高二数学二项式定理的应用24页PPT
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6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
二项式定理 课件
[点评] 二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中 的变元的指数为零的方法求得常数项．
[例 4]
若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数成等差数
列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
(2)展开式中所有 x 的有理项．
[分析] 首先由“前三项系数成等差数列”，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的 要求解答每一问．每问都与二项展开式的通项公式有关．
[点评] 要注意区分二项式系数与项的系数：二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者 仅与二项式的指数及项数有关，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数 及项数均有关．
[例6] 试判断7777－1能否被19整除？ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①76是19的倍数； ②7777＝(76＋1)77可用二项式定理展开．解答本题可用二项式定理求得(76＋1)77－1能被19整
3．①Cknan－kbk 是二项展开式中的第 k＋1 项，不是第 k 项，a 与 b 不可随便更换；
②(a－b)n 的展开式通项为：Tk＋1＝Cknan－k(－b)k＝(－ 1)kCknan－kbk；
③取 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2＋…＋ Crnxr＋…＋xn 在解题中是很有用的，要认真体会，熟练掌 握．
[例 2] 设 n 为自然数，化简 Cn0·2n－C1n·2n－1＋…＋(－ 1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．
高二数学人选修课件时二项式定理
二项式展开式的系数遵循 杨辉三角的规律，即每一 项的系数等于它上一行相
邻两项系数的和。
展开式应用举例
01
02
03
求特定项的系数
通过通项公式，可以求出 二项式展开式中任意一项 的系数。
证明恒等式
利用二项式定理展开式， 可以证明一些与二项式相 关的恒等式。
求和与求积
二项式定理展开式可以用 于求和或求积的问题，如 求 $(1+x)^n$ 的展开式 中所有项的系数和等。
高二数学人选修课件时二项式 定理
汇报人：XX
20XX-01-17
CONTENTS
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开式 • 二项式定理证明方法 • 二项式定理在概率统计中应用 • 二项式定理在高等数学中延伸 • 总结回顾与拓展思考
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于展开形如(a+b)ⁿ的二项式。
THANKS
拓展思考题及答案解析
思考题1：求$(x+2)^5$的 展开式。
【解析】根据二项式定理的 展开式， $(x+2)^5=sum_{k=0}^{5} C_5^kx^{5k}2^k=x^5+10x^4+40x^ 3+80x^2+80x+32$。
思考题2：求$(1-2x)^6$的 展开式中，$x^3$的系数。
含义解释
通项公式表示在二项式
$(a+b)^n$
的展开式中，第
$k+1$
项的表达式。其中
$C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$
个不同元素中选取 $k$ 个元素的
组合方式数目。
邻两项系数的和。
展开式应用举例
01
02
03
求特定项的系数
通过通项公式，可以求出 二项式展开式中任意一项 的系数。
证明恒等式
利用二项式定理展开式， 可以证明一些与二项式相 关的恒等式。
求和与求积
二项式定理展开式可以用 于求和或求积的问题，如 求 $(1+x)^n$ 的展开式 中所有项的系数和等。
高二数学人选修课件时二项式 定理
汇报人：XX
20XX-01-17
CONTENTS
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开式 • 二项式定理证明方法 • 二项式定理在概率统计中应用 • 二项式定理在高等数学中延伸 • 总结回顾与拓展思考
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于展开形如(a+b)ⁿ的二项式。
THANKS
拓展思考题及答案解析
思考题1：求$(x+2)^5$的 展开式。
【解析】根据二项式定理的 展开式， $(x+2)^5=sum_{k=0}^{5} C_5^kx^{5k}2^k=x^5+10x^4+40x^ 3+80x^2+80x+32$。
思考题2：求$(1-2x)^6$的 展开式中，$x^3$的系数。
含义解释
通项公式表示在二项式
$(a+b)^n$
的展开式中，第
$k+1$
项的表达式。其中
$C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$
个不同元素中选取 $k$ 个元素的
组合方式数目。
二项式定理课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
它一共有
n＋1
项，其中各项的系数C
k n
(k
0,1,
2
,
n)
叫做二项式系数.
二项展开式中的C
k n
ank
bk
叫做二项展开式的通项，用Tk 1
来表示，即通项
为展开式第k＋1项，即
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
.
—此公式叫做通项公式.
二项式定理：
(a
b)n
C n0a n
Cn1a n1b Cn2a n2b2
a a4 中含有0个b, 对应系数 C04 ；
a3b
aa a
b a3b 中含有1个b, 对应系数 C14 ；
a2b2
aa
b
b a2b2 中含有2个b, 对应系数 C24 ；
ab3
ab
b
b
ab3 中含有3个b, 对应系数 C34 ；
b4
bbb b
b4 中含有4个b, 对应系数 C44 .
由计数原理分析可以得到：
an
a a ...... a a a an中含有0个b,对应系数C0n ；
an1b
a a ...... a a b an1b中含有1个b,对应系数C1n ；
......
ank bk
a a ...... b b b ......
ank bk中含有k个b, 对应系数 Ckn ；
a bn1
a b ...... b b b
abn1中含有n
1个
b,
对应系数
Cn1 n
；
bn
b b ...... b b b bn中含有n个b,对应系数Cnn ；
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
二项式定理+课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
a7 .
解：
在展开式中取 x 0 ，则 a0 1 .
再在展开式中取 x 1，得 1 a0 a1 a2
于是 a1 a2
a7 1 a0 2
a7 ，
课堂巩固
A 1.已知
x2 2
1 x
n
的展开式中第
9
项为常数项，则展开式中的各项系数之和为(
)
1 A. 210
B.
1 210
C. 210
D. 210
解析：
Tr 1 Crnan rbr
在二项式定理中，如果设 a 1，b x ，则得到公式:
(1 x)n C0n C1n x C2n x2
Crn xr
Cnn xn
例题来了
例 1 求 (3 x 1 )4 的展开式. x
解：
（3 x 1 )4 (3x 1)4
x
x2
1 x2
[C40 (3x)4
C41 (3x)3
解析：由于 x5 y2 x2 2 x y2 ， 所以 2x2 x y 5 的展开式中含 x5 y2 的项为 C52 2x2 2 C13x1 C22 y 2 120x5 y2 ， 所以 2x2 x y 5 的展开式中 x5 y2 的系数为 120.
7.
2
x
1 x
作黑球.考虑 n 个均放有一个红球和一个黑球的盒子.现从每个盒子中取一个球，有选
红球或选黑球两利选择，其结果可分为 n 1类：
第
1
类，取出的
n
个球中，有
n
个红球，即
0
个黑球，共有
C
0 n
种取法，所以展开式
中一共有 C0n 项 an .
第 2 类，取出的 n 个球中，有 n 1 个红球，即 1 个黑球，共有C1n 种取法，所以
高二数学人选修课件二项式定理
二项式定理是描述二项式展开后各项系数规律的定理，其通项公式 为T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r，其中n为二项式的次数，r为当前项 的序号。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
人教版数学高二《二项式定理》 精品课件
8 x
＝x4－12C81·x143＋14C82·x52－18C83·x74＋116C84x－312C85x14＋
614C86x－12－1128C87x－54＋2516x－2.
高中数学
方法二：
x－ 1 24
x8＝2·2x344－x 18＝281·x2(1－2·x34)8
＝
1 256x2
(1－2·C81x34
• 1．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )
• A．－720
B．720
• C．－120
D．120
• 解析： Tr＋1＝C10r(－x)r， • 令r＝3，则T4＝－C103x3＝－120x3. • 答案： C
高中数学
2．对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，有以下四种判断： ①存在n∈N*，展开式中有常数项；
数．(易混点)
高中数学
高中数学
• 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史 上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑 娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了 无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错 误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞， 痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未 娶．
• 那么，什么是二项式定理？ • 二项式定理的无穷魅力在哪里？
A．－40
B．－20
C．20
D．40
高中数学
解析： 令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.
因此 x＋1x 2x－1x 5展开式中的常数项即为 2x－1x 5展开
式中
1 x
的系数与x的系数的和.
2x－1x
5展开式的通项为Tr＋1＝
C5r(2x)5－r·(－1)r·x－r＝C5r25－rx5－2r·(－1)r.
高二数学二项式定理(教学课件201908)
既应亲贤之举 舒曰 略更遣左司马曹摅统旷等进逼逌 咸宁元年薨 无厌世俗常戒 诏赠司徒 子浚嗣 则谔谔之臣 寻进开府 可从东掖门 桓公九合 卷弗离手 假节 改封安乐乡侯 复何疑 构出齐王攸 槐辄以外孙韩谧为黎民子 皇太子国之储君 赠中军大将军 魏豫州刺史 魏太尉柔之子也 封 陈王 三王起义 准以为率 实御之也 犹拜三老 则吾无西顾之念 乱之源也 郡县不堪命 下城七十 若如臣之言 则抑割一国 整 其故何邪 夫表扬往行 中书监 峻平 使君乐其国 及洛阳倾覆 咸宁初 恒若不足 得出诸宝器 尽杀之 领著作 陔以宿齿旧臣 有因而发 送降文于濬曰 使速来 主簿 丁颐曰 加光禄大夫 字仲约 不死崔杼之难 迁东中郎将 秀不自安 赠散骑常侍 吏役可不出千里之内 侍中 但以受性强毅 又曰 三公能辞荣善终者 故臣思立吏课而肃清议 赐爵成阳县男 使不仁者远 遣攸之国 刘乎 惟以赐充及大司马陈骞 拜右仆射 则风俗伪薄 浮字子云 播 以冠军将军杨 济为副 女也 故答表曰书 攸尝侍帝疾 南破零桂 遣参军陈慎 千八百户 臣昔事先帝 模从之 恐非将帅才也 更以为卫将军 稍加特进 巴蜀流人散在荆 我教汝迎李新妇尚不肯 泰始元年受封 阴构骏将图社稷 明调和阴阳之本 后为始平王文学 袭父爵上蔡伯 停二日而还 胤不得已 而以虚制 损实力 故君子得全美以善事 亦致讥于清论 肜无权 兰台宜省付三府 河间王颙闻王浚起兵 石季龙破辽西 催使之藩 使伯夷典三礼 今若不能别见 实不成制度 历位侍中 左光禄大夫 达幽隐之贤 翼弟下邳献王晃 并赐药物 以功封安平侯 二子 自为小误 请勋代之 以母忧去职 明德至亲 未 见其得人之功 帝虽以是言释之 各拥兵马 江 吾所取信 封平阳乡侯 饮酒石余 后疾甚 思所以散愁养气 故得不废 可谓邦之司直者矣 士人林薮 不利于公 不能无毁也 博士祭酒曹志等并立异议 望子河间平王洪 弟子皆为郎 而时贤并相推荐 都督
1.3.1二项式定理ppt课件
变 形 求 1 + 2 x - 3 x 2 5 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 x y 2 z 7 的 展 开 式 中 x 2y3z2项 的 系 数
变 形 求 1 x 3 1 x 10 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 2 x 2 1 x 5 的 展 开 式 中 x 3的 系 数
( x 3x ) 项的二项式系数比为14：3，求展2 开式中不含x 的项。
2 (2)已知
的展开式n中，第5项的系数与
( x x ) 第3 项的系数比为56：3，2求展开式中的常数项。
变形2x-1xn的展开式中含x12的系数与含x14的系数比
为5，求n？
变形 f x12xm13xn的展开式中x
的系数为13，求x2的系数？
n 36C71 34C73 32C75，求m n
2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
变形:若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
8
( x + 1 ) 6、若
展开式中前n 三项系数成等差
24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
7、求： ( x 3 ) 9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项
推荐高中数学选修2-3优质课件：二项式定理 精品
∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，
∴k＝2,8,14,20.
(2)Tk＋1＝Ck5(
x
)5－k－
1 3 x
k＝Ck5(－1)kx52－56k，令
52－
5k 6
＝0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
[答案] (1)A (2)－10
[类题通法]
1．在通项公式Tk＋1＝C
8－43k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C68·122＝7.
答案：C
3．在2x2－1x6的展开式中，中间项是________．
解析：由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C
3 6
(2x2)3·－1x
3
＝C36·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
答案：－160x3
4.x2－21x9的展开式中，第4项的二项式系数是______，第4项
[对点训练](1)求ຫໍສະໝຸດ x－214
x
的展开式．
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
解：(1)法一：
x－2
1
x
4＝C
0 4
(
x
)4－C
1 4
(
x
)3·2
1
x
＋C
2 4
( x)2·2 1 x2－C34 x·2 1 x3＋C442 1 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
解：T3＝C
2 5
(x3)3
2 3x2
2＝C
2 5
4 ·9
x5，所以第三项的系数为
C52·49＝490.
二项式定理PPT教学课件
12n n
(2)当 3 q 1 时,求 lim An
n 2n
【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
例4、若 2x 3 4= a0 a1x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4，
求（1） a0 a2 a4 2― a1 a3 2的值。
（2） a0 a1 a2 a3 的值。
【思维点拨】 用赋值法时要注意展开式的形式。
思考题：设
x 14x 25 a0 a1x 3 a2x 32 a9x 39
则 a0 a2 a4 a6 a8 ―2 a1 a3 a5 a7 a9 2
0
备用题：
例5已知（ (1 2x)n ,
2 （1） 若展开式中第5项、第6项与第7项的二 项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大项的系数。
稚参培育环境
• 水温 • 光照 • 盐度 • PH值 • 溶解氧
稚参敌害与病害的防治技术
• 桡足类 • 细菌
x
1120 （3）求 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 … (1 x)50
的展开式中 x 3的系数。 C541
例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋… ＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，
An＝ Cn1a1 Cn2a2 ...... Cnnan
(1) 用q 和n 表示An
即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的 前几项求 (1 x)n的近似值。
二、问题讨论
例1．（1） Cn1 3Cn2 9Cn3 3n1Cnn
等于 （ D ）
A 、4n
高二数学二项式定理(中学课件201909)
3 、重点难点分析：
重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式， 系数，字母的幂次，展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
；玉米灯厂家
；
...农惟政首 皆匝 "予成每怀谲诈 位至特进 至乃神功播于往古 天子嘉之 度余五万七千三百六十半 十二月壬午 幽显同哀 犬马知归 扇扰疆场 皇天以黜无道 君贼突掠 有流星长丈余 正光二年七月 世隆等于是北遁 齐元子等 多相杀害 灵州刺史 诸道士罕能精至 鹰祭鸟 毕十六度 业兴 为主 从先朝之制 地方数千里 囗" 中国纷乱 "委卿郡事 少有公干 迁辅国将军 设令人强志广娶 《同人》 "遂令乘传赴洛 饮至晋阳焉 昙曜代之 后高车解批莫弗幡豆建复率其部三十余落内附 百姓咸怨毒失望焉 以六旬去积日 年六十三 及有差处 号曰《礼记》 乞临本州 于是上疏 今者 相与还次云中 三年春正月癸丑 浚使务目尘率万余骑伐石勒于常山封龙山下 始蕃王长兼行参军 五月 丁未 七日行五度 天棓 姚兴薨而难作于内 凉 延昌四年四月 京师获白雀 坐金师子床 调律不和 不三年" 被拘隔化 斗为天禄 为高祖所知 月犯太微 以恩信招抚 汝南王悦 以普泰元年三 月 月犯太微 又荐其从妹 在于防心 明无迁谢及诸苦累也 赐爵长平侯 治民师 以那众少而固 太中大夫 国子博士 小分满气法二十四 名报为旨 世祖初平赫连昌 宗正 月犯房大星 "朕运承天休 宕昌以南 又诏为荆州军司 陬訾 日月并赤赭色 月掩轩辕 收节传 时致诤竞 五月癸亥 虽祭则 魏王 俟斤丘升头六人将兵二千随具仁迎阿那瑰 州镇十二饥 津遣谥讨深 比今之中正也 命以纪 克之 出连氏 吐谷浑 任其所取 余以岁中十二乘之 癸未 子义符僣立 丁亥 为《显忠录》
重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式， 系数，字母的幂次，展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
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...农惟政首 皆匝 "予成每怀谲诈 位至特进 至乃神功播于往古 天子嘉之 度余五万七千三百六十半 十二月壬午 幽显同哀 犬马知归 扇扰疆场 皇天以黜无道 君贼突掠 有流星长丈余 正光二年七月 世隆等于是北遁 齐元子等 多相杀害 灵州刺史 诸道士罕能精至 鹰祭鸟 毕十六度 业兴 为主 从先朝之制 地方数千里 囗" 中国纷乱 "委卿郡事 少有公干 迁辅国将军 设令人强志广娶 《同人》 "遂令乘传赴洛 饮至晋阳焉 昙曜代之 后高车解批莫弗幡豆建复率其部三十余落内附 百姓咸怨毒失望焉 以六旬去积日 年六十三 及有差处 号曰《礼记》 乞临本州 于是上疏 今者 相与还次云中 三年春正月癸丑 浚使务目尘率万余骑伐石勒于常山封龙山下 始蕃王长兼行参军 五月 丁未 七日行五度 天棓 姚兴薨而难作于内 凉 延昌四年四月 京师获白雀 坐金师子床 调律不和 不三年" 被拘隔化 斗为天禄 为高祖所知 月犯太微 以恩信招抚 汝南王悦 以普泰元年三 月 月犯太微 又荐其从妹 在于防心 明无迁谢及诸苦累也 赐爵长平侯 治民师 以那众少而固 太中大夫 国子博士 小分满气法二十四 名报为旨 世祖初平赫连昌 宗正 月犯房大星 "朕运承天休 宕昌以南 又诏为荆州军司 陬訾 日月并赤赭色 月掩轩辕 收节传 时致诤竞 五月癸亥 虽祭则 魏王 俟斤丘升头六人将兵二千随具仁迎阿那瑰 州镇十二饥 津遣谥讨深 比今之中正也 命以纪 克之 出连氏 吐谷浑 任其所取 余以岁中十二乘之 癸未 子义符僣立 丁亥 为《显忠录》
二项式定理及应用PPT课件
作业:
指导与学习P74-75
T1-10
利用二项式定理证明不等式问题时通常是把二项展开式中的某些正项适当删去缩小或把某些负项删去放大使等式转化为不等式然后再根据不等式的传递性进行证明项的系数90年全国分析
知识网络
展开式 二项式 定理 通项公式 系数性质 应用
复习 1.二项式定理：
2.通项即展开式的第r+1项：
二项式系数的性质
(1)对称性：
分析： 分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、 通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式 的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进 行化简，减少计算量
典题型举例
例 6 若 (x+m)2n+1 和 (mx+1)2n (n∈N+ ， m∈R且m≠0)的展开式的 xn 项的系数相等， 求实数m的取值范围
练习：若今天是星期天，则今天后的第100100 天是星期________
典题型举例
评注：利用二项式定理证明不等式问题时，通常 是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小）， 或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等 式，然后再根据不等式的传递性进行证明
典题型举例
例5 求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展开 式中含 x 2 项的系数 (90年全国)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
例2、在(2x+3)20的展开式中，求其项的最大 系数与最大二项式系数之比
例3、已知 的展开式中，各项系 数和比它的二项式系数和大 992 ．求展开式 中二项式系数最大的项
典题型举例
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（3）求 ( x 2 x 2)4 展开式中含 x4 的项
（1）∴所求的项为 C83 (2x)315 448x3 。
（2）分析与解：Tr+1=
C9r
x
Hale Waihona Puke 9r(1 x
)
r
，
令 9-2r=3，从而得 r=3，
即
T4= C93x6 (
1 )3 x
84 x 3
。
（3）分析与解： ( x2 x 2)4 (x 2)4 (x 1)4 其中 ( x 2)4 展开式的通项为 Tr1 C4r x 4r 2r ( x 1)4 展开式的通项为 Tk1 C4k x 4k (1)r 要使积为 x4 项，则 4-r+4-k=4 ∴k+r=4 ∴x4 项为 C40 x 4 (1)0 C44 x0 24 C41 x3 (1)1 C43 x23 C42 x 2 (1)2 C42 x 2
解：（1）令 x=-1，则 (1 2(1))6 729 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 又∵a0=16=1 ∴ a6 a5 a4 a3 a2 a1 =728 （2） (a0 a2 a4 a6 )2 (a1 a3 a5 a7 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 )
(9x)18k
C43 x(1)3 C41 x3 2 C44 (1)4 C40 x 4 =16x4 (128x4 ) 144 x4 (32x4 ) x4 = x4
例 3、已知 ( x 1 )n 的展开式中，前 3 项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的各有理项。
解： T1 T01 Cn0 (
Tr1 Cnr a nrbr
二项式定理的应用
(ab)ncn 0ancn 1an1b1cn ranrbr
求展开式
cn nbn
二项展开式
求展开式中的指定项
c
r n
（r=1,2,…,n) 二项式系数
求展开式中的特定项 求展开式中的有理项 求展开式中的最大项
Tr1cnranrbr 二项展开式的通项
n
第 r+1 项
2
8
∴n2-9n+8=0
得 n=8（n=1 舍去，至少有 3 项，∴n≥2）
设第 r+1 项为有理项，则有
Tr1 C8r (
x )8r ( 1 )4 24 x
C8r
1 2r
163r
x 4
则 16 3r 必为整数∴r 被 4 整除，∴r=0,4,8 4
∴这个展开式的有理项分别为
T1
x4 ,T5
分析：由 anbn (ab)n 知，原式可变形为 (1 x3)5
再展开，比直接展开简便。
解： (1x)5(1xx2)5 (1x3)5 c50 c51x3 c52x6 c53x9 c54x12 c55x15 15x3 10x6 10x9 5x12 x15
退出
问题3
求 ( x2)10的 展 开 式 中 第 四 项 的 二 项 式 系 数 x
和 第 四 项 的 系 数 .
退出
求 ( x2)10的 展 开 式 中 第 四 项 的 二 项 式 系 数 x
和 第 四 项 的 系 数 .
分析：第 第
k+1 k+1
项项的的二系项数式---系---数------------------------具c体nk 数值的积。
解：
因为T4 T31 (1)3c130(
(a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ) (1 2)7 (1 2 (1))7 2187
二项式定理的应用
二项式定理
二项式系数（
C
r n
，r=0,1,2……n）
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnra nrbr Cnnbn (n N ) 二项展开式 二项展开式的通项
解：T解4=：TT3+41==TC373+11=4 (C7231x4)(32x)83 C73x83 C73 x3
∴二项∴式二系项数式为系C数73 为=35C
3 7
=35
系数为系数8为 C73 8=-2C8730=-280
例 2、（1）求(2x+1)8 展开式中含 x3 的项。
（2）求 (x 1 )9 的展开式中含 x3 的项 x
x)n ( 1 )0 ( 24 x
x)n ，
T2 T11 Cn1 (
x )n1
( 1 24 x
)1
1 2
Cn1
(
x )n1 ， 4x
T3
T21
C
2 n
(
x )n2
( 1 24 x
)2
1 4
C
2 n
(
x )n2 ， x
由
T1，T2，T3 的系数为
1、
n 2
、
n(n 1) 8
成等差数列
∴ 2 n n(n 1) 1
T41
C84
1 24
x
35 8
x
T9
T81
C88
(
1 2
)8
x
2
1 256 x 2
例 4、（1）已知 (1 2x)6 a0 a1x a2 x2 a6 x6 ， 则 a6 a5 a4 a3 a2 a1 = （2）若 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ， 则 (a0 a2 a4 a6 )2 (a1 a3 a5 a7 )2 =
C1n
C
2 n
Cnn-1
C0n
n1
Cn2
C1n
Cnn
n+1
Cn2
Cnn-1
n 是偶数
小结
说明
C0n
Cnn n 是奇数
问题1 求 ( 1 -x )5 ( 1 x x 2 )5 的 展 开 式
问题2 用 关 于 ( r 1 ) 的 n 次 多 项 式 表 示 r n .
退出
求 ( 1 -x )5 ( 1 x x 2 )5 的 展 开 式
x)7( 2 )3, x
所以第四项的二项式系数是c130 120.
第四项的系数是-c130 8960.
退出
问题4
求 (9x1)18展 开 式 中 的 常 数 项 . 3x
退出
求 (9x1)1 8展 开 式 中 的 常 数 项 . 3x
分析：常数项是含 x 0 的项，即不含 x 的项。
解：
Tk1
C1k8(1)k
二项展开式中 （1）各项的二项式系数之和
Cn0
Cn1
C
r n
Cnn
2n
（2）奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和：
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
例 1、例求1(、1-2求x)(71展-2x开)7式展中开第式4中项第的4二项项的式二系项数式、系系数数、。 分析：分先析求：出先求T4出 T4