第六章图与网络分析
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运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
第6章 图与网络分析――基础知识PPT课件
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
将研究对象用点表示。对象与对象之间用边表示。依题意，找出不相邻的顺序。
B
C
ACBFED
A
D
36
F
E
类型2. 求最小部分树。避圈法和破圈法
基本定理：图中任一个点i，若j是与i相邻点 中距离最短的，则边[i，j]一定含在该图的 最小部分树内。
推论：把图的所有点分成集合V和它的补集两 个集合，则两集合之间连线的最短边一定 包含在最小部分树内。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
39
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
A
7
2 2
S
5
B
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D
5
T
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1
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C
E
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40
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
点边交替序列，点边均不重 复。
点边交替序列，起点和终点 不重复。 点边交替序列，起点和终点 重复。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
图与网络分析
end;
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7
查伴随矩阵 E 的第一行
1234567
10020255 19
hw
小结
• 最短路有广泛的应用 (P176案例) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向
图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高， 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 短路，以此类推
hw
6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路
定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分
• 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
线表示实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2
hw
6.1 图与网络的基本概念
6.1.1图与网络 • 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
第六章_图与网络分析
T (e ) ：割集{ S 1 , S 2 } ，其中 S 1 , S 2 为 e 的两个连通分支的点集合
1 2
3 4 5
右图的关联矩阵是
2
1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 3 0 1 1 0 1 4 0 0 0 1 1
1
4
3
邻接矩阵示例
图（7）的邻接矩阵是
1 2 3 4 5 1 0 2 1 3 1 4 1 5 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个
岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相 互连接，如下图所示。
当地的居民热衷 于这样一个问题，一 个漫步者如何能够走 过这七座桥，并且每 座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。 尽管试验者很多， 但是都没有成功。
A
D
C B
为了寻找答案，1736年欧 拉把陆地缩为一点，把桥作为 连接点的边，将这个问题抽象 成图形的一笔画问题。即能否 从某一点开始不重复地一笔画 出这个图形，最终回到原点。 欧拉在他的论文中证明了这是 不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接 ，不可能将它一笔画出，这就 是古典图论中的第一个著名问 题。
随着科学技术的进步，特别是电子计
算机技术的发展，图论的理论获得了更进
一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂
的工程系统和管理问题用图的理论加以描
述，可以解决许多工程项目和管理决策的 最优问题。因此，图论越来越受到工程技 术人员和经营管理人员的重视。
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于 图论方面的第一篇科学论文，解决了著 名的哥尼斯堡七座桥问题。德国的哥尼
A
D
1 2
3 4 5
右图的关联矩阵是
2
1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 3 0 1 1 0 1 4 0 0 0 1 1
1
4
3
邻接矩阵示例
图（7）的邻接矩阵是
1 2 3 4 5 1 0 2 1 3 1 4 1 5 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个
岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相 互连接，如下图所示。
当地的居民热衷 于这样一个问题，一 个漫步者如何能够走 过这七座桥，并且每 座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。 尽管试验者很多， 但是都没有成功。
A
D
C B
为了寻找答案，1736年欧 拉把陆地缩为一点，把桥作为 连接点的边，将这个问题抽象 成图形的一笔画问题。即能否 从某一点开始不重复地一笔画 出这个图形，最终回到原点。 欧拉在他的论文中证明了这是 不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接 ，不可能将它一笔画出，这就 是古典图论中的第一个著名问 题。
随着科学技术的进步，特别是电子计
算机技术的发展，图论的理论获得了更进
一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂
的工程系统和管理问题用图的理论加以描
述，可以解决许多工程项目和管理决策的 最优问题。因此，图论越来越受到工程技 术人员和经营管理人员的重视。
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于 图论方面的第一篇科学论文，解决了著 名的哥尼斯堡七座桥问题。德国的哥尼
A
D
第6章 图与网络分析
为了区别起见。把两点之间的不带箭头的连线称 为边，带箭头的连线称为弧。 用图来描述事物间的联系，不仅直观清晰，便于 统观全局，而且网络图的画法简便，不必拘泥于 比例和曲直。总之，这里所讲的图是反映对象之 间关系的一种工具。
29
2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
29
2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
第6章 图与网络分析
子图
子图：设Ｇ1＝｛Ｖ1，Ｅ1｝Ｇ2＝｛Ｖ2，Ｅ2｝如果Ｖ1 V2， 又Ｅ1 E2,则称Ｇ1 为 G2 的子图。 真子图：若 V1 V2, E1 E2 即 G1 中不包含 G2 中所有的 顶点和边，则称 G1 是 G2 的真子图。 部分图： 若 V1=V2, E1 E2,即Ｇ1 中不包含 G2 中所有的边， 则称 G1 是 G2 的一个部分图。 支撑子图：若 G1 是 G2 的部分图，且 G1 是连通图，则称 G1 是 G2 的支撑子图。
1
2018/10/10
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V＝(v1， v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集合，并且 ei 是一 个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2018/10/10
24 8 v4 10 6 8 10
v5 11 v7 20 v6
12
图的矩阵表示 ：关联矩阵
在图 G＝(V，E)中，V＝(v1，v2,…….vP)，E＝{e1，e2，……eq}。构造一个矩阵 A=(aij)P×q，其中
1， 当点i与边j关联 aij 0, 否则
A 为 G 的关联矩阵。 右图的关联矩阵为： e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 0 v3 0 1 0 1 1 0 v4 0 0 1 0 0 1 v5 0 0 0 0 1 1
2018/10/10
a2
v1 a6
a3 v3 a7 a8 v5
9
a5 a9
环、多重弧、简单有向图
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
第6章 网络分析
简单链（路）:链中边 ei , ei ,..., ei 均不相同。
1 2 k
vi , vi ,..., vi 初等链：
1 2
k 1
均不相同。
简单圈（回路） ：边均不相同。 初等圈（回路） ：点均不相同。
图的连通性
点u和点v是连通的： 点u和点v之间存在链（路）。 连通图：图中任意两点连通。 连通分支：图G的极大连通子图。 图G是连通图当且仅当图G只有一个连通分支。 v8 v4 e e v ( v , v , v , v , v , v , v , v ) 5 5 例 1 2 3 4 5 3 6 7 v1 4
E 及其关联的顶点构成的子图称为由 E 导出的子图，记为 G[ E ] 。
子图的运算
设 G1 和 G2 是 G 的两个子图。 若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的； 若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。 （1） G1 和 G2 的并（ G1 G2 ）：分别以 G1 和 G2 点集的并和边集 的并为点集和边集的子图； （2） G1 和 G2 的交（ G1 G2 ）：分别以 G1 和 G2 点集的交和边集 的交为点集和边集的子图。
子图
设 G (V , E ) 是一个图， 图 H (V 1, E1) 称为 G 的一个子 图，其中 V 1 是 V 的非空子集且 E1 是 E 的子集。 子图 支撑子图 设 G (V , E ) 是一个图，若 V V1 ，则 G 的子图 。 H (V 1, E1) 为 G 的支撑子图（或生成子图） 点导出子图 设 G (V , E ) 是图， 非空子集 S V ， 则 G 的以 S 为顶点集以两端点在 S 中的所有边构成边集的子图称为由 S 导出的 子图，记为 G[ S ] 。 边导出子图 设 G (V , E ) 是图，非空子集 E E ，则 G 的以
1 2 k
vi , vi ,..., vi 初等链：
1 2
k 1
均不相同。
简单圈（回路） ：边均不相同。 初等圈（回路） ：点均不相同。
图的连通性
点u和点v是连通的： 点u和点v之间存在链（路）。 连通图：图中任意两点连通。 连通分支：图G的极大连通子图。 图G是连通图当且仅当图G只有一个连通分支。 v8 v4 e e v ( v , v , v , v , v , v , v , v ) 5 5 例 1 2 3 4 5 3 6 7 v1 4
E 及其关联的顶点构成的子图称为由 E 导出的子图，记为 G[ E ] 。
子图的运算
设 G1 和 G2 是 G 的两个子图。 若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的； 若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。 （1） G1 和 G2 的并（ G1 G2 ）：分别以 G1 和 G2 点集的并和边集 的并为点集和边集的子图； （2） G1 和 G2 的交（ G1 G2 ）：分别以 G1 和 G2 点集的交和边集 的交为点集和边集的子图。
子图
设 G (V , E ) 是一个图， 图 H (V 1, E1) 称为 G 的一个子 图，其中 V 1 是 V 的非空子集且 E1 是 E 的子集。 子图 支撑子图 设 G (V , E ) 是一个图，若 V V1 ，则 G 的子图 。 H (V 1, E1) 为 G 的支撑子图（或生成子图） 点导出子图 设 G (V , E ) 是图， 非空子集 S V ， 则 G 的以 S 为顶点集以两端点在 S 中的所有边构成边集的子图称为由 S 导出的 子图，记为 G[ S ] 。 边导出子图 设 G (V , E ) 是图，非空子集 E E ，则 G 的以
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
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目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
第六章 图与网络分析
v1 1 v8 5 v7 3 4 5 2 v6 2 4 2 v2 1 3 v0 4 4 v5 1 v3 1 v4 5
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
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称为这两点的最短链。 连通图：如果图G=（V，E）中的任意两点
都是其某一条链的两个端点，则称图G是 连通图，否则，称图G是不连通的。
为不连通图， 有两个连通分
v1 e1 v3 e2 v5
v7
图组成
e3
e4
e5 e6
e7
v2 e8 v4 e9 v6
v8
图的矩阵表示
图的矩阵表示主要方法有：权矩阵、邻接矩阵。 •权矩阵
路：2=（v2，v1，v3，v5）
•如果一条点边交替的序列的各边均不相同，则称序列为链； •如果一条链的两个端点是同一个点，则称它为圈； •更若一条链的各点、各边均不相同，则称该链为路。 •如果一条路的两个端点是同一个点，则称它为圈；
图的连通性
最短链:网络中链上权值的和称为链的长度，
以点v1,vn为端点的诸链中长度最短的链
（a）
（b）
（c）
v1图的e1连通v3 性 e2 v5
v7 e链3 ：列 ei设=({图vvi1,Gev4,=ei+1（1,)v，V2,，即…e5E这v）n(-1n中,-ee有16n-)1一条,v个边n}点把，、n若个边e顶7交点替串序 链v：2对连 一于1=起条e（简8来链v单2，，，图vv我而链41，们称也ev称点93可，这v以v16,个仅，vvn交6用v为4，替点该v序的链3，列序的v为列5两）图来个G表v端8中示点的。。
网络图N=（V，E），边[vi，vj]的权为wij ，构造矩
阵
A (aij )nn , 其中
a ij
wij 0
[vi , vj] E 其它
称矩阵A为网络N的权矩阵。
v5
7
5
6
v1
4
2
v4
9
4
8
v2
3 v3
其权矩阵为：
v1v 2 v3 v 4 v5
v1
0 9 2 4 7
v2
9 0 3 4 0
v3 A 2 3 0 8 5
挂边，次为零的点称为孤立点。
次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
子图与部分图（支撑子图）
给定图G=（V，E），若图G’=（V’，E’），其中
V’V，E’ E ，则称G’是G的子图。
点全部保留
给定图G=（V，E），若图G’=（V，E’），其中E’E， 则称G’是G的一个支撑子图（部分图）。
部分图
子图
引例2
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
天津
北京
塘沽
左图是我国北京、上海、重庆等
十一个城市之间的铁路交通图，
济南
青岛
这里用点表示城市，用点与点之
间的线表示城市之间的铁路线。
诸如此类还有城市中的市政管道
徐州
图，民用航空线图等等。
郑州
连云港
武汉
引例1
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一 篇科学论文，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。即一 个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过 一次，最终回到原出发地。如图1所示。
欧拉将这个问题抽象成一笔画问 题。即能否从某一点开始不重复 地一笔画出这个图形，最终回到 原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中 每一个顶点都与奇数条边相连接， 不可能将它一笔画出，这就是古 典图论中的第一个著名问题。
若两条边有一个公共的端点，则称这两条边相邻。
点与点
相邻
vi
e
vj
vi，vj相邻
e 与vi，vj关联
边与边相邻
vi e1 vk e2
vj
点与边关联
图的相关概念
若某条边两个端点相同，称这条边为环。 若两点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
v2
e3 v3
e5
无环、无多重边的 图称为简单图。
南京
上海
引例3
有六支球队进行足球比赛，分别用点v1…v6表示
这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用图反
映出来，已知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队 战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以用下图
所示的有向图反映出来。
v2
v4
v1
v6
v3
v5
图的基本概念与模型
点：研究对象（车站、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、铁 路线、两球队比赛及结果)。 对称关系：如桥、道路、比赛等；用不带箭头的连线 表示，称为边。 非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。
图：点及边（或弧）组成。
注意：一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线 的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重 要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上不同。
图的相关概念
对
非
称
对
关
称
系
关
系
无向图：图由点和边所构成的，
记作G = {V ,E}(V是点的集合，E是边的集合)
连接点vi,vj V的边记作eij={vi,vj }，或者[vj,vi]。
第六章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
第六章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它 已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工 程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等 各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中 的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以 解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道 的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等 问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地 加以解决。
无环、但允许有多 重边的图称为多重 图。
注：无特别声明我们今后讨论的图都是简单图
图的相关概念
图G中以点v为端点的边的数目，称为v在G中
的次(度）， 记为d（v）。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
d(v1)=2 d(v2)=3 d(v3)=4 d(v4)=1
v2
e3 v3
e5
次为1的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬
有向图：图是由点和弧所构成的，
记 作 D={V ,A}(V 是 点 的 集 合 ， A 是 弧 的 集 合 ) ，
一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj )。
网络图：给图中的点和边赋予具体的பைடு நூலகம்义和权数，如距离，
费用，容量等，记作N.
图的相关概念
若边eij=[vi,vj]∈E，称vi，vj是e的端点，也称vi，vj是 相邻的。称eij是点vi（及点vj）的关联边。
v4
4 4 8 0 6
v5
7 0 5 6 0
注：当G为无向图时，权矩阵为对称矩阵。
图的矩阵表示
都是其某一条链的两个端点，则称图G是 连通图，否则，称图G是不连通的。
为不连通图， 有两个连通分
v1 e1 v3 e2 v5
v7
图组成
e3
e4
e5 e6
e7
v2 e8 v4 e9 v6
v8
图的矩阵表示
图的矩阵表示主要方法有：权矩阵、邻接矩阵。 •权矩阵
路：2=（v2，v1，v3，v5）
•如果一条点边交替的序列的各边均不相同，则称序列为链； •如果一条链的两个端点是同一个点，则称它为圈； •更若一条链的各点、各边均不相同，则称该链为路。 •如果一条路的两个端点是同一个点，则称它为圈；
图的连通性
最短链:网络中链上权值的和称为链的长度，
以点v1,vn为端点的诸链中长度最短的链
（a）
（b）
（c）
v1图的e1连通v3 性 e2 v5
v7 e链3 ：列 ei设=({图vvi1,Gev4,=ei+1（1,)v，V2,，即…e5E这v）n(-1n中,-ee有16n-)1一条,v个边n}点把，、n若个边e顶7交点替串序 链v：2对连 一于1=起条e（简8来链v单2，，，图vv我而链41，们称也ev称点93可，这v以v16,个仅，vvn交6用v为4，替点该v序的链3，列序的v为列5两）图来个G表v端8中示点的。。
网络图N=（V，E），边[vi，vj]的权为wij ，构造矩
阵
A (aij )nn , 其中
a ij
wij 0
[vi , vj] E 其它
称矩阵A为网络N的权矩阵。
v5
7
5
6
v1
4
2
v4
9
4
8
v2
3 v3
其权矩阵为：
v1v 2 v3 v 4 v5
v1
0 9 2 4 7
v2
9 0 3 4 0
v3 A 2 3 0 8 5
挂边，次为零的点称为孤立点。
次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
子图与部分图（支撑子图）
给定图G=（V，E），若图G’=（V’，E’），其中
V’V，E’ E ，则称G’是G的子图。
点全部保留
给定图G=（V，E），若图G’=（V，E’），其中E’E， 则称G’是G的一个支撑子图（部分图）。
部分图
子图
引例2
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
天津
北京
塘沽
左图是我国北京、上海、重庆等
十一个城市之间的铁路交通图，
济南
青岛
这里用点表示城市，用点与点之
间的线表示城市之间的铁路线。
诸如此类还有城市中的市政管道
徐州
图，民用航空线图等等。
郑州
连云港
武汉
引例1
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一 篇科学论文，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。即一 个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过 一次，最终回到原出发地。如图1所示。
欧拉将这个问题抽象成一笔画问 题。即能否从某一点开始不重复 地一笔画出这个图形，最终回到 原点。欧拉在他的论文中证明了 这是不可能的，因为这个图形中 每一个顶点都与奇数条边相连接， 不可能将它一笔画出，这就是古 典图论中的第一个著名问题。
若两条边有一个公共的端点，则称这两条边相邻。
点与点
相邻
vi
e
vj
vi，vj相邻
e 与vi，vj关联
边与边相邻
vi e1 vk e2
vj
点与边关联
图的相关概念
若某条边两个端点相同，称这条边为环。 若两点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
v2
e3 v3
e5
无环、无多重边的 图称为简单图。
南京
上海
引例3
有六支球队进行足球比赛，分别用点v1…v6表示
这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用图反
映出来，已知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队 战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以用下图
所示的有向图反映出来。
v2
v4
v1
v6
v3
v5
图的基本概念与模型
点：研究对象（车站、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、铁 路线、两球队比赛及结果)。 对称关系：如桥、道路、比赛等；用不带箭头的连线 表示，称为边。 非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。
图：点及边（或弧）组成。
注意：一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线 的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重 要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上不同。
图的相关概念
对
非
称
对
关
称
系
关
系
无向图：图由点和边所构成的，
记作G = {V ,E}(V是点的集合，E是边的集合)
连接点vi,vj V的边记作eij={vi,vj }，或者[vj,vi]。
第六章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
第六章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它 已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工 程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等 各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中 的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以 解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道 的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等 问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地 加以解决。
无环、但允许有多 重边的图称为多重 图。
注：无特别声明我们今后讨论的图都是简单图
图的相关概念
图G中以点v为端点的边的数目，称为v在G中
的次(度）， 记为d（v）。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
d(v1)=2 d(v2)=3 d(v3)=4 d(v4)=1
v2
e3 v3
e5
次为1的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬
有向图：图是由点和弧所构成的，
记 作 D={V ,A}(V 是 点 的 集 合 ， A 是 弧 的 集 合 ) ，
一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj )。
网络图：给图中的点和边赋予具体的பைடு நூலகம்义和权数，如距离，
费用，容量等，记作N.
图的相关概念
若边eij=[vi,vj]∈E，称vi，vj是e的端点，也称vi，vj是 相邻的。称eij是点vi（及点vj）的关联边。
v4
4 4 8 0 6
v5
7 0 5 6 0
注：当G为无向图时，权矩阵为对称矩阵。
图的矩阵表示