选：AC.三、填空题13．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35=+OA a b ，47=+OB a b ，=+OC a mb ，若A ，B ，C 三点共线，则实数m =__________． 【答案】1【分析】由三点共线可令λμ=+OB OA OC 且1λμ+=，结合已知有47(35)()a b a b a mb λμ+=+++，即可求m 值.【详解】由A ，B ，C 三点共线，可令λμ=+OB OA OC 且1λμ+=， ∴47(35)()a b a b a mb λμ+=+++， 综上，34571m λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，可得32121m λμ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩.14．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】由1sin sin 2A C =结合正弦定理可得2c a =，再利用22c ab =得到三边的关系，最后利用余弦定理可求cos A . 【详解】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===.故答案为：78.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD （含边界）上一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的取值范围是________．【答案】[2,3]【分析】先由垂直关系，找出点P 所在的直线，再判断线段1A P 长度的取值范围. 【详解】连接1BC ，1A D ，如图所求:可得1//EF BC ，11A D BC ⊥，1A D EF ∴⊥， 又DC EF ⊥，可得EF ⊥平面1A DC ，则1A C EF ⊥， ∴当P 在线段CD 上运动时，有1A P EF ⊥，当P 与D 重合时，1A P 有最小值为2，当P 与C 重合时，1A P 有最大值为3． ∴线段1A P 长度的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．16．窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是______.【答案】[]8,12【分析】先利用平面向量的线性运算，将PM 、PN 用向量PO 和OM 表示，整理成2PO 的形式，结合r PO R ≤≤即可求解.【详解】正六边形ABCDEF的内切圆半径为sin 604r OA === 外接圆的半径为4R =，()()2PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()222224PO PO ON OM OM PO OM PO =+⋅+-=-=-，因为r PO R ≤≤，即4PO ≤， 所以21216PO ≤≤，可得28412PO ≤-≤， 故答案为：[]8,12.四、解答题17．在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为（1，-2），(),1a ，a ∈R ，且21z z 为纯虚数．（1）求a 的值；（2）若1z 的共轭复数1z 是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值． 【答案】（1）2a =；（2）2,5p q =-=.【分析】（1）首先利用复数的几何意义，求得12,z z ，再设21i z b z =，利用复数相等求a 的值；（2）将112i z =+代入方程，求实数p ，q 的值. 【详解】（1）由条件可知112i z =-，2i z a =+， 21i i 12iz a b z +==-，则()i i 12i 2i a b b b +=-=+， 所以21a b b =⎧⎨=⎩，解得：2a =；（2）112i z =+，由条件可知()()212i 12i 0p q ++++=， 得()()342i=0p q p -++++，则30420p q p -++=⎧⎨+=⎩，解得：2,5p q =-=.18．已知半圆圆心为O 点，直径2AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若3144PA CA CB =-，求PA 与CB 夹角的大小；(3)试求点P 的坐标，使PA PO ⋅取得最小值，并求此最小值． 【答案】(1)()1,0A -，()10B ,，132C ⎛- ⎝⎭(2)2π3(3)138P ⎛- ⎝⎭，最小值116-【分析】（1）利用任意角三角函数的定义易求A 、B 、C 的坐标； （2）利用平面向量的夹角公式求解即可；（3）设()01OP tOC t =≤≤，用t 表示P 点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解【详解】(1)因为半圆的直径2AB =，由题易知：又()1,0A -，()10B ,. 又1OC =，2π3BOC ∠=，则2π1cos 32C x ==-，2π3sin 3C y ==132C ⎛- ⎝⎭. (2)由（1）知，13,2CA ⎛=- ⎝⎭，33,2CB ⎛=⎝⎭， 所以3133,444PA CA CB ⎛=-=- ⎝⎭. 设PA 与CB 夹角为α，则314cos 2332PA CB PA CBα-⋅===-⋅⨯，又因为[]0,απ∈，所以2π3α=，即PA 与CB 的夹角为2π3. (3)设()01OP tOC t =≤≤，由（1）知，131322OP t t ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,2PO t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，131,2PA t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22211311112242416PA PO t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为01t ≤≤，所以当14t =时，PA PO ⋅有最小值为116-，此时点P 的坐标为18⎛- ⎝⎭.19．已知函数2(cos -4sin 1f x x x x +． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，2a =，若对任意的R x ∈不等式()()f x f A ≤恒成立，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数()f x 进行化简,根据正弦函数的单调性可得答案；（2）由题意知当x A =时，()f x 取得最大值，可得6A π=，11sin 24ABCSbc A bc ==. 由余弦定理和基本不等式可得最大值.【详解】（1）2(cos -4sin 1f x x x x +22cos 22sin 22cos 21x x x x x +-=+-4sin(2)16x π=+-由222262k x k πππππ-≤+≤+解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意得当x A =时，()f x 取得最大值，则()2262A k k Z πππ+=+∈及(0,)A π∈解得6A π=，所以11sin 24ABCSbc A bc ==由余弦定理得222242cos 2b c bc A b c bc =+-=+≥即4(2bc ≤=，当b c =时取等号，所以，()max1·4(224ABC S ==20．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x 千件需另投入成本()C x ，当年产量不足60千件时，()21102C x x x =+（万元），当年产量不小于60千件时，()6400511000C x x x =+-（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完． (1)写出利润()L x （万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式；(2)该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】(1)()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【分析】（1）分060x ≤<、60x ≥两种情况讨论，结合利润=销售收入-成本，可得出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数()L x 的最大值及其对应的x 值，由此可得出结论.【详解】(1)由题意可知()()50200L x x C x =-+⎡⎤⎣⎦，当060x ≤<时，()221110200402500220L x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭=-，当60x ≥时，()6400640050511000200800L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故有()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)当060x ≤<时，()()21406006002L x x =-⋅-+≤，即40x =时，max 600y =，当60x ≥时，有()6400800800640L x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭=-+-， 当且仅当80x =时，max 640y =,因为640600>，所以80x =时，max 640y =，答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）55.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）55.【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故DAP∠或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PB C；（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且DFP∠为直线DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故DAP∠或其补角即为异面直线AP与BC 所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得225AP AD PD=+=，故5 cos5ADDAPAP∠==.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC PB B⋂=所以PD ⊥平面PB C.（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ， 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角. 因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影， 所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角. 由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1， 由已知，得CF =BC –BF =2. 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得DF在Rt △DPF 中，可得sin PD DFP DF ∠==所以，直线AB 与平面PBC 【解析】两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角【点睛】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的证明、直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，然后再计算即可. 22．已知函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈，()221g x x a x a =--+． (1)求函数()f x 的值域；(2)若对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若对任意的[]01,5x ∈，都存在四个不同的实数1x ，2x ，3x ，4x ，使得()()0i g x f x =，其中1i =，2，3，4，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)[]4,4-； (2)2a ≤； (3)4a >【分析】（1）利用基本函数的单调性即得；（2）由题可得()2121211x a x x x ≤=-++--恒成立，再利用基本不等式即求； （3）由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，利用二次函数的图像及性质可得[]()24,4,13a a a --+⊆+，即求.【详解】(1)∵函数()5f x x x=-，[]1,5x ∈， 所以函数()f x 在[]1,5上单调递增， ∴函数()f x 的值域为[]4,4-；(2)∵对任意的[]2,4x ∈，都有()g x a ≥恒成立，∴()221g x x a x a =--+a ≥，即2210x a x -⋅-≥，即有()2210x a x --≥，故有()2121211x a x x x ≤=-++--， ∵[]2,4x ∈，[]11,3x -∈， ∴()11241x x -++≥-，当且仅当111x x -=-，即2x =取等号， ∴24a ≤，即2a ≤，∴实数a 的取值范围为2a ≤； (3)∵函数()f x 的值域为[]4,4-，由题意可知对任意一个实数[]4,4t ∈-，方程()g x t =有四个根，又()2223,12,1x ax a x g x x ax a x ⎧-+≥=⎨+-<⎩，则必有1a >，令()11n g a ==+，()(){}{}222max ,max 3,3m g a g a a a a a a a =-=-+--=-+，故有[](),4,4m n -⊆，故有21434a a a +>⎧⎨-+<-⎩，可解得4a >，∴实数a 的取值范围为4a >.。
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
2021-2022学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题 1．复数5i 2-的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+C ．2i --D ．2i -【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简5i 2-，根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】55(i 2)2i i 25--==---, 故5i 2-的共轭复数为2i -+ ， 故选：B2．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-【答案】D【分析】由投影向量的定义代入公式求解即可. 【详解】由投影向量的定义知，a 在b 上的投影向量为22221(2)11(2,1)21(,)55||||(2)1(2)1a b b b b ⋅⨯-+⨯-⋅=⨯=--+-+. 故选：D3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可【详解】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A 错；对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确； 对于选项C ，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C 正确； 对于D 选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：A4．平面向量,a b 满足1,2a b ==，且()a ab ⊥-，则2a b -=（ ） A ．13 B ．13 C ．21 D ．21【答案】A【分析】由()a ab ⊥-得到21a b a ⋅==，由向量数量积运算法则求出()2213a b -=，从而求出2a b -=13.【详解】由()a a b ⊥-得：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，所以21a b a ⋅==，其中()222244141613a ba ab b -=-⋅+=-+=，故2a b -=13.故选：A5．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（ ）A ．1292525a b + B ．16122525a b + C ．4355a b +D ．3455a b +【答案】B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，则34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++33()44BC BF BA =+-+93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，所以16122525a b BF =+. 故选：B6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()sin 2sin sin c C a b B a b A -+=-，则C =（ ） A ．6π B ．3π或23π C ．23πD ．6π或56π 【答案】C【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C .【详解】依题意，由正弦定理得()()22c a b b a b a -+=-，2222c ab b a ab --=-，222a b c ab +-=-，222122a b c ab +-=-， 即1cos 2C =-.由于0C π<<，所以23C π=. 故选：C7．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，面积为S ，若cos cos 2a B b A bc +=，且cos S A ，则A =（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【分析】根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：cos cos 2a B b A bc +=，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=，即sin()sin 2sin A B C b C +==， 由sin 0C >，得21b =，12b =， 3cos4S c A =，∴31cos sin 42S c A bc A ==， 即sin 3cos A A =，即sin tan 3cos AA A ==，则3A π=， 故选：C ．8．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将 ADE ，CDF ，BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使,,A B C 三点重合，得到三棱锥O -DEF ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．3πB 6πC ．6πD ．24π【答案】C【分析】由三棱锥外接球即以OD ，OE ，OF 为棱的长方体外接球求解. 【详解】解：在正方形ABCD 中，AD AE ⊥，CD CF ⊥，BE BF ⊥， 折起后OD ，OE ，OF 两两垂直，故该三棱锥外接球即以OD ，OE ，OF 为棱的长方体外接球. 因为OD =2，OE =1，OF =1， 所以2222R OD OE OF ++6， 所以6R =， 所以该三棱锥外接球的表面积为246S R ππ==表，故选：C. 二、多选题9．用一个平面去截正方体，截面的形状不可能．．．是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】AC【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 【详解】截面为六边形时，可能出现正六边形，当截面为五边形时，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；故选：AC ．10．下列命题是真命题的有（ ）A ．有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B ．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 【答案】BCD【解析】根据分层抽样的性质判断A ；计算出平均数、中位数、众数判断B ；计算乙的方差判断C ；由百分位数的性质判断D.【详解】对于A 项，乙、丙抽取的个体数分别为36,，则样本容量为36918++=，故A 错误；对于B 项，平均数为12334536+++++=，中位数为3，众数为3，故B 正确；对于C 项，乙的平均数为56910575++++=，方差为()22222212221232555s =++++=<，则这两组数据中较稳定的是乙，故C 正确； 对于D 项，将该组数据总小到大排列1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由1085%8.5⨯=，则该组数据的85%分位数为5，故D 正确； 故选：BCD11．设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ） A ．若222a b c +<，则2C π>B ．若2ab c =，则3C π≥C ．若333a b c +=，则2C π<D ．若2a b c +=，则2C π>【答案】AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；【详解】解：对于A 选项，222a b c +<，可以得出222cos 02a b c C ab+-=<，∴2C π>，故A 正确；对于B 选项，因为2ab c =，所以22221cos 222a b c ab ab C ab ab +--=≥=，当且仅当a b =时取等号，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，故B 错误；对于C 选项，假设2C π≥，则c a >，c b >，则222c a b ≥+，所以32233c a c b c a b ≥+>+与333a b c +=矛盾，∴2C π<，故C 正确，对于D 选项，取2a b c ===，满足2a b c +=，此时3C π=，故D 错误；故选：AC.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的是（ ）A ．直三棱柱侧面积是422+B 6πC ．存在点E ，使得1A EA ∠为钝角D ．1AE EA +的最小值为22【答案】ABD【分析】求出棱柱侧面积判断A ；求出棱柱外接球体积判断B ；判断以1AA 为直径的圆的位置关系判断C ；利用对称方法求出1AE EA +的最小值判断D 作答. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，222AC AB BC =+=，ABC 的周长为22+，此三棱柱侧面积是2(22)422+=+，A 正确；依题意，线段AC 是直三棱柱111ABC A B C -外接球被平面ABC 所截得的小圆直径，111ABC A B C ≅，则球心到平行平面ABC 与111A B C 的距离相等，即球心到截面小圆ABC 的距离为1112AA =， 因此，球半径221116()()222R AC AA =+=，球的体积为33446()6332V R πππ==⋅=，B 正确；如图，在矩形11ABB A 内，以1AA 为直径作半圆，其半径1112r AA ==，圆心到直线1BB 的距离为1，即直线1BB 与以1AA 为直径的半圆相切，则1BB 上的点除切点外均在此半圆弧外，即不存在点E ，使得1A EA ∠为钝角，C 不正确；在矩形11ABB A 所在平面内，延长11A B 至F ，使111B F A B =，连AF 交1BB 于E '，对1BB 上任意点E ，连接1,EF E A '，如图，因11BB A F ⊥，则11,EF EA E F E A ''==，11AE EA AE EF AF AE E F AE E A ''''+=+≥=+=+，当且仅当点E 与E '重合时取“=”，所以122min 11)2(2AF AA A F AE EA =+=+=，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 三、填空题13．已知i 是虚数单位，当复数()212155z m m i m =++-+为实数时，实数m =________. 【答案】3【解析】根据复数为实数列出式子计算即可.【详解】复数()212155z m m i m =++-+为实数，2215050m m m ⎧+-=⎨+≠⎩， 即355m m m ==-⎧⎨≠-⎩或，解得3m =.故答案为：3m =.【点睛】本题考查复数的分类及其计算，属于基础题.14．抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师人数为_______.【答案】30【分析】根据图中的数据，分别求得本科学历和研究生学历的教师人数，再根据35岁以下的本科人数所占比例求解即可得答案.【详解】解：由图可知本科学历的教师共有50201080++=人，故研究生学历的有1208040-=人.35岁以下的本科人数有50人，35岁以下教师的比例为62.5%， 所以35岁以下的本科和研究生学历人数和为5062.5%80÷=人， 所以35岁以下的研究生学历人数有805030-=人. 故答案为：3015．如图是AOB 用斜二测画法画出的直观图，则AOB 的面积是________.【答案】16.【解析】根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有AOB 的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积公式即可求AOB 的面积. 【详解】由斜二测法画图原则：横等纵半， ∴AOB 的高为8，即184162AOBS =⨯⨯=， 故答案为：16.【点睛】本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题. 16．已知向量(,1)a m =，(4,2)b n =-，0m >，0n >，若a//b ，则18m n+的最小值______. 【答案】92【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到24m n +=，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.【详解】//a b ，2424m n m n ∴=-⇔+=，()0,0m n >> ()1811811621044n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 116910242n m m n ⎛≥+⋅= ⎝， 当且仅当16n m m n =，即824,33n m n m ===，时，等号成立. 故答案为：92【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形()1811824m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后，即可利用基本不等式求最值. 四、解答题17．如图为正四棱锥P - ABCD ，PO ⊥平面ABCD ，BC = 3，PO = 2.(1)求正四棱锥P - ABCD 的体积； (2)求正四棱锥P - ABCD 的表面积. 【答案】(1)6； (2)24.【分析】（1）根据题意，结合锥体体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.【详解】(1)根据题意，得11332633P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅=⨯⨯⨯=.(2)如图所示，作BC 的中点E ，连接OE ，PE ，则2295442PE OE OP =++， 故正四棱锥P - ABCD 的表面积44242PBC ABCD BC PES SS AB BC ⋅=+=⨯+⋅=. 18．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =. (1)求c 的值； (2)求△ABC 的面积. 【答案】(1)2c =(2)154 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）先用同角三角函数关系式22sin cos 1C C +=求出sin C ，再用三角形面积公式求解即可.【详解】(1)由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2114212=44c =+-⨯⨯⨯， 解得2c =，(2)∵1cos 04C =>，且0πC <<， ∴π02C <<,由22sin cos 1C C +=得，2115sin 1cos 1164C C =-=-=, ∴1sin 2ABC S ab C =⋅△1151512244=⨯⨯⨯=. 故△ABC 的面积为154. 19．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（Ⅰ）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；（Ⅱ）估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.【解析】（Ⅰ）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；（Ⅱ）首先估算学习时间在25%分位数所在的区间，再根据公式计算结果；（Ⅲ）根据样本的代表性作出判断.【详解】（Ⅰ）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为 (0.030.015)50.225+⨯=则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为400.2259⨯=． （Ⅱ）学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<，学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>，所以25%分位数在(5,10)， 0.250.1558.750.2-+⨯=， 则这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75．（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，F 为1CC 的中点．(1)求证：1//BD 平面AEC ；(2)求证：平面//AEC 平面1BFD ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，利用中位线的性质可得出1//BD OE ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出1//D F 平面AEC ，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点，因为E 为1DD 的中点，则1//BD OE ，1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，因此，1//BD 平面AEC .(2)证明：因为11//CC DD 且11CC DD =，E 为1DD 的中点，F 为1CC 的中点， 所以，1//CF D E ，1CF D E =，所以，四边形1CED F 为平行四边形， 所以，1//D F CE ，1D F ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以，1//D F 平面AEC ， 因为111BD D F D ⋂=，因此，平面//AEC 平面1BFD .21．已知()1,2a =，()3,1b =-(1)求2a b -；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值；(3)若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值【答案】(1)()7,0； (2)2 (3)2【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解；（2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量a kb +与a kb -的坐标，利用坐标表示()()0a kb a kb ⋅-=+即可求解.【详解】(1)因为()1,2a =，()3,1b =-，所以()()()21,223,17,0a b -=--=.(2)因为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，所以()222212cos 5101231a b a b θ⨯⋅===⨯⋅+⨯-+(3)由()1,2a =，()3,1b =-可得()()()1,23,113,2a kb k k k +=+-=-+，()()()1,23,113,2a kb k k k -=--=+-，因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以()()()()()()1313220a kb a kb k k k k +⋅-=-+++-=，即221k =，解得：22k =±. 22．如图，扇形OMN 的半径为3，圆心角为3π，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上一点且满足23OBA π∠=.(1)若1OB =，求AB 的长；(2)求△ABM 面积的最大值.【答案】(1)1； 3【分析】(1)在△OAB 中，利用余弦定理即可求AB ；(2)由题可知AB ∥OM ，则MAB OAB S S =，设OB x =，AB y =，在OAB 中利用余弦定理和基本不等式求出xy 的最大值，再由3OABS xy =即可求面积最大值. 【详解】(1)在△OAB 中，由余弦定理得，2222cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅，即213122AB AB ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，即220AB AB +-=，即()()210AB AB +-=， ∴1AB =；(2)3MOB π∠=，23OBA π∠=，MOB OBA ∠∠π∴+=，OM ∴∥AB ， MAB OAB S S ∴=，设OB x =，AB y =，则在OAB 中，由余弦定理得222,2cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅， 即22321x y xy xy xy xy =+++⇒，当且仅当1x y ==时取等号， ∴11333sin 224OABS OB AB OBA x y ∠=⋅⋅⋅=⋅⋅=，当且仅当1x y ==时取等号.∴△ABM。
2021-2022学年浙江省金华市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年浙江省金华市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复平面内，()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，然后对()2i z -化简，结合()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上可求出,a b 的范围，从而可求出复数z 对应的点所在的象限【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，所以()()()2i i 22i a b a b b a -+=++-，则2020a b b a +=⎧⎨->⎩，即22b a a b =-⎧⎨<⎩，所以a<0，0b >，故该点在第二象限， 故选：B ．2．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF =（ ） A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB AD +D ．1223AB AD -．【答案】D【分析】用向量的加法和数乘法则运算.【详解】由题意：点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴11122323EF ED DA AB BF AB AD AB AD AB AD =+++=--++=-.故选：D.【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.3．已知向量()63,9a t =+，()42,8b t =+，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值． 【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+， 所以()63,1113a b t =++， ()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4．已知矩形ABCD 的一边AB 的长为4，点M ，N 分别在边BC ，DC 上，当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()0AM AN BD +⋅=.若AM AN x AB y AD +=+，x +y ＝3，则线段MN 的最短长度为（ ） A ．3 B ．2C ．23D ．22【答案】D【分析】先根据M ，N 满足的条件，将()0AM AN BD +⋅=化成,AD AB 的表达式，从而判断出矩形ABCD 为正方形；再将AM AN x AB y AD +=+，左边用,AD AB 表示出来，结合x +y ＝3，即可得NC +MC ＝4，最后借助于基本不等式求出MN 的最小值.【详解】当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()1122AM AN BD AD AB BD AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()2233022AD AB AB AD AD AB =+⋅-=-= 所以AD ＝AB ，则矩形ABCD 为正方形，设,NC AB MC AD λμ==，则()()11AM AN AB AD AB AD xAB yAD μλ+=+-+-+=+则2,2x y λμ=-=-，又x +y ＝3，所以λ+μ＝1.故NC +MC ＝4，则MN =（当且仅当MC ＝NC ＝2时取等号）.故线段MN 的最短长度为故选：D.5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．9【答案】B【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -，故4M m -=. 故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.6．已知球的半径为R ，一等边圆锥.(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（ ）A ．234R π B ．294R π C 2 D 2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r ，由圆锥的表面积公式可得所求．【详解】如图，设圆锥的底面半径为r ， 则圆锥的高为3r ， 则222(3)R r r R =+-， 解得32r R =， 则圆锥的表面积为2223S r r r r πππ=+⋅=22393()24R R ππ==， 故选：B ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过建立等式得到32r R =. 7．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）．A 162B 326C 1282D 5126【答案】D【分析】考虑当丸子与六面体各个面都相切时的情况，利用等体积的方法求解出此时丸子的半径，则最大体积可求解出.【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积142S =⨯⨯=，所以四面体的体积为13⨯=2， 根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为R ，所以163R ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以R =，所以丸子的体积为343π⨯=⎝⎭， 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析丸子与六面体的位置关系以及采用等体积法求解丸子的半径，本例中六面体是规则对称图形，其体积的计算方式有两种：（1）13⨯底面积⨯高，求解体积；（2）利用丸子的半径作为高，六面体的每个面作为底面，求六个三棱锥的体积之和即为六面体体积.8．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据题意画出图形，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则由圆的相交弦定理可得((211r =⋅，从而可求得212x r =-，进而可表示出圆台的侧面积，求出其最大值，从而可得,x r 的值，然后在Rt CFB △求出圆台母线与底面所成角的余弦值即可【详解】如图1所示，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则1BF r =-，OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-，即((211r =⋅，解得212x r =-，则圆台侧面积()2π11022x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭，则'2322S x ππ=-，令'0S =，则233x =或233x =-（舍去），当2303x <<时，'0S >，当2323x <<时，'0S <，所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，在23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递减， 所以当233x =时，S 取得最大值． 当233x BC ==时，21123x r =-=，则213BF r =-=．在轴截面中，OBC ∠为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB △中可得3cos 3BF OBC BC ∠==， 故选：D ．【点睛】方法点睛：本题是立体几何中最值的综合性问题．旋转体的问题常需正确做出轴截面图进行分析，最值问题要注意“选元”“列式”“讨论最值”三个环节，考查线面角的余弦值，属于较难题二、多选题9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则角A 可为（ ） A ．34πB ．4π C ．712π D ．23π 【答案】BC【分析】利用余弦定理化简可得cos 2c bA b；分别验证各个选项中的A 的取值，根据0c >可确定正确选项.【详解】由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，又22a b bc =+，2222cos b bc b c bc A ∴+=+-，整理可得：cos 2c bA b； 对于A ，2cos 2c b A b -==(120c b =<，A 错误；对于B ，2cos 22c b A b -==，则()12c b =+，B 正确； 对于C ，26cos 24c b A b --==，则22602c b +-=>，C 正确；对于D ，1cos 22c b A b -==-，则0c ，D 错误. 故选：BC.10．如图，四边形ABCD 为直角梯形，∠D ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．12AC AD AB =+ B ．1122MC AC BC =+ C ．12BC AD AB =- D ．14MN AD AB =+【答案】ABC【分析】直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理即可解决问题. 【详解】由12AC AD DC AD AB =+=+，知A 正确； 由1()2CM CA CB =+，得()12MC AC BC =+知B 正确；由12BC MD AD AM AD AB ==-=-知C 正确； 由N 为线段DC 的中点知1124MN MA AD AD AB =+=-，知D 错误； 故选：ABC .11．下列说法正确的有（ ）A ．任意两个复数都不能比大小B ．若()i ,z a b a R b R =+∈∈，则当且仅当0a b 时，0z =C ．若12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==D ．若复数z 满足1z =，则2i z +的最大值为3 【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可. 【详解】解：对于A 选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A 不正确；对于B 选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B 正确；对于C 选项，当121,i z z ==，满足22120z z +=，但120z z ==，所以C 不正确；对于D 选项，复数z 满足1z =，则复数z 在复平面内的轨迹为单位圆，则2i z +的几何意义，是单位圆上的点到()0,2-的距离，它的最大值为3，所以D 正确； 故选：BD.12．如图，已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，则（ ）A ．()11110AC A B A A ⋅-=B ．()2211116B A B B B CCD ++=C ．向量1A B 与向量1AD 的夹角是60︒ D ．异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒【答案】ABD【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()10,2,2D所以()12,2,2AC =-，()11112,0,2B A A B A A -==， 因此()111111440AC A A B B A A A C ⋅-=⋅=-=；故A 正确；又()()()1111112,0,20,2,22,2,4B A B B B C B A B C ++=+=--+-=--，()2,0,0CD =-， 所以()21111441624B A B B B C++=++=，2246CD =，因此()2211116B A B B B CCD ++=，即B 正确；因为()12,0,2A B =-，()10,2,2AD =， 所以1111111cos ,24A AD A AD A AD B B B ⋅<>===-，因此向量1A B 与向量1AD 的夹角是120︒；故C 错；因为E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，所以()2,1,0E ，()1,1,1F ，则()1,0,1EF =-，又()10,0,2DD =， 所以111cos ,1EF DD EF DD EF DD ⋅<>===+ 又异面直角的夹角大于0︒且小于等于90︒，所以异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒；即D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.三、填空题13．已知向量()1,2a =-，()21,1b m =-，且a b ⊥，则2a b -=__________. 【答案】5【分析】由已知可得32m =，()2,1b =，代入即可求出答案.【详解】由a b ⊥可得，0a b ⋅=，即()2120m --+=，解得32m =，()2,1b =， 所以()()()21,24,25,0a b -=--=-， 所以()2255a b -=-.故答案为：5.14．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________【答案】72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影.故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.15．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A ，B ，C ，D ，E 是正五边形的五个顶点，且512MN AM -=，若QN a =，则N C M P +=__________（用a 表示）.51+ 【分析】使用平面向量线性运算知识进行求解即可.【详解】由已知，结合正五角星的图形，有 M NM CP A NM NM MA NA +=+=+=，∵NA 与QN 方向相同，5151NANA AM QN MN QN +====- ∴515122CP NA QN N a M +++===. 51+. 16．如图，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为矩形，BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为3点P 为线段DE 上一点，当三棱锥P ﹣ACE 的体积为33时，DP DE ＝__． 【答案】34 【分析】过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，证明AF ⊥平面BCDE ，再由已知求得AF ，进一步求出三棱锥D ﹣ACE 的体积，利用P ACE D ACE V PE DE V --=求得PE DE，进一步得到答案. 【详解】解：如图，过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，∵平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE ＝BC ，∴AF ⊥平面BCDE ，由BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为23，得1232BC AF ⋅=， ∴AF ＝3，则1132D ACE A CDE V V DE BE AF --==⨯⨯⨯⨯ ＝1132⨯⨯4×2×4333=； ∵1132P ACE A PCE V V PE BE AF --==⨯⨯⨯⨯＝33． ∴3134433P ACE D ACE V PE DE V --===，则34DP DE =．故答案为：34．四、解答题17．已知向量()2sin ,1m A =，()sin ,3n A A =-，m n ⊥，其中A 是ABC 的内角.（1）求角A 的大小；（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a =0AB BC ⋅>，求b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）由m n ⊥和三角恒等变换可得答案；（2）由0AB BC ⋅>和3A π=可得223B ππ<<，然后由正弦定理可得2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角函数的知识可得答案. 【详解】（1）因为()22sin sin 32sin cos 31cos 223m n A A A A A A A A ⋅=-=+-=--2sin 2206A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 即有2262A k πππ-=+，（Z k ∈），3A k ππ=+，（Z k ∈）， 又A 为ABC 的内角，所以3A π=；（2）由0AB BC ⋅>，得B ∠为钝角，从而223B ππ<<由正弦定理，得21sin sin sin 3b c B C π=== 所以sin b B =，2sin sin 3c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又223B ππ<<，所以25366B πππ<+<，则32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭18．如图，在OAB 中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB =，Q 是OB 中点.（Ⅰ）若()0,0O ，()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA =，求NQ 的坐标和模 （Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP =，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）()1,1ON =-，2NQ =；（Ⅱ）3t 4=. 【分析】（Ⅰ）由12OQ OB =，根据13ON OA =，求得4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求得向量NQ 坐标，进而求得向量NQ 的模；（Ⅱ）因为13AP AB =，得到2133OP OA OB =+，进而得到233t t OM OA OB =+和()12OM OA OB μμ=-+，即可求解.【详解】（Ⅰ）由Q 是OB 中点，可得12OQ OB =， 又由13ON OA =，且()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1NQ OQ ON =-=-且()22112NQ =+-=. （Ⅱ）如图所示，因为13AP AB =，所以()13OP OA OB OA -=-， 可以化简为：2133OP OA OB =+， 又OM tOP =，所以2123333t t OM tOP t OA OB OA OB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ① 不妨再设AM AQ μ=，即()()1OM OA OQ OA OM OA OQ μμμ-=-⇒=-+， 由Q 是OB 的中点，所以12OQ OB =，即()12OM OA OB μμ=-+ ② 由①②，可得213t μ-=且23t μ=，解得3t 4=.19．已知复数()()21211i,221i(R,i 2z a z a a a =+-=++∈+是虚数单位). (1)若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；(2)若虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，求实数m 值.【答案】(1)322a -<<- (2)5m =【分析】（1）求出12z z -，由其对应点的坐标列不等式求解；（2）1z 也是方程的根，根据韦达定理先求得a ，再求得m ．【详解】（1）由已知得到()2121223i 2z z a a a -=-+--+，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以21202230a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩，解得32231a a a ⎧-<<-⎪⎨⎪><-⎩或，所以32;2a -<<- （2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，所以1z 是方程的另一个根，所以11212z z a +==+，所以0a =， 所以1111i,i 22z z =-=+， 所以11544m z z ⋅==，所以5m =. 20．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AD =DC =AC ，且CP ⊥平面P AD ，E 为AD 的中点.(1)证明：AD ⊥平面PCE ；(2)若3PA AD =，求二面角A ﹣PC ﹣E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意证得AD ⊥CE ，AD ⊥CP ，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以点E 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PCE 和平面PAC 的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：如图，连接AC ，∵AD =DC =AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵点E 为AD 的中点，∴AD ⊥CE ，∵CP ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴AD ⊥CP ，∵CP ∩CE =C ，CP ，CE ⊂平面PCE ，∴AD ⊥平面PCE .（2）如图，以点F 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则E （0，0，0），设点A （1，0，0），则C （00），由（1）知AD ⊥平面PCE ，设P （0，y ，z ），（y >0，z >0），3,12PA ADPA PC =∴==， )2222131y z y z ⎧++=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得y z P ⎛=∴ ⎝⎭，()360,,,1,33PC AC ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PAC的法向量(),,m x y z =，则3030m PC y m AC x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取1y =，得3,1,m ⎛= ⎝⎭， 由（1）知，平面PCE 的一个法向量()1,0,0EA =，设二面角A PC E --的平面角为θ，则二面角A PC E --的余弦值为：cos 1m EAm EA θ⋅===⋅⨯21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求直线AB与平面DCC1所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）连接AC1，交A1C于E，连接DE，由中位线的性质知DE∥BC1，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，计算平面DCC1的法向量，利用线面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：连接AC1，交A1C于E，连接DE，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是AC1的中点，∵D是AB的中点，∴DE∥BC1，∵DE⊂平面A1DC，BC1 平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.（2）取AC的中点O，连接A1O，BO，∵△ABC 和△A 1AC 都是正三角形，∴A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥BO ，以O 为原点，OB 、OC 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ＝2，则A （0，﹣1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （32，12-，0），C 1（0，2，3）， ∴AB ＝（3，1，0），CD ＝（32，32-，0），1DC ＝（32-，52，3）， 设平面DCC 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33022353022x y x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 令x ＝3，则y ＝3，z ＝﹣1，∴n ＝（3，3，﹣1），设直线AB 与平面DCC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜AB ，n ＞|＝|||||AB n AB n ⋅⋅|＝|3332931+⨯++|＝2313， 21cos 1sin 13θθ=-=∴tan θ＝23，故直线AB 与平面DCC 1所成角的正切值为23.22．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ；（Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，||1EN =，使直线CN与平面BCF 【分析】（Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦EN t =．利用向量法能求出结果． 【详解】（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点， //EF MP =∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴， EM ⊂/平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，//EM ∴平面ACF ．（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0B ，1，0)，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =1-，0)，(0BE =，0，1)，(0BF =，1-，1)，设平面BCE 的法向量(n x =，y ，)z ， 则·30·0n BC x y n BE z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =0)， 设平面BCF 的法向量(m a =，b ，)c ，则·30·0m BC a b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1a =，得(1,3,m =，设二面角E BC F --的平面角为θ， 则||427cos ||||747m n m n θ===． ∴二面角E BC F --的余弦值为277． （Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121，设||EN t =． 则(0N ，1t -，1)，(3CN =-，1t -，1)，平面BCF 的法向量(1,3,3)m =，2|||33|21|cos ,|21||||4(1)7CN m t CN m CN m t -∴<>===+-，解得212t =-， ∴线段EF 上是存在一点N ，2||12EN =-，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
属中档题. 12．ACD
【分析】连接 EF ，即可得到四边形 FEA1D1 为平行四边形，从而判断 A，显然 A1E 与 HF 为
相交直线，即可判断 B，根据线面平行的判定定理证明 C，D； 【详解】解：连接 FE，因为 E，F 为 AB，CD 的中点，故 FE 平行且等于 AD.
由题意知 AD 平行且等于 A1D1 ，故 FE 平行且等于 A1D1 ，所以四边形 FEA1D1 为平行四边形， 所以 A1E//D1F ，故 A 正确； 显然 A1E 与 HF 为相交直线，故 B 错误； 因为 EG//IF ，同时 IF 在平面 D1IF 内，且 EG 不在平面 D1IF 内，所以 EG// 平面 D1IF ，故 C 正确； 因为 A1E//D1F ，同时 D1F 在平面 D1FGB1 内，且 A1E 不在平面 D1FGB1 内，所以 A1E// 平面 D1FGB1 ，故 D 正确. 故选：ACD.
，得
3
2 2
2
3
，
sin B sin 2B
32 2 2 3 ，故 cos B
sin B 2sin B cos B
6. 3
故选： D .
7．D
【分析】根据复数的运算法则，化简复数 2 2a 4 a i ，根据题列出不等式组，即可求解.
5
5
【详解】由题意，复数
2 ai 1 2i
2 ai1 2i 1 2i1 2i
【详解】因为点 M ，故过点 M 有无数条直线与 平行，故 AB 错误； 过点 M 有且只有一个平面与 平行，故 C 正确， D 错误. 故选： C .
6．D 【分析】根据正弦定理，结合角度关系，带值计算即可.
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【详解】在△
福建师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷
福建师大附中2021 - 2022学年下学期期中考试高一数学试卷时间:120分钟满分:150分试卷说明:（1）本卷共四大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小圆给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z（1 + 2i）= |4 + 3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为A. - 2B. - 2iC.1D.i2.在棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A. a33B.a34C.a36D.a3123.若复数z满足|z - i|≤2，则z·z（其中z为z的共顿复数）的最大值为A.1B.2C.4D.94.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是A.b = 10，A = 45°，C = 70°B.a = 6，c = 8，B = 60°C.a = 8，b = 16，A = 30°D.a = 13，b = 16，A = 45°5.已知向量a，b的夹角为π3，且|a|= 4，|b| = 2，则向量a与向量a+ 2b的夹角等于A.π3B.π6C.5π6D.π26.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A（3，- 33）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y = Rsin(ωt + φ)（t≥0，ω > 0，|φ|< π2），当t = 100时，|PA| =A.6B.62C.63D.3（6-2）7.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2-c2 = 2b，sinAcosC= 3cosAsin C，则b等于A.3B.4C.6D.78.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin（A + C）=2sb2 −c2，则tanC +12tan（B−C）的取值范围A.[2，5√36）B.[2，32）C.（1，7√36）D.（1，√32）二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小思给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a=（1，2），b=（- 4，t），则A.若a∥b，则t = 8B.若a⊥b，则t = 2C.|a-b|的最小值为5D.若a，b的夹角为2π3，则t = 1高一数学试卷第2页，共6页10.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是A.若|z1| = |z2|，则z12 = z22B.若|z1|=|z2|，则z1=±z2C.若z1z2 = 0，则z1 = 0或z2 = 0D.若|z1-z2| = 0，则z1 = z211.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且AE=EB，AD = 2DC，BD与CE交于点O，则A.OC = EOB.AB·CE = 0C.|OA + OB + OC + OD| =3D.ED在BC方向上的投影向量为712BC12.在直三棱柱ABC - A1B1C1中，∠ABC = π3，AC = AA1，若该三校柱的外接球的表面积为28π，则该三棱柱的体积不可能是A.15B.18C.21D.24三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期期中考试数学试题1【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知复数，且为纯虚数，则（ ）z 1z -z =A ．B ．C ．D ．12i +2i-2i±12i±【答案】D【分析】设复数求解.(,)z a bi a b R =+∈10a =-=【详解】设复数，(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数，1z -，10a =-=解得，1,2a b ==±所以，12z i =±故选：D【点睛】本题主要考查复数的概念和模的运算，属于基础题.2．已知，，，用，表示，则（ ）AB a = AC b = 3BD DC = a b AD AD = A ．B ．C ．D ．3144a b+34a b+1144a b+1344a b+【答案】D【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为，3BD DC = 所以，()33134444AD AB BD AB BC AB AB AC AB AC=+=+=+-+=+ 又因为，，AB a = AC b =所以，1434AD a b=+ 故选：D.3．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为km.A B C D ．【答案】B【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，30CAD ∠=︒120ACD ∠=︒AD BCD ∆，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值．60CBD ∠=︒BD AB 【详解】由已知，中，，，ACD ∆30CAD ∠=︒120ACD ∠=︒由正弦定理，，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠所以·sin 4·sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在中，，BCD ∆60CBD ∠=︒由正弦定理，，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒在中，由余弦定理，，解得：ABD ∆222802··3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=AB =所以与的距离A B AB =故选B【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．4．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是O A B C ''''（ ）A ．B ．8C ．6D ．2+2+【答案】B【分析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长．OABC【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，O B ''OABC，，，所以，1OA BC ==OB =OB OA ⊥3OC AB ===所以四边形的周长为：．2(13)8⨯+=故选：B ．5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是A ．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【答案】D【分析】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A 、B 、C 正确，选项D 错误．【详解】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA 、MB 、MC 、MD 、AB 、BC 、CD 、DA 、NA 、NB 、NC 和ND ，共12条；顶点是M 、A 、B 、C 、D 和N 共6个；且有面MAB 、面MBC 、面MCD 、面MDA 、面NAB 、面NBC 、面NCD 和面NDA 共个，且每个面都是三角形．所以选项A 、B 、C 正确，选项D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．6．已知,且,则(1,3),(2,1)a b =-=- ()(2)ka b a b +⊥-k =A ．B ．C ．D ．4343-3434-【答案】C【解析】求出的坐标，利用垂直的坐标表示列方程求解.,2ka b a b +-【详解】由题意知，，且，(2,31),2(5,5)ka b k k a b +=---=-()(2)0a b a k b +⋅-= 故，5(2)5(31)0k k --+-=解得.34k =故选：C.【点睛】本题考查向量的坐标表示，垂直的坐标表示，是基础题.7．已知正四棱锥的底面边长是 ）2A B ．C ．D ．128【答案】B【解析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可.【详解】如图所示，在正四棱锥中，取中点，连接，S ABCD -BC E SE 则为直角三角形，SBE △所以，2SE ===所以表面积.1422422122SBCABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△故选：B.【点睛】本题考查了正棱锥的表面积，属于基础题.8．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱的交点分别为其所在棱11EE F F 的中点，则图甲中水面的高度为（ ）A B ．C D ．294【答案】D【解析】首先利用图乙求出水的体积，再利用等体积法求出图甲中水面的高度.【详解】设正三棱柱的底面积为，S ∵，，，分别为其所在棱的中点，E F 1F 1E ∴，即，14AFES S=△14AFES S =△∴，34BCFE S S =四边形∴，111139344=BCFE B C F E V V S S -=⨯=水因为，，ABC S S = 99=44ABC V h S S h =⋅=⇒水水水△所以图甲中水面的高度为.94故选：D.【点睛】本题主要考查了利用等体积法求高，属于基础题.二、多选题9．复数满足，则下列说法正确的是（ ）z 233232iz i i +⋅+=-A ．的实部为B ．的虚部为2C ．D ．z 3-z 32z i=-||z =【答案】AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正32z i =--确答案.【详解】解：由知，，即233232i z i i +⋅+=-232332i z i i +⋅=--()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；39263213ii --==--z 3-z，C 错误；D 正确；32z i =-+||z ==故选:AD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.10．正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（ ）S ABC -3AB =A B C D 【答案】AB【分析】首先设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，得到S ABC -O ABC D CD =再分类讨论求解三棱锥体积即可。
山西省太原市2021-2022学年高一下学期期中数学试题(解析版)
又 ，即 ， 即 ，
所以 ，因为 、 、 三点共线，所以 ，解得 ；
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）
13.已知复数 ,则 _______
【13题答案】
【答案】5
【解析】
【分析】根据复数模的计算公式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意知，复数 ，则 ，
求出角B的余弦值及角B的范围即可求解；
（2）根据余弦定理找到边 的范围，然后代入三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
由 ， ，且 ，得
及正弦定理，得
，即 .
由余弦定理，可得
，
【小问2详解】
由（1）知， ，由余弦定理，得，Fra bibliotek，即 ，
当且仅当 时，等号成立.
当 时， 取的最大值为 .
.
所以 面积的最大值为 .
【答案】（1）9（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数 的值.
【小问1详解】
当 时， ，
故 ，
【小问2详解】
，
，
因为 ，
所以 ，
解得： .
所以实数 的值为 .
21.如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，记 ， ．
（1）用 ， 表示 ， ；
，
所以以BC所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积为 .
25.在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边，且 ，分别以 、 、 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成 个几何体，其体积分别记为 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）求以 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．
2021-2022学年山东省聊城市聊城高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．己知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）i 1i 1iz -=+A ．的虚部为B ．的共轭复数对应的点在第三象限z zC ．的实部为1D ．的共轭复数的模为1z z 【答案】D【分析】首先求出复数，从而根据实部虚部的概念即可直接判断AC 选项，然后求出z =，结合模长公式以及复数在复平面所对应点的特征即可判断BD 选项.z，所以，=z ==所以的虚部为A 错误；z，其对应的点是，在第一象限，故B 错误；zC 错误；z，故D 正确，z 1=故选：D.2．已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：,,a b c ,αβ①，则；,a b αα∥∥a b ②，则；,a b b c ∥∥a c ③，则；,a αβα∥∥a β∥④，则.,,a b a b αα⊄∥∥a α其中正确的是（ ）A ．①④B ．①②C ．②④D ．③④【答案】C【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对各选项逐一判断即可．【详解】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；,a b αα∥∥a b 对②，根据平行线的传递性，可知②正确；对③，，则或，故③不正确；,a αβα∥∥a β∥a β⊂对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．故选：C3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误，,,A B C //AC BC故选：A 4．已知复数是纯虚数，则实数（ ）()()1i 1i z λ=-++λ=A ．B ．C ．0D ．12-1-【答案】B【分析】由纯虚数的定义得出实数.λ【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，()()i11z λλ+-=+()()1i 1i z λ=-++10λ+=10λ-≠解得.1λ=-故选：B5．在中，，则中最小的边长为（ ）ABC 60,75,2A B a ===ABC ABC D【答案】B【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.45C =C 【详解】由题意，，故中最小的边长为.180607545C =--=ABC c 由正弦定理，故.sin sin a c A C=sin sin a Cc A===故选：B6．已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，P ABCD -ABCD 则四棱锥的体积最大值为（ ）P ABCD -A BC D【答案】D【分析】当球心在高线上时，四棱锥的体积最大，求出高，进而得出体积.O P ABCD -【详解】底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若四棱锥的体积最大，P ABCD -P ABCD -则四棱锥的高最大，即球心在高线上，P ABCD -O 设四棱锥的高为，可得，则P ABCD -h GB=22h ==故四棱锥的体积最大值为.P ABCD -1(22)2)3⨯⨯⨯=故选：D7．已知在线段上，且，设，OA ⊥ E AB 30BOE ∠=OE mOA nOB =+ ，则的值分别为（ ）(),m n R ∈,m n A ．B ．13,4412,33C ．D ．11,2213,24【答案】C【分析】根据题意可知为直角三角形，且，结合余弦定理证得为Rt ABC 90,30O B ∠=∠=E 的中点，从而得出结论.AB 【详解】根据题意可知为直角三角形，且，又因为，所以，Rt ABC 90,30O B ∠=∠= 30BOE ∠=BE OE =设，则，所以，则，故为的中点，BE OE t ==OB ==OA t =2AB t =E AB 因此，即，1122OE OA OB =+ 11,22m n ==故选：C.8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形1111ABCD A B C D -1,,M N 1,BC CC P （包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（ ）11BCC B 1//PA AMN 1PAA ．B．C ．D．【答案】B 【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值1A AMN P 1PA 范围即可.【详解】如图，分别作的中点,连接111,B C BB ,E F 11,,EF A E AF显然,//EF MN 1//A E AM 且平面，；平面,1,A E EF ⊂1A EF 1A E EF E ⋂=,AM MN ⊂AMN AM MN M⋂=所以平面平面1A EF //AMN平面平面1A EF 11BCC B EF=所以动点在正方形的轨迹为线段P 11BCC B EF在三角形中，，1AEF 112EF BC ==11A E A F ===所以点到点的最大距离为，最小距离为等腰三角形在边上的高为P 1A 11A E A F ==1A EF EF=故选：B二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形D ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【答案】BD【分析】根据常见几何体的性质与定义逐个选项辨析即可.【详解】对A ，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A 错误；对B ，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B 正确；对C ，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C 错误；对D ，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D 正确；故选：BD10．下列说法中正确的有（ ）A ．已知在上的投影向量为且，则；a b 12b5b = 252a b ⋅= B ．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；()()1,2,1,1a b ==a ab λ+ λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若非零向量满足，则与的夹角是.,a b ||||||a b a b ==- a a b + 30 D ．在中，若，则为锐角；ABC 0AB BC ⋅>B ∠【答案】AC【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A 选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B 选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C 选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D 选项.【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即a b αa b 12b1cos 2b a bb ⋅⋅=α，所以，故A 正确；1cos 2a b ⋅=α 125cos 5522a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=α因为，则，又因为与夹角为锐角，()()1,2,1,1a b == ()1,2a b λλλ+=++ a a b λ+ 所以，且与不共线，即，解得，所以则的取()0a a b λ⋅+> a ()a b λ+ ()()1220212λλλλ⎧+++>⎪⎨+≠+⎪⎩530λλ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩λ值范围是，故B 错误；()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭因为，两边同时平方得，即，所以，即a a b=- 22a a b=- ()22a a b=- 2222a a b a b=+-⋅ ，22b a b=⋅因此cos ,a a b +，又因为向量夹角的范围是，所以，故C 正确；=0,180⎡⎤⎣⎦ ,30a a b +=因为，所以，0AB BC ⋅> ()cos cos 0AB BC AB BC B AB BC B ⋅=⋅⋅-=-⋅⋅> π因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D 错误，0,0AB BC >>cos 0B <()0,B π∈,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ∠故选：AC.11．下列说法中正确的有（ ）A ．已知复数满足（为虚数单位），则复数z ()1i 4z +=iz B ．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；20222022i (1i)z =++i z C ．在中，若，则为等腰或直角三角形；ABC sin sin A B =ABC D ．在中，若，则为等腰三角形.ABC 0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ABC 【答案】ABD【分析】结合复数的四则运算以及复数在复平面内所对应点的特征即可判断AB 选项，结合正弦定理即可判断C 选项，根据平面向量数量积的定义以及诱导公式即可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以()1i 4z +=()()()()41i 41i 422i 1i 1i 1i 2z --====-++-，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；(22i 22iz =-=-(()2,2-，所对应的点的坐标是，在第三象限，101120222102202211i (1i)i (1i)i1i 1z ==-+⎡⎤==+++⎦-+-⎣()1,1--故B 正确；因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C 错误；sin sin A B =a b =ABC 因为，所以，即0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ 0AB BC AC BC AB AC ⋅+⋅= ，即，()cos cos 0AB BC B AC BC CAB AC ⋅-⋅+⋅⋅=π()cos cos 0B C -+=π所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D 正确，cos cos B C =()()0,,0,B C ππ∈∈B C =ABC 故选：ABD.12．如图在正方体中，分别是棱的中点，点是线段上1111ABCD A B C D -,,M N Q 1111,,D C A D BC P 1BD 的动点（不包含端点）则下列说法中一定正确的是（ ）A ．MN 平面APC ；B ．存在唯一点，使得平面；P 1C Q APC C ．点到平面的距离为定值；P MNQD ．若为棱的中点，则四面体的体积为定值.H 1BB 11PA C H 【答案】BD【分析】对A ，举反例在平面上即可；对B ，根据平面，结合线面平行的判定P MNAC 1//C Q NAC与性质判断即可；对C ，推导可得在平面两侧即可判断；对D ，连接交于，1,B D MNQ 1111,A C D B O 连接，根据平面判断即可.OH 1//D B 11A C H 【详解】对A ，因为分别是棱的中点，故，所以共面，故当,M N 1111,D C A D 11//MN A C ,,,M N A C 是线段与平面的交点时，平面不成立，故A 错误；P 1BD MNAC //MN APC对B ，因为分别是棱的中点，易得均全等，故,N Q 11,A D BC 1111,,,ND C NA A QBA QCC ，所以四边形为菱形，故.11NC NA C Q AQ ===1NC QA 1//NA C Q 又平面，平面，故平面.NA ⊂NAC 1C Q ⊄NAC 1//C Q NAC 又因为，连接交于，此时平面；当不为交点时，与11//A D BC 1,NC D B P 1//C Q APC P 1,NC D B 1C Q 平面不平行，故B 正确；APC对C ，取中点，由A 可得，同理，又，故.AB R 11//MN A C //RQ AC 11//AC A C //MN RQ 故平面即平面，易得在平面两侧，故点到平面的距离不为定值，MNQ MNRQ 1,D B MNRQ P MNQ 故C 正确；对D ，连接交于，连接.因为为中点，故，平面1111,A C D B O OH ,O H 111,D B BB 1//OH D B OH ⊂，平面，故平面，故到平面的距离为定值，故四面体11A C H 1D B ⊄11A C H 1//D B 11A C H P 11A C H 的体积为定值，故D 正确；11P A C H-故选：BD三、填空题13．已知平面向量，则与的夹角为______.()3,0,a b ==ab 【答案】3π【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解，【详解】由题意得，，，1cos 2||||a b a b θ⋅===[0,]θπ∈3πθ=故答案为：3π14．一个四棱锥的体积为4，其底面是边长为2的正方形，侧棱长都相等，则该四棱锥的侧面积为______.【答案】【分析】先求出该四棱锥的高以及侧棱长，进而得出该四棱锥的侧面积.【详解】设侧棱长为，该四棱锥的高为a h=则，解得12243hV h ⎧=⎪⎨=⨯⨯⨯=⎪⎩a =即该四棱锥的侧面积为1422S =⨯⨯=故答案为：15．2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为A B ､P （点与在地面上的投影O 在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得3060 ､A B ､P 140AB =高度______米.PO =【答案】【分析】由得出，再由正弦定理求解即可.30APB PAB ∠=∠=︒140PB =【详解】由题可得，所以米，由正弦定理可得30APB PAB ∠=∠=︒140PB =sin 60sin 90PO BP︒︒=米.sin 60sin 49100BP PO =︒==︒⋅故答案为：四、双空题16．如图，三角形中，，点在线段上，，则ABC ||||AB AC = D BC 0,4,2AB AD BDCD ⋅===面积为______，点是外接圆上任意一点，则最大值为______.ABD △P ABC AB AP ⋅【答案】【分析】利用勾股定理及余弦定理求得，从而可求得，即可得出面积，利用余弦定理求AD ,AB AC 出，设外接圆的圆心为，半径为，利用正弦定理求出外接圆半径，再以为原点BAC ∠ABC O R O 建立平面直角坐标系，设，利用坐标法结合三角函数的性质即可()[],,0,2πP θθθ∈得出答案.【详解】解：因为，所以，0AB AD ⋅=AB AD ⊥则，222216AB BD AD AD =-=-又222222cos 44cos AB AC AD CD AD CD ADC AD AD ADB==+-⋅⋅∠=++∠，222442416ADAD AD AD AD BD =++⋅=+=-解得，2AD =所以AC AB ===所以，12ABD S AB AD =⋅= 在中，，ABC6AB AC BC ===则，2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅又，所以，()0,πBAC ∠∈2π3BAC ∠=设外接圆的圆心为，半径为，ABC O R则，所以，2sin BCRBAC ==∠R =则为等边三角形，，AOB π3OAB OAC ∠=∠=如图，以为原点建立平面直角坐标系，O 则，()(),A B-设，()[],,0,2πP θθθ∈则，)(),AB AP θθ==+则，π6cos 612sin 66AB AP θθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当时，.π3θ=()max18AB AP⋅=故答案为：18.五、解答题17．已知为虚数单位.i (1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；()()()22236i R z m m m m m =--++-∈m (2)若复数满足，求复数.z 13iz z -=-z 【答案】(1)12m -<<(2)43iz =+【分析】（1）根据复数在复平面内对应的点的特点，解不等式组得出的范围；z m （2）根据复数相等以及模长公式得出复数.z 【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限，z 所以，2223060m m m m ⎧--<⎨+-<⎩得的取值范围是：m 12m -<<（2）设复数，由条件得，()i ,z a b a b R =+∈i 13iz a b --=-所以解得：，所以1b a ==4a =43iz =+18．已知的内角所对的边分别为，______且，请从ABC ,,A B C ,,,3a b c A π=2b =①，②③这三个条件中任选一个补充在横线上，cos sin a B b A=sin cos B B +=222ba c =+求出此时的面积. ABC 【分析】选择①：由正弦定理的边化角得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.B a选择②：由辅助角公式结合三角函数的性质得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即B a 可.选择③：由余弦定理得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.B a 【详解】解：若选择①，则，cos sin a B b A =sin cos sin sin A B B A =因为，所以，sin 0A ≠sin cos B B =因为，所以()0,B π∈4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A B b ππ===ABCsin sin a b AB =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C=== 若选择②，sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，因为，所以，sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，所以；42B ππ+=4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A Bb ππ===ABC sin sin a b A B =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C ===若选择③，222b ac =+由余弦定理，因为，所以；222cos 2a c b B ac +-===()0,B π∈4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A B b ππ===ABCsin sin a bA B =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C === 19．如图：在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD (1)求证：平面；1BD AMC (2)若为的中点，求证：平面平面.N 1CC AMC 1BND 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）设，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；AC BD O = OM 1OM BD （2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根1CND M 1D N CM ∥1D N AMC 据面面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）证明：设，接，AC BD O = OM 在正方体中，四边形是正方形，是中点，1111ABCD A B C D -ABCD O ∴BD 是的中点，，M 1DD 1OM BD ∴∥平面平面1BD ⊄ ,AMC OM ⊂,AMC 平面；1BD ∴ AMC（2）证明：为的中点，为的中点，N 1CC M 1DD ，11,CN D M CN D M ∴∴=∥四边形为平行四边形，，∴1CND M 1D N CM ∴∥又平面平面平面，MC ⊂ 1,AMC D N ⊄ 1,AMC D N ∴ AMC 由（1）知平面平面平面，1BD 1111,,AMC BD D N D BD ⋂=⊂ 11,BND D N ⊂1BND 平面平面.∴AMC 1BND20．如图所示，正三棱柱所有棱长均为分别为棱的中点.111ABC A B C - 2.,D E 1111,A B B C(1)求三棱锥的体积；1B BDE -(2)求直线与所成角的余弦值.AD BE【答案】(2)710【分析】（1）根据锥体的体积公式结合转换顶点法运算求解；（2）先证，故即为AD EF FEB ∠直线与所成角或其补角，利用余弦定理运算求解.AD BE【详解】（1）由题意可知：点到上底面的距离为2，，B 111A BC 111114B DE A B C S S ==所以.11123B BDE B B DE V V --===（2）取中点，连接，AC F ,DE EF ∵分别为棱的中点，,D E 1111,A B B C ∴，11111,2DE A C DE A C =∥又∵分别为棱的中点，则，F AC 11111,2A C AF AF A C =∥∴且，则四边形为平行四边形，则，DE AF DE AF =ADEF AD EF 故即为直线与所成角或其补角，连接，FEB ∠AD BE BF因为三棱柱各棱长为2，则EF BE BF ==在中，由余弦定理可得，BEF △2227cos 210EF BE BF FEB EF BE ∠+-===⋅即异面直线与所成角的余弦值为.AD BE 71021．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在ABC ABD D 上）用来养一些家禽，经专业测量得到.BC 13,cos 3AB B ==(1)若的长；cos ADC ∠=AD(2)若的周长.sin 2,sin BADBD DC CAD ∠∠==ADC△【答案】(1)4(2)3+【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；ABD △AD （2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.2ABDACD S S =△△AC BC AD ADC △【详解】（1）解：在中，，且，所以ABC 1cos 3B =()0,B π∈sin B =因为，所以cos ADC ∠=()0,ADC π∠∈sin ADB ∠=在，由正弦定理可得，ABD △sin sinAD ABB ADB ∠=所以.sin 4sin AB BAD ADB∠===（2）因为，所以，2BD DC =2ABDACD S S =△△所以，即：，可得1sin 221sin 2AB AD ABD AD AC CAD∠∠⋅⋅=⋅⋅sin 3sin 2sin sin AB ABD ABD AC CAD AC CAD ∠∠∠∠⋅=⋅=⋅AC =在中，由余弦定理可得，ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+⋅⋅-所以，解得或（舍去）.22630BC BC --=9BC =7BC =-因为，所以.2BD DC =6,3BD DC ==在中，由余弦定理可得ABD △2222cos 33AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=所以的周长为ADC △3+22．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.P ABCD -ABCD ,F G ,PB AD(1)证明：AF 平面；PCG (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.BD N FN PCG 【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可；PC H AGHF （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端BD CG O ⋂=OB K //FK PCG N BD B 的三等分点时符合题意.【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，PC H ,GH FH PBC F PB .12FH BC∴∥为的中点，，G AD 1,,2AG BC AG FH AG FH∴∴= 即四边形为平行四边形，.AGHF AF GH ∴∥平面平面平面.GH ⊂ ,PCG AF ⊄,PCG AF ∴ PCG（2）设，取中点，连接，则在中，BD CG O ⋂=OB K FK POB 分别是的中点，,F K ,OB PB FK OP∴∥平面平面，OP ⊂ ,PCG FK ⊄PCG 平面.FK ∴ PCG 与相似，且相似比为，DOG BOC 1:222BO DO KB∴==为的三等分点.K ∴BD 在点位置时满足平面.N ∴K FN PCG 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.N BD B23．在中，内角的对边分别为.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos 2A a B b c -=-(1)求内角；A(2)若为锐角三角形且周长的取值范围.ABC a =ABC L 【答案】(1)π3A =(2)3L <≤【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变化公式，结合三角形内角范围化简求解即可；（2）根据正弦定理与三角恒等变换公式可得，再根据三角形内角范围求解π6L B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）在，由正弦定理得：ABC sin cos 2A a B b c -=-()sin sin cos 2sin sin 2sin sin B A A B B C B A B -=-=-+()2sin sin cos cos sin B A B A B =-+.sin 2sin cos sin B A B A B =-因为，所以，所以，()0,πB ∈sin 0B >2cos A A =-cos 2A A +=π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即.πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以.所以.()0,πA ∈ππ7πππ,,66662A A ⎛⎫+∈+=⎪⎝⎭π3A =（2）在中，由正弦定理得，所以.ABC sin sin a b A B=sin 2sin sin a B b B A ===同理，所以周长：2sin c C=π2sin 2sin 2sin 2sin 3L a b c B C B B ⎛⎫=++=+=+++ ⎪⎝⎭ππ2sin 2sin cos cossin 33B B B⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1πcos 26B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为为锐角三角形，所以，由，所以ABC ππ0,022B C <<<<2π3C B =-，ππππ2πππ2π,,62363363B B B <<<+<<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以周长的取值范围是：L 3L <≤。
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题(含详解)
杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.4.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++ ＝_____．5.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.7.已知向量a 、b，a = 2b =，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b 上的投影为___________.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．9.若函数()sin 2cos f x x x=+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.513.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈ ，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 02A CB +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC =.根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()f x x=为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：sin cos（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.【答案】2π-【解析】【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为30- ，从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为30390-⨯=- ，所以时针转了2π-弧度.故答案为：2π-2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．【答案】6π【解析】【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.【详解】由题意，令扇形的半径为R ，则23Rππ=，即有6R =，∴该扇形的面积是12662ππ⨯⨯=．故答案为：6π.3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【答案】－713【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan α＝5a ＝－125，∴a ＝－12，∴P （5，－12）.这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.故答案为：－7134.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++＝_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法计算即可.【详解】22a b c AB BC AC AC ++=++==⨯故答案为：5.已知1cos 3α=，cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以22sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦133339=⨯+⨯=.故答案为：539.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.【答案】－3【解析】【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值.【详解】∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin (2017π＋α)＋b cos (2017π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3.7.已知向量a 、b ，a = 2b = ，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b上的投影为___________.【答案】32-## 1.5-【解析】【分析】由已知得出()0a b a +⋅=r r r ，结合平面向量数量积的几何意义可得出a 在b上的投影.【详解】由已知可得()20a b a a b a +⋅=⋅+= ，所以，3a b ⋅=-，所以，a 在b上的投影为3cos ,2a b a a b b⋅<>==-.故答案为：32-.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．【答案】34π##135︒【解析】【分析】根据根与系数关系可得tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求tan C ，即可得其大小.【详解】由题设，tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，又()()tan tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B A Bπ+⎡⎤=-+=-+=-=-⎣⎦-，且0C π<<，∴34C π=.故答案为：34π.9.若函数()sin 2cos f x x x =+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.【答案】55-【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕϕ==x θ= 时取最小值，()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，()22k k Z πθϕπ∴=--+∈sin sin 2sin 225k cos ππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：55-.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【答案】13【解析】【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为：13.【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】先求2a b +的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.【详解】()21,2a b += ，所以2a b +== .故选：A.13.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB = ，则1,02λμ==，不满足112u λ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB = ，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义知x 0=cos α，因为cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x 0=cos α.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos(6πα+)=4532<，∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35-，∴x 0=cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=43315252⨯-⨯=43310-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos(6πα+)=452<，缩小角的范围，从而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负.三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【答案】（1）15（2）11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈.【解析】【分析】（1）先求出3sin 5α=，结合α所在象限求得cos α，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求出使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【小问1详解】()5f αα==，解得：3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α==()212sin 1cos 25g ααα==-=；【小问2详解】()()f x g x =，22sin 1cos 2x x x ==-，cos 1+=x x ，利用辅助角公式得：2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以11ππ2π,66x k k Z +=+∈，或22π5π2π,66x k k Z +=+∈，解得：112π,x k k Z =∈，或222π2π,3x k k Z =+∈，故使()()f x g x =成立的x 的取值集合为11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A C B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B AC B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A BC π++=，2222cos 2cos 2sin 222A CB B B B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B -=∴tan 2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 234ac ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos ()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2].【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解()f x 的单调递增区间．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得m 的范围．【小问1详解】根据函数()sin()(00||2f x A x A πωϕωϕ=+>>，， 的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++ ，求得51212k x k ππππ-++ ，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(21,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+ ，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = .根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）41[,)92．【解析】【分析】(1)将AG 表示为xAP y AQ + 形式，根据题意可知当P 、G 、Q 三点共线时，x ＋y ＝1，据此即可证明；(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得1221119()24S S p =--+，由p 的范围及二次函数的性质即可求得12S S 的取值范围．【小问1详解】AP pPB = ，AQ qQC = ，∴1p AB AP p += ，1q AC AQ q+= ，∵G 是△ABC 重心，∴()21113233p q AG AB AC AP AQ p q ++=⨯⨯+=+ 由材料可知，∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133p q p q+++=，化简即为111p q +=；【小问2详解】由(1)1p AP AB p=+uu u ruu u r ，1q AQ AC q =+ ，∴121||||sin ||||2111||||||||sin 2AP AQ BAC S AP AQ p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅++⋅⋅⋅∠ ， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >，∴112111p q p p p q p p -==+-+-，∴212222111111911121212()24S p q p p p S p q p p p p p p p =⋅=⋅===+++-+--++--+，1p > ，∴101p<<，则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =或0时，12S S 取得最大值12， 11p≠或0，故12S S 的取值范围是41[,)92．19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【答案】（1）R（2）偶函数，理由见解析（3）()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域.【小问1详解】()()sin cos f x x =的定义域为R .【小问2详解】对于函数()()sin cos f x x =，()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.【小问3详解】()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦，cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减.cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π，()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.。
北京市海淀实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
北京市海淀实验中学2021—2022学年第二学期期中考试高一数学一、单项选择题：本大题共18小题，每小题4分，共72分．1．已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α等于（）A ．2B ．2-C ．12-D ．122．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．C ．12D ．23．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b （）A ．B ．-C ．3D ．3-4．下列函数中，周期为π且在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增的是（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．1cos 2y x=D ．1sin2y x =5．已知非零向量a ，b的夹角为60°，且2b = ，2a b -= ，则a = （）A ．12B ．1C D ．26．已知5sin cos 4αα-=，则sin 2α=（）A ．916-B ．716-C ．716D ．9167．已知函数()()2sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图像如图所示，则ω的值为（）A ．2B ．1C ．12D ．148．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不成立．．．的是（）A ．CDB ．0CA CE ⋅=C ．AB 与DE共线D ．CA CB CE CD⋅=⋅ 9．设函数()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数，若0a b +>，则（）A ．()()0f a f b +>B ．()()0f a f b +<C ．()()0f a f b +=D ．()()f a f b +符号不确定10．对函数sin y x =的图像分别作以下变换：①向左平移4π个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)；②向左平移12π个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)③将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移4π个单位④将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移12π个单位其中能得到函数sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11．在ABC 中，A ＜B ＜C ，则下列结论中不正确的是（）A ．sinA ＜sinCB ．cosA ＞cosCC ．tanA ＜tanBD ．cosB ＜cosC12．如图，已知向量a ，b ，c ，d ，e的起点相同，则c d e +-= （）A ．b -B ．bC ．6a b- D ．6a b-+ 13．在ABC 中，已知2sin sin cos2AB C =，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形14．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c<D ．0x c>15．“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O （不含A ，B 两点），P 为半圆上一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值17．已知函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．30a -≤<B ．32a -≤≤-C ．2a ≤-D ．0a <18．已知函数()()31f x x =-.Q 是()f x 的图象上一点，若在()f x 的图象上存在不同的两点M ，N ，使得2OM OQ ON =-成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （）A ．有且仅有1个B ．有且仅有2个C ．有且仅有3个D ．可以有无数个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上．19．已知向量(1,2)a =- ，(4,)b x = ，若a b ⊥，则x =__________．20．已知cos 02πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，且cos()0πθ+<，则θ是第__________象限角．21．已知tan32α=，则tan α的值为__________．22．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围___________．23．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）在区间7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有7()66f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=__________．24．在菱形ABCD中，若BD =，则CB DB ⋅的值为__________．25．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的__________（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎝⎭⎝⎭；④最小正周期可以为2π．三、解答题：本大题共4小题，共40．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx6π2π3sin()y A x ωϕ=+02(1)函数()f x 的解析式为()f x =________（直接写出结果即可）；(2)求函数()f x 的单调递增区间；(3)求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．27．一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B 轿车C 舒适型100150z 标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆.（1）求z 的值.（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.28．已知函数()2()cos 2sin f x x x x x =．(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围．29．已知函数()f x 的图象在定义域(0,)+∞上连续不断.若存在常数0T >，使得对于任意的0x >，()()f Tx f x T =+恒成立，称函数()f x 满足性质()P T .(1)若()f x 满足性质(2)P ，且(1)0f =，求1(4)()4f f +的值；(2)若 1.2()log f x x =，试说明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T .（参考数据：41.2 2.0736=）(3)若函数()f x 满足性质()P T ，求证：函数()f x 存在零点.1．B 【分析】由正切函数的定义计算．【详解】由题意2tan 21α==--．故选：B ．2．B 【解析】根据诱导公式，化简后即可求值.【详解】22sin sin sin sin 33332πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 3．C 【分析】由图可知3a = ，b = ,45a b <>=︒，根据数量积公式即可求解.【详解】由图可知，3a = ，b ,45a b <>=︒，所以cos ,33a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=⨯，故选：C 4．A 【分析】利用正弦函数、余弦函数的周期2T ωπ=以及单调性逐一判断即可.【详解】A ，cos 2y x =，2T ππω==，由余弦函数的单调递增区间可得222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，当1k =时，2x ππ≤≤，故A 正确；B ，sin 2y x =，2T ππω==，由余弦函数的单调递增区间可得222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，显然在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，故B 错误；C ，1cos 2y x =，24T ππω==，故C 错误；D ，1sin 2y x =，24T ππω==，故D 错误；故选：A 5．D 【分析】将2a b -=两边同时平方，结合数量积的定义可算出答案.【详解】因为非零向量a ，b的夹角为60°，且2b = ，2a b -= ，所以2222122242442a ab b a a a a -⋅+=-⋅⋅+=-+= ，解得2a = 或0a =（舍），故选：D 6．A 【分析】在等式5sin cos 4αα-=两边平方，化简后可求得sin 2α的值.【详解】()2222sin cos sin cos 2sin cos 61si 51n 2ααααααα-=+-=-=，因此，9sin 216α=-.故选：A.7．C 【分析】由图象分析函数的周期，求得ω的值.【详解】由图象可知，函数的半周期是2π，所以2ωπ=π，得12ω=.故选：C【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.【详解】设BC DE m ==，∠A =30°，且,,B C D 三点共线，则CD AB ==，2AC EC m ==，60ACB CED ∠=∠=︒，90ACE ∠=︒，所以,·0,//CD CACE AB DE = .故A 、B 、C 成立，D 不成立.故选：D 9．B 【分析】由0a b +>可得a b >-，然后利用单调性和奇偶性可得答案.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数，所以由0a b +>可得a b >-，所以()()()f a f b f b <-=-，即()()0f a f b +<，故选：B 10．C 【分析】根据由函数sin y x =的图象变为函数sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象有两种路径,逐一核对四个命题得答案.【详解】由函数y =sin x 的图象变为函数sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象有两种路径：(1)先平移后改变周期:把sin y x =的图象向左平移4π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，即为①；(2)先改变周期后平移:把sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移12π个单位即为④.故选：C【分析】根据大角对大边可判断A ，再结合三角函数的在()0,π的单调性可判断B ，C ，D 的正误.【详解】解：在ABC 中，A ＜B ＜C ，根据大角对大边，则a c <，所以sinA ＜sinC ,A 正确；cos y x =在()0,π上为减函数，由A ＜B ＜C ，可得cos c s cos A C >οB >，故D 错误，B 正确,因为A ＜B ＜C ,所以A ，B 为锐角，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内tan y x =为增函数，所以tanA ＜tanBC 正确.故选：D ．12．C 【分析】假设图形中小正方形的边长为1，a 的方向为x 轴正方向，b的方向为y 轴正方向，则可以写出每个向量的坐标，然后可判断出答案.【详解】假设图形中小正方形的边长为1，a 的方向为x 轴正方向，b的方向为y 轴正方向，则()1,0a = ，()0,1b = ，()1,1c = ，()2,2d =-，()3,0e =- ，所以()6,1c d e +-=- ，因为()()()66,00,16,1a b -=-=- ，所以c d e +-= 6a b - ，故选：C 13．A 【分析】由二倍角公式可得，()21cos1cos 22A A =+，再根据诱导公式可得()cos cos ABC =-+，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将2sin sin cos2AB C =化简成()cos 1B C -=，所以B C =，即可求得答案．【详解】因为()()2cos 11sin sin cos1cos 1222A A C B C B ==+-+=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos sin sin B C B C B C +=-，所以，cos cos +sin sin =1B C B C ，即()cos 1B C -=，因为(),0,B C π∈，所以(),B C ππ-∈-所以B C =，即ABC 为等腰三角形.故选：A ．14．B【详解】∵()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0+∞，上是增函数0a b c ，＜＜＜，且()()()0f a f b f c <，()()(),,f a f b f c ∴中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：()()()00f a f b f c ＜，＜＜；或()()()0f a f b f c ＜＜＜；由于实数0是函数()y f x =的一个零点，当()()()00f a f b f c ＜，＜＜时，0a x b ＜＜，当()()()0f a f b f c ＜＜＜时，0>x c b a >＞，故选B15．B【分析】用诱导公式结合正弦函数性质得出,αβ的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】sin cos sin()2παββ==-，所以22k παβπ=-+或22k παππβ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，Z k ∈，即2()2k k Z παβπ+=+∈或2()2k k Z παπβ=++∈，因此题中应是必要不充分条件．故选：B ．16．A【分析】正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则()1,2C ，()1,2D -，设(),P x y ，根据向量的坐标运算计算2PA PB PC PD PO PC PD +++=++ 的坐标，进而可得其模长，根据01y <≤，即可求得模长的范围，进而可得正确选项.【详解】设正方形的边长为2，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系；则圆O ：221x y +=，()1,2C ，()1,2D -，设(),P x y ，()01y <≤，则2PA PB PC PD PO PC PD+++=++ ()()()2,21,21,2x y x y x y =--+--+---()4,44x y =--，所以PA PB PC PD +++= 因为01y <≤，所以10y -≤-<，011y ≤-<，所以0,PA PB PC PD +++⎡=⎣ ，所以PA PB PC PD +++ 无最大值，但有最小值，故选：A.17．B【分析】根据给定条件结合分段函数单调性列出不等式组，求解即可得a 的取值范围.【详解】因函数25,1(),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则1206a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪--≤⎪⎩，解得32a --≤≤，所以a 的取值范围是：32a --≤≤.故选：B18．A【分析】先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数()f x 的对称性即可作出判断.【详解】因为2OM OQ ON =- ，则2OM ON OQ += ，所以Q 为M ，N 的中点，因为()()31f x x =-关于点()1,0成中心对称，所以当Q 的坐标为()1,0时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意，M ，N 在()1,0两侧时，中心也要在函数()f x 上，只能是()1,0，M ，N 在()1,0同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与()f x 在一侧有3个交点，不可能成立，故满足条件的Q 有且仅有1个.故选：A19．2【分析】由0a b ⋅= 算出答案即可.【详解】因为(1,2)a =- ，(4,)b x = ，a b ⊥ ，所以1420a b x ⋅=-⨯+= ，解得2x =，故答案为：220．四##4【分析】根据诱导公式和三角函数在每个象限的符号可得答案.【详解】因为cos sin 02πθθ⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，所以sin 0θ<，因为cos()cos 0πθθ+=-<，所以cos 0θ>，所以θ是第四象限角，故答案为：四21．34-【分析】根据二倍角的正切公式算出答案即可.【详解】因为tan 32α=，所以22tan 632tan 1941tan 2ααα===---，故答案为：34-22．(,3]-∞【详解】试题分析：当1x >时，10x ->不等式11x a x +≥-恒成立，则min11a x x ⎡⎤≤+⎢⎥-⎣⎦，又11111311x x x x +=-++≥=--，则3a ≤，故填(,3]-∞.考点：1、基本不等式；2、恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法利用基本不等式求得()f x 的最小值，从而求得a 的取值范围.23．3π【分析】由不等式恒成立得函数的最大值和最小值，结合单调性得函数周期，从而可得ω，然后由最大值（或最小值）点可求得ϕ．【详解】因为对任意实数x 均有7()66f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以76f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最小值，6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值，又函数()f x 在区间7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，所以72()266T πππ=⨯-=，21T πω==，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=．故答案为：3π．24．4【分析】设AC BD O = ，()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅uur uu u r uu u r uu u r uu u r ，由此可求出答案．【详解】设AC BD O = ，如图则AC BD ⊥，则()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅uur uu u r uu u r uu u r uu u r CO DB OB DB =⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uu u r 21042DB =+=uu u r ，故答案为：4．25．①②③【分析】由()f x 为奇函数可知其在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，知①正确；由()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数可确定062ππω<≤，由此可求得ω范围，结合正弦型函数最小正周期求法可知②④正误；分别在02ω<≤和23ω<≤的情况下，结合4πω和12πω的范围，根据正弦函数值域确定,412f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭所处的范围，从而知③正确.【详解】对于①，()()()sin sin f x x x f x ωω-=-=-=- ，()f x \为奇函数，图象关于原点对称，()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，()f x \在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上也是增函数，①正确；对于②，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,6x πωω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，062ππω∴<≤，解得：03ω<≤，∴满足条件的正整数ω的最大值为3，②正确；对于③，由②知：03ω<≤；当02ω<≤时，042ππω<≤，0126ππω<≤且412ππωω>，sin sin 412ππωω⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即412f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当23ω<≤时，3244πππω<≤，0126ππω<≤，3sin sin sin 244πππω⎛⎫⎛⎫∴>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 0sin sin 124ππω⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，124f π⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，0122f π⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，412f f ππ⎛⎫⎛⎫∴≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭；综上所述：412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③正确；对于④，若()f x 最小正周期为2π，则22ππω=，解得：4ω=；由②知：3ω≤，4ω∴=不合题意，即()f x 最小正周期不能为2π，④错误.故答案为：①②③.【点睛】思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将x ωϕ+看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质.26．(1)π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(3)2-【分析】（1）根据已知条件求得,,A ωϕ，由此求得()f x 的解析式.（2）利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（3）根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.(1)根据表格提供数据可知2πππ2π2,,π,22362T A T ωω==-====，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π,2π,Z 326k k k ϕϕ+=+=+∈,由于||2ϕπ<，所以π6ϕ=.所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．(3)因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤．得：π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．所以，当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-．27．（1）400（2）710（3）0.75【分析】（1）由分层抽样按比例运算即可得解；（2）先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可；（3）先求出平均数，再求概率即可.【详解】解：（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意可得5010100300n =+，即2000n =，则2000(100300)150450600400z =-+---=；（2）抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用12,A A 表示2辆舒适型轿车，123,,B B B 表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则在该样本中任取2辆的基本事件为{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，事件E 为{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个，故7()10P E =;（3）由题意可得1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个，故所求概率为68，即0.75.【点睛】本题考查了分层抽样及平均数的求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题.28．(1)T π=，,0()62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2)(,2]-∞【分析】（1）利用三角变换可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用公式可求周期，利用整体法可求对称中心.（2）利用整体法结合正弦函数的性质可求max ()f x ，从而可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为22()2sin cos f x x x x x=sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期T π=，令23x k ππ+=，解得 62k x ππ=-+，（Z k ∈），所以对称中心为,0()62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.（2）由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．由（1）可知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值，最大值为2．所以2m ≤，即实数m 的取值范围是(,2]-∞．29．(1)1(4)()04f f +=(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）由()f x 满足性质(2)P 可得(2)()2f x f x =+恒成立，取1x =可求(2)f ，取2x =可求(4)f ，取12x =可求1(2f ，取14x =求1()4f ，由此可求1(4)()4f f +的值；（2）设 1.2()log f x x =满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，利用零点存在定理证明关于T 的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数12,T T ，同时使得函数()f x 满足性质1()P T 和2()P T ；（3）分别讨论(1)0f =，(1)0f M =>，(1)0f M =<时函数的零点的存在性，由此完成证明.【详解】（1）因为()f x 满足性质(2)P ，所以对于任意的x ，(2)()2f x f x =+恒成立.又因为(1)0f =，所以，(2)(1)22f f =+=，(4)(2)24f f =+=，由1(1)()22f f =+可得1()(1)222f f =-=-，由11(()+224f f =可得11()()2442f f =-=-，所以，1(4)()04f f +=.（2）若正数T 满足 1.2 1.2log ()log Tx x T =+，等价于 1.2log T T =，记 1.2()log g x x x =-，显然(1)0g >， 1.2 1.2 1.2(2)2log 2log 1.44log 20g =-=-<，因为41.22>，所以161.216>， 1.216log 16>，即(16)0g >.因为()g x 的图像连续不断，所以存在12(1,2),(2,16)T T ∈∈，使得12()()0g T g T ==，因此，至少存在两个不等的正数12,T T ，使得函数同时满足性质1()P T 和2()P T .（3）若(1)0f =，则1即为零点；因为()()f Tx f x T =+，若1T =，则()()1f x f x =+，矛盾，故1T ≠，若(1)0f M =<，则()(1)f T f T =+，2()()(1)2f T f T T f T =+=+，L ，可得1()()(1)k k f T f T T f kT k -+=+=+∈N ，其中.取1M M k T T -⎡⎤=+>-⎢⎣⎦即可使得()0k f T M kT =+>，又因为()f x 的图像连续不断，所以，当1T >时，函数()f x 在(1,)k T 上存在零点，当01T <<时，函数()f x 在(,1)k T 上存在零点，若(1)0f M =>，则由1(1)()f f T T =+，可得1((1)f f T T =-，由211(()f f T T T =+，可得211(()(1)2f f T f T T T =-=-，由111(()k k f f T T T -=+，可得111()()(1)k k f f T f kT k T T +-=-=-∈N ，其中.取1M M k T T ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦即可使得1(0k f M kT T =-<，又因为()f x 的图像连续不断，所以，当1T >时，函数()f x 在1(,1)k T 上存在零点，当01T <<时，函数()f x 在1(1,kT 上存在零点，综上，函数()f x 存在零点.。
天津市南开中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 2z z 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z=
A．1+2i
B．1 2i
C． 1 2i
故正四面体的体积为V 1 1 22 sin 60 2 6 2 2 ，故②正确；
32
33
设 BD 的中点为 E，连接 AE，CE，
因为三角形 ABD 与三角形 BCD 均为等边三角形，
由三线合一得： BD AE, BD CE ，
因为 AE I CE E ，
答案第 5 页，共 11 页
所以 BD 平面 AEC， 因为 AC 平面 AEC， 所以 BD AC ， 故③错误.
分别为 a ， b ，则 AH =（ ）
试卷第 1 页，共 3 页
A． 2 a 4 b 55
B． 2 a 4 b 55
C． 2 a 4 b 55
D． 2 a b 5
8． ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 3c b sinA 3cosA ，
6．如图，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，过 BC 的平面与平面 PAD 交于 EF，
E 在线段 PD 上且异于 P、D，则四边形 EFBC 是（ ）
A．空间四边形
B．矩形
C．梯形
D．平行四边形
7．在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记 AB ，BC
试卷第 2 页，共 3 页
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9 , 则正方体的棱长 2
长沙市雅礼中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数211y x =+的值域是（ ） A ．[)1,+∞B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()0,∞+2．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<3．设复数13i z =-，z 是z 的共轭复数，则(1i)z ⋅-=（ ） A ．24i --B ．42i -C ．24i -+D ．42i +4．已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=( )A ．125B ．2425C ．2425-D ．125-5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a =则s i n s i n b c B C++等于（ ）A ．12B C D ．26．函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC8．在正三棱锥-P ABC 中，AB =-P ABC 的体积是-P ABC 外接球的表面积是（ ）A ．5πB ．15πC ．25πD ．35π二、多选题()lg ,0x x ⎧-<A ．1B ．1-C ．10D ．10-10．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是 A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列的结论中正确的是（ ） A ．若sin cos sin cos A A B B =，则△ABC 一定是等腰三角形 B ．若cos cos A B >，则sin sin A B <C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知△ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++12．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BN 与MB 1是异面直线 B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线MN 与AC 所成的角30︒D ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为92三、填空题13．若复数i z ，则复数i z ⋅的模是________.14．已知0a >，0b >，且21a b +=，则21a b+的最小值是________.15．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台全面积为________.16．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB的面积为2S ，当12S S=时，扇形的现状较为美观，则此时四、解答题17．设复数()()22lg 2146z m m m m i =+-+--，求实数m 为何值时？（1）z 是实数；（2）z 对应的点位于复平面的第二象限.18．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设S 为ABC 的面积，满足)222S a c b =+-. (1)求B ；(2)若b A x =，求边c 取得最大值时x 的值.19．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的边长均为E ，F 分别是线段AC 1和BB 1的中点．（1）求证：EF //平面ABC ； （2）求三棱锥C ﹣ABE 的体积．20．已知函数()()22sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，（0ω>，0ϕπ<<）为奇函数，且()f x 图像相邻的对称轴之间的距离为2π. (1)求函数()f x 的解析式；(2)在ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，且a 26f A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求ABC的周长的取值范围.21．长沙市雅礼中学为“雅礼杯”足球赛制作了冠军奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60PBA QAB ∠=∠=︒，AQ QP PB ==，若按此方案设计：(1)当2AOB π∠=时，在AOB 中，G 为AB 边上任意一点，求()OG BA BO ⋅-的最大值；(2)制作商发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，求此时AOB ∠的大小.22．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ，[]1,1n ∈-，0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.(1)证明()f x 在[]1,1-上为增函数，并求出不等式()112f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭的解集；(2)若()2212tan 1cos f x t t αα≤+---对所有[]1,1x ∈-，,34ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案：1．B【解析】求得21x +的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+，因此，函数211y x =+的值域是(]0,1. 故选：B.【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 2．D【详解】试题分析：因为A ∪B={x|x≤0或x≥1}，所以(){|01}U C A B x x ⋃=<<，故选D. 考点：集合的运算. 3．D【分析】首先求出z ，再根据复数代数形式的乘法法则计算可得；【详解】解：由13i z =-，则13i z =+，所以()()2i 13(1i)1i 13i 3i 4i i 2z ⋅-=⋅-=+-+-=+故选：D 4．C【分析】利用诱导公式化简已知等式可得sin α，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos α，再根据二倍角的正弦公式即可求解.【详解】解：因为3cos cos sin 225ππααα⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C 5．D【解析】由已知结合正弦定理即可直接求解． 【详解】A ＝60°，a =由正弦定理可得，sin sin sin b c aB C A ====2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，则sin sin b cB C+=+2．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题． 6．B【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.【详解】由于函数()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()140,3ln 30f f =-<=>， 故函数在()1,3上有唯一零点，也即在()0,∞+上有唯一零点. 故选：B. 7．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 8．C【分析】根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积．【详解】如图所示，设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，由13P ABC ABCV SPG -=⋅=1132PG ⨯⨯=∴4PG =，则三棱锥-P ABC 的外接球的球心O 在直线PG 上．设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，在Rt OAG 中，|||4|OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即2222|4|R R =+-，解得52R =． 正三棱锥-P ABC 外接球的表面积是22544252S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故选：C ．9．AD【分析】首先求得()1f a =，再讨论a 的取值，解方程即可求解.【详解】()01e 1f ==，因为()()213f f a +=，所以()1f a =，当a<0时，()()lg 1f a a =-=，解得：10a =-，当0a >时，()1e 1af a -==，解得：1a =，故选：AD 10．AD【解析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ⋅=，∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题. 11．BCD【分析】利用三角函数的性质，结合诱导公式以及正切函数的两角和公式，逐个选项进行判断求解即可【详解】对于A ，由sin cos sin cos A A B B =，得sin cos sin cos 0A A B B -=， 即sin 2sin 2A B =，因为在ABC 中，令6A π=，3B π=，此时，仍有sin 2sin 2A B =，所以，ABC 不一定是等腰三角形，A 错误；对于B ，因为cos y x =在()0,x π∈上是减函数，cos cos A B >，所以0A B π<<<，所以0a b <<，由正弦定理得sin sin A B <，B 正确；对于C ，若ABC 是锐角三角形，则,,A B C 均为锐角，所以，2A B π+>，得02A π>>和02B π>>，且2A B π>-，得sin sin()cos 2A B B π>-=，同理，可证得，sin cos B C >，sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++成立，C 正确；对于D ，已知△ABC 不是直角三角形， A B C π++=， 则有tan tan()C A B =-+，所以tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-，得()tan tan tan()1tan tan tan()tan()tan tan A B A B A B A B A B A B +=+-=+-+ 所以tan tan tan tan tan t tan()ta a a n n n t A B A B C A B C A B +++=-=，D 正确； 故选：BCD. 12．AD【分析】根据异面直线的定义直接判断AB 选项，根据1//MN D C ，转化求异面直线所成的角，利用确定平面的依据，作出平面BMN 截正方体所得的截面，并求面积. 【详解】直线BN 与MB 1是异面直线，故A 正确； 直线AM 与BN 是异面直线，故B 错误；如下图，由条件可知1//MN D C ，所以异面直线MN 与AC 所成的角为1ACD ∠，1ACD △是等边三角形，所以160ACD ∠=，故C 错误；如下图，连接1A B 、1A M 、1D C ，因为1//D C MN ，11//D C A B ，所以1//A B MN ， 又1111=22=MN D C A B ，则四边形1A BNM 是梯形，且四边形1A BNM 为平面BMN 截正方体所得的截面， 1MN A B =1=A M BN 以四边形1A BNM 是等腰梯形，则梯形的高是h所以梯形的面积1922S =⨯=，故D 正确.故选：AD. 13．2【分析】利用复数的乘法法则进行化简计算，从而求出模长.【详解】)i=i i 1z ⋅⋅=-，所以i z ⋅2.故答案为：2 14．9【分析】直接利用乘1法结合基本不等式求解即可.【详解】解：()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时取等号，故21a b+的最小值为9. 故答案为：9 15．174π【分析】直接利用圆台的侧面积公式计算.【详解】设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r . 由()7384S r r ππ=+=侧，解得3r =. 则该圆台全面积为98184174ππππ++=. 故答案为：174π 16．1)【分析】根据已知条件和扇形的面积公式可求得答案.【详解】设,AOB θ∠=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r ，1252S S =，所以2212112212r r rθθθ-2212r r r -=，所以2212r r ===，所以1r r =又20,rc m =，所以11)r cm=， 故答案为：1).17．（1）3m=；（2）51m -<<-【详解】试题分析：（1）要使z 是实数，应满足对数的真数大于零且虚部等于零；（2）z 对应的点位于复平面的第二象限应满足实部小于零即“真数大于零且小于1”，同时虚部大于零，列出不等式组即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）2260{32140m m m m m --=⇒=+->（舍去2-）. （2）()2222lg 214002141{{6060m m m m m m m m +-<<+-<⇒-->-->222112140{2150{536023m m m m m m m m m m m --+->⇒+-<⇒-<<-->-或51m ⇒-<<-考点：复数的相关概念.18．(1)3B π=(2)2，6x π=【分析】（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得可得sin B B =，再根据同角基本关系即可求出tan B ，再根据三角形的内角关系，即可求出结果；（2）由（1）可知203x π<<，再根据正弦定理和已知条件可知22sin 3c x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质即可求出结果.(1)解：因为)222S a c b =+-，所以1sin 2cos 2ac B ac B ，即sin B B ，∴tan B ()0,B π∈，所以3B π=. (2)解：ABC 的内角和A B C π++=，又0A >，0C >，由（1）得203A π<<，即，203x π<< 由正弦定理，可知sin sin c b C B =，又b =3B π=， 即2sin 2sin sin 3b c C x B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 又203x π<<，∴22033x ππ<-<， 所以当2sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即6x π=时，c 取得最大值2. 19．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AC 中点G ，证明四边形EFBG 是平行四边形得出BG //EF ，故而EF //平面ABC ；（2）根据C ABE E ABC V V --=计算体积．【详解】（1）证明：取AC 的中点为G ，连结GE ，GB ，在△ACC 1中，EG 为中位线，所以EG //CC 1，112EG CC =， 又因为CC 1//BB 1，CC 1＝BB 1，F 为BB 1的中点，所以EG //BF ，EG ＝BF ，所以四边形EFBG 为平行四边形，所以EF //GB ，又EF ⊄平面ABC ，GB ⊂平面ABC ，所以EF //平面ABC ．（2）因为E 为AC 1的中点，所以E 到底面ABC 的距离是C 1到底面ABC 的距离的一半，即三棱锥E ﹣ABC 的高h ＝12CC 1又△ABC 的面积为2S ==所以133C ABE E ABC V V --==⨯=．20．(1)()2sin 2f x x =(2)(【分析】（1）先化简()f x ，再根据奇偶性与对称性求解参数；（2）先求出A ，再根据正弦定理结合正弦函数的性质求解即可.(1) ()()22sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫++- ⎪⎝⎭ ()()cos 2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+-+=+- ⎪⎝⎭. 由函数()f x 相邻的对称轴之间的距离为2π，得222T ππωπ===，∴()2sin 26f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 又∵()f x 为奇函数，∴()00f =，即2sin 06πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得6k πϕπ-=，即6k πϕπ=+，而0ϕπ<<，6πϕ=，故()2sin 2f x x =.(2)由（1）可知()2sin 2f x x =，26f A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴4,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴233A ππ+=，即3A π=，∵a =3A π=，A B C π++=，∴22sin a R A ==，23C B π=-，20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴()22sin sin 2sin sin 3b c R B C B B π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32sin 26B B B π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；∵1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故b c +∈；∴(l a b c =++∈，即ABC 的周长的取值范围为(.21．(1)最大值为100 (2)2AOB π∠=【分析】（1）以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系，表示出点的坐标，设AG AB λ=，[]0,1λ∈，根据向量数量积的坐标表示及一次函数的性质计算可得；（2）作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，即可表示出AB ，OC ，设A Q Q P B P x ===，作⊥Q E A B 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，从而得到10sin x θ=，再由勾股定理得到()()22210cos 5sin OP θθθ=++，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简，最后根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：根据题意，如图建立直角坐标系，则()0,10A ，()10,0B ，()0,0O ，设AG AB λ=，[]0,1λ∈∵()10,10AB =-，OG OA AG OA AB λ=+=+()()()0,1010,1010,1010λλλλ=+-=-，[]0,1λ∈，所以()()()[]10,10100,101001000,100OG BA BO OG OA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈，∴当0λ=，即G 与A 重合时()OG BA BO ⋅-取得最大值为100.(2)解：作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，则20sin θ=AB ，10cos OC θ=，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，因为60PBA QAB ∠=∠=︒，所以12AE BF x ==，CM PF x ==，EF QP x ==， 所以2AB x =，所以20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=，10cos 10cos OM OC CM x θθθ=+==+，所以()()2222210cos 5sin OP OM MP θθθ=+=++222100cos 75sin cos 25sin 1002θθθθθθ=+++=+.因为[]sin 21,1θ∈-，所以当sin 21θ=，即4πθ=时2OP 最大， 也就是OP 最长时2AOB π∠=.22．(1)证明见解析，10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)2t ≥或3t ?【分析】（1）运用函数单调性的定义即可证明，根据函数的奇偶性和单调性, 把要解的不等式等价转化为一个不等式组, 求得此不等式的解集即可（2）根据函数的单调性求得()f x 的最大值, 可得()2212tan 2cos t t g a αα+=++…对,34ππα⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦的恒成立, 再求得()g α的最大值, 从而求得t 的范围.(1)证明：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()()()21212121210f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=⋅->+- ∴()()21f x f x >，∴()f x 为增函数. 则()1112111111024112x f x f x x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎛⎫+<-⇔-≤-≤⇔≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+<-⎩， 即不等式()112f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭的解集为10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.(2)由于()f x 为增函数，∴()f x 的最大值为()221112tan 1cos f t t αα=≤+---对,34ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立 2212tan 2cos t t αα⇔+≥++对,34ππα⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦的恒成立， 设()212tan 2cos g ααα=++，则()()2max t t g α+≥，,34ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 又()22221cos sin 2tan 22tan 2cos cos g ααααααα+=++=++， ()221tan 2tan 2tan 12ααα=+++=++，∵,34ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴tan α⎡⎤∈⎣⎦，∴当tan 1α=时，()()max 64g g πα⎛⎫== ⎪⎝⎭. ∴26t t +≥，则()()320t t +-≥，∴2t ≥或3t ?. 所以实数t 的取值范围为2t ≥或3t ?.。
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2021学年高一数学下学期期中试题
（考试范围：必修5 考试时间：70分钟 卷面分值：100 适用班级：高一学年）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. 1.
若
a <
b <0，则
------------------------------------------------------------------------------------( )
A. 1a <1b
B. 0<a b <1
C. ab >b 2
D. b a >a b
2． 设集合
M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝
----------------------------( )
A. (0,4]
B. [0,4)
C. [-1,0)
D. (-1,0]
3. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------( )
A. 6
B. 2
C. 3
D. 2 4.
(x
－
2y
＋
1)(x
＋
y －3)<0表示的平面区域为
-----------------------------------------------( )
5. 已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1
2n ，则此数列的第三项是-------( )
A. 1
B. 12
C. 34
D. 5
8
6. 在ABC ∆中，0
45=A ，0
105=C ，则a 与b 的比值为----------------------------（ ）
A. 2
B.2
C.
22 D.2
1
7. 在等差数列中，已知a =32，则数列前五项的和为----------------------------------（ ）
A. 10
B. 16
C. 20
D. 32
8. 已知ABC ∆中，如果B b A a cos cos =，则该三角形是---------------------------（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 以上选项均不正确 9.
下
列
函
数
中
，
最
小
值
是
2
的
函
数
是
-----------------------------------------------------------( ) A.()5
,,05x y x R x x
=
+∈≠且 B.()1
lg ,110lg y x x x
=+
<< C.()33,x x y x R -=+∈ D.1sin ,0sin 2y x x x π⎛⎫=+
<< ⎪⎝⎭
10.
在
等
比
数
列
{}
n a 中，已
知
5
127=⋅a a ，则
=111098a a a a -------------------------------（ ）
A. 10
B. 25
C. 50
D. 75
11. 一元二次不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集为(－12，13
)，则a ＋b 的值是---------------( )
A. 10
B. －10
C. 14
D. －14
12. 等差数列{a n }的前4项和为24，最后4项和为136，所有项的和为240，则项数n 为
-------------------------------------------------------------------------------------------------( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.
13. 在ABC ∆中，0
60=A ，3=AC ，面积为
2
2
3，那么AB 等于 ．
14. 若函数()f x =R ，则a 的取值范围为________．
15. 若x+2y ＝1，则24x y +的最小值为________．
16. 公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为
________．
三、解答题:本大题共4小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)
在ABC ∆中，已知7=a ，3=b ，5=c ，求最大角.
18.(6分）
已知数列}{n a 中，11=a ，且1n >时，n a a n n 21=--，求n a .
19.(6分)
方程()
()2
2
120x m x m +-+-=的一个根比1大，另一个根比－1小，求m 的范围.
20.(6分）
某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
哈32中2021～2021学年度高一下学期期中考试
数学试题答案
一、选择题： CBDCC BACCB DC 二、填空题：
13.
3
14. 01a ≤≤ 15. 16.3 三、 解答题：
17．[解析]最大角为A ，
2221
cos 22b c a A bc +-==-
0180A <<
120A ∴=
18．[解析]
12n n a a n --=
2132431468....2n n a a a a a a a a n -∴-=-=-=-=，，，， 21n a n n ∴=+-
19．[解析]
{
(1)0
(1)0f f <-<
20m ∴-<<
20．[解析]
(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，
每辆车x 年总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋1
2x (x ＋1)·16(万元)．
∴y ＝4[100x －200－12
x (x ＋1)·16]＝16(－2x 2＋23x －50)，(x ∈N *
).
(2)年平均利润为y x
＝16(23－2x －50x
)＝16[23－2(x ＋25
x
)]．
又x ∈N *
， ∴x ＋25x
≥2
x ·25
x
＝10，
当且仅当x ＝5时，等号成立，
此时y x
≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．。