生产理论练习题

生产理论

计算题

1．已知某厂商的短期生产函数为：Q=21L+9L2-L3，求：（1）总产量TP

L

的最大值；

（2）平均产量AP

L

的最大值：

（3）边际产量MP

L

的最大值；

（4）证明AP

L 达到最大值时,AP

L

=MP

L

1．解:根据TP

L =21L+9L2-L3, 可得：AP

L

=21+9L–L2，MP

L

=21+18L-3L2

(1)边际产量为零时,总产量最大, 即21+18L-3L2=0

3L2-18L-21=0，(3L+3)(L-7)=0, L=7(L=-1不合题意)

代入TP

L =21L+9L2-L3=245(总产量TP

L

的最大值)

(2)同样,对于AP

L =21+9L–L2, d（AP

L

）/dL=9-2L

令：d（AP

L

）/dL=0, 即：9-2L=0

L=4.5(L=4.5也可用AP

L =MP

L

即：21 +9L – L2= 21+18L - 3L2求得)

代入AP

L =21 + 9L – L2 = 41.25(平均产量AP

L

的最大值)

(3)同样,对于MP

L = 21 + 18L - 3L2 , d（MP

L

）/dL= 18 - 6L

令：d（MP

L

）/dL=0,即：18 – 6L = 0 L=3

代入MP

L =21 + 18L – 3 L2=48(边际产量MP

L

的最大值)

(4)前已求得L=4.5时,平均产量APL的达最大值, AP

L

=21 + 9L – L2 = 41.25

而L=4.5时,MP

L

= 21+ 18L - 3L2 = 41.25

∴AP

L =MP

L

2.已知生产函数Q=L2/3K1/3证明: （1）该生产规模报酬不变；

（2）受报酬递减规律支配。

证明：（1）Q=f（L,K）=L2/3K1/3

则f（λL,λK）=（λL）2/3（λK）1/3=λ2/3L2/3λ1/3K1/3=λL2/3K1/3=λQ

∴该生产过程是规模报酬不变

（2）假定资本K的投入量不变（用K表示），而L为可变投入量。

对生产函数Q=L2/3K1/3, MP

L

=2/3 L-1/3 K1/3

又d(MP

L

)/dL = -2/9 L-4/3 K1/3＜0

这表明，当资本使用量既定时，随着使用的劳动量L的增加。劳动的边际产量是递减的。

同样，MP

K =1/3L2/3K-2/3, 又d(MP

K

)/dK = -2/9 L2/3 K-5/3＜0

这表明，当劳动使用量既定时，随着使用的资本量K的增加。资本的边际产量是递减的。

上述分析表明该生产过程受规模报酬递减规律的支配。

补充作业题

1、假定某企业的生产函数为：Ｑ＝10Ｌ0.5Ｋ0.5

其中，劳力（L）的价格为50元，资本（K）的价格为80元。

（1）如果企业希望生产400个单位的产品，应投入L和K各多少才能使成本最低？此时成本是多少？

（2）如果企业打算在劳力和资本上总共投入6000元，它在K和L上各应投入多少才能使产量最大？最大产量是多少？

1、解：（1）∵Ｑ＝10Ｌ0.5Ｋ0.5①

∴ＭＰ

ｌ＝5Ｌ-0.5Ｋ0.5，ＭＰ

ｋ

＝5Ｌ0.5Ｋ-0.5

Ｐ

ｌ＝50元, Ｐ

ｋ

＝80元

根据多种投入要素最优组合条件得：5Ｌ-0.5Ｋ0.5／50＝5Ｌ0.5Ｋ-0.5/80 即：（1/100）×（Ｋ/Ｌ）＝（1/256）×（Ｌ/Ｋ）②联立求解①、②式，得：Ｌ＝50.60, Ｋ＝31.60

Ｃ＝50×50.60＋80×31.62＝5059.60

（2）联立求解： 50Ｌ＋80Ｋ＝6000 ③

（1/100）×（Ｋ/Ｌ）＝（1/256）×（Ｌ/Ｋ）④即Ｌ＋1.6Ｋ＝120 ⑤

Ｌ2／Ｋ2＝2.56 ⑥

解得：Ｋ＝37.5，Ｌ＝60

Ｑ＝10×60 0.5×37.5 0.5＝474

2、假定某大型多种经营的企业，有三种主要产品（x ，y ，z ），已知这三种产品的生产函数分别为：

这里，Q 为特定时期内的产量；L 为投入的劳力数；K 为投入的资本数；M 为投入的管理人员数。

试问：这三种产品的规模收益各属于什么类型？

2、解：（1）Ｑｘ＝1.6Ｌ0.4Ｋ0.4Ｍ0.1

ｈＱｘ＝1.6（ｋＬ）0.4（ｋＫ）0.4（ｋＭ）0.1＝ｋ0.9ＱX

ｈ＝ｋ0.9,ｎ＝0.9<1, 规模收益递减

（2）

ｈ＝ｋ2，ｎ＝2 > 1，规模收益递增。

1

.04.04.06.1M K L Q X =KM

L Q Y 24.0=M

K L Q Z ++=710()()()kM kK kL hQ Y 24.0=Y

Q k 2=

（3）Ｑ

Ｚ

＝10Ｌ＋7Ｋ＋Ｍ

ｈＱ

Ｚ＝10（ｋＬ）＋7（ｋＫ）＋（ｋＭ）＝ｋＱ

Ｚ

ｈ＝ｋ，ｎ＝1，规模收益不变。