第六章图与网络分析

v4
4 4 8 0 6
v5
7 0 5 6 0
注：当G为无向图时，权矩阵为对称矩阵。
图的矩阵表示
无环、但允许有多 重边的图称为多重 图。
注：无特别声明我们今后讨论的图都是简单图
图的相关概念
图G中以点v为端点的边的数目，称为v在G中
的次(度）， 记为d（v）。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
d(v1)=2 d(v2)=3 d(v3)=4 d(v4)=1
v2
e3 v3
e5
次为1的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬
（a）
（b）
（c）
v1图的e1连通v3 性 e2 v5
v7 e链3 ：列 ei设=({图vvi1,Gev4,=ei+1（1,)v，V2,，即…e5E这v）n(-1n中,-ee有16n-)1一条,v个边n}点把，、n若个边e顶7交点替串序 链v：2对连 一于1=起条e（简8来链v单2，，，图vv我而链41，们称也ev称点93可，这v以v16,个仅，vvn交6用v为4，替点该v序的链3，列序的v为列5两）图来个G表v端8中示点的。。
网络图N=（V，E），边[vi，vj]的权为wij ，构造矩
阵
A (aij )nn , 其中
a ij
wij 0
[vi , vj] E 其它
称矩阵A为网络N的权矩阵。
v5
7
5
6
v1
4
2
v4
9
4
8
v2
3 v3
其权矩阵为：
v1v 2 v3 v 4 v5
v1
0 9 2 4 7
v2
9 0 3 4 0
v3 A 2 3 0 8 5
引例2
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
天津
北京
塘沽
左图是我国北京、上海、重庆等
十一个城市之间的铁路交通图，
济南
青岛
这里用点表示城市，用点与点之
间的线表示城市之间的铁路线。
诸如此类还有城市中的市政管道
徐州
图，民用航空线图等等。
郑州
连云港
武汉
第六章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
第六章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它 已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工 程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等 各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中 的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以 解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道 的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等 问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地 加以解决。
若两条边有一个公共的端点，则称这两条边相邻。
点与点
相邻
vi
e
vj
vi，vj相邻
e 与vi，vBaidu Nhomakorabea关联
边与边相邻
vi e1 vk e2
vj
点与边关联
图的相关概念
若某条边两个端点相同，称这条边为环。 若两点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
v2
e3 v3
e5
无环、无多重边的 图称为简单图。
南京
上海
引例3
有六支球队进行足球比赛，分别用点v1…v6表示
这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用图反
映出来，已知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队 战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以用下图
所示的有向图反映出来。
v2
v4
v1
v6
v3
v5
图的基本概念与模型
点：研究对象（车站、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、铁 路线、两球队比赛及结果)。 对称关系：如桥、道路、比赛等；用不带箭头的连线 表示，称为边。 非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。
路：2=（v2，v1，v3，v5）
•如果一条点边交替的序列的各边均不相同，则称序列为链； •如果一条链的两个端点是同一个点，则称它为圈； •更若一条链的各点、各边均不相同，则称该链为路。 •如果一条路的两个端点是同一个点，则称它为圈；
图的连通性
最短链:网络中链上权值的和称为链的长度，
以点v1,vn为端点的诸链中长度最短的链
图：点及边（或弧）组成。
注意：一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线 的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重 要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上不同。
图的相关概念
对
非
称
对
关
称
系
关
系
无向图：图由点和边所构成的，
记作G = {V ,E}(V是点的集合，E是边的集合)
连接点vi,vj V的边记作eij={vi,vj }，或者[vj,vi]。
有向图：图是由点和弧所构成的，
记 作 D={V ,A}(V 是 点 的 集 合 ， A 是 弧 的 集 合 ) ，
一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj )。
网络图：给图中的点和边赋予具体的含义和权数，如距离，
费用，容量等，记作N.
图的相关概念
若边eij=[vi,vj]∈E，称vi，vj是e的端点，也称vi，vj是 相邻的。称eij是点vi（及点vj）的关联边。
引例1
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一 篇科学论文，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。即一 个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过 一次，最终回到原出发地。如图1所示。
欧拉将这个问题抽象成一笔画问 题。即能否从某一点开始不重复 地一笔画出这个图形，最终回到 原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中 每一个顶点都与奇数条边相连接， 不可能将它一笔画出，这就是古 典图论中的第一个著名问题。
称为这两点的最短链。 连通图：如果图G=（V，E）中的任意两点
都是其某一条链的两个端点，则称图G是 连通图，否则，称图G是不连通的。
为不连通图， 有两个连通分
v1 e1 v3 e2 v5
v7
图组成
e3
e4
e5 e6
e7
v2 e8 v4 e9 v6
v8
图的矩阵表示
图的矩阵表示主要方法有：权矩阵、邻接矩阵。 •权矩阵
挂边，次为零的点称为孤立点。
次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
子图与部分图（支撑子图）
给定图G=（V，E），若图G’=（V’，E’），其中
V’V，E’ E ，则称G’是G的子图。
点全部保留
给定图G=（V，E），若图G’=（V，E’），其中E’E， 则称G’是G的一个支撑子图（部分图）。
部分图
子图