2014届高三文科数学复习专题二 函数课时作业六

答案 解析
(1,2] ax－1，x≤2， 由题意知 a>0， 且 f(x)＝ 是定义域上的单调增函 logax－1＋3，x>2
a>1， 数，因此 2a－1≤loga2－1＋3. 故 1<a≤2. 4x 3．若函数 f(x)＝ 2 在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则 m∈________. x ＋1 答案 解析 (－1,0] 41－x2 ∵f′(x)＝ 2 ， x ＋12
解析
(1)证明
任设 x1<x2<－2，
2x1－x2 x1 x2 则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ . x1＋2 x2＋2 x1＋2x2＋2 ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设 1<x1<x2，则 ax2－x1 x1 x2 － ＝ . x1－a x2－a x1－ax2－a
显然 x－1 在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得 x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增． x2＋1，x≥0， 5．已知函数 f(x)＝ 则满足不等式 f(1－x2)>f(2x)的 x 的取值 1 ， x <0 ， 范围是________． 答案 解析 (－1， 2－1)
3．下列函数满足“对∀x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2 时恒有 是
2，x≥0， 4．(2013· 石家庄一模)已知函数 f(x)＝ 则满足不等式 f(3－ －x＋2，x<0， x2)<f(2x)的 x 的取值范围为 A．(－3，－ 3) C．[－3,0) 答案 解析 D 作出 f(x)图像如图． B．(－3,1) D．(－3,0) ( )
课时作业(六)
1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是 A．y＝1－x2 C．y＝－ －x 答案 D B．y＝x2＋x D．y＝ x x－1 ( )
2．若 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值 范围是 A．a<－3 C．a>－3 答案 解析 B 对称轴 x＝1－a≥4，∴a≤－3. fx2－fx1 <0”的 x2－x1 ( 1 A．f(x)＝x C．f(x)＝ex 答案 解析 A 1 条件即 f(x)在(0，＋∞)为减函数，只有x符合条件． B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝ln(x＋1) ) B．a≤－3 D．a≥－3 ( )
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减． 1 9．设函数 f(x)＝2x＋ x－1(x<0)，则 f(x) A．有最大值 C．是增函数 答案 解析 A 1 1 当 x<0 时， －x>0， －(2x＋x )＝(－2x)＋(－x )≥2 1 －2x· －x ＝2 2， B．有最小值 D．是减函数 ( )
)
2－a2 a>1， 1 当 a>1 且 x2－ax＋2有最小值时， f(x)才有最小值 loga 4 ， ∴ Δ<0
C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b) 答案 解析 A ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴选 A. 8．函数 f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是 A．(3，＋∞) C．(－∞，1) 答案 解析 A x＋1>0， 由已知易得 即 x>3，又 0<0.5<1， x－3>0， B．(1，＋∞) D．(－∞，－1) ( )
1 能使函数 y＝logax2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 解析 ①④ 利用复合函数的性质，①④正确．
17．设函数 f(x)＝2x＋a· 2－x－1(a 为实数)．若 a<0，用函数单调性定义证明： y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 解析 设任意实数 x1<x2，
a>0， 则有a＋2>0， a＋2≤1， a<0， 则有a＋2>0， a＋2≥1，
此不等式组无解；
若 f(x)在 R 上单调递减，
解得－1≤a<0.
综上，实数 a 的取值范围是[－1,0)． ax－1，x≤2， 2．f(x)＝ 是定义域上的单调函数，则 a 的取值范围是 logax－1＋3，x>2 ________．
f(x1)－f(x2)＝
∵a>0，x2－x1>0， ∴要使 f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立，∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1.
ax2＋1x≥0， 1．已知函数 f(x)＝ 为 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范 a＋2eaxx<0 围是 A．[－1,0) C．[－2,0) 答案 解析 A 若 f(x)在 R 上单调递增， B．(0，＋∞) D．(－∞，－2) ( )
∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)2>0，x2＋1>0. ∴当 a<0 时，f′(x)>0，f(x)在(－1,1)上为增函数， 当 a>0 时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上为减函数． 7．函数 f(x)对任意的 a、b∈R，都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当 x>0 时， f(x)>1. (1)求证：f(x)是 R 上的增函数； (2)若 f(4)＝5，解不等式 f(3m2－m－2)<3. 答案 解析 (1)略 4 (2){m|－1<m<3}
11．(2012· 安徽)若函数 f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是 [3，＋∞)，则 a＝ ________.
答案
－6 a 2x＋a，x≥－2， f(x)＝|2x＋a|＝ a －2x－a，x<－2，
解析
∵函数 f(x)的增区间是[3，＋∞)， a ∴－2＝3，即 a＝－6. 12．(2012· 上海)已知函数 f(x)＝e|x－a|(a 为常数)，若 f(x)在区间[1，＋∞)上是 增函数，则 a 的取值范围是________． 答案 解析 (－∞，1]
令 f′(x)>0，得－1<x<1. ∴f(x)的增区间为(－1,1)． 又∵f(x)在(m,2m＋1)上单调递增， m≥－1， ∴ ∴－1≤m≤0. 2m＋1≤1， ∵区间(m,2m＋1)， ∴2m＋1>m，即 m>－1. 综上，－1<m≤0. x2 4．函数 f(x)＝ (x∈R 且 x≠1)的单调增区间是______． x－1 答案 解析 (－∞，0)和(2，＋∞) x2 1 将原函数 y＝ 变形为 y＝(x－1)＋ ＋2， x－1 x－1
1 1 即 2x＋x≤－2 2，2x＋ x－1≤－2 2－1，即 f(x)≤－2 2－1，当且仅当－2x＝ 1 2 －x ，即 x＝－ 2 时取等号，此时函数 f(x)有最大值，选 A. 1 10． 已知 f(x)为 R 上的减函数， 则满足 f(|x |)<f(1)的实数 x 的取值范围是 ( A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1) 答案 解析 C 1 由已知得|x |>1⇒－1<x<0 或 0<x<1，故选 C. B．(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) )
15．函数 f(x)＝|logax|(0<a<1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞)
解析
函数图像如图.
16．在给出的下列 4 个条件中， 0<a<1， ① x∈－∞，0 a>1， ③ x∈－∞，0 0<a<1， ② x∈0，＋∞ a>1， ④ x∈0，＋∞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵f(3－x2)<f(2x)， 3－x2>2x， ∴ 2x<0. 解得－3<x<0.选 D. 1 5．函数 f(x)＝1－ x－1 A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 答案 解析 B 1 f(x)可由－x 沿 x 轴向右平移一个单位， 再向上平移一个单位得， 如图． ( )
－ ex a，x≥a， f(x)＝ a－x 当 x≥a 时 f(x)单调递增，当 x<a 时，f(x)单调递 e ，x<a，
减，又 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以 a≤1. 13．若奇函数 f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式 f(lgx)＋f(1)>0 的解集是 ________． 答案 解析 1 (0，10) 因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，又因为 f(x)在(－∞，0]上单
1 6．若函数 f(x)＝loga(x2－ax＋2)有最小值，则实数 a 的取值范围是 ( A．(0,1) C．(1， 2) 答案 解析 ⇒1<a< 2. 7．若函数 f(x)是 R 上的增函数，对实数 a、b，若 a＋b>0，则有 ( A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) ) C B．(0,1)∪(1， 2) D．[ 2，＋∞)
(1)证明：设 x1，x2∈R，且 x1<x2，
则 x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. ∴f(x2)>f(x1)． 即 f(x)是 R 上的增函数． (2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3. ∴原不等式可化为 f(3m2－m－2)<f(2)． ∵f(x)是 R 上的增函数， 4 ∴3m2－m－2<2，解得－1<m<3. 4 故 m 的解集为{m|－1<m<3}． 8． 已知函数 f(x)自变量取值区间 A， 若其值域区间也为 A， 则称区间 A 为 f(x) 的保值区间． (1)求函数 f(x)＝x2 形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间； (2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求 m 的取值范围． 答案 解析 (1)[0，＋∞)或[1，＋∞) (2)－1
a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数． 解析 方法一 设－1<x1<x2<1，
ax1x2＋1x2－x1 则 f(x1)－f(x2)＝ . 2 x2 1－1x2－1 ∵ x1x2＋1x2－x1 >0， 2 x2 1－1x2－1
∴a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数． 方法二 －ax2＋1 对 f(x)求导，有 f′(x)＝ 2 ， x －12
调递减，所以 f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数 f(x)在 R 上为单调 递减函数． 1 不等式 f(lgx)＋f(1)>0 可化为 f(lgx)>－f(1)＝f(－1)， 所以 lgx<－1， 解得 0<x<10. 14．给出下列命题 1 ①y＝x在定义域内为减函数； ②y＝(x－1)2 在(0，＋∞)上是增函数； 1 ③y＝－x在(－∞，0)上为增函数； ④y＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________． 答案 解析 3 ①②④错误，其中④中若 k＝0，则命题不成立．
则 f(x1)－f(x2)
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)是增函数． x 18．已知 f(x)＝ (x≠a)． x－a (1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围． 答案 (1)略 (2)0<a≤1
x2＋1，x≥0， 画出 f(x) ＝ 的图像，由图像可知，若 f(1 － x2)>f(2x) ，则 1，x<0 －1<x<1， 1－x2>0， 即 1－x2>2x， －1－ 2<x<－1＋ 2， 得 x∈(－1, 2－1)．
ax 6．判断函数 f(x)＝ 2 (a≠0)在区间(－1,1)上的单调性． x －1 答案 a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数；