10贝叶斯估计共轭先验分布
多元正态分布参数的估计与假设检验-判别分析
注 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的.
三、贝叶斯风险
1、贝叶斯风险的定义 由第一小节内容可知，给定损失函数以后， 由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风 险函数定义为
R(d ) = inf R(d ),
* d ∈D
∀d ∈ D
则称d * ( X )为参数θ的贝叶斯估计量
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 、 函数. 函数 2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计 、不同的先验分布， 2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计 定理4.2 定理 设θ的先验分布为π(θ)和损失函数为 的先验分布为π θ 和损失函数为
Θ
=∫
Θ
∫
Χ
L(θ , d ( x ))q( x | θ )π(θ )dxdθ
=∫
Θ
∫θ | x )g(x )dxdθ
Θ
= ∫ g(x ){ ∫ L(θ , d ( x ))h(θ | x )dθ }dx
Χ
四 、贝叶斯估计
1、贝叶斯点估计 定义4.6 若总体 的分布函数F(x,θ)中参数θ为随机 定义 若总体X的分布函数 中参数θ 的分布函数 θ 中参数 变量， θ 为 的先验分布，若决策函数类D中存在 变量，π(θ)为θ的先验分布，若决策函数类 中存在 一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数 均有
第8.2节 节
判别分析
一、先验分布和后验分布 二、共轭先验分布 三、贝叶斯风险 四、贝叶斯估计
一、先验分布与后验分布
上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏， 上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏，但 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 贝叶斯通过引入先验分布， 的指标. 贝叶斯通过引入先验分布，给出了整体比较 的指标 1、先验信息 在抽取样本之前， 在抽取样本之前，人们对所要估计的未知参数 先验信息. 所了解的信息，通常称为先验信息 所了解的信息，通常称为先验信息 例1(p121例4.6) 某学生通过物理试验来确定当地 1(p121例 的重力加速度，测得的数据为(m/s²): 的重力加速度，测得的数据为 9.80, 9.79, 9.78, 6.81, 6.80 试求当地的重力加速度. 试求当地的重力加速度
多元正态分布下贝叶斯估计法
多元正态分布下贝叶斯估计法贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，可以用于在已有数据的情况下估计未知参数的分布。
在统计学中，多元正态分布是一种常见的概率分布，描述了多个变量之间的关系。
本文将介绍多元正态分布下的贝叶斯估计法，并详细讨论其原理、应用和计算方法。
一、多元正态分布及其性质多元正态分布是一种连续型概率分布，用于描述多个随机变量之间的关系。
假设有一个d维随机向量x=(x₁, x₂, ..., x d)服从多元正态分布x(x, Σ)，其中x是一个d维均值向量，Σ是一个d×d的协方差矩阵。
多元正态分布的概率密度函数可以表示为：x(x; x, Σ)=(2x)⁻ᵈ/²|Σ|⁻¹/²exp[−½(x−x)ᵀΣ⁻¹(x−x)] 其中x表示向量的转置，|Σ|表示协方差矩阵Σ的行列式。
多元正态分布具有许多重要的性质，例如，线性组合仍然服从多元正态分布，条件分布也是多元正态分布等。
这些性质使得多元正态分布在实际问题中的应用非常广泛。
二、贝叶斯估计法的原理贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，通过引入先验分布和后验分布来估计未知参数的分布。
其基本思想是将参数视为随机变量，并基于已有数据对参数进行推断。
在多元正态分布中，我们通常需要估计的参数包括均值向量x和协方差矩阵Σ。
贝叶斯估计法假设这些参数服从先验分布，然后通过观测数据来更新先验分布，得到后验分布，进而对参数进行估计。
具体而言，假设我们有n个样本x₁, x₂, ..., x n，那么贝叶斯估计法的步骤如下：1.选择参数的先验分布。
通常先验分布会根据领域知识或经验进行选择，常见的先验分布包括共轭先验、非信息先验等。
2.根据先验分布和样本数据，计算参数的后验分布。
根据贝叶斯定理，后验分布可以表示为：x(x, Σ | x₁, x₂, ..., xn)∝x(x₁, x₂, ..., x n|x, Σ)x(x, Σ)其中x(x₁, x₂, ..., x n|x, Σ)表示给定参数x和Σ的情况下样本数据的似然函数。
【整理版】全概率公式与贝叶斯公式的运用举例5
贝叶斯公式的应用1综述在日常生活中，我们会遇到许多由因求果的问题，也会遇到许多由果溯因的问题。
比如某种传染疾病已经出现．寻找传染源；机械发生了故障，寻找故障源就是典型的南果溯因问题等。
在一定条件下，这类由果溯因问题可通过贝叶斯公式来求解。
以下的例子来说明贝叶斯公式的应用。
贝叶斯公式的定义给出了事件B 随着两两互斥的事件12,,...,n A A A 中某一个出现而出现的概率。
如果反过来知道事件B 已出现，但不知道它由于12,,...,n A A A 中那一个事件出现而与之同时出现，这样，便产生了在事件B 已经出现出现的条件下，求事件(1,2,...)i A i n =出现的条件概率的问题，解决这类问题有如下公式：2定义 设12,...,n B B B 为Ω 的一个分割，即12,...,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，如果P( A ) > 0 ，()0i P B = (1,2,...,)i n = ,则1()(/)(/),1,2,...,()(/)i i i n j jj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑。
贝叶斯公式在市场预测中的应用我们知道，国外的旧车市场很多。
出国留学或访问的人有时花很少的钱就可以买一辆相当不错的车，开上几年也没问题。
但运气不好时，开不了几天就这儿坏那儿坏的，修车的钱是买车钱的好几倍，经常出毛病带来的烦恼就更别提了。
为了帮助买旧车的人了解各种旧车的质量和性能，国外出版一种专门介绍各品牌旧车以及各年代不同车型各主要部件质量数据的旧车杂志。
比如有个买主想买某种型号的旧车，他从旧车杂志上可发现这种旧车平均有30%的传动装置有质量问题。
除了从旧车杂志上寻找有关旧车质量的信息外，在旧车市场上买旧车时还需要有懂车的内行来帮忙。
比如可以找会修车的朋友帮助开一开，检查各主要部件的质量。
因为旧车杂志上给出的是某种车辆质量的平均信息，就要买的某一辆来讲可能是好的传动装置，也可能会有问题。
贝叶斯估计公式
贝叶斯估计公式
贝叶斯估计公式是一种基于贝叶斯定理的统计学方法，用于估计未知参数的概率分布。
在实际应用中，贝叶斯估计公式被广泛应用于机器学习、数据挖掘、信号处理等领域。
贝叶斯估计公式的核心思想是将先验知识和观测数据结合起来，得到后验概率分布。
具体而言，假设我们有一个未知参数θ，我们希望通过观测数据D来估计θ的概率分布。
根据贝叶斯定理，我们可以得到：
P(θ|D) = P(D|θ)P(θ) / P(D)
其中，P(θ|D)表示θ在给定数据D的条件下的后验概率分布，P(D|θ)表示在给定θ的条件下，数据D的概率分布，P(θ)表示θ的先验概率分布，P(D)表示数据D的边缘概率分布。
在实际应用中，我们通常会选择一个合适的先验分布，然后通过观测数据来更新后验分布。
例如，在分类问题中，我们可以选择一个先验分布，然后通过观测数据来更新后验分布，从而得到分类结果。
贝叶斯估计公式的优点在于它可以利用先验知识来提高估计的准确性。
例如，在医学诊断中，医生可以利用先验知识来估计患者的疾病概率，从而更准确地进行诊断。
然而，贝叶斯估计公式也存在一些缺点。
首先，它需要选择一个合
适的先验分布，这可能会影响估计的准确性。
其次，计算后验分布通常需要进行复杂的积分计算，这可能会导致计算量过大。
贝叶斯估计公式是一种重要的统计学方法，它可以利用先验知识来提高估计的准确性。
在实际应用中，我们需要选择一个合适的先验分布，并通过观测数据来更新后验分布，从而得到更准确的估计结果。
几种先验分布下指数分布参数的贝叶斯估计
－ λｓ１
，０＜λ＜ａ
，ａ≤λ＜ｂ
δＢ（ｔ）＝
∫０λ （１－ λ） ∫０λ
β－ １ １ ｒ＋ａ－ １
１
ｒ＋ａ
β－ １
ｅ
－ λｓ１
ｄλ ｄλ
－ ｓ１
（１－ λ）
ｉ
β－ １
ｅ
－ λｓ１
（ 式 ５）
近似估计值为
％
δ Ｂ （ｔ）＝
（ 式 ６）
() ｉ
ｉ ＝ ０ ｋ ｉ ＝ ０
（－ １） + （１＋Ｐ ）（－ ｅ ）＋（ ｒ＋α＋ｉ ）！ !λ * ｓ ｓ （－ １） （１＋Ｐ ）（－ ｅ ）＋（ ｒ＋α＋ｉ ）！ !λ () ｉ , ) ｓ ｓ
ｌ＋２
Ｖ
Ｖ
Ｖ
（２） 若损失函数为 Ｌ（δ，λ）＝δ－ ２λｌ（δ－ λ）２， 则 λ 的贝叶斯估计
ａ
１
为方便下文 ， 先作记号 ：
Ｍ１（ｎ， 无 ，ｒ）： 样 本 容 量 为 ｎ ， 定 数 为 ｒ 的 无 替 换 定 数 截 尾 寿 命 试
验；
Ｍ２（ｎ， 有 ，ｒ）： 样 本 容 量 为 ｎ ， 定 数 为 ｒ 的 有 替 换 定 数 截 尾 寿 命 试
" λｒｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ） $ ａλｒｅ－ λｓ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ＋ ｂλｒｅ－ λｓ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ ! ! ０ ａ $ Ｖ － λｓ π（λ｜ｔ ）＝’ λｒｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ ｂ － λｓ $ ａ ｒ － λｓ λ ｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ＋ ! λｒｅ （ｌｎｂ－ ｌｎａ）ｄλ ! $ ０ ａ ０，λ≥ｂ %
－ λｓ３ 则它们的联合密度为 ｆ（ｔ ｜λ）＝ ｎ！ λｒｅ （λ＞０），ｓ３＝ｔ１＋ｔ２＋Ｌ＋ｔｒ＋（ｎ－ ｒ）τ Ｖ
贝叶斯统计学中先验分布的选择方法新探
维普资讯
第１ ７卷第 ５期
Ｖｏ ＿ ７ Ｎｏ ５ ｌ１ ．
重 庆 ５商大 学学报 （ － － 西部论坛 ）
ＪＣ ｏｇ ｉ ｅｈｏ Ｂ ｓ ｅｓ ｎｖ （ ｓ Ｆ ｒｍ） ｈｎｑｎ Ｔ ｃｎｌ ｕｉ ｓ ｉ． Ｗｅｔ ｏ ｇ ｎ Ｕ ｕ
关键 词 ： 验选择 ； 先 后验 分布 ； 贝叶斯似 然合理 先验
中 图分类号 ： ２ ２ ８ ０ １ ．
文献 标识码 ： Ａ
文章 编号 ：０ ８— ４ ９ ２ ０ ） ５０ ６ －３ １０ ６ ３ （ ０ ７ ０ －０ ７ ０
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｉ ｔ ｅ ｈ ｄ ｓ ｌｃ ｉ ｎ ｏ ｙ ｓａ ｉ ｒ ｄ ｓ ｒｂ ｔｏ ｓ ａ ｃ ｎ ｏ ｍ ｔ ｏ ｅ ｅ ｔ ｆ Ｂａ ｅ ｉ ｎ Ｐｒ ｏ ｉｔ ｉ ｕ ｉ ｎ ｏ
贝叶斯统计_先验分布的确定
第三章 先验分布的确定3.1 主观概率3.1.1概率的公理化定义定义：设Ω为一个样本空间，F 为Ω的某些子集组成的一个事件域，如果对任一事件A ∈F ，定义在F 上一个实值函数P(A)满足下列条件：(1)非负性公理：对于每一事件A ，有P(A)≥0；(2)正则性(规范性)公理：P(Ω)=1；(3)可列可加性(完全可加性)公理：设A 1，A 2，…是互不相容的事件，即对于i≠j ，A i A j =∅，i ，j=1，2，…，则有11()()i i i i P A P A ∞∞===∑ 则称P （A ）为事件A 的概率(Probability) ，称三元素(Ω， F ，P)为概率空间(Probability space) 。
概率是定义在σ-域F 上的一个非负的、正则的、可列可加的集函数。
3.1.2 主观概率在经典统计中，概率是用三条公理定义的：1）非负性；2）正则性；3）可加性。
概率确定方法有两种：1）古典方法；2）频率方法。
实际中大量使用的是频率方法，所以经典统计的研究对象是能大量重复的随机现象，不是这类随机现象就不能用频率的方法去确定其有关事件的概率。
这无疑把统计学的应用和研究领域缩小了[1]。
在经典统计中有一种习惯，对所得到的概率都要给出频率解释，这在有些场所是难于做出的。
譬如，天气预报：“明天下雨的概率是0.8”。
贝叶斯统计中要使用先验信息，而先验信息主要是指经验和历史资料。
因此如何用人们的经验和过去的历史资料确定概率和先验分布是贝叶斯学派要研究的问题。
贝叶斯学派是完全同意概率的公理化定义，但认为概率也是可以用经验确定。
这是与人们的实践活动一致。
这就可以使不能重复或不能大量重复的随机现象也可谈及概率。
同时也使人们积累的丰富经验得以概括和应用。
贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性所给出个人信念。
这样给出的概率称为主观概率。
下面举几个例子：一个企业家认为“一项新产品在未来市场上畅销”的概率是0.8，这里的0.8是根据他自己多年的经验和当时一些市场信息综合而成的个人信念。
贝叶斯方法(估计,推断,决策)
3．先验信息，即在抽样之前有关统计推断的一些信 息。譬如，在估计某产品的不合格率时，假如工厂保 存了过去抽检这种产品质量的资料，这些资料（包括 历史数据）有时估计该产品的不合格率是有好处的。 这些资料所提供的信息就是一种先验信息。又如某工 程师根据自己多年积累的经验对正在设计的某种彩电 的平均寿命所提供的估计也是一种先验信息。由于这 种信息是在“试验之前”就已有的，故称为先验信息。
例1 设事件A的概率为 ，即 ( A) 。为了 估计 而作n次独立观察，其中事件出现次 数为X，则有X服从二项分布 b(n, ) x x 即 P( X x ) Cn (1 )nx , x 0,1,, n. 如果此时我们对事件A的发生没有任何了解， 对 的大小也没有任何信息。在这种情况下， 贝叶斯建议用区间（0，1）上的均匀分布作 为的先验分布。因为它在（0，1）上每一点 都是机会均等的。这个建议被后人称为贝叶 斯假设。
作为θ的先验分布族是恰当的，从以下几方面考虑： 1 参数θ是废品率，它仅在（0，1）上取值。因此， 必需用区间（0，1）上的一个分布去拟合先验信息。 β分布正是这样一个分布。
2 β分布含有两个参数a与b，不同的a与b就对应不同 的先验分布，因此这种分布的适应面较大 3 样本X的分布为二项分布b（n，θ）时，假如θ的 先验分布为β分布，则用贝叶斯估计算得的后验分 布仍然是β分布，只是其中的参数不同。这样的先 验分布（β分布）称为参数θ的共轭先验分布。选择 共轭先验分布在处理数学问题上带来不少方便。 4 国内外不少人使用β分布获得成功。
在这个联合密度函数中。当样本 X1 ,, X n 给定之后，未知的仅是参数θ 了，我们关心的是样本 给定后，θ 的条件密度函数，依据密度的计算公式， 容易获得这个条件密度函数
一先验分布和后验分布
i 1
i 1
第二种方法 设总体X的分布密度为p(x|),统计量
T ( X ) T ( X1X2 , , X n )是参数的充分统计量，则有
定理3.1 设f ( )为任一固定的函数，满足条件
(1) f ( ) 0, ,
(2) 0 gn(t | ) f ( )d
则
D f
{
gn (t | ) f ( ) gn (t | ) f ( )d
由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风险函数定 义为
R( , d ) E (L( , d( X ))
L( , d( x))q( x | )dx
此积分仍为的函数，在给定的先验分布()时，定义
R(d ) E (R( , d ))
R( , d )π( )d
为决策函数d在给定先验分布()下的贝叶斯风险，简 称为d的贝叶斯风险.
X N (9.80, 0.12 )
这个信息就是重力加速度的先验信息.
在统计学中，先验信息可以更好的帮助人们解决 统计决策问题. 贝叶斯将此思想应用于统计决策中，形成了 完整的贝叶斯统计方法.
2、先验分布
对未知参数的先验信息用一个分布形式()来 表示，此分布()称为未知参数的先验分布.
例如 例1中重力加速度的先验分布为
则的贝叶斯估计为
d*( x) E(( ) | x) E(( ) | x)
证明略，此证明定理3.2的证明类似.
定理3.4 设参数为随机向量，先验分布为()
和损失函数为二次损失函数
L( , d ) (d )T Q(d )
1：改进生产设备后，高质量产品可占90%,
：改进生产设备后，高质量产品可占70%,
2
经理根据以往的经验，两个顾问建议可信度分别为
贝叶斯估计公式
贝叶斯估计公式
贝叶斯估计公式是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法。
它将先验分布和样本数据结合起来，通过后验分布来估计未知参数的值。
具体来说，假设有一个未知参数θ，它的先验分布为P(θ)，样本数据为D，则贝叶斯估计公式可以表示为：
P(θ|D) = P(D|θ) * P(θ) / P(D)
其中，P(θ|D)表示参数θ在给定数据D的条件下的后验分布，P(D|θ)表示数据D在给定参数θ的条件下的概率分布，P(θ)表示参数θ的先验分布，P(D)表示数据D的边缘概率分布。
通过贝叶斯估计公式，我们可以计算出后验分布，得到对未知参数的估计值，同时还可以考虑到先验知识对估计结果的影响。
因此，贝叶斯估计方法在小样本情况下尤为有效，能够避免样本数据过于局限的问题。
- 1 -。
数理统计：贝叶斯估计
| x)d
(ˆB )2
2ˆB
(
| x)d
2 (
| x)d
(ˆB -
( | x)d )2
2 ( | x)d
(
(
| x)d )2
因此当ˆB
( | x)d时，可使MSE达到最小,
又由于
息去确定Beta分布中的两个参数α与β 。从文献来看，确
定α与β的方法很多。例如，如果能从先验信息中较为准
确地算得θ先验平均和先验方差，则可令其分别等于Beta
分布的期望与方差最后解出α与β ，如下
Байду номын сангаас
(
)2 (
1)
S2
(1 ) 2
S2
a(1 )
假设Ⅲ 我们对参数θ已经积累了很多资料，经过分析、整 理和加工，可以获得一些有关θ的有用信息，这种信息就 是先验信息。参数θ不是永远固定在一个值上，而是一个 事先不能确定的量。
10
贝叶斯公式
从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量，描 述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分 布称为先验分布，其概率分布用π(θ)表示。 1 先验分布 定义：将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ的随机 变量,它有一概率分布，记为π(θ)，称为参数θ的先验分布。 2 后验分布 从总体 f(x│θ) 中随机抽取一个样本X1，…，Xn， 先获得样本X1，…，Xn和参数θ的联合分布:
(i x)
p(x i ) (i ) p(x i ) (i )
i
(i xj )
贝叶斯估计
后验分布是三种信息的综合,先验分布反应人们在抽样前 对参数的认识,后验分布反应人们在抽样后对参数的认识 Bayes统计推断原则:对参数 所作任何推断(参数估计,假 设检验等)都必须建立在后验分布基础上.
§1.2贝叶斯公式的密度函数形式
例:为了提高某产品质量,公司经理考虑投资100万改进设 备,下属部门提出两种实施意见: 意见1:改进生产设备后,高质量产品占90% 意见2:改进生产设备后,高质量产品占70% 但经理根据以往两部门建议情况认为.意见1的可信度只 有40%,而形式
3. 从贝叶斯观点看，样本 x ( x1 , xn ) 的产生要分两步 进行。首先设想从先验分布 ( ) 产生一个样本 ' ，这一步 是“老天爷”做的，人们是看不到的，故用“设想”二字。
' 第二步是从总体分布 p( x | ) 产生一个样本 x ( x1, xn ) ，
p ( x; ) ， 它表示在参数空间 { } 中不同的 对应不
同的分布。可在贝叶斯统计中记为 p( x | ) ，它表示 在随机变量 给定某个值时，总体指标 X 的条件分 布。 2、 根据参数 的先验信息确定先验分布 ( ) (prior distribution)。这是贝叶斯学派在最近几十年里重点 研究的问题。已获得一大批富有成效的方法。
( )( ) ， 确定的随机变量 X 的分布称为贝塔分 ( )
布，记为 beta( , ) 贝塔分布 beta( , ) 的均值 E ( X ) ，
方差 Var ( X ) ( )2 ( 1)
当 1 时，贝塔分布退化为 [0,1] 区间上的均匀分布。
i 1 K
Bayes 公式(后验概率公式 )：P ( i | x)
贝叶斯分析汇总讲解
第一章先验分布与后验分布§1.1三种信息统计学中有二个主要学派：频率学派和贝叶斯学派。
一、总体信息即总体分布或总体所属分不足给我们的信息，譬如，“总体是正态分布”这一句话就带给我们很多信息：它的密度函数是一条钟形曲线；它的一切距都存在；有关正态变量（服从正态分布的变量）的一些事件的概率可以计算，有正态分布可以导出2χ分布、t分布和F分布等重要分布；还有许多成熟的点估计、区间估计和假设检验方法可供我们选用。
二、样本信息即从总体抽取的样本给我们提供的信息。
这是最“新鲜”的信息，并且越多越好。
我们希望通过对样本信息的加工和处理对总体的某些特征作出较为精确的统计推断。
没有样本就没有统计学而言。
基于上述信息进行的统计推断被称为经典统计学，它的基本观点是把数据（样本）看成是来自具体一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不是局限于数据本身。
三、先验信息即在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般说来，先验信息主要来源于经验和历史资料。
例如，英国统计学家(1961)Savage曾考察如下实验，一位常饮牛奶加茶的妇女称，她能辨别先倒进杯子里的是茶还是牛奶。
对此作了十次试验，她都正确地说出了。
假如被实验者是在猜测，每次成功的概率为0.5，那么十次-=，这是一个很小的概率，是几乎不可能发生的，都猜中的概率为1020.0009766所以“每次成功的概率为0.5”的假设应被拒绝。
被实验者每次成功的概率要比0.5大很多，这正是她的经验帮了她的忙活，所以先验信息在推断中不可忽视。
基于上述三种信息进行的统计推断被称为贝叶斯统计学。
它与经典统计学的最主要的差别在于是否利用先验信息。
在使用样本信息上也是有差异的。
贝叶斯学派很重视已出现的样本观察值，而对尚未发生的样本观察值不予考虑，贝叶斯学派很重视先验信息的收集、挖掘和加工，使它数量化，形成先验分布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的质量。
贝叶斯学派最基本的观点是：任何一个未知量θ都可看作一个随机变量，应用一个概率分布去描述对θ的未知状况。
贝叶斯估计
则 称 q (x |)π ()为 后 验 分 布 h (|x )的 核 。 其 中 符 号 表 示 左 右 两 边 相 差 一 个 不 依 赖 的 常 数 因 子 .
3、共轭先验分布族的构造方法
共轭先验分布族共有两种构造方法.
第一种方法 首先计算似然函数q(x|),根据似然 函数所含的因式情况，选取与似然函数具有相同核 的分布作为先验分布. 例3(p88例3.8) 设 ( X 1 ,X 2 , ,X n ) T 是 来 自 正 态 总 体
L (,d (x ))h (|x )g (x )d x d
g (x ){ L (,d (x ))h (|x )d } d x
当X与都是离散型随机变量时，贝叶斯风险为
R (d)E (R (,d))
g(x){L(,d(x))h(|x)}
x
注 由上述计算可以看出，贝叶斯风险为计算两次 期望值得到,即
n
n
h (|x)( xi,nN xi)
i 1
i 1
第二种方法 设总体X的分布密度为p(x|),统计量
T ( X ) T ( X 1 X 2 ,, X n ) 是 参 数 的 充 分 统 计 量 ， 则 有
定理3.1 设 f () 为 任 一 固 定 的 函 数 ， 满 足 条 件
(1)f()0, ,
)2
( ) e 2
哪一个分布具有上述核？结论是倒分布，这是因为 分布的密度函数为
f(x;,)()
x1ex，x0,
0,
x0,
设 Y X 1 ,则 Y 的 密 度 函 数 为
f(y;,)()(1y)1ey，y0,
ห้องสมุดไป่ตู้0,
y0,
贝叶斯统计 经典统计 先验信息
贝叶斯统计经典统计先验信息贝叶斯统计与经典统计是统计学中两个重要的分支，它们在统计推断和参数估计等方面有着不同的理论基础和方法。
在进行统计分析时，我们通常会考虑先验信息，也就是在观测数据之前已经获得的关于参数的知识或信念。
下面将分别介绍贝叶斯统计和经典统计中的先验信息。
1. 贝叶斯统计中的先验信息：贝叶斯统计的核心思想是基于贝叶斯定理，通过将先验信息与观测数据相结合来更新对参数的估计。
以下是一些贝叶斯统计中常见的先验信息：- 先验分布：根据领域知识或以往实验的结果，我们可以选择一个适当的先验分布来描述参数的不确定性。
例如，对于一个二项分布的参数p，我们可以选择一个Beta分布作为其先验分布。
- 先验均值：如果我们对参数的均值有一定的认识，可以将其设置为先验均值。
这可以是基于经验或专家知识得出的结果。
- 先验方差：如果我们对参数的方差有一定的预期，可以将其设置为先验方差。
这可以反映出我们对参数的不确定性程度。
2. 经典统计中的先验信息：经典统计是基于频率主义的理论，它主要关注样本的分布和参数的估计。
以下是一些经典统计中常见的先验信息：- 假设检验：在进行假设检验时，我们通常会根据先验信息提出一个原假设和一个备择假设。
原假设是我们想要进行推断的参数满足的条件，备择假设是原假设不成立的情况。
- 置信区间：在估计参数时，我们可以根据先验信息构造一个置信区间。
置信区间可以反映我们对参数估计的不确定性程度。
- 样本大小：在经典统计中，样本大小对于参数估计的准确性和置信区间的精度有重要影响。
我们可以根据先验信息来确定样本大小，以保证估计结果的可靠性。
3. 贝叶斯统计与经典统计的先验信息比较：贝叶斯统计和经典统计在先验信息的处理上有所不同。
贝叶斯统计中，先验信息直接融入了参数的估计过程，而经典统计中，先验信息主要用于假设检验和置信区间的构造。
贝叶斯统计更加注重主观先验信息的利用，而经典统计更加注重样本数据的分布和频率性质。
证明贝塔分布是二项分布的共轭先验
在深入探讨证明贝塔分布是二项分布的共轭先验之前，让我们先来了解一下贝塔分布和二项分布的基本概念。
贝塔分布是概率论和统计学中常用的一种连续概率分布，它用于描述0到1之间的随机变量的概率分布。
贝塔分布的概率密度函数形式为：[ f(x; , ) = x{}(1-x){} ]其中，() 和 () 是分布的参数，而 (B(, )) 是贝塔函数。
贝塔分布常用于描述概率或比率的分布，例如成功的概率、事件发生的频率等。
而二项分布则是描述在 n 次独立重复的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。
如果每次试验成功的概率为 p ，失败的概率为 1-p ，则在 n 次独立重复试验中成功的次数 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布。
了解了贝塔分布和二项分布的基本概念后，我们来探讨一下证明贝塔分布是二项分布的共轭先验这个主题。
在贝叶斯统计中，共轭先验是一种重要的性质，它指的是如果后验分布和先验分布属于同一分布族，那么这个先验分布就被称为后验分布的共轭先验。
据证明，如果我们假设二项分布的参数 ( p ) 的先验分布是贝塔分布，那么在给定二项分布的观测数据后，后验分布也将是一个贝塔分布。
这一性质使得贝塔分布成为二项分布的共轭先验。
我们假设二项分布的参数 ( p ) 的先验分布为贝塔分布，即：[ X (n, p) ] [ p (, ) ]其中， ( X ) 是观测数据，表示成功的次数； ( n ) 是重复试验的次数； ( p ) 是成功的概率； ( ) 和 ( ) 是贝塔分布的参数。
接下来，我们根据贝叶斯定理，可以得到参数 ( p ) 的后验分布为：[ p | X (+ X, + n - X) ]这意味着给定二项分布的观测数据后，参数 ( p ) 的后验分布仍然是一个贝塔分布，其参数是根据先验分布的参数和观测数据进行了更新。
这就是贝塔分布是二项分布的共轭先验的证明过程。
在实际应用中，利用贝塔分布作为二项分布参数 ( p ) 的先验分布，可以更加灵活和方便地进行贝叶斯推断。
正态分布的共轭先验分布
正态分布的共轭先验分布
正态分布是统计学中经常使用的一种分布。
在贝叶斯统计学中，我们可以通过引入一个共轭先验分布来简化推断过程。
正态分布的共轭先验分布是正态分布。
这意味着，如果我们使用正态分布作为先验分布，那么后验分布将也是正态分布。
这大大简化了推断过程，因为我们可以使用正态分布的参数来描述后验分布。
同时，我们可以使用贝叶斯公式来更新我们对参数的信念，这使得我们能够在已知数据的情况下更好地估计参数。
正态分布的共轭先验分布在许多实际应用中都非常有用，例如，在金融领域中，我们可以使用正态分布的共轭先验分布来估计股票的收益率和波动性。
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贝叶斯讲义 先验分布的确定
计算其样本均值和样本方差，即： n 1 n 1 2 2 ˆ ˆ m x xi , m ( xi x ) n i 1 n 1 i 1 再用样本矩代替边际分布的矩，列出如下方程
| ˆ m E [ ( )]
ˆ ( ) E [ ( )] E [ ( ) m ( )]
当先验分布含有未知参数，譬如π(θ )= π(θ |λ )，那 么边缘分布m(x)依赖于λ，可记为m(x|λ )，这种边缘分 布在寻求后验分布时常遇到。
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二、混合分布
(1)混合分布的概念：设随机变量X以概率π 在总体F1 中取值，以概率1-π 在总体F2中取值。若F(x|θ 1)和 F(x|θ 2)分别是这两个总体的分布函数，则X的分布 函数为：F(x)= π F(x |θ 1)+(1-π )F(x|θ 2) 或用密度函数（或概率密度）表示： p(x)= π p(x |θ 1)+ (1-π )p(x|θ 2) 这个分布F(x)称为F(x |θ 1)和F(x|θ 2)的混合分布。 这里的π 和1-π 可以看作一个新随机变量θ 的分布， 即： P(θ =θ 1)=π =π (θ 1)， P(θ =θ 2)=1-π =π (θ 2)
则 ˆ 被称为Ⅱ型极大似然先验，或简称为 ML-Ⅱ先验。 说明：这里将m(x)看成似然函数
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四、先验选择的矩方法
在选择π ∈Г 时，可用矩方法代替极大似然方 法。矩方法应用于当Г有“已知函数形式”。即可 利用先验矩与边缘分布矩之间的关系寻求超参数的 估计。这种方法称为先验选择的矩方法。该方法的 具体步骤是： 1.计算总体分布p(x|θ )的期望μ (θ )和方差 σ 2(θ )，即 μ (θ )=Ex|θ (X)， σ 2(θ )= Ex|θ [X-μ (θ )]2 *Ex|θ 表示用θ 给定下的条件分布p(x|θ )求期望。
概率统计中的贝叶斯估计
贝叶斯估计，又称贝叶斯方法或贝叶斯推理，是概率统计中重要的一种估计方法。
其基本思想是基于已有的先验知识，通过观测数据来更新对目标参数的估计，从而得到后验知识。
贝叶斯估计在统计学、机器学习、人工智能等领域具有广泛的应用。
首先，我们需要明确一些概念。
在贝叶斯估计中，我们通常假设参数θ服从一个先验分布P(θ)，这个先验分布代表了我们对参数θ的不确定性的刻画。
在观测到数据X的情况下，我们希望得到更新后的参数θ的分布P(θ|X)，这个分布称为后验分布。
贝叶斯定理是贝叶斯估计的核心。
根据贝叶斯定理，后验分布P(θ|X)与先验分布P(θ)、样本分布P(X|θ)之间的关系可以表示为：P(θ|X) = P(X|θ) * P(θ) / P(X)其中，P(X|θ)是样本分布，表示参数为θ的条件下观测数据X出现的概率；P(X)是边际概率，表示观测数据X出现的概率。
观测数据是已知的，假设样本分布在给定参数θ的条件下是已知的。
在贝叶斯估计中，我们通常采用后验分布的期望值来作为参数的估计值。
根据后验分布的数学特征，我们可以计算出后验分布的期望值，并使用该值作为参数的估计值。
贝叶斯估计的一个重要应用是参数估计。
在统计推断中，我们通常希望通过观测数据来估计参数的值。
贝叶斯估计提供了一种基于观测数据和先验知识来估计参数的方法。
贝叶斯估计有很多优点。
首先，贝叶斯估计可以对先验知识进行有效的利用。
在很多问题中，我们往往有一些关于参数的先验知识，贝叶斯估计可以将这些知识融入到参数的估计中。
其次，贝叶斯估计可以考虑不同的不确定性，不仅可以给出参数的点估计，还可以给出参数的分布。
这对于后续的统计推断和预测是很有价值的。
此外，贝叶斯估计还可以对样本数据进行有效的利用，尤其在样本量较小的情况下，可以提供更加准确的估计。
然而，贝叶斯估计也有一些限制。
首先，贝叶斯估计的计算通常比较复杂。
在计算后验分布时，我们需要对先验分布和样本分布进行复杂的计算，尤其是在高维参数空间中。