高二数学二项式定理的应用24页PPT
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(a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ) (1 2)7 (1 2 (1))7 2187
二项式定理的应用
二项式定理
二项式系数（
C
r n
，r=0,1,2……n）
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnra nrbr Cnnbn (n N ) 二项展开式 二项展开式的通项
（3）求 ( x 2 x 2)4 展开式中含 x4 的项
（1）∴所求的项为 C83 (2x)315 448x3 。
（2）分析与解：Tr+1=
C9r
x
9r
(
1 x
)
r
，
令 9-2r=3，从而得 r=3，
即
T4= C93x6 (
1 )3 x
84 x 3
。
（3）分析与解： ( x2 x 2)4 (x 2)4 (x 1)4 其中 ( x 2)4 展开式的通项为 Tr1 C4r x 4r 2r ( x 1)4 展开式的通项为 Tk1 C4k x 4k (1)r 要使积为 x4 项，则 4-r+4-k=4 ∴k+r=4 ∴x4 项为 C40 x 4 (1)0 C44 x0 24 C41 x3 (1)1 C43 x23 C42 x 2 (1)2 C42 x 2
C43 x(1)3 C41 x3 2 C44 (1)4 C40 x 4 =16x4 (128x4 ) 144 x4 (32x4 ) x4 = x4
例 3、已知 ( x 1 )n 的展开式中，前 3 项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的各有理项。
解： T1 T01 Cn0 (
和 第 四 项 的 系 数 .
退出
求 ( x2)10的 展 开 式 中 第 四 项 的 二 项 式 系 数 x
和 第 四 项 的 系 数 .
分析：第 第
k+1 k+1
项项的的二系项数式---系---数------------------------具c体nk 数值的积。
解：
因为T4 T31 (1)3c130(
分析：由 anbn (ab)n 知，原式可变形为 (1 x3)5
再展开，比直接展开简便。
解： (1x)5(1xx2)5 (1x3)5 c50 c51x3 c52x6 c53x9 c54x12 c55x15 15x3 10x6 10x9 5x12 x15
退出
问题3
求 ( x2)10的 展 开 式 中 第 四 项 的 二 项 式 系 数 x
2
8
∴n2-9n+8=0
得 n=8（n=1 舍去，至少有 3 项，∴n≥2）
设第 r+1 项为有理项，则有
Tr1 C8r (
x )8r ( 1 )4 24 x
C8r
1 2r
163r
x 4
则 16 3r 必为整数∴r 被 4 整除，∴r=0,4,8 4
∴这个展开式的有理项分别为
T1
x4 ,T5
解：（1）令 x=-1，则 (1 2(1))6 729 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 又∵a0=16=1 ∴ a6 a5 a4 a3 a2 a1 =728 （2） (a0 a2 a4 a6 )2 (a1 a3 a5 a7 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 )
C1n
C
2 n
Cnn-1
C0n
n1
Cn2
C1n
Cnn
n+1
Cn2
Cnn-1
n 是偶数
小结
说明
C0n
Cnn n 是奇数
问题1 求 ( 1 -x )5 ( 1 x x 2 )5 的 展 开 式
问题2 用 关 于 ( r 1 ) 的 n 次 多 项 式 表 示 r n .
退出
求 ( 1 -x )5 ( 1 x x 2 )5 的 展 开 式
x)7( 2 )3, x
所以第四项的二项式系数是c130 120.
第四项的系数是-c130 8960.
退出
问题4
求 (9x1)18展 开 式 中 的 常 数 项 . 3x
退出
求 (9x1)1 8展 开 式 中 的 常 数 项 . 3x
分析：常数项是含 x 0 的项，即不含 x 的项。
解：
百度文库
Tk1
C1k8(1)k
二项展开式中 （1）各项的二项式系数之和
Cn0
Cn1
C
r n
Cnn
2n
（2）奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和：
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
例 1、例求1(、1-2求x)(71展-2x开)7式展中开第式4中项第的4二项项的式二系项数式、系系数数、。 分析：分先析求：出先求T4出 T4
T41
C84
1 24
x
35 8
x
T9
T81
C88
(
1 2
)8
x
2
1 256 x 2
例 4、（1）已知 (1 2x)6 a0 a1x a2 x2 a6 x6 ， 则 a6 a5 a4 a3 a2 a1 = （2）若 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ， 则 (a0 a2 a4 a6 )2 (a1 a3 a5 a7 )2 =
解：T解4=：TT3+41==TC373+11=4 (C7231x4)(32x)83 C73x83 C73 x3
∴二项∴式二系项数式为系C数73 为=35C
3 7
=35
系数为系数8为 C73 8=-2C8730=-280
例 2、（1）求(2x+1)8 展开式中含 x3 的项。
（2）求 (x 1 )9 的展开式中含 x3 的项 x
(9x)18k
x)n ( 1 )0 ( 24 x
x)n ，
T2 T11 Cn1 (
x )n1
( 1 24 x
)1
1 2
Cn1
(
x )n1 ， 4x
T3
T21
C
2 n
(
x )n2
( 1 24 x
)2
1 4
C
2 n
(
x )n2 ， x
由
T1，T2，T3 的系数为
1、
n 2
、
n(n 1) 8
成等差数列
∴ 2 n n(n 1) 1
Tr1 Cnr a nrbr
二项式定理的应用
(ab)ncn 0ancn 1an1b1cn ranrbr
求展开式
cn nbn
二项展开式
求展开式中的指定项
c
r n
（r=1,2,…,n) 二项式系数
求展开式中的特定项 求展开式中的有理项 求展开式中的最大项
Tr1cnranrbr 二项展开式的通项
n
第 r+1 项
二项式定理的应用
二项式定理
二项式系数（
C
r n
，r=0,1,2……n）
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnra nrbr Cnnbn (n N ) 二项展开式 二项展开式的通项
（3）求 ( x 2 x 2)4 展开式中含 x4 的项
（1）∴所求的项为 C83 (2x)315 448x3 。
（2）分析与解：Tr+1=
C9r
x
9r
(
1 x
)
r
，
令 9-2r=3，从而得 r=3，
即
T4= C93x6 (
1 )3 x
84 x 3
。
（3）分析与解： ( x2 x 2)4 (x 2)4 (x 1)4 其中 ( x 2)4 展开式的通项为 Tr1 C4r x 4r 2r ( x 1)4 展开式的通项为 Tk1 C4k x 4k (1)r 要使积为 x4 项，则 4-r+4-k=4 ∴k+r=4 ∴x4 项为 C40 x 4 (1)0 C44 x0 24 C41 x3 (1)1 C43 x23 C42 x 2 (1)2 C42 x 2
C43 x(1)3 C41 x3 2 C44 (1)4 C40 x 4 =16x4 (128x4 ) 144 x4 (32x4 ) x4 = x4
例 3、已知 ( x 1 )n 的展开式中，前 3 项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的各有理项。
解： T1 T01 Cn0 (
和 第 四 项 的 系 数 .
退出
求 ( x2)10的 展 开 式 中 第 四 项 的 二 项 式 系 数 x
和 第 四 项 的 系 数 .
分析：第 第
k+1 k+1
项项的的二系项数式---系---数------------------------具c体nk 数值的积。
解：
因为T4 T31 (1)3c130(
分析：由 anbn (ab)n 知，原式可变形为 (1 x3)5
再展开，比直接展开简便。
解： (1x)5(1xx2)5 (1x3)5 c50 c51x3 c52x6 c53x9 c54x12 c55x15 15x3 10x6 10x9 5x12 x15
退出
问题3
求 ( x2)10的 展 开 式 中 第 四 项 的 二 项 式 系 数 x
2
8
∴n2-9n+8=0
得 n=8（n=1 舍去，至少有 3 项，∴n≥2）
设第 r+1 项为有理项，则有
Tr1 C8r (
x )8r ( 1 )4 24 x
C8r
1 2r
163r
x 4
则 16 3r 必为整数∴r 被 4 整除，∴r=0,4,8 4
∴这个展开式的有理项分别为
T1
x4 ,T5
解：（1）令 x=-1，则 (1 2(1))6 729 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 又∵a0=16=1 ∴ a6 a5 a4 a3 a2 a1 =728 （2） (a0 a2 a4 a6 )2 (a1 a3 a5 a7 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 )
C1n
C
2 n
Cnn-1
C0n
n1
Cn2
C1n
Cnn
n+1
Cn2
Cnn-1
n 是偶数
小结
说明
C0n
Cnn n 是奇数
问题1 求 ( 1 -x )5 ( 1 x x 2 )5 的 展 开 式
问题2 用 关 于 ( r 1 ) 的 n 次 多 项 式 表 示 r n .
退出
求 ( 1 -x )5 ( 1 x x 2 )5 的 展 开 式
x)7( 2 )3, x
所以第四项的二项式系数是c130 120.
第四项的系数是-c130 8960.
退出
问题4
求 (9x1)18展 开 式 中 的 常 数 项 . 3x
退出
求 (9x1)1 8展 开 式 中 的 常 数 项 . 3x
分析：常数项是含 x 0 的项，即不含 x 的项。
解：
百度文库
Tk1
C1k8(1)k
二项展开式中 （1）各项的二项式系数之和
Cn0
Cn1
C
r n
Cnn
2n
（2）奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和：
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
例 1、例求1(、1-2求x)(71展-2x开)7式展中开第式4中项第的4二项项的式二系项数式、系系数数、。 分析：分先析求：出先求T4出 T4
T41
C84
1 24
x
35 8
x
T9
T81
C88
(
1 2
)8
x
2
1 256 x 2
例 4、（1）已知 (1 2x)6 a0 a1x a2 x2 a6 x6 ， 则 a6 a5 a4 a3 a2 a1 = （2）若 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ， 则 (a0 a2 a4 a6 )2 (a1 a3 a5 a7 )2 =
解：T解4=：TT3+41==TC373+11=4 (C7231x4)(32x)83 C73x83 C73 x3
∴二项∴式二系项数式为系C数73 为=35C
3 7
=35
系数为系数8为 C73 8=-2C8730=-280
例 2、（1）求(2x+1)8 展开式中含 x3 的项。
（2）求 (x 1 )9 的展开式中含 x3 的项 x
(9x)18k
x)n ( 1 )0 ( 24 x
x)n ，
T2 T11 Cn1 (
x )n1
( 1 24 x
)1
1 2
Cn1
(
x )n1 ， 4x
T3
T21
C
2 n
(
x )n2
( 1 24 x
)2
1 4
C
2 n
(
x )n2 ， x
由
T1，T2，T3 的系数为
1、
n 2
、
n(n 1) 8
成等差数列
∴ 2 n n(n 1) 1
Tr1 Cnr a nrbr
二项式定理的应用
(ab)ncn 0ancn 1an1b1cn ranrbr
求展开式
cn nbn
二项展开式
求展开式中的指定项
c
r n
（r=1,2,…,n) 二项式系数
求展开式中的特定项 求展开式中的有理项 求展开式中的最大项
Tr1cnranrbr 二项展开式的通项
n
第 r+1 项