数学解题思维策略

第一讲 数学解题思维策略——高考数学代数推理题一、数学解题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动．在高考试卷中，有一类问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法接轨，这就是代数推理题．这类问题立意新颖，抽象程度高，是数学问题的典型代表．具体说来，其思维过程一般分为三步：首先要领会题意（审题）——弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，则把它翻译成数学语言；其次要明确方向——在审题的基础上，运用所学知识和数学思想方法，明确解题目标与方向；最后要规范表述——采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确地表述．在这里，第一步是关键，这就是我们通常说的审题． 二、如何审题？ 1、理清题意审题，就是明确题目的已知和未知，是解题的第一步，这一步不要怕慢．从近年高考命题的特点来看，试卷容量有减少的趋向，目的也就是要突出对考生的能力检查，增加思考量，倡导多给考生一点思考和探索的时间．其实，题目本身就是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意．2、条件启发解题手段，结论诱导解题方向解题实践表明，条件往往预示可知并启发解题手段，结论则预告需知并诱导解题方向．可以按照条件列出所有的解题手段表解，根据结论写出可能的解题方向，并寻找出它们之间的联系，这样做的另一个好处是，可以将题目进行分解，避免失分．3、挖掘隐蔽条件对于条件，一定要用足用够．解题过程中的关键之处，往往是题目未明显写出的，即隐蔽给予的．一方面，解题时如果遇到“盲点”，可以回过头来分析是否用足用够条件；另一方面，也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这也说明，审题一定不要怕慢．〖例1〗（2005年成都一诊22题）对于函数f (x )，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称0x 为函数f (x )的不动点．已知2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．⑴若对b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；⑵在⑴的条件下，若y =f (x )的图像上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 两点关于直线2(44)y kx a a =+-+对称，求b 的最小值．〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件在结论二中列出．前提条件→解题手段：信息迁移（数学含义）→三个“二次”结合（数形结合）； 子条件→解题手段：①隐蔽条件；②对称性（数形结合）→垂直、中点（点差法）． 〔结论分析〕两个结论． 结论一→解题方向：不等关系； 结论二→解题方向：利用单调性求最值． 练习：1、设b x a x x f ++=1log 2)(log 2)(222，已知21=x 时，f (x )的最小值是8-． ⑴求b a -；⑵求在⑴的条件下，f (x )>0的解集A ；⑶设集合},21|||{R x t x x B ∈≤-=，且∅=⋂B A ，求实数t 的取值范围．答案：⑴4a b -=；⑵x x A <=0|{ }281><x 或；⑶238521≤≤-≤t t 或．2、定义在R 上的函数f (x )满足：如果对于任意12,x x ∈R ，都有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知二次函数2()(,0)f x ax x a a =+∈≠R ．⑴求证：当0a >时，函数f (x )是凹函数；⑵如果[0,1],|()|1x f x ∈≤，试求实数a 的取值范围． 答案：⑴略；⑵实数a 的取值范围为[2,0)-． 三、若干具体的解题策略为了使解题的目标和方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些具体的解题策略．一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的．基于这样的认识，常用的解题策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化和间接化等策略．1、熟悉化策略熟悉化策略，就是将陌生的题目变为曾经解过的比较熟悉的题目，进而利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题．可以在分清题目条件和结论的基础上，通过变换题目的条件、结论及其联系上下功夫．⑴联想回忆基本知识和题型通过联想回忆，找出现有问题和熟悉问题之间的相似之处和相同的知识点，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有问题．⑵全方位、多角度分析题意全方位分析题意，即把题目的所有条件都要分析透，并找到各条件间以及条件和结论间的联系，从中找出熟悉的解题手段；多角度分析题意，就是要善于从不同的侧面、不同的角度去认识，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，找到自己熟悉的解题方向．⑶恰当构造辅助元素通过构造辅助元素，如构造数列、构造图形或几何量、构造等价性命题等，改变题目的形式，变陌生题为熟悉题．〖例2〗（2003年成都一诊20题）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，p 为非零常数，满足条件：①a 1=1；②S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n )；③23lim =∞→n n S ． ⑴求证：数列{a n }是等比数列； ⑵求数列{a n }的通项公式；⑶若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和n n b b b T +++=Λ21． 〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件分项列出． 子条件①、②→联想回忆：a n =S n – S n – 1(2≥n )；子条件③→联想回忆：等比数列前n 项和的极限值存在，则公比q 的绝对值小于1． 〔结论分析〕三个结论． 结论一→根据定义证明； 结论二→求出公比；结论三→联想回忆：数列{b n }的通项是等差、等比数列的通项积，可用错位相减法求前n 项和．〔解题评析〕⑴证明：∵ S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n )， ∴ a n =S n – S n – 1=4a n – pa n – 1， （点评：应用a n =S n – S n – 1(2≥n )．） 3a n =pa n – 1． ∵ 0≠p 且a 1=1， ∴ )2(01≥≠-n a n ，∴)(31常数p a a n n =-，故数列{a n }是首项a 1=1，公比3pq =的等比数列． （点评：应说明)2(01≥≠-n a n ．）⑵解：∵ 23lim =∞→n n S ，∴ 23311|3|01=-<<p a p 且，（点评：应用无穷递缩等比数列前n 项和的极限．）∴ p =1，31=q ．∴ 数列{a n }的通项为1)31(-=n n a ．⑶解：13-==n n n nna b ，∴ 1221333321-++++=+++=n n n nb b b T ΛΛ……①n n n nn T 33133323131132+-++++=-Λ……②① – ②，得n n n )31()31(21231⋅-⋅-=-．（点评：使用错位相减法求数列前n 项和．） ∴ n n n n T )31(23)31(43491--=-．练习：1、数列{a n }的前n 项和记作为S n ，已知n n n S a )21(1+=-．⑴写出{a n }的通项公式，并证明； ⑵对于给出的正整数k ，当n >k 时，A S a kn kn n =--+∞→1lim ，且)001.0,1.0(--∈A ，求k 值．答案：⑴)1(21≥=+n na n n ；⑵k =2, 3, 4． 2、一计算装置有一数据入口A 和一个运算结果的出口B ．将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到数列{}n a ．结果表明：①从A 口输入n =1时，从B 口得到113a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}(1)n n ≥中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}(1)n n ≥中的第n +1个奇数．⑴从A 口分别输入2和3时，从B 口分别得到什么数？⑵猜测并证明当入口A 输入自然数列{}(1)n n ≥时，从B 口得到的数列{}n a 的通项公式；⑶为满足计算需要，工程师对装置进行了改造，使B 口出来的数据n a 依次进入C 口进行调整，结果为一列数据{}n b ．若1()n nb pn q a =+，则非零常数p 、q 满足什么关系式，才能使C 口所得数列{}n b 为等差数列？答案：⑴115和135；⑵1(21)(21)n a n n =-+；⑶2p q =±．3、一个正三棱锥，其侧棱长为1，且三条侧棱两两垂直，求该三棱锥的外接球的表面积．答案：π3． 2、简单化策略简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法将其转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题．简单化是熟悉化的补充和发挥．一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉．因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已．解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有：寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等．⑴寻求中间环节，挖掘隐含条件就多数结构复杂的题目的生成背景而论，大多是由一些简单题目经适当组合并抽去中间环节而构成的．因此，应尽可能从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，以实现复杂问题简单化．⑵分类考察讨论某些题目，其解题的复杂性在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形．对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化．⑶简化已知条件，恰当分解结论如果解题的复杂性来自于条件或结论的抽象概括，可以考虑将条件进行简单化处理，或尝试把结论分解为几个简单的部分，以便各个击破，解出原题．〖例3〗已知等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数，数列}{n y 满足)10(2log ≠>=⋅a a a y n x n 且，设183=y ，126=y ．⑴求数列}{n y 的前多少项和最大，最大值为多少？⑵试判断是否存在自然数M ，使当n >M 时，1>n x 恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；⑶令),13(log 1N n n x a n x n n ∈>=+，试判断数列}{n a 的增减性． 〔条件分析〕三个条件．第一个条件→解题手段：等比数列；第二个条件→解题手段：两个数列间的关系→等比数列的对数； 第三个条件→解题手段：第二个数列具体化． 〔结论分析〕三个结论，皆属探索性命题． 结论一→最值探索； 结论二→有界性探索； 结论三→单调性探索．〔解题关键〕数列是定义在正整数集上的函数． 〔解题评析〕（I ）设等比数列}{n x 的公比为)1(≠q q ，则n a x n x ay n log 2log 2==．∵ q x x x x y y a nn a n a n a n n log 2log 2)log (log 2111==-=-+++， ∴ 数列}{n y 为等差数列，设公差为d ．（点评：挖掘隐含条件——数列}{n y 为等差数列．） ∵ 183=y ，126=y ，∴ 2336-=-=y y d ，n n y y n 224)2()3(3-=-⋅-+=．设数列}{n y 前k 项和最大，则⎩⎨⎧≤≤⇒≤≥+1211001k y y k k， ∴ 前11项和及前12项和为最大，其和为132． （II ）N n a x n n ∈=-,12． 若1>n x ，即112>-n a ，当a >1时，n <12，不等式不成立； 当0<a <1时，n >12，不等式成立． （点评：分类考察讨论．）∴ 存在Λ,14,13,12=M ，当n >M 时，1>n x 恒成立． （III ）1211log log log log 12)1(12)1(12112--====-+-+-+-n n a a a x a n a n a n a n x n n n ． ∵ )13(0)12)(11(1121111101><---=-----=-+n n n n n n n a a n n ， ∴ n >13时，数列}{n a 为递减数列． 练习：1、若函数)20(2385cos sin 2π≤≤-++=x a x a x y 的最大值为1，求a 的值．答案：23=a ．2、已知0c >．设P ：函数x y c =在R 上单调递减；Q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围．答案：1(0,][1,)2c ∈⋃+∞．3、设函数2()f x ax bx c =++，对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤，求证：对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．3、直观化策略直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象、不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所涉及的各对象之间的联系，从而找到原题的解题思路．⑴图表直观有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了因难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底. 对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，将有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索．⑵图形直观对某些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，计算量偏大．这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，以拓宽解题思路，找到简捷、合理的解题途径．⑶图象直观不少涉及数量关系的题目，都与函数的图象密切相关．如果灵活运用函数图象的直观性，常常可以以简驭繁，获得简便、巧妙的解法．〖例4〗某摩托车生产企业，上半年生产摩托车的投入成本1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润年销售量投入成本出厂价⨯-=)(．⑴写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加比例x 的关系式；⑵为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 〔试题分析〕列表如下：〔解题评析〕⑴依题意和上表数据有)10()6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯+⨯-+⨯=x x x x y ，整理得 )10(20020602<<++-=x x x y ．（点评：布列关系式时，不仅要紧扣题意，还要注意自变量x 的取值范围，特别是应用题的定义域必须同时满足解析式有意义和实际问题有意义，只有准确写出定义域方可避免解答过程的失误或答案的失误．）⑵要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当将y 的关系式代入，解不等式组得310<<x ．答：为保证本年度的利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <0.33．〖例5〗设|z |=1，且)23,2(arg ππ∈z ，求i z iz +-arg 的值．〔试题分析〕利用复平面，将复数与点及向量对应，以便展开几何上的定形分析． 〔解题评析〕设z 、i 、– i 在复平面上对应的点分别为P 、A 、B ．∵ )23,2(arg ππ∈z，∴ P 点在左半单位圆上，如图，→--AP 、→--BP 分别表示对应复数z – i 、z +i ．由复数除法的几何意义知，iz iz +-arg 表示→--BP 逆时针方向旋转到→--AP 方向的最小正角，又∵ AB 是圆的直径，故2argπ=+-i z i z ． （点评：本题可利用复数z 的三角形式或共轭复数的性质求解，但如果调整思维视角，由“数”的方向转到“形”的角度去观察，就可简捷地解答此题．）〖例6〗方程x +lg x =3和x +10x =3的两实根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=________． 〔解题评析〕 3 ．由 x +lg x =3，得lg x =3 – x ．由x +10x =3，得10x =3 – x ． 分别作出y =lg x ，y =10x 及y =3 – x 的图象，并注意y =lg x 与y =10x 互为反函数，直线y =x 与y =3 – x 互相垂直，可知x 1+x 2=2x M ，如图．由⎩⎨⎧-==,3,x y x y 得)23,23(M ，∴ x 1+x 2=2x M =3．（点评：看似无法求解的问题通过图象分析找到了巧妙的解法．） 4、特殊化策略特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，可以考虑是否满足一些特殊的条件，或考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以从特殊问题的研究中，发现解答原题的方向或途径．〖例7〗设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，对任意实数α、β，恒有0)(sin ≥αf ，且0)cos 2(≤+βf ．⑴求证1-=+c b ； ⑵求证3≥c ；⑶若)(sin αf 的最大值为8，求b 、c 的值．〔试题分析〕注意到1sin 1≤≤-α及3cos 21≤+≤β，实施特殊化策略（赋值法）可解．〔解题评析〕⑴∵ 1sin 1≤≤-α，且0)(sin ≥αf ， ∴ 0)1(≥f ．又∵ 3cos 21≤+≤β，且0)cos 2(≤+βf ， ∴ 0)1(≤f ． （点评：特殊化策略．） ∴ 0)1(=f ，即 1+b +c =0． （点评：赋值法．） ∴ 1-=+c b ．⑵∵ 0)3(≤f ，即 039≤++c b ， 由（I ），1-=+c b ， ∴ 3≥c ．（点评：注意利用⑴的结论．）⑶c c f +--+=αααsin )1(sin )(sin 222)21()21(sin c c c +-++-=α．∵ 3≥c ，221≥+c，)(sin αf 的最大值为8，∴ 当1sin -=α时，8)(sin =αf ，即81=+-c b ． （点评：配方定轴看单调．）解方程组⎩⎨⎧-=+=+-.1,81c b c b得4-=b ，c =3． 练习：1、设函数f (x )是定义在R 上的增函数，f (1)=a (a >0)，且R m mx f x f m ∈=),()]([，求f (x )并证明a >1．答案：x a x f =)(．2、已知函数定义域为R ，对于任意实数12,x x 都满足1212()()()f x x f x f x +=+，当0x >时，()0f x >．⑴判断f (x )的奇偶性和单调性；⑵当[0,]2πθ∈时，(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->对所有的θ均成立，求实数m 的取值范围．答案：⑴略；⑵(4)θ∈-+∞．3、在ABC ∆中，若222c a b =+，则ABC ∆为直角三角形，且C 为直角． 现在请你研究：若(2,)n n n c a b n n =+>∈N ，则ABC ∆为何种形状的三角形？ 答案：锐角三角形． 5、一般化策略一般化策略，就是当我们面临的是一道计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，应设法把特殊问题一般化，从而找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，以顺利解出原题．〖例8〗（2002理）已知函数221)(x x x f +=，那么1(1)(2)()(3)2f f f f ++++ 11()(4)()34f f f ++=________． 练习：1、已知函数23123(),n n f x a x a x a x a x n +=++++∈L N ，且12,,,n a a a L 构成一个数列{}n a ，满足2(1)f n =．⑴求数列{}n a 的通项公式，并求1lim n n n a a →∞+之值； ⑵证明10()13f <<． 答案：⑴21n a n =-，1lim 1n n n a a →∞+=；⑵略． 2、已知椭圆222(0)2y x a a +=>和点(1,1)A -，(2,4)B ．若线段AB 与椭圆没有公共点，求实数a 的取值范围．答案：(0,)2a ∈⋃+∞． 6、简接化策略间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，就需要改变思维视角，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题. 所谓正难则反，说的也就是这个意思．〖例9〗函数bx a x f 211)(⋅+=的定义域为R ，且)(0)(lim N n n f n ∈=-∞→． ⑴求证：a >0，b <0； ⑵若54)1(=f 且21)0(=f ,求证：)(2121)()2()1(1N n n n f f f n ∈-+>++++Λ． 〔解题评析〕⑴∵ f (x )的定义域为R ，∴ 021≠⋅+bx a ，即bx a --≠2，由R x ∈，有0≥a ．（点评：定义域优先．）若a =0，则f (x )=1，与0)(lim =-∞→n f n 矛盾． （点评：正难则反．）∴ a >0，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>=+<<=⋅+=-----∞→∞→)12(0)12(11)120(1211lim )(lim b b b bn n n a a n f（点评：分类讨论．）∴ 12>-b ，即b <0．故a >0，b <0．⑵∵ 2111)0(=+=a f ，∴ a =1． 又54211)1(=+=b f ， ∴ 412=b ，2-=b ． （点评：待定系数法．）∴ xx x x x f 4111414211)(2+-=+=+=-． 当N k ∈时，kk k f 22114111)(⋅->+-=， （点评：一般化策略．）∴ )221221221()()2()1(2n n n f f f ⋅++⋅+⋅->+++ΛΛ 2121211)211(411-+=---=+n n n n ． 练习：1、若二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上至少存在一点m ，使()0f m >，求实数p 的取值范围． 答案：3(3,)2p ∈-． 2，求总体落入区间( 1.2,0.2)-之间的概率（参考数据：(0.2)0.5793φ=，(1.2)0.8849φ=）．答案：0.4642．3、盒子里装有若干个球，每个球都记有从1开始的一个号码，设号码为n 的球重25153n n -+（克）．假设盒子的容量最多可装35个球，而且符合条件的球无一例外的都被装入盒中，这些球以等可能性（不受重量、号码的影响）从盒子里取出．⑴如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；⑵如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率． 答案：⑴2835；⑵4595． 四、寻根查祖，提高数学解题能力可以通过以下探索途径来提高解题能力：1、研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考．因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解．2、清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的．3、深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要在图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现．4、尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目．5、仔细考虑题意是否有其他不同理解．题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？6、认真研究题目提出的目标．通过目标找出哪些定理、法则、公式同题目或其他元素有联系．7、如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解题思路的展开．以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点．在制定计划寻求解法阶段，可以利用下面这套探索方法：1、设法将题目与你会解的某一类题联系起来．或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法．2、记住：题的目标是寻求解答的主要方向．在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题．3、解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较．用这种办法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整．4、尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解．再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代．5、分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大对条件的理解．6、尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解．7、研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响．8、改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望” ．9、万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或参考书中找一个同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示．〖例1〗（2005年成都一诊19题）已知函数f (x )的图像与函数321()23h x x x =++的图像关于点(0,1)A 对称．⑴求f (x )的解析式；⑵若()()g x f x ax =+，且()g x 在(,)-∞+∞上为增函数，求实数a 的取值范围． 〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件在结论二中列出．前提条件→解题手段：对称性（数形结合）→中点坐标；子条件→解题手段：①三次函数；②单调性→导数（二次函数）→手段一：分离系数（大于最大的，小于最小的）；手段二：三个“二次”结合（数形结合）．〔结论分析〕两个结论．结论一→解题方向：求轨迹方程的一般方法；结论二→解题方向：不等关系．〔解题评析〕⑴设(,)P x y 为()f x 图像上任一点，则点P 关于点A 的对称点为(,2)Q x y --，由已知条件知点Q 在h (x )的图像上．∴ 3212()()23y x x -=-+-+，即3213y x x =-． ∴ 321()3f x x x =-． （点评：函数与方程的关系．）⑵∵ 321()()3g x f x ax x x ax =+=-+， ∴ 2()2g x x x a '=-+．∵ ()g x 在R 上为增函数，∴ 220x x a -+≥在R 上恒成立．只需22a x x ≥-+恒成立，即只需2max (2)1a x x ≥-+=即可．∴ a 的取值范围是[1,)+∞．。