分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法

【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式.

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域

例1．求函数1222[1,0];

()(0,2);3[2,);x x f x x

x x +∈-⎧⎪

=-∈⎨⎪∈+∞⎩

的定义域、值域.

【解析】

作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为

[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.

2．求分段函数的函数值

例2．（05年浙江理）已知函数2

|1|2,(||1)

()1,(||1)1x x f x x x

--≤⎧⎪

=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .

【解析】

因为311222()|1|2f =--=-, 所以31

222

3214

[()]()1()13

f f f =-=

=+-.

3．求分段函数的最值

例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪

=+<≤⎨⎪-+>⎩

的最大值.

【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.

4．求分段函数的解析式

例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）

222(10)

.()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩

222(10)

.()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩

222(12)

.()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩

2

26(12)

.()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩

【解析】

当[2,0]x ∈-时, 1

2

1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下

平移

1

个单位, 得解析式为1122

(2)111y x x =-+-=

-, 所以

()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2

个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以

1

2

()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得2

22(10)

()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .

5．作分段函数的图像

y x

例5．函数|ln |

|1|x y e

x =--的图像大致是（ ）

A

C

D

6．求分段函数得反函数

例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x

f x =-, 设

()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.

【解析】

设0x <, 则0x ->, 所以()3

1x

f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,

所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x

f x -=-, 因此

31(0)()0(0)13(0)

x x x f x x x -⎧->⎪

==⎨⎪-<⎩

, 从而可得33log (1)(0)

()0

(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.

7．判断分段函数的奇偶性

例7．判断函数2

2(1)(0)

()(1)(0)

x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.

【解析】

当0x >时, 0x -<, 2

2

()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,

(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()

f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.

8．判断分段函数的单调性

例8．判断函数32

(0)

()(0)x x x f x x

x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.

【解析】

显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2

()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '

()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.

例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.

【解析】121231()

()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪

=+-<<⎨⎪-≥⎩

, 画图易知单调

减区间为12(,]-∞-.

9．解分段函数的方程

例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)

x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1

()4f x =的x 的

值为

【解析】 若142

x

-=, 则222x

--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,

则14

81x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.

10．解分段函数的不等式

x