复变函数积分中柯西定理的推广
柯西中值定理
柯西中值定理柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在19世纪提出的。
这个定理在数学分析、实分析和复分析中有广泛的应用，特别是在微积分的复变函数中经常被用到。
定理表述柯西中值定理的表述如下：假设函数f(z)是一个定义在闭区间[a, b]上的连续函数，并且在开区间(a, b)内可导。
还假设a和b是复数。
那么在区间(a, b)内存在一个复数c，满足以下两个条件：1.c在闭区间[a, b]内；2.f’(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
根据柯西中值定理，对于复变函数f(z)，在一定的条件下，存在一个复数c使得f’(c)的值等于f(z)在[a, b]区间上的平均变化率。
数学证明柯西中值定理的证明基于拉格朗日中值定理，它是实变函数中的一个关键定理。
使用拉格朗日中值定理可以证明，在实数轴上存在一个数c，满足f’(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
然后，通过将实轴上的定理推广到复平面上的定理，就得到了柯西中值定理。
应用领域柯西中值定理在实际问题中有很多应用，在以下领域中被广泛使用：1. 复变函数柯西中值定理是复变函数理论中的一个重要定理。
利用柯西中值定理，我们可以推导出复变函数的一些重要性质，比如柯西-黎曼方程。
这个定理对于解析函数的研究和应用非常有帮助。
2. 数值计算在数值计算中，柯西中值定理有着广泛的应用。
它可以用于证明数值算法的收敛性，判断数值计算的有效性和准确性。
同时，柯西中值定理也为某些数值问题的数值求解提供了理论基础。
3. 物理学在物理学中，柯西中值定理同样有着重要的应用。
在电磁学中，柯西中值定理可以用来推导出麦克斯韦方程组中的一些重要结果。
在流体力学和热力学等领域，柯西中值定理也经常用到。
总结柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析、实分析和复分析中有广泛的应用。
这个定理的证明基于拉格朗日中值定理，并且被广泛应用于复变函数、数值计算和物理学等领域。
柯西积分公式及其推广.doc
第三章 复变函数的积分(II)§3-3 柯西公式【教材P 36-42】(一) 单连通区域中的柯西公式柯西公式： 设复变函数()f z 在闭单连通区域D （D l =+）中解析(l 是区域D 的边界线)， 则()f z 在区域D 内任一点α ()D α∈的值可由沿边界线的积分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）:()lf z dz z α-⎰， ()2lf zdz z πα=-⎰柯西公式说明： 解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定。
这是解析函数的重要性质之一。
证明： 对于任意固定的D α∈，由前面的例子知:11ldz z α=-⎰两边乘以()f α，得: ()()12lf f dz iz ααπα=-⎰, 因此只要证明:()()0lf z f z αα-=-⎰，即得:()()()2llf z f dz dz if z z απααα==--⎰⎰， 这就证得柯西积分公式。
()()f z f z αα--作为z 的函数在D 内除z α=点外均解析。
以z α=为圆心，很小的ε为半径，作圆周c ε。
由复连通区域的柯西定理，得:()()()()lc f z f f z f dz dz z z εαααα--=--⎰⎰，上式表明右边的积分是与c ε的半径ε无关的，所以:()()()()0lim c c f z f f z f dz dz z z εεεαααα→--=--⎰⎰ 而()()()()max 2c c f z f f z f dz z z εεααπεαα--≤--⎰()()max 2c cf z f z εεαπεα-=-()()()()max 22max cc f z f f z f εεαπεπαε-==-当0ε→时，c εα→（z α→），由于()f z 是连续的，则: ()()0lim max 0c f z f εεα→-=， ()()()()00limlim 2max 0c c fz f dz fz f z εεεεαπαα→→-∴≤-=-⎰，()()()()00lim0lim0c c fz f fz f dz dz z z εεεεαααα→→--∴=⇒=--⎰⎰。
3-4柯西积分公式及推论
哈 尔 滨 工 程 大 学
§3.4 柯西积分公式及其推论
学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握柯西积分公式 掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. 问题的提出
设 f ( z ) 在 以 圆 C :| z z 0 | r0 ( 0 r0 )为 边 界 的 闭 圆 盘 上 解 析 ， f ( z )沿 C 的 积 分 为 零 。 考虑积分
哈 尔 滨 工 程 大 学
( 缩 小 )
C
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( z0 ) z z0
C
d z f ( z0 )
C
d z 2 if ( z 0 ).
2. 柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
定理3.9 (柯西积分公式)
设 D是 以 有 限 条 简 单 闭 曲 线 C为 边 界 的 有 界 区 域 , 设 f ( z )在 D 及 C 所 组 成 的 闭 区 域 D 上 解 析 ， 那 么 在 D内 任 一 点 z， 有
4 dz 2 z 1
sin
z1 1 2
2 sin z 4 z1
z1
dz
z
2 i
4 z1
z 1
2 2
i;
哈 尔 滨 工 程 大 学
sin 2)
sin z
z dz
z 1 1 2
4 dz 2 z 1
z 1 1 2
4 z1 z1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
I
复变函数的积分 柯西定理
第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
柯西积分公式及其推广论文
柯西积分公式及其推广论文柯西积分公式及其推广摘要:学复变以来,一直比较困惑于柯西积分定理、柯西积分公式及留数定理等三个问题的界线,同时也对于积分何时为零何时不为零的条件很模糊。
本文主要是归纳了有关这三个问题之间的一些关系及推导过程。
同时也得柯西积分公式进行了推导,并举例其应用。
关键词:柯西积分定理,柯西积分公式,留数定理,柯西积分公式的推广目录论文封面1摘要2对柯西积分的认识4一柯西积分定理与柯西积分公式5二留数定理及其与柯西积分公式的关系71.留数定理72.留数的求法83.留数定理与柯西积分公式的关系9三柯西积分公式的推广101.高阶导数102.处的柯西积分公式103.复连通区域中的柯西公式114.z在积分路径C上的柯西积分公式11四柯西积分公式的计算应用12五参考文献16对柯西积分公式的认识柯西积分公式是一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,也可以说是解析函数的积分表达式,柯西积分定理和柯西积分公式复变函数的基本定理和基本公式,因而成为了研究解析函数各种局部性质的重要工具。
首先,柯西积分定理与复交函数的积分有着密切的联系,为了能更好的对柯西积分公式应用和推广,通过留数定理与复变函数的积分之间的关系,有以下的结论:柯西积分定理实际上是被积函数在积分区域内为解析函数的留数定理;柯西积分公式实际上是被积函数在积分区域内有一阶极点的留数定理;高阶导数公式实际上是被积函数在积分区域内有n+l阶点的留数定理。
本文归简单给出柯西积分定理与柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理之间的推导关系。
其次,从复积分求解出发,柯西积分定理只回答了解析函数沿闭域内任意一周线的积分值为零的问题,并由此导出了著名的柯西积分公式,即解析函数在C所围的区域内任一点z的函数值均可由在C上的积分值完全确定,这也只给出了求解光滑周线域内有一个或有限个奇点的复积分方法,而复积分的范围很大,有很多问题都超出了柯西积分定理的条件,因此本文对柯西积分的推广作了一个归纳。
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
柯西积分公式的推导
柯西积分公式的推导柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它给出了沿着一个简单闭曲线的积分与其内部的解析函数有关的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初发现的。
设函数f(z)在一个包含闭曲线C的区域内解析，柯西积分公式给出了f(z)在C上的积分与f(z)在闭曲线内部的解析函数值的关系：∮C f(z) dz = 2πi Res(f, a)其中，∮C表示沿着曲线C的积分，dz表示路径的微元素，a是闭曲线C内部的一个孤立奇点，Res(f, a)是f(z)在点a处的留数。
柯西积分公式的推导主要基于留数定理和柯西-黎曼方程。
留数定理指出，如果f(z)在奇点a处有一个留数，那么沿着C的积分等于2πi乘以该留数。
而柯西-黎曼方程则给出了解析函数f(z)的实部和虚部之间的关系。
推导柯西积分公式的过程如下：1. 首先，设f(z)在区域D内解析，闭曲线C完全包含在D内。
2. 将f(z)展开成泰勒级数：f(z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)^2 + ...这里，z0是D内的一点。
3. 考虑沿着C的积分∮C f(z) dz，可以将路径C分解成小段，每段的长度趋近于0。
对于每一小段，我们可以将f(z)的级数展开式代入积分中。
4. 注意到在积分中，只有一次项a1(z - z0)对积分有贡献。
因为对于高次项，积分的值在小段长度趋近于0时趋于0。
5. 将积分路径的微元素dz替换成z - z0，得到积分∮C a1(z - z0) dz。
6. 对于每一小段，z - z0可以表示为曲线参数t的函数，即z - z0 = f(t)。
7. 假设曲线参数t的范围是a到b，那么z - z0在C上的积分可以变为曲线参数t的积分∫a^b a1f(t) f'(t) dt。
8. 根据柯西-黎曼方程的实部与虚部关系，可以得到f(t)f'(t)的实部和虚部分别是a1f'(t)和-a1f'(t)。
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
柯西积分公式在复变函数中的重要作用
柯西积分公式在复变函数中的重要作用1引言复变函数产生于十八世纪，全面发展是十九世纪，是当时最独特的创造，到二十世纪还在不断发展，成为不仅是当时也是现在的一门优美的学科，被誉为十九世纪的数学享受．1831年，柯西在他的积分定理的基础上，又证明了重要的柯西积分公式，柯西积分公式是由柯西积分定理推出来的．柯西定理和柯西积分公式对我们深刻认识解析函数起到至关重要的作用，柯西定理彻底解决了复函数解析性和它的复积分与路径无关之间的关系问题，柯西积分公式则表明解析函数及其各阶导数在可求长连续封闭曲线所围内部的点处的函数值，可有其在该曲线上的函数值所确定的积分来表示．２ 柯西积分公式的定义2.1柯西积分公式[]()16465P - 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则对D 内任意一点z ．则有 ()1()2C f f z d i zζζπζ=-⎰ ()z D ∈ 这就是柯西积分公式，由证明过程知柯西积分公式是由柯西积分定理推出的，与柯西积分定理一样，柯西积分公式是复变函数论的基本公式，由这个公式可以推出许多非常重要结论．（1） 它给出了积分函数的积分表达式，从而为进一步研究解析函数提供了重要工具． （2） 它揭示了区域D 内的解析函数的边界值与内部点的值之间的关系，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过柯西积分公式，区域内部的点上的值就完全确定了，特别地，从这里我们可以得到这样一个重要结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也恒等．例若)(z f 在边界D ∂上恒等于常数k ，则对D 内任意z ，有()f z k ≡．（3） 它给出了形如()Cf d zζζζ-⎰一类积分的计算公式． 例1 求积分 ()3zC e dz z z i -⎰其中C 是中心在点4i ，半径为3的圆周解 函数ze zf z=)(在这个圆的内部是解析的因此，利用柯西积分公式有()3z C e dzdz z z i -⎰=()3Cf z dz z i-⎰=323i e i i π= ()2cos3sin 33i π+例2 试计算积分24C dzz +⎰，其中C 为圆周： （1）122z i -= ， （2）122z i += ，（3）3z =（都按正方向计算）解 （1）1c ：122z i -= ，由柯西积分公式可得12124C dz i z π+⎰=111222C z i dz i z i π+-⎰=212z i z i =+=14i所以21C dz z +⎰=2π（2）2c ：122z i += 则22124C dz i z π+⎰=211222C z i dz i z i π-+⎰=212z iz i=--=14i-所以21C dz z +⎰=2π-(3) 3c ：3z =,由复周线柯西积分定理324C dz z +⎰=124C dz z +⎰+224C dz z +⎰=22ππ-=0例3 求积分zC e dz z⎰ ():1c z =， 从而证明：cos 0cos(sin )e d πθθθ⎰π= 解 根据柯西积分公式1z z e dz z =⎰=02zz ieπ==2i π另一方面，令i z e θ= ()πθπ-≤≤，则1z z e dz z =⎰=i e i i e ie d e θπθθπθ-⋅⎰ =cos sin i ie d πθθπθ+-⎰ =2icos 0cos(sin )ed πθθθ⎰cos sin(sin )e d πθπθθ--⎰比较2i π和2i cos 0cos(sin )e d πθθθ⎰cos sin(sin )e d πθπθθ--⎰得cos 0cos(sin )e d πθθθ⎰=π3柯西积分公式在复变函数中的重要作用柯西积分公式是复变函数论的基本公式，是解析函数的一种积分表达式．它深刻地反映了解析函数在解析区域的边界值与内部值的关系，同时柯西积分公式也为计算复函数的闭路积分提供了很好的方法和计算公式．该公式给出了解析函数的积分表示是研究解析函数有力工具，由它可推出解析函数的一系列重要性质,从下面讨论可以看出,柯西积分公式在复变函数的研究中起着非常重要的作用．3.1平均值定理 平均值定理[]()275P 如果函数()f z 在圆0z R ζ-<内解析,在闭圆0z R ζ-≤上连续．则 ()20001()Re 2i f z f z d πϕϕπ=+⎰证明 我们知道C 上的点可表成0Re i z ϕζ=+ ()02ϕπ≤≤ i d Rie d ϕζϕ=由柯西积分公式得001()()2C f f z d i z ζζπζ=-⎰=()2001Re 2i f z d πϕϕπ+⎰这个公式告诉我们，函数()f z 在圆心的值，恰好等于它在圆周上的值的平均数， 因此这个公式称为平均值公式．例4 设函数()f z 在闭圆z R ≤上解析，如果存在a >0，使得当z R =时，()f z a >而()0f a <．证明：在圆z R <内()f z 至少有一个零点． 证明 反证法．设()f z 在z R <内无零点 而由题设()f z 在z R =上也无零点， 于是1()()F z f z =，在闭圆z R ≤上解析， 由解析函数的平均值定理 201(0)(Re )2i F F d πϕϕπ=⎰又由题设 11(0)(0)F f a=> 11(Re )(Re )i i F af ϕϕ=< 从而201111(0)(Re )222i F F d a a πϕϕπππ<=≤⋅⋅⎰=1a与假设条件矛盾，故在圆z R <内()f z 至少有一个零点3.2解析函数的无穷次可微性在数学分析中，若()f x 在区间I 上可导，并不能保证它在I 上存在二阶导数，但在复变函数中却截然不同，若)(z f 在区域D 内解析，则它存在任意阶导数()()n fz （n=1,2,…）既解析函数具有无穷次可微性，这深刻地反映了复变函数与实变函数的巨大差别．柯西积分给出了区域D 内的解析函数的积分表达式()1()2C f f z d i zζζπζ=-⎰ z D ∈ （1） 为寻求)(z f 的各阶导数公式，可以设想对（1）式的两边关于变量z 求导．且设想在求等式右端的导数时可以交换积分与求导运算的次序．于是形式地可得．()()()212C f f z d i z ζζπζ'=-⎰ （2）在上面的假设下，对（2）式两端关于z 求导，形式地可得．()()()32!2C f f z d i z ζζπζ''=-⎰ ………… 继续这样做下去，便形式地得．()()()()1!2n n C f n f z d i z ζζπζ+=-⎰ （n=1,2,…） 于是可得到下面的结论：解析函数的无穷次可微性． 解析函数的无穷次可微性()3112114P ⎡⎤-⎣⎦设D 是以有限简单闭曲线C 为边界的有界单连通或多连通区域，函数)(z f 在D 内解析，在D 上连续．则对D 内任意一点z ，)(z f 的任意阶导数都存在且()()1!()()2n n C n f f z d i z ζζπζ+=-⎰ （n=1,2…） 上式称为高阶导数公式，设若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内具有各阶导数．高阶导数公式是一个重要理论意义的实用价值的公式．(1) 揭示了解析函数的无穷可微性,从而证实了解析函数的导函数仍是解析函数，由()x x f z u iv '=+及C R -条件说明x u x v y u y v 都连续且具有各阶偏导数．（2）开拓了用积分研究导数的新途径． (3) 提供计算一类闭路积分公式和方法， 并利用()()()()12!n n Cf i dz f z n z ζπζ+=-⎰ (Z D ∈ )C D =∂ 把求积分化成求导数，有时可以使问题大大简化．(4) 由这个定理可以直接或间接地推出许多重要定理，如柯西不等式，刘维尔定理，莫勒拉定理等．例5 求积分()3sin Czdzz i -⎰，其中C 是绕过点i 的任意简单光滑闭曲线解 将高导公式用于函数)(z f =sin z ，得()3sin C zdzdz z i -⎰=()222sin 2!z ii d z dz π=⋅=sin i i π-=()12e e iπ---例6 求积分()32zCe dz z z -⎰，其中C 分别为：（1）12z =,(2) 124z -=, (3) 3z =,方向都为正． 解 显然被积函数的奇点是0=z 及2z = （1）1C ：12z =， ()132zC e dz z z -⎰=()132zC e z dz z-⎰=()3022z z e i z π=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=4iπ-（2）2C ：124z -=23(2)zC e z dz z -⎰=22222!zz i d e dz z π=⎡⎤⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=2211z z d i e dz z z π=⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭=232122z z i e z zz π=⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=24ie π（3）3C ：3z = 由复周线柯西积分定理得()332z C e dz z z -⎰=()132zC e dz z z -⎰+()232zC e dz z z -⎰=4i π-+24ie π 3.3柯西不等式与刘维尔定理 3.3.1柯西不等式[]()475P 若函数()f z 在区域D 内解析, a 为D 内一点,以a 为心作圆周:a R γζ-=．只要γ及其内部k 均含于D ．则有()()!()n n n M R f a R≤其中()()max z a R M R f z -== （n=1,2…） 证明 应用高阶导数公式的定理可得()()n fa =()()1!2n r f n d i a ζζπζ+-⎰ ()1!22n M R n R R ππ+≤⋅⋅()!nn M R R =这就是柯西不等式，柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式,说明解析函数在解析点a 的各阶导数模的估计与它的解析区域的大小密切相关．例7 证明 若()f z 在单位圆1z <内解析，且1()1f z z≤- 则()()()01!n fe n ≤+ （n=1,2,…）证 以0z =为心，以1nn ρ=+ ，()1o ρ<<为半径作圆周C ρ． 由已知，()()max z c M f z ρρ∈=111n n ≤⎛⎫- ⎪+⎝⎭1n =+因为()f z 在单位圆内解析，所以()f z 满足柯西不等式的条件， 于是()()0n f≤1!()n n M ρρ+()11!1nn n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()1!e n ≤+在整个复平面上解析的函数称为整函数,例如ze ,cos z ,及sin z 都是整函数,常数当然也是整函数,应用柯西不等式,可得一个关于整函数的定理：3.3.2 刘维尔定理[]()47576P - 有界整函数()f z 必为常数证明 由定理假设存在常数M ，使对z C ∀∈，()f z M ≤，0z C ∀∈， 在0z z R -<上应用柯西不等式得：0()Mf z R'≤，令R →∞． 得到0()0f z '=所以'()0f z ≡，故()f z 必为一常数．刘维尔定理的几何意义就是：非常数整函数的值不能全含于一圆之内． 例8 试证 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证明 用反证法．假设非常整函数()f z 的值全含于某圆0w w R -=之外， 即z C ∀∈，有0()f z w R ->．于是，z C ∀∈，011()f z w R<-根据刘维尔定理，1()f z w -是常数，与已知矛盾．故非常数整函数的值不能全含于一圆之外3.4莫勒拉定理 莫勒拉定理[]()555P 如果函数()f z 在单连通区域D 内连续，并且对D 内任意一条其内部属于D 的简单光滑闭曲线C ，都有()0Cf z dz =⎰ ， 则()f z 在D 内解析证明 在假设条件下，根据已知定理有 0()()zz F z f d ζζ=⎰0()z D ∈在内解析，且'()()F z f z = ()z D ∈，但解析函数()F z 的导数'()F z 还是解析的，而是说在D 内解析．这个定理给出了解析函数的一个充分条件，与柯西积分定理合并叙述．得出解析函数的充要条件是: （1）()f z 在D 内连续．（2）对于其内部和自身都含于D 的任意一条闭曲线C ，积分()0Cf z dz =⎰．4 总结掌握了研究柯西积分公式的理论基础知识，充分了解了本课题的相关内容，使我进一步地了解了柯西积分公式在复变函数的重要作用及相关背景．知道了柯西积分公式是解析函数的积分表达式，用边界值确定内部值，可见解析函数的函数值之间有着密切的关系．总的说，柯西积分公式告诉我们对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过积分公式，区域内部的点上的值就完全确定了．柯西积分公式还可以帮助我们详细地研究解析函数的各种局部性质，柯西积分公式不仅是研究函数的重要工具，而且在数分，物理和工程技术上都有着广泛的应用，因此了解柯西积分公式对解决数学与其他学科中的各种实际问题都具有十分重要的意义．柯西积分公式是复变函数论中的一个重要公式，它在研究复变函数特别是解析函数时所起的作用是相当关键的，所以说柯西积分公式为复变函数论的研究和发展起着非常重要的作用． 参考文献[1] 盖云英． 复变函数与积分变换[M]． 北京：科学出版社，2007 [2] 钟玉泉．复变函数论[M]（第三版）．北京：高等教育出版社，2003 [3] 杨林生．复变函数[M]． 北京：高等教育出版社，2001 [4] 马立新．复变函数学习指导[M]．济南：山东大学出版社， 2004 [5] 余家荣． 复变函数[M]（第四版）． 北京：高等教育出版社， 2007 [6] 郑建华．复变函数[M]． 北京：清华大学出版社，2005 [7] 潘永亮．复变函数[M]． 北京：科学出版社，2006 [8] 方企勤．复变函数教程[M]． 北京：北京大学出版社，2003[9] Lang,Ｓ. Complex Analysis[M]2nded. NewYork ：Spinger-Verlag,1985。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式柯西定理是复变函数的一个基本定理，它与实分析中的格林定理相对应。
它的表述如下：设f(z)是C上的连续函数，在C的内部点a处可导，则对于C上的任意闭合路径L，有积分公式：∮L f(z)dz = 0其中∮代表沿曲线的积分。
柯西定理揭示了一个重要性质，即在曲线内部的积分和沿曲线上的积分是等值的。
这个公式的实际应用是在计算闭合曲线围成的域内的积分时，可以通过计算沿曲线的积分来得到结果。
柯西-黎曼公式是复分析中的一个重要公式，它是柯西定理在复平面上的推广。
其表述如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在单连通域D上的全纯函数，则对于D上的任意简单闭合曲线L，有积分公式：∮L [u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∮L [v(x, y)dx + u(x, y)dy]=其中i是虚数单位。
柯西-黎曼公式是柯西定理在复平面上的推广，它关联了函数的实部和虚部，揭示了全纯函数在实轴和虚轴上的性质，是复变函数积分计算的基础。
在计算复变函数积分时，需要将积分路径表示为参数方程形式，并根据具体问题选择合适的计算方法。
常用的计算方法包括直接计算、换元法、分部积分法、留数法等。
直接计算方法是将积分路径表示为参数方程形式，然后将积分公式代入进行计算。
这种方法在积分路径较简单且函数形式简化时适用。
换元法是将积分路径用新的参数方程表示，通过变量替换将复变函数积分转化为实变函数积分。
这种方法主要用于积分路径的形式复杂且可以找到合适的变换。
分部积分法是将复变函数积分转化为求导和积分的组合运算，通过重复应用分部积分法，可以将复杂的函数逐步简化。
留数法是一种特殊的计算方法，适用于计算含有奇点的函数的积分。
留数法利用了复变函数在奇点处的局部性质，通过计算奇点处的留数来求解积分。
总之，复变函数积分的计算公式主要有柯西定理和柯西-黎曼公式，并且还需要根据具体问题选择合适的计算方法进行计算。
复变函数(3.2.2)--柯西-古萨定理及其推广
定义 3.2 如果函数在区域内导数等于，即，且在内连续，那么称为在区域内的一个 原
函数。
F (z) = f D(z zf)( )d z0
定理 3.4 表明，是在单连域内的一个原函数。
5
FFf (z)
易得，的任何两个原函数之间只相差一个复常数。事实上，设和是的任意两个原函数 ， 那么
▎ 注记:在上式的证明中,因为复变函数本身不能比较大小,所以高等数学中拉格朗日中值 定理在复变函数积分不成立. 易见，定理 3.4 非常类似于实变函数中的变上限积分的求导定理（微积分第一基本定 理）。由此，我们还可以进一步得到类似实变函数中的另一个微积分基本定理和牛顿-莱布 尼茨公式。为此，先引入原函数的概念。
C
因此，为了研究复变函数延闭路经的积分，只要研究相应的两个线积分
ﾮ vuddxx+-uv d y = 0
C
与
1
u, v, ux ,CDuy , vx , vy
因此，若在复平面上由简单闭曲线围城的单连域内连续，并且上述两个线积分沿内任一闭曲线积分等于零,即由格林公式得
�u
C
d
x
-
v
d
y
=
��(-
D
ﾮv ﾮx
-
ﾮu ﾮy
)dxdy
=
0
,
�v
C
d
x
+
u
d
y
=
�D�( ﾮﾮux
-
ﾮv ﾮy
)dxdy
=
0
.
f
(z)
=
u
B x
+fff (D(izzv))xd=z
第三章 复变函数的积分
连接.设想将D沿割线割破,于是D就被分成两个单连
通区域(图3.10是 n 2的情形),其边界各是一条围线, 分别记为1和 2 .而由定理3.9,我们有
1
f
zdz
0, 2
f
zdz
0,
将这两个等式相加,并注意到沿着 L0 , L1, , Ln 的积分, 各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相 抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到
下,我们称区域D的边界是一条复围线
C C0 C1 C2 Cn
它包括取正方向的C0 ,以及取负方向的 C1,C2 , ,Cn .换句话 说,假如观察者沿复围线C的正方向绕行时,区域D的点总 在它的左手边(图3.10是 n 2的情形).
D
C2
C1
C0
L2
D
L1
L0
C1
C2
C0
图3.10
定理3.10 设D是由复围线
适合 C. R. 条件 ，
由格林定理, C udx vdy 0, C vdx udy 0,
故得
f (z)dz 0.
C
由柯西积分定理，可以得到
定理3.4 设f (z) 在 z 平面上的单连通区域 D 内解析,C 为D
内任一闭曲线(不必是简单的),则
C f (z)dz 0.
证 因为D总可以看成区域 C 内有限多条围线衔接而
f (z) 1 za
只以z a 为奇点,即在“z 平面除去一点a ”的非单连通区域内处处解
析，但是积分
C
dz za
2i
0,
其中 C 表圆周 z a 0 ，即在此区域内积分与路径有关；
3.3柯西积分公式和推论
对C内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
(z D)
其中，沿曲线C的积分是按逆时针方向取 的，我们称它为柯西积分公式.
几个注意之点：
f
(z)
1
2 i
Cf( )ຫໍສະໝຸດ zd(z D)
1. 某些有界闭区域上的解析函数，它
在区域内任一点所取的值可以用它在边界
上的值表示出来. 2. 柯西公式是解析函数的最基本的
它在圆即周函上数的f (值z)的在平圆均心值z0.的值等于
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
0， 0 ( r0 )，
使得当0 r , z Cr时，
| f (z) f (z0 ) | .
因此 f (z) f (z0) dz | f (z) f (z0)| ds
Cr z z0
Cr | z z0 |
2 r 2
r
又
f (z) dz C z z0
f (z0)
1
2
i
f (z) dz.
C z z0
事实上，当r趋近于0时，有
f (z) dz f (z) f (z0 ) f (z0 ) dz
C z z0
Cr
f (z0)
z
1
z0
dz
Cr z z0
复变函数与积分变换3.2柯西积分定理
C
1 dz dz dz 2 C z C z 1 z z
（由闭路变形原理） dz dz C2 z 1 C1 z 2 i 2 i 0
C
C1
0
1
C2
(2) (由复合闭路定理)
C
1 dz dz dz 2 2 C2 z 2 z C1 z z z z
问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连 通区域D内沿闭路径的积分为零?
要使 只要
f ( z) d z 0.
C
C
udx vdy 0且 vdx udy 0.
C
这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy, uy=-vx. Cauchy： 若f(z)在单连通区域D内解析,且f'(z)连续, 则对D内任意闭曲线C有
c
z0 z1 。 其中C：
固定z0,z1=z在D内变化,于是 C 于z的单值函数:
z C C z0
f ( z )dz
在D内确定了关
f z dz f d f d : F ( z )
F z f d
z0 z
变上限积分。
解析函数的原函数仍为解析函数
1 例题1 求 C 2 dz , C 如图所示： z 解：存在 f (z)的解析单连通域D包含
i
i
3 i
曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起
点和终点有关。
0,i 0,i
从而
C
1 1 4 1 1 1 dz d i 2 z z 0,3i i 3i 3 0, 3i z
柯西积分定理的推广及应用
柯西积分定理的推广及应用柯西积分定理是复变函数中的重要定理，它把辐角可微分的函数与圆周积分联系起来。
在此基础上，可以进一步推广柯西积分定理，并应用于更广泛的问题中。
一、推广1. 单连通域的柯西积分定理柯西积分定理适用于单连通域（一个没有洞的域）内的函数，如果域内存在洞，那么就需要推广柯西积分定理。
对于一个有洞的单连通域Ω，可以将它拆分成若干个单连通域，再用柯西积分定理求得每个单连通域内的圆周积分。
最后将这些圆周积分相加即可得到整个Ω内的积分。
2. 多连通域的柯西积分定理如果一个域内有多个不相交的单连通域，那么就需要推广到多连通域的柯西积分定理。
对于一个多连通域Ω，可以先将它划分为若干个单连通域Ω1,Ω2,…,Ωn，再分别在每个单连通域上应用柯西积分定理，最后将得到的积分相加即可。
3. 超越路径的柯西积分定理除了圆周积分以外，还可以使用其他路径进行积分，比如抛物线、双曲线、椭圆等。
这些路径被称为超越路径，它们的长度和弧长都可计算。
对于一个圆心为a，半径为r的圆周C，可以将它参数化为：z=a+re^{it}，0\leq t\leq 2\pi对于一条参数化的超越路径L，我们可以使用公式计算其参数表示：z=z(t)，a\leq t\leq b然后将积分式中的z(t)替换成其参数表示式即可。
二、应用推广的柯西积分定理在实际问题中有广泛的应用，比如：1. 应用于边值问题对于某些偏微分方程的边值问题，可以通过将问题转化为柯西积分问题来求解。
比如，对于拉普拉斯方程的边值问题，可以使用柯西积分定理将其转化为圆周积分问题，然后通过圆周积分的计算求解。
2. 应用于数学物理问题在数学物理领域，柯西积分定理也有着广泛的应用。
比如，它可以用于求解电磁场问题、流体力学中的流场问题等。
3. 应用于许多其他领域柯西积分定理还可以用于解析数论、复分析、半群论等许多其他领域中的问题。
例如，它可以用于证明某些初等函数无法写成有理函数的形式、进行复积分的计算、证明解析函数的极值存在等。
(完整版)柯西定理及其应用
(完整版)柯西定理及其应用柯西定理及其应用柯西定理是分析数学中的一个重要定理，它在复变函数理论中有着广泛的应用。
本文将介绍柯西定理的原理以及它在几个具体问题中的应用。
柯西定理的原理柯西定理是指在复平面上，如果一个函数在一个简单闭合曲线内是全纯的（即在该曲线内的每个点上有定义且可导），那么该函数在这个曲线内的任何一点的复积分都等于零。
具体来说，设函数f(z)在曲线C内是全纯函数，则对于曲线C内任意一点z0，有以下公式成立：∮C f(z)dz = 0其中∮C表示沿曲线C的积分，f(z)dz表示f(z)乘以dz的积分。
柯西定理的应用柯西定理在许多问题的求解中起着关键作用。
下面将介绍其中几个经典的应用。
1. 柯西积分公式柯西积分公式是柯西定理的一个重要推论。
它表明，如果函数f(z)在一个围绕点z0的简单闭合曲线内是全纯的，那么函数f(z)在该曲线内的任意一点z的导数可以通过曲线上的积分来计算。
具体来说，如果函数f(z)在简单闭合曲线C内是全纯的，那么对于曲线C内任意一点z，有以下公式成立：f^(n)(z0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{C} \frac{f(z)}{(z -z0)^{n+1}}dz其中f^(n)(z0)表示f(z)在z0处的n阶导数。
2. 柯西积分定理柯西积分定理是柯西定理的另一个重要推论。
它表明，如果函数f(z)在一个简单闭合曲线内是全纯的，那么函数f(z)在该曲线内的积分只取决于曲线C所围成的区域，而与曲线C的具体形状无关。
具体来说，如果函数f(z)在简单闭合曲线C内是全纯的，那么对于曲线C内的两条等价曲线C'和C''，有以下公式成立：\int_{C'} f(z)dz = \int_{C''} f(z)dz其中C'和C''是等价曲线，即它们由于同一个简单闭合曲线而围成的区域相同。
3. 柯西不等式柯西不等式是柯西定理的一个重要推论。
柯西积分公式的应用
柯西积分公式的应用柯西积分公式是高等数学中的一个重要公式，它在复分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
柯西积分公式的应用之一是计算复变函数的积分，可以通过柯西积分公式将积分问题转化为解析函数在闭合曲线上的积分。
在本文中，我将讨论柯西积分公式的应用。
若f(z)在闭合曲线上连续，在曲线内部有一个解析函数F(z)，则有∮[f(z)/(z-a)]dz=2πiF(a)其中，∮代表沿着闭合曲线的积分，a代表曲线内部的一点，i为虚数单位。
1.计算复变函数积分：例如，要计算函数f(z)=exp(z)/z在围绕原点的单位圆上的积分，可以选择解析函数F(z)=exp(z)。
根据柯西积分公式，有∮[exp(z)/(z-a)]dz=2πiF(a)。
原函数的积分为f(z)=2πiexp(z)，即在单位圆上的积分为2πi。
2.解析函数展开：例如，要展开函数f(z)=1/(z-a)在围绕a的单位圆上的展开形式，可以选择解析函数F(z)=1、根据柯西积分公式，有∮[1/(z-a)]dz=2πiF(a)。
即展开系数为1/(2πi)。
3.复数公式中的应用：例如，可以使用柯西积分公式证明复平面上的柯西黎曼方程。
柯西黎曼方程是复变函数理论中的一个重要定理，它描述了解析函数的充要条件。
通过柯西积分公式，可以得到复平面上的全纯函数必然满足柯西黎曼方程。
此外，柯西积分公式还可以应用于解析函数的边界性质的研究，如解析函数的奇点、极点等。
综上所述，柯西积分公式在计算复变函数积分、解析函数展开和复数公式中起着重要的作用。
它不仅提供了一种计算复变函数积分的方法，还为解析函数的展开、复数公式的推导以及解析函数的边界性质研究提供了便利。
因此，柯西积分公式在数学和许多应用领域中被广泛使用。
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复变函数积分中柯西定理的推广
姓名：刘亚宁
学号： 20161102541
专业：物理学
班级： 16级物理学
院系：物理与电子信息学院
内容摘要
数学物理方法作为物理学专业普通物理与理论物理的纽带，其重要性不言而喻。
复变函数理论的相关知识是基础并且重要的。
其中，对于复变函数的积分，有一个重要的定理——单、复通区域的柯西定理，包括单、复通区域柯西定理的使用条件和最后结论。
并且，柯西定理还可以进行推广，将使用条件进一步简化，减少局限性，使得柯西定理的应用更加广泛。
本篇将阐述柯西定理的推广过程及结论。
关键词：连续解析柯西定理积分路径
复变函数积分中柯西定理的推广
单、复通区域的柯西定理的证明过程，在众多教材中已经给出。
而对于柯西定理的推广，只给出了相关结论。
现结合现有知识以及相关文献，以单通区域为例，对柯西定理的推广进行证明。
1.相关知识
（1）单通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有
⎰
f(z)dz=0
l
（2）单通区域柯西定理的推广：
如果函数f (z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有
⎰
f(z)dz=0
l
2.具体证明
首先，我们可以将柯西定理的推广整理成以下形式:
假如D是一个可求长度的曲线C的内部区域，函数f(z)是D内的解析函数，并且f(z)在闭区域B上连续，则
⎰
f(z)dz=0
C
假定c是一个无论怎样小的正数。
按照假设的条件，f(z)在D上一致连续。
因此存在这样一个数δ（0<δ<1）使得对于区域D上满足条件|z1-z2| < 2δ的任意两点z1与z2，不等式|f (z1)-f(z2)|<c都成立。
即
|z1-z2|< 2δ⇒|f (z1)-f(z2)|<c①
如图，可求长度的曲线C在复平面内，其内部区域为D。
选取常数α与相应的常数β，使得在每一条直线x=α+mδ与y=β+mδ(m=0,±1,±2,……)上都有曲线的有限多个点。
图1
直线x=α+mδ与y=β+mδ把C的内部区域D分成有限多个区域，每一个这种区域都以一条可求长度的曲线为边界。
我们用C1，
C2，…，C n表示这些曲线。
很明显：
⎰C
f (z)dz=∑
⎰
=n
n C n
1
f (z)dz ， ②
其中所有积分方向一致，为逆时针方向。
假定在曲线C 1，C 2，…，C n 中，前面的q 条而且只有这q 条包含C 上的点。
于是其余的都是正方形边界，完全在C 的内部，而且对于他们来说，根据柯西定理其回路积分的和为0.
于是②式变为： ⎰C
f (z)dz=∑
⎰
=q
n C n
1
f (z)dz ③
用l 和l n 分别表示曲线C 和C n 的长度，如图2可知，对于任意一个含有C 的点的正方形格子来说，l n 减去其包括的C 的部分长度l´所得的长度，一定小于正方形格子的周长。
所以，∑=q
n 1l n -l 并不大于那些边上含有C 的点的正方形格子的边界长度之和。
而这种
正方形格子的个数不超过4（
δ
l
+1），所以：
∑=q
n
1
l n -l ≤16δ(
δl +1) ,即∑
=q
n 1
l n ≤l+16l+16δ<17l+16，因为δ<1
图2： l n -l ´<4δ
现在回到等式③，我们来估计积分⎰
C n
f (z)dz：
⎰C n f(z)dz=
⎰
C n
[ f(z)-f(z
) ]dz ,
这里z0是在C n上选定的一个固定点。
因为曲线C n的直径|z-z0|不大于δ2<2δ，所以根据公式①，当z在C n上时，我们有：
| f (z)-f(z
)| < c
换句话说，
|⎰
C n
f(z)dz|≤
⎰
C n
| [f (z)-f(z
) ] ||dz| < c l n
因此，从等式③我们得到：
|⎰
C
f(z)dz|≤∑
=
q
n1
|
⎰
C n
f(z)dz|< c∑
=
q
n1
l n< c(17l+16)
因为c是可以随意小的正数而17l+16是完全确定的常数，所以上式的右端也是可以随意小的正数。
但上式左端却是一个确定的非负的常数。
因而这个数只能是零，也就是说
|⎰
C
f(z)dz|=0 即
⎰
C
f(z)dz=0 证明完毕
3.讨论
柯西定理的证明过程较为复杂，其中细节较难把握，但运用了数形结合的方法，证明过程更直观。
由此我们可以将柯西定理的条件（在边界和内部都需要解析），减少为需要内部解析，边界只需要连续即可。
参考文献
[1]梁昆淼，数学物理方法，第4版，北京：高等教育出版社，2010.
[2]H.H.普里瓦洛夫，复变函数引论，北京：人民教育出版社，1956.。