习题课一第12章

答案：真值分别为 0, 1, 0, 0
3. 设 A 与 B 均为含 n 个命题变项的公式，判断下列 命题是否为真？ （1） AB 当且仅当 A 与 B 有相同的主析取范式 （2） 若 A 为重言式，则 A 的主合取范式为 0 （3） 若 A 为矛盾式，则 A 的主析取范式为 1 （4） 任何公式都能等值地化成{, }中的公式 （5） 任何公式都能等值地化成{, , }中的公式
4．通过求主范式判公式类型 （1）(pq)(qp) （ 2 ） (p q )q （3）(pq)p 5.已知命题公式 A 中含 3 个命题变项 p, q, r， 并知道它的成真 赋值为 001, 010, 111, 求 A 的主析取范式和主合取范式，及 A 对应的真值函数.
例如，若命题公式 A 中含有 3 个命题变项，且 A 的主析取范 式中含有 4 个极小项 m0 ， m1 ， m5 ， m7 ，即， A m0 m1 m5 m7 (0,1,5,7) ， 则 A 的主析取范式中含有的极小项个数为 23-4=4，且分别为 m2 ， m3 ， m4 ， m6 ，即， A m2 m3 m4 m6 (2,3,4,6) ， 于是，A 的主合取范式为： A M 2 M 3 M 4 M 6 (2,3,4,6) 由此可见， 只要我们熟练地掌握了求命题公式 A 的主析取范式 的方法，就可以很快写出 A 的主合取范式，反之亦然。另外，主合 取范式的用途与主析取范式的用途相同（见前面分析） 。 要掌握用公式 A 的真值表求 A 的主范式 若已知公式 A 的真值表， 则可从中找出所有使公式 A 成真 （成 假）的赋值及其对应的公式 A 的主析取范式（主合取范式）中所含 有的全部极小项（极大项） ，从而可立即写出公式 A * 为 p∧q，于是由（ 1）可得：(p∨q) p∧q，
[注]：如果证明了一个等值公式，则其对偶式的等值式同时也成立。这样，
补充知识二： 由主析取范式求解主合取范式 6. 最后说明两点：
要掌握由公式 A 的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然 . 设命题公式 A 中含有 n 个命题变项， 且设 A 的主析取范式中含 有 k 个极小项， 记为 mi1 mi2 , mik ， 即 A mi1 mi2 mik ， 则A 的主析取范式中必含有 2n-k 个极小项 （注意，这 2n-k 个极小项实际 上是含有 n 个命题变项构成的所有极小项中除去 A 的主析取范式中 含 有 的 k 个 极 小 项 mi1 mi2 , mik 后 剩 余 的 其 他 极 小 项 ） ，记为
由表 1-7 可知，001、 011、 101、110、111 是原公式的成真赋值， m3 、 m5 、 m1 、 因而， 对应的原公式的主析取范式中所含的全部极小项为：
m6 、 m7 ，则 pq r m1 m3 m5 m6 m7 (1,3,5,6,7)
（请大家自己考虑主合取范式的分析）
3）A：((p∨q)∧0)∧(1∧ (r∨p))，A*： ((p∧q)∨ 1)∨(0∨ (r∧p))
2. 定理 1.5.1： 设 A 和 A*互为对偶式，p 1,p2,…,pn 是出现在 A 和 A*中的 全部命题变项，将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则， (1) A(p1,p 2,…,pn) A* ( p1, p 2,…, pn) (2) A( p1, p2,…, pn) A* (p1,p2,…,pn) 类似地，由（ 2）可得：p∨q (p∧q)，这就是 De Morgan 律。 3. 定理 1.5.2（对偶原理） ： 设 A，B 为两个命题公式，若 A B ，则 A* B*. 通过对偶原理，可以由有限个等值公式推出更多个其它的等值公式，起到 事半功倍的效果。 例如：由已知的等值公式： (p∧q)∨(p ∨(p∨q)) p∨q , 我们可以得到一个新的等值公式：(p ∨q)∧(p∧(p ∧q)) p ∧q.
二、 练习题 1．将下列命题符号化 （1） 豆沙包是由面粉和红小豆做成的. （2） 苹果树和梨树都是落叶乔木. （3） 王小红或李大明是物理组成员. （4） 王小红或李大明中的一人是物理组成员. （5） 由于交通阻塞，他迟到了. （6） 如果交通不阻塞，他就不会迟到. （7） 他没迟到，所以交通没阻塞. （8） 除非交通阻塞，否则他不会迟到. （9） 他迟到当且仅当交通阻塞.
6．在以下各联结词集中各求一个公式与 A = (pq)r 等值. （ 1 ） { , , } （ 2 ） { , } （ 3 ） { , } （ 4 ） { , } （ 5 ） { } （ 6 ） { }
7. 一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： （1） 甲或乙盗窃了录音机； （2） 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前； （3） 若乙的证词正确，则午夜时屋里的灯光未灭； （4） 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前； （5） 午夜时屋里的灯光灭了. 试用主析取范式法（或主合取范式法）分析盗窃录音机的人是 甲还是乙？ 解此类问题的步骤应为：
（1 ）
(pq)(pq)(pq)(pq)
结论： （1）为重言式
（2 ）
(pq)q ① ② ③ ④
(pq)q pqq 0 M0 M1 M2 M3 问：由②如何得③？ ③为主析取范式，④为主合取范式 结论： （2）为矛盾式. （3 ） (pq)p m0 m1 M2 M3 请自己等值演算得①与② 结论： （3）为可满足式 请用真值表再解此题
练习题1. 提示与答案 练习题1.提示：
分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及必要充分条件 答案： （1）是简单命题 （2）是合取式 （3）是析取式（相容或） （4）是析取式（排斥或） 请分别写出（1）—（4）的符号化形式 设 p: 交通阻塞，q: 他迟到 （5） pq, （7）qp 或 pq, （9）pq 或pq 可见（5）与（7） ， （6）与（8）相同（等值） （6）pq 或 qp （8）qp 或pq
m j1 m j2 , m j2n k ，即 A m j1 m j2 m j2n k 。于是，利用极小项
mi 与极大项 Mi 之间的关系：mi Mi, Mi m i，可得： A A ( m j1 m j2 m j2n k ) m j1 m j2 m j2n k M j1 M j2 M j2n k 这就是 A 的主合取范式。
3.内容二 等值式与等值演算 基本的等值式（16 组，24 个公式） 联结词全功能集（完备集） 主析取范式与主合取范式 4.内容二学习要求 深刻理解等值式的概念； 牢记基本等值式的名称及它们的内容； 了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念； 深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成真、成假赋值 的关系，并理解简单析取式与极小项的关系； 熟练掌握求主范式的方法（等值演算、真值表等） ； 会用公式的主范式求公式的成真、成假赋值及判断公式的类型、简 单应用； 会将任何公式化成任何联结词全功能集（完备集）中的公式。
补充知识一： 对偶式与对偶原理
一、 对偶式和对偶原理 1. 定义 1.5.1： 在仅含有联结词 , ∧,∨的命题公式 A 中， 将∨换成∧ , ∧ 换成∨，若 A 中含有 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得命题公式称为 A 的对偶式，记为 A*. [注 ]：从定义不难看出，(A*)* 还原成 A，即对偶是相互的。 例 1.5.1：试写出下列命题公式的对偶式 1）A：(p∧q)∨r， 2）A：(p∧q)∨(p∧ (q∨s))， A*： (p∨q)∧r A*： (p∨q) ∧ (p∨ (q∧s))
1 将简单命题符号化 ○ 2 写出各复合命题 ○ 3 写出由②中复合命题组成的合取式 ○ 4 将③中公式化成析取式（最好是主析取范式） ○
8. 用不同的方法验证下面推理是否正确 . 对于正确的 推理还要在 P 系统中给出证明. （1） 前提：pq, 结论：p （2） 前提：qr, 结论：qp 9. 在 P 系统中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩 . 如 果颐和园游人太多，就不去颐和园 . 今天是周六，并且 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园或动物园玩. pr q
① ②
练习题5. 提示与答案
5．已知命题公式 A 中含 3 个命题变项 p, q, r，并知道它 的成真赋值为 001, 010, 111, 求 A 的主析取范式和主 合取范式，及 A 对应的真值函数. 答案
A 的主析取范式为 m1 m2 m7 A 的主合取范式为 M0 M3 M4 M5 M6 设 A 对应的真值函数为 F，则 F(001)=F(010)=F(111)=1 F(000)=F(011)=F(100)=F(101)=F(110)=0 试说明以上得出答案的理由
例 1.5.7 试由 pq r 的真值表求它的主析取范式（主合取范式） 解：写出 pqr 的真值表如下表 1-7：
表 1-7：pqr 的真值表
p 0 0 0 0 1 1 1 1
q 0 0 1 1 0 0 1 1
r 0 1 0 1 0 1 0 1
pq 0 0 0 0 0 0 1 1
pqr 0 1 0 1 0 1 1 1
5.内容三 推理的形式结构的不同形式 判断推理是否正确的不同方法 ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 ④构造证明法 … 在自然推理系统 P 中构造证明 6.内容三学习要求 理解并记住推理形式结构的如下形式： ① (A1A2…Ak)B ② 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 熟练掌握判断推理是否正确的不同方法 （如真值表法、 等值演算法、 主析取范式法等） 牢记 P 系统中各条推理规则（内容与名称） 会用附加前提证明法及归谬法
2． 设 p : 2 是素数 q : 北京比天津人口多 r : 美国的首都是旧金山 求下面命题的真值 （1） (pq)r （2） (qr)(pr) （3） (qr)(pr) （4） (qp)((pr)(rq))