惯性传感器及发展

dH dH~ H M
dt dt
M H
此即二自由度陀螺仪的进动方程
进动角速度的方向和大小
➢进动角速度的方向：最短路径法则 （H 沿最短路径趋向 M）
➢进动角速度的大小：根据 M = ω×H，写成标量形式：
M = ω·H·sinθ
因此
ω = M /（H·sinθ）
进动角速度大小与外力矩的大小成正比，与转子的动量矩的大小 成反比。
J z ( z
)
x
]
j
[J yx y J xx y ]k
二自由度陀螺 运动方程：合并简化
➢对每个坐标分量，分别写出方程
➢陀螺稳态工作时，
Jx
d x
dt
J z ( z
) y
J y y z
Mx
Jy
d y
dt
J z ( z
) x
J x x z
My
Mz = 0，因此
J z ( z ) 常量
H s(J x J y s2
H
2)
M
y (s)
(s)
Jx JxJys2
H
2
M
y (s)
H s(J x J y s2
H
2)
M x1 (s)
➢由此可以得到从 Mx1、My 分别到α和β的四个传递函数
➢改写分母项
J x J ys2
H2
J x J y (s2
H2 JxJy
)
JxJy
(s2
2 0
)
固有振荡频率
➢改写方程，画出系统方块图
M
x1
(s)
Hs
(
s
)
J
1 xs
2
(s)
M y (s) Hs (s)
1 J ys2
(s)
➢每个力矩都同时引起陀 螺仪的两种运动，陀螺
力矩起耦合作用
二自由度陀螺 系统模型：传递函数
➢由拉氏变换方程求解两个框架角α、β ，得到
(s)
Jy JxJys2
H
2
M x1 (s)
整理
J x s2 (s) Hs (s) M x1(s) J x s0 0 H0
J Baidu Nhomakorabea s2 (s) Hs (s) M y (s) J y s0 0 H0
当初始条件都为零，得到
二自由度陀螺 系统模型：系统方块图
➢拉氏变换方程
J x s2 (s) Hs (s) M x1(s) J y s2 (s) Hs (s) M y (s)
➢定轴性的相对性(一)：陀螺漂移 ωd = Md / H
➢定轴性的相对性(二)：章动 (Nutation)现象
陀螺受冲击力矩时，自转轴将在原来的空 间方位附近作锥形振荡运动
二自由度陀螺 运动方程：初步分析
从定性到定量：引入坐标系 ➢外、内框架和转子坐标系
➢任 务 ： 描 述 当 沿 着 内 外 框 架 轴 施加力矩时，陀螺框架角α、β的 变化规律
第二章 惯性传感器
机械转子式陀螺仪的概述
➢陀螺的基本部件 陀螺转子(Rotator) 内、外框架(Gimbal)（支承部件） 附件（电机、力矩器、传感器等）
➢陀螺的分类（机械转子式） 二自由度(Two-Degree-of-Freedom) 单自由度(Single-Degree-of-Freedom)（速率 、积分）
➢对前两式，忽略
Jz
d ( z )
dt
J y x y
J x y x
Mz
➢以上称变态欧拉动力学方程
角速度高阶小量， 得到简化方程
Jx
d x
dt
H y
Mx
➢实际的陀螺中，一般赤道转动 惯量 Jx = Jy，由第三式可得
Jy
d y
dt
H x
My
Jz
d ( z )
dt
M
z
➢关于框架角速度和 外加力矩的方向
陀螺动力效应：陀螺力矩
外加力矩
M H
陀螺力矩(Gyro Torque)： 反作用力矩
M g H H
陀螺力矩的方向判断 陀螺力矩的作用对象
陀螺动力（稳定）效应，对外框架有效
陀螺动力（稳定）效应，对内框架无效
定轴性；漂移、章动
➢二自由度陀螺仪的定轴性
二自由度陀螺仪具有抵抗干 扰力矩，力图保持其自转轴 相对惯性空间方位不变的特 性（定轴性、或稳定性）。
二自由度陀螺 运动方程：角速度投影
x cos y z sin
➢代入简化方程，得到
两种角速度的关系
➢内框架坐标系 x y z 的ω等
于两个欧拉角速度的矢量和
x
i
y
j zk
➢根据投影
Jx
d (cos )
dt
H
M
x
Jy
d Hcos
dt
My
➢求导式展开，忽略高阶 小量，得到
J xcos H M x J y Hcos M y
二自由度陀螺 脉冲响应：输入输出
➢冲击力矩的数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，对 时间的积分是一个有限值
M x1(t) M x1 (t)
➢代入系统的拉氏变换模型：
二自由度陀螺仪进动性
➢进动性(Proceeding)
转子没有旋转时， 给陀螺悬挂重物
进动的规律
➢进动性：陀螺仪受到外力矩时， 转子自转轴的转动方向与外力矩 方向相垂直的现象 ➢进动、进动角速度
用动量矩定理解释进动：近似推导
➢动量矩定理
dH M dt
➢H 的近似表示：
H J z k
➢动量矩定理 + 苛氏定律
➢方法：动量矩定理 + 苛氏定律
二自由度陀螺 运动方程：矢量表示
➢转子的绝对角速度：分解表示
内框架坐标系的牵连角速度：
xi y j zk
转子相对内框架的角速度：
s ·k
转子的绝对角速度：
' xi y j (z )k
➢转子的动量矩：
H J x xi J y y j J z ( z )k
二自由度陀螺 运动方程：推导
➢根据动量矩定理和苛氏定律 dH dH~ H M
dt dt
➢其中
dH~ dt
Jx
d x
dt
i Jy
d y
dt
j Jz
d ( x
)
k
dt
i
j
k
H x y
z
J x x J y y J z ( z )
[J z ( z
) y
J
y
y
z
]i
[J x x z
➢技术方程的物理意义（惯性力 矩和进动力矩）
二自由度陀螺 系统模型：拉氏变换
二自由度陀螺仪的技术方程
J x H M x1
拉氏变换
J y H M y
J x s2 (s) s0 0 Hs (s) 0 M x1(s)
J y s2 (s) s0 0 Hs (s) 0 M y (s)
二自由度陀螺 运动方程：力矩投影
J xcos H M x J y Hcos M y
➢力矩的变换
M x1 M x cos
➢代入上式，得到
J
xc os
H
M x1
cos
J y Hcos M y
➢实际β角很小，上式简化成
J x H M x1 J y H M y
➢上式称为陀螺仪的技术方程。