空间几何体学案

立体几何与空间向量

第1讲空间几何体

热点一三视图与直观图

例1 (1)(课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

( )

A . 20 n

B . 24 n

C . 28 n

D . 32 n

(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为

A B C D

跟踪演练1 (1) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 (

俯礼囲

（2） —几何体的直观图如图，下列给岀的四个俯视图中正确的是 （ ）

热点二几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类

空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规 则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.

例2 （1）（北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ）

1 1 1 A. B. C. D . 1 6 3 2

⑵如图，在棱长为 6的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在 C 1D 1与C 1B 1 上,且C 1E = 4, C 1F = 3,连接 EF ，FB ，DE ，BD ，则几

何体 EFd — DBC 的体积为（

）

D . 72

b

B . 68

A . 66

C. 70

跟踪演练2某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

热点三多面体与球

例3 ⑴已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球0的球面上，SA丄平面ABC, SA= 2 3, AB = 1,

AC = 2,Z BAC = 60 °则球O的表面积为（）

B. 12 n

C . 16 n

D . 64 n

（2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容

器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（

）

500 n 3 A.

~cm

1 37

2 n

3 C. 丁cm _ 2 048 n 3 D. 丁cm

跟踪演练3 在三棱锥 A —BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ ABC，△ ACD，△ ABD的面积分别为吩于，于，则三棱锥A-BCD的外接球体积为 -----------------------

高考奠题体验

1.（山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积

为

7t ABC — A 1B 1C 1内有一个体积为 V 的球，若 AB 丄BC , AB = 6, BC = 8, AA 1 = 3,贝U V 的最大值是（

）

n

3. （山东）在梯形 ABCD 中，/ ABC = 2 , AD II BC , BC = 2AD = 2AB = 2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在 的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（ ）

2 n 4 n 5 n A.

3 B. — C.y D . 2 n

4. （浙江）如图，已知平面四边形 ABCD , AB = BC = 3, CD = 1 , AD = ,-'5，/ ADC = 90 °沿直线 AC 将厶ACD 翻折成△ ACD 直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 __________________ .

「考情考向分析

1. 以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算

2. 考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题

专题突破练

B 组能力提高

11. （湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体

新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 （材料利用率二

1 , 2

A ・3+ 3n IE 【和觇图 1 '2

B ・1+苓

7t 9 n A . 4 n B. C . 6 n 32 n

DP

2.（课标全国丙）在封闭的直三棱柱

16 B.g ；

12. _____________________________________ 已知在三棱锥 P — ABC 中，PA 丄平面 ABC , AB = AC = FA = 2,且在△ ABC 中，/ BAC = 120 ° 则三棱锥P —ABC 的外接球的体积为 .

13. 如图，侧棱长为 2也的正三棱锥 V — ABC 中，/ AVB = Z BVC = Z CVA = 40 °过点 A 作截面

△ AEF ，则截面厶AEF 的周长的最小值为 _______________

14 •如图，在 Rt △ ABC 中，AB = BC = 4,点E 在线段 AB 上•过点 E 作EF II BC 交AC 于点F , 将厶AEF 沿EF 折起到△ PEF 的位置(点A 与点P 重合)，使得/ PEB = 30°.

(1)求证：EF 丄PB ;

⑵试问：当点E 在何处时，四棱锥P — EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥

P — EFCB 的体积. 新工件的体积

原工件的体积)( )

A9n D .1^13

7t