微分方程单元自测题答案

合集下载

微分方程单元测试题(含答案)

微分方程单元测试题(含答案)题目一已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，求出这个微分方程的通解。

答案：根据微分方程的定义，我们可以利用变量分离法来求解这个微分方程。

首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和$\frac{1}{2x}$，得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。

然后我们进行积分，得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。

将积分限写入，得到 $\int\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$（这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数）。

对于左边的积分，我们可以用换元法来进行计算，令 $u = 2x$，则$du = 2dx$。

将其代入积分式中，得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ （其中 $C_1$ 是常数）。

对于右边的积分，我们可以直接计算得到 $x + C_2$（其中$C_2$ 是常数）。

将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|u|^{1/2} + C_1 = x + C_2$，进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$，其中$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。

对等式两边同时取指数函数，得到$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$，再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x}e^{C_3}$。

最后取绝对值，得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$，进一步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。

因此，微分方程的通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$，其中 $C_3$ 是常数。

题目二已知微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = 3x$，求出这个微分方程的特解。

高中数学微分方程练习题及参考答案2023

高中数学微分方程练习题及参考答案2023一、填空题1.微分方程 $y'=x^2$ 的通解为 $y=$_____________。

2.微分方程 $y'-2y=\cos x$ 的通解为 $y=$_____________。

3.微分方程 $y''-3y'+2y=0$ 的通解为 $y=$_____________。

4.微分方程 $y''+y=e^x$ 的通解为 $y=$_____________。

5.微分方程 $(x-1)y'-y=3$ 的通解为 $y=$_____________。

二、选择题1.微分方程 $y''-y'-12y=0$ 的解正确的选项是A. $y=c_1e^{4x}+c_2e^{-3x}$B. $y=c_1e^{3x}+c_2e^{-4x}$C. $y=c_1\sinh3x+c_2\cosh4x$D. $y=c_1\sinh4x+c_2\cosh3x$2.对于微分方程 $y''-2y'+y=x^3\mathrm{e}^{2x}$，以下选项正确的是A. 特解应为多项式 $Ax^3+Bx^2+Cx+D$B. 对于其特解应有 $A=0$C. 对于其特解应有 $B=0$D. 对于其特解应有 $B\neq0$3.微分方程 $y''-y'-2y=0$，其中 $y_1(x)=e^{2x}$，$y_2(x)=?$，正确的选项是A. $y_2(x)=e^{-x}$B. $y_2(x)=e^{x}$C. $y_2(x)=e^{-2x}$D. $y_2(x)=\mathrm{e}^{-2x}-4x\mathrm{e}^{-2x}$三、解答题1.求微分方程 $y'+\frac{1}{x}y=2\sin\ln x$ 的通解。

2.求微分方程 $y'-y=x\mathrm{e}^x$ 的通解。

第7章常微分方程单元自测题答案

《高等数学》单元自测题第七章微分方程一、填空题：1、C x y +=2arcsin 。

2、2tan xe y =。

3、x x xe C e C y 21+=。

二、选择题：BAB三、求解下列微分方程的通解：1、x yy y sin 1cos +='；解：根据可分离变量的方法，可解得方程的通解为()C x y +=+2s i n 1ln .2、xy e dx dy x y +=；解：令xy u =，可将原方程化为u e x dx du =，根据可分离变量可得 ()x C u ln ln --=，从而解得通解为()x C x y ln ln --=。

3、()()3222-+=-x y dxdy x ；解：此方程为一阶线性微分方程，根据公式，可解得方程的通解为 ()()322-+-=x x C y 。

4、x e x y y 22='+''；解：此方程为类型I 的二阶常系数非齐次线性微分方程，可解得方程的通解为)273(221+-++=--x x e e C C y x x 。

5、x x y y sin =-''。

此方程为类型II 的二阶常系数非齐次线性微分方程，可解得方程的通解为 x x x e C e C y x x c o s 21s i n 2121--+=- 四、应用题：1、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，求该曲线的方程.解: 052=+'-''y y y 的特征方程为:0522=+-r r , 可解得其通解为)2s i n 2c o s (21x C x C e y x +=根据已知条件可得以下初始条件:,00==x y 20-='=x y ,可解得01=C , 12-=C , 从而可得所求曲线方程为:x e y x 2s i n -=.2、设连续函数()x y 满足方程()()⎰+=xx e dt t y x y 0，求()x y 。

(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版

第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

第七章常微分方程自测题(答案)

第七章:常微分方程(自测题答案)一、选择题:1、一阶线性非齐次微分方程()+()y P x y Q x '=的通解是(C ).(A)()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰； (B)()()=()P x dx P x dx y e Q x e dx -⎰⎰⎰； (C)()()=[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰+； (D)()=P x dx y ce -⎰.2、方程xy y '是( A ).(A)齐次方程； (B)一阶线性非齐次方程；(C) 一阶线性齐次方程； (D)可分离变量方程 .3、已知ln x y x =是微分方程'()y x y x y ϕ=+的解，则()x y ϕ的表达式为（ A ）.(A) 22y x -； (B) 22y x ； (C) 22x y -； (D)22x y .4、 220,(1)2dy dxy x y+==的特解是(B ).(A)22=2x y +； (B)339x y +=；(C)33=1x y +； (D)33133x y +=. 5、方程=sin y x '''的通解是( A ).(A)21231=cos 2y x C x C x C +++； (B)21231=sin 2y x C x C x C +++；(C)1=cos y x C +； (D)=2sin 2y x . 6、方程=0y y ''''+的通解是( B ).(A)1sin cos +y x x C =-； (B)123sin cos +y C x C x C =-；(C)1sin cos +y x x C =+； (D)1sin y x C =-.7、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个特解,则1122y C y C y =+(其中12,C C 为任意常数)( B ). (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；(C)不是该方程的解； (D)不一定是该方程的解. 8、求方程2()=0yy y '''-的通解时,可令( B ).(A) y P '=,则 y P '''=； (B) ,y P '=则=dPy P dy''；(C) ,y P '=则=dP y P dx ''； (D) ,y P '=则=dPy P dy'''.9、设线性无关的函数123y y y ，，都是二阶非齐次线性方程 '''()()()y p x y q x y f x ++=的解，12,C C 为任意常数，则该非齐次方程的通解是( D ).(A) 11223y C y C y y =++； (B) 1122123()y C y C y C C y =+-+；(C) 1122123(1)y C y C y C C y =+--- ； (D) 1122123(1)y C y C y C C y =++--. 10、方程32x y y y xe '''-+=的一个特解形式是 ( C ). (A) ()x y ax b e =+； (B)； x y ae x = (C) ()x y ax b e x =+； (D) x y ae =. 二、求下列一阶微分方程的通解: 1、ln (ln 1)xy x y ax x '+=+； 2、2(6)20dy y x y dx-+=.；ln c y ax x =+； 232y x cy =+;3、(12)2(1)0x xy yx e dx e dy y ++-=.2x yx ye c +=.三、求下列高阶微分方程的通解:1、y y x '''=+； 2、20y y y ''''''+-=.21212x y C e x x C =--+； 2123x x y C C e C e -=++; 3、123='+''y x y x ；解方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以=)(x P 1d 13d 1d e 1(e C x x xx xx +⎰⎰⎰-）=1ln 3ln d e 1(eC x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x x x +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x121+-，由此 x y d d =x C x121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++，因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 4、x y y y x 2sin e 842=+'-''.解对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x 2sin e 842=+'-''的一个特解,先求xy y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。

《常微分方程》单元测试题（一）及详细参考解答

《常微分方程》单元测试题（一）及详细参考解答
【注1】本次测试主要内容为高等数学、数学分析、微积分等教材中《常微分方程》章节的主要内容，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！
【注2】参考解题过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望您能不吝指出！如果您有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给我们，我们将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
相关推荐
更多测试与练习请参见“高数线代”菜单下的“公式大纲练习解答”选项中“综合练习”列表的总列表，或者直接进入相应课程的内容导航列表中查看！
•《常微分方程》单元测试题（四）及详细参考解答
•《向量代数与空间解析几何》单元测试题（一）及参考解答
•《多元函数微分学及其应用》单元测试题（一）及参考解答
•《重积分》单元测试题（一）及详细参考解答
•《曲线积分与曲面积分》单元测试题（一）及详细参考解答
•《无穷级数》单元测试题（一）题目及详细参考解答
•《无穷级数》单元测试题（二）题目及详细参考解答
•《高等数学》第二学期期末考试试题（四）及参考解答拓展版。

高等数学单元自测题常微分方程

《高等数学》单元自测题答案第六章常微分方程一、填空题：1、C x y +=2arcsin ；2、x x y cos 1sin ln +=； 3、x x xe C e C y 21+=。

二、选择题：1、B ； 2 、A ； 3、B 。

三、求下列微分方程的通解：1、解分离变量得xdx y ydy =+sin 1cos ，两边同时积分 ⎰⎰=+x dx y ydy sin 1cos ，即⎰⎰=++x dx y y d sin 1)1(sin 。

所以，C x y +=+2)sin 1ln(，其中C 是任意常数。

2、解令x y u =，则ux y =，dxdu x u dx dy ⋅+=，代入方程得 u e dx du x u u +=⋅+，即 u e dx du x =⋅。

所以，⎰⎰=x dx e du u ，解得1ln C x e u +=--，从而C x e x y+-=-ln ，其中C 是任意常数。

3、解方程变形为2)2(22-=--x x y dx dy ，所以，可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅⎰⎰=⎰-----C dx x ee y dx x dx x 2)21()21()2(2 ])2)[(2()2(22122)2ln(C x x C dx x x e x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅-=⎰-，其中C 是任意常数。

4、解方程对应的齐次方程为 0='+''y y特征方程为 02=+r r解得特征根为 1,021-==r r所以，齐次方程的通解为x eC C y -+=211，其中21,C C 为任意常数。

设x e c bx ax y )(2*++=是非齐次方程的特解，则x e c b x b a ax y )]()2([2*++++='x e c b a x b a ax y )]22()4([2*+++++="代入非齐次方程化简得222232)26(2x c b a x b a ax =+++++ 比较系数得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=023202622c b a b a a ，解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==2731c b a ．所以，x e x x y )273(2*+-=．从而，非齐次方程的通解为x x e x x e C C y )273(221+-++=-． 5、解方程对应的齐次方程为 0=-''y y ．特征方程为 012=-r ．解得 11-=r ，12=r ．所以，齐次方程的通解为x x e C e C y 211+=-，其中21,C C 为任意常数．设x b x b x a x a y sin )(cos )(1010*+++=是非齐次方程的特解，则x b a x a x b a x b y sin )(cos )(010100*+--+++='x a b x b x a b x a y sin )2(cos )2(010100*++--+-="代入原方程化简得x x x a b x b x a b x a sin sin )222(cos )222(010100=++--+-所以，⎩⎨⎧=---=-+-x a b x b a b x a 0101002220222。

高数测试题十(微分方程)答案

高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则 α 与 β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ） A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-= B 2222()()0x xy dx y x y dy ---= C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-= D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设 λ 为实常数，方程 220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+ 4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ） A cos xaxe x B cos sin xxaxe x bxe x + C 22cos sin xxax e x bx e x + D 2cos xax e x 5、已知 0()xxy e y t dt =+⎰，则函数 ()y x 的表达式为（ D ）A xy xe C =+ B xy xe = C xxy xe Ce =+ D (1)xy x e =+ 二、填空题（每小题4分，共20分）1、方程212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x xy e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为 21xμ= 三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231xy y x'-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++⎰3、（8分）求微分方程 21(1)()02yy xe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2yy P x y xe Q x y x e y =+=+有y P Qxe y x∂∂==∂∂ ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++⎰⎰故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dPy Pdy''=，原方程化为 232212,2dP dP yPP y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y+= 则 ln 2ln 1[]yy z ey e dy C -=+⎰，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '==得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或3212dy y dx =± 由初始条件应取3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得214x C =-+，再由初始条件(0)1y =得 21C =，所以原方程的特解为114x =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30yy ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为 123,40,r r r ===方程的通解为 1234y C C x C C =+++ 6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r +=特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+因 0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为 *2012()y x b x b x b =++ 代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为*2122(21)3xy Y y C C e x x x -=+=++-+7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-= 是全微分方程。

微分方程习题和答案

微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程自测题答案

※提示：差分方程内容不用看微分方程自测题A 答案与提示一、单项选择题 1. 答案：A 提示：原方程可化为2211y x dy dx y x =+-. 2. 答案：D 提示：原方程可化为22dxyx y x dy-=（伯努利方程2n =）. 3. 答案：A提示：特点方程为220r -=，1,22r λ=≠=.故特解为x e A x A y 221)(+=*. 4. 答案：C提示：特点方程为240r +=,1,220r i λ=±≠=.故特解为)2sin 2cos (21x A x A x y +=*. 5. 答案：B提示：所求齐次微分方程的特点方程的根应为1,21r i =±，而选项B 的特点方程为2220r r -+=，知足条件.6. 答案：B提示：由已知条件，特点方程320r ar br c +++=有根12,31, 0r r =-=.故32232(1)r ar br c r r r r +++=+=+，那么0,0,1===c b a . 7. 答案：B提示：依照差分及差分方程的概念验证即可. 8. 答案：C提示：差分方程的概念验证即可.二、填空题 1．答案：212x ey -=1dy y =-，解得()y x =由(1)2y =，得2C =，从而212x e y -=.2. 答案：)(1c x xy +=提示：原方程可化为变量可分离方程111dy dx y x=-，解得)(1c x x y +=.3. 答案：212x xy +=提示：原方程可化为齐次方程2dy y y dx x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.令y ux =，那么22du dx u u x =-，解得221u Cx =-，即221xy Cx=-.由(1)1y =，得1C =-，故212x x y +=. 4. 答案：x e xx c x c e y x x 2cos 4)2sin 2cos (21-+=提示：特点方程为2250r r -+=，特点根为1,212r i =±.那么齐次方程的通解为12(cos2sin 2)x Y e c x c x =+.由于12i +是特点方程的根(1, 2)λω==,因此应设特解为()*sin 2cos2x y xe a x b x =+.把它代入原方程，可得10, 4a b ==-.5. 答案：6=xy提示：设曲线方程为()y y x =.过曲线上点(,)x y 的切线方程为()dyy y x x dx=+-.因切线被切点平分，那么(0)2dyy x dx y +-=.由此得微分方程dx dy x y -=，解得xy c =，又曲线通过点(2, 3)，那么6c =.6. 答案：)1(2122--x e x提示：函数()y f x =持续，那么0()x xf x dx ⎰可导，从而201()2()2x x f x e xf x dx -=--⎰可导.对其求导，得22x dyxy xe dx-+=，解得22(2)(2)(2)21()2x dx x dx x dx x x y Ce e xe e dx e x C ----⎰⎰⎰=+=+⎰.由1(0)2f =-,得12C =-.故 221()(1)2x f x e x -=-.7. 答案：62x +提示：3321(33)x x x x x y y y y y +++∆=-+-，代入函数3(1)2x x y x =++并化简得33332313(3)23(2)23(2)2(1)262.x x x x xx y x x x x +++⎡⎤⎡⎤∆=++-++++++++=+⎣⎦⎣⎦ 8. 答案：1243x x x y C C =+提示：特点方程为27120λλ-+=，特点根为123,4λλ==，依照齐次差分方程的求解公式得通解为1243x x x y C C =+. 三、计算题 1.解：(1）1)21ln(22++=xe y (2）1cx y xe += (3）xx y cos =(4）41212122+++=y y Ce x y (5）)21(222++-=x x Ce y x(6）)215sin 215cos(32211x C x C ee C y x x++=- (7）32116)2(2124++++=x x c c x e y x(8）x x x y sin 31cos 2sin 31--=2．解：原方程化为)(ln )(y x y y x ='，令 u = x y , 得u xux u ln d d =(分离变量方程)3．解：'=-+'--y pe u e u pxpx 121212''=''-'+-y eu pu p u px 12214() 代入原方程整理得''+-=u q p u ()1402令k q p =-142得 ''+=u ku 04.解: 将特解代入方程得恒等式x x x x e c e x b a e a e b a =++++++--)1()2()1(比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+-01201b a c a b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==210c b a故原方程为x e y y 2=-''对应齐次方程通解: x x e C e C Y -+=21，由于x x e x e y +=- 原方程通解为x x e C e C y -+=215．解：用tx u =对等式左侧的积分⎰10)(dt tx f 进行替换，然后再两边求导数，得出)(x f 需知足的微分方程便能解出nn Cx x f -=1)(.6．解：4)63sin 3263(cos)(2++=-t t e t P t7．解：验证)()(1x y x y -及)()(12x y x y -都是对应齐次方程的解.用齐次线性方程解的性质即可得出证明.8. 解：()f x 由两种不同类型的自由项，别离设定试解得12211318453114x x x y C x x -⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.微分方程自测题B 答案与提示一、单项选择题 1. 答案：A提示：111, x x x x e e e e e e+-=⋅=⋅.2. 答案：C提示：解方程可得11cos ln ln ln21cos x y C x -=++21ln tan 22x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由()2y e π=，知0C =.由此可得tan2xy e±=.3. 答案：D 提示：原方程可化为1211dy x y dx x x -+=--. 4. 答案：B提示：方程)()(x Q y x P y =+'对应齐次方程的通解为()P x dxY ce -⎰=，故原方程的通解为()1P x dx y ce y -⎰=+. 5. 答案：A提示：代换mz y =将微分方程βαby ax y +='化为11m m m a x b z z m z mαβ-+-'=+,为一阶齐次方程，那么有111m α=-，11m m β=-，从而111βα-=. 6. 答案：C提示：特点方程为222211042r pr q r pr p r p ⎛⎫++=++=+= ⎪⎝⎭，得1,22p r =-.那么通解为212()px y C C x e -=+.7. 答案：A提示：方程130t t y y --=的通解是3,t t Y C =方程132t t y y B --=的特解形式为(t y k k *=待定），代入方程132t t y y B --=取得k B =-，因此选择A. 8. 答案：B提示：21430x x x y y y ++-+=的特点根是121,3,λλ==1是特点单根，因此特解形式是()x y x Ax B *=+. 二、填空题1．答案：通解是2x c =2xdx =-2x c =.2. 答案：特解x y 2-=提示：特点方程为20r r +=，10r =，21r =-.非齐次项2-属于()x m e P x λ型，其中0λ=是特点方程的单根，0m =，故非齐次方程的特解可设为*y cx =，代入原方程可得2c =-. 3. 答案：通解是1132233()()D C y y C y y y =-+-+提示：由已知条件，可证13y y -和23y y -是原方程对应的齐次方程12()()0y a x y a x y '''++=的两个线性无关的解.故原方程的通解是 1132233()()C y y C y y y -+-+.4. 答案：通解是12345()sin ()cos x y C e C C x x C C x x -=++++提示：特点方程为54324222221(1)(21)(1)(1)0r r r r r r r r r r +++++=+++=++=，特点根为12,31, r r i =-=(二重),4,5r i =-(二重). 故原方程的通解可表示为12345()sin ()cos x y C e C C x x C C x x -=++++. 5. 答案：通解是22ln()x x y C ++=提示：作变量替换22u x y =+，那么原方程可化为0udx du +=.那么通解为ln x u c +=，即22ln()x x y C ++=.6. 答案：需求函数310000p x e-=提示：由题意，知需求价钱弹性函数3p p dxp x dpε==-,解得3()p x p ce -=.当0p =时，需求量为10000x =，那么10000c =.从而需求函数为310000p x e -=.7. 答案：通解是2x y c x x =+-提示：方程2x y x ∆=是一阶线性非齐次方程，对应齐次方程的通解为x Y c =，非齐次的特解形式为()x y x Ax B *=+,代入方程2x y x ∆=求得1,1A B ==-，因此通解是2x y c x x =+-.8. 答案：通解是1232x x x y C C =+提示：方程21560x x x y y y ++-+=的特点方程为2560λλ-+=，特点根是122,3,λλ==因此通解是1232x x x y C C =+. 三、计算题 1．解：将⎰=xt xdt e ey 02代入微分方程2x x e y y +=-'，22'=+⎰xxt x x y ee dt e e ，因此'-=y y 220+⎰xxt x x ee dt e e -20⎰xxt ee dt =2+x x e，方程成立，因此⎰=xt x dt e e y 02是方程特解。

第一章微分方程函数单元测试题及答案

第一章微分方程函数单元测试题及答案问题：1. 请简要解释什么是微分方程函数。

2. 请解决以下微分方程：- (a) $$ \frac{dy}{dx} = 2x $$- (b) $$ \frac{d^2y}{dx^2} = -2y $$3. 将以下微分方程转化成标准形式：- (a) $$ 2yy' = x $$- (b) $$ y'' + xy' = 0 $$4. 将以下微分方程分类，并判断其类型：- (a) $$ \frac{dy}{dx} + y = e^x $$- (b) $$ \frac{d^3y}{dx^3} + 5\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 2y = 0 $$5. 求解以下线性常微分方程：- (a) $$ \frac{dy}{dx} + 2xy = 0 $$- (b) $$ \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 $$答案：1. 微分方程函数是一种包含函数及其导数的方程，其中函数的导数描述了函数的变化率。

2.- (a) 对方程两边同时积分可得：$$ y = x^2 + C $$，其中C为常数。

- (b) 这是一个二阶齐次线性微分方程，它的特征方程为：$$ r^2 = -2 $$。

特征根为：$$ r = \pm \sqrt{2}i $$。

因此，通解为：$$ y = C_1e^{\sqrt{2}ix} + C_2e^{-\sqrt{2}ix} $$，其中C1和C2为常数。

3.- (a) 将方程重写为：$$ y' = \frac{x}{2y} $$。

- (b) 将方程重写为：$$ y'' + xy' = 0 $$。

4.- (a) 这是一个一阶线性非齐次微分方程，因为右侧是一个非常数的函数。

- (b) 这是一个三阶齐次线性微分方程。

5.- (a) 这是一个一阶线性非齐次微分方程，其齐次部分为：$$ \frac{dy}{dx} + 2xy = 0 $$。

微分方程习题(附答案)

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

高数测试题十（微分方程）答案

高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。

微分方程部分测试--参考标准答案

解方程2121dy x y dx x y -+=-+。

解. 解方程组{210,210,x y x y -+=-+=得11,33x y =-=。

令1,31,3x z y y =-=+⎧⎨⎩代入原方程，则有22d y z ydz z y-=-。

再令y u z =，即y uz =，则上式化为()()21221u dudzzu u -=-+，两边同时积分，得()22ln1ln u u z c -++=，即()22ln y z y z c -+=。

所以，原方程的通解为：2211111ln 3333y x y x c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化简为22x y xy x y c +-+-=。

这里113c c e =-，1c 为任意常数。

2、解方程22y x y dx dy -=。

解将原方程改为2dx x y dy y=-，这是一个以x 为函数，y 为自变量的一阶线性微分方程。

容易求得其齐次方程2dx x dy y=的解为 2x cy =。

令原方程的解为2()x c y y =，对其两边关于y 求导，得到2()2()dx dc x y c y dy dy=+，并代入原方程得到 ()1dc y dy y=-，积分得到()ln ||c y y c =-+。

因此原方程的通解为2(ln ||)x y c y =-。

3、解方程 1yxdy exe dx -⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

解原方程可以变形为 ()()x y d y x xe dx++=即()()x y e d x y xdx -++=。

积分之，则得到()22x y x e c -++= 这就是原方程的通解。

4、解方程 23222(32)3(2)0xyx dx x y y dy +++=。

解因为12M xy y ∂=∂，12Nxy x∂=∂，故方程是恰当微分方程。

把方程重新“分项组合”，得到 ()223266430xy dx x ydy x dx y dy +++=，即 ()224330d x yx y ++=，于是，方程的通解为22433x y x y c ++=，这里c 是任意常数。

微分方程(习题及解答)

第十二章微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ．答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是．答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =.5'的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答：Cx y e x=．三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解：解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解：解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=．解：解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式．答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程．答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为．答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为．答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为．答：ln()x y x y C --+=．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=；解：解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解：解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=；解：解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==．解：解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解．解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解．答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ．答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=．答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关．答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ．答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为．答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为．答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=．解：解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+．答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=．答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=．答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=．答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ．答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值．答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为．答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为．答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为．答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为．答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为．答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=．解：解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解：解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+．答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++．答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解：解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。

微分方程练习及答案

第四章微分方程练习题一、选择题（每小题6分，24分） 1.方程0)1(2='--y x y x 的通解是（）（A ）21x C y -=（B ）21x C y -=（C ）221x Cxey -=（D ）C x x y +-=2212.微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是（）（A ）y x 3313=+ （B ）x y 331=-（C ）y x 3313=-+ （D ）x y 331=-+ 3.设二阶常系数线性齐次方程021=+'+''y p y p y 的特征方程有两个相等的实根21r r =，则此方程的通解是（）（A ）x r xr xe c ec 1221+ （B ）x r e x c x c 1)(221+（C ）)sin cos (12112x r c x r c e x r + （D ）x r c 24..微分方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解应具有形式为 ( ) (c b a ,,为常数) (A))(2c bx aex++ (B)x e b ax 2)(+ (C)x e b ax x 22)(+ (D)x e b ax x 2)(+二、填空题（每小题6分，共24分） 1.03)(233=-+dy xy dx y x 的通解y = .2.07422=++y dx dydxy d 的通解y = . 3.以x y sin 1=，x y cos 2=为特解的最低阶常系数齐次线性方程是 _____ 4.微分方程微分方程'=+-y y x x cos sin 的通解是 _________________ 三、解答下列各题（每小题13分，52分）1.求微分方程满足初始条件的解： ''-'-=='=⎧⎨⎩y y y y y 200105(),()2. 求微分方程112+''=x y 的通解.3. 求微分方程xe y y y =+'-''34的通解.4. 求微分方程xyx y dx dy tan +=的通解.第十二章微分方程知识点列表测试题C 参考答案及评分标准一、1.C 解：原方程分离变量整理得：dx x xy dy )1(-= 两端积分得 1221ln ln C x x y +-= 故1221ln c x xe ee y -= 即221x Cxey -=2.C 解：令p y =' 则dy dp p dx dp y ==''，原方程变为：023=-yp dydpp 当0≠p 时，分离变量得：ydy pdp 22= 两端积分得：C y p +=-21 将'=-=y y (),()0101代入得 C=0 ,从而21y p =-或21yy -=' 得C x y +-=331 又1)0(=y 得C=31，故方程的解为y x 3313=-+ 3.A 解：见课本304页表格。

微分方程单元测试1-2-3参考答案

解方程2121dy x y dx x y -+=-+。

解. 解方程组{210,210,x y x y -+=-+=得11,33x y =-=。

令1,31,3x z y y =-=+⎧⎨⎩代入原方程，则有22d y z ydz z y-=-。

再令y u z =，即y uz =，则上式化为()()21221u dudzzu u-=-+，两边同时积分，得()22ln1ln u u z c -++=，即()22ln y z y z c -+=。

所以，原方程的通解为：2211111ln 3333y x y x c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化简为22x y xy x y c +-+-=。

这里113c c e =-，1c 为任意常数。

2、解方程22y x y dx dy -=。

解将原方程改为2dx x y dy y=-，这是一个以x 为函数，y 为自变量的一阶线性微分方程。

容易求得其齐次方程2dx x dy y=的解为 2x cy =。

令原方程的解为2()x c y y =，对其两边关于y 求导，得到2()2()dx dc x y c y dy dy=+，并代入原方程得到 ()1dc y dy y=-，积分得到()ln ||c y y c =-+。

因此原方程的通解为 2(ln ||)x y c y =-。

3、解方程 1yxdy exe dx -⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

解原方程可以变形为 ()()x y d y x xe dx++=即()()x y e d x y xdx -++=。

积分之，则得到()22x yx e c -++= 这就是原方程的通解。

4、解方程 23222(32)3(2)0xyx dx x y y dy +++=。

解因为12Mxy y∂=∂，12N xy x ∂=∂，故方程是恰当微分方程。

把方程重新“分项组合”，得到 ()223266430xy dx xydy x dx y dy +++=，即 ()224330d xy x y ++=，于是，方程的通解为22433x y x y c ++=，这里c 是任意常数。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

微分方程单元自测题答案
一、填空题
1. 微分方程()043
='-'+''y y y x y xy 是二阶微分方程； 2. x
y y 2='的通解为 2y Cx = ； 3. 微分方程sin dy y x dx x x +=的通解为 cos x C y x
-+= ； 4. 微分方程2x y e ''=的通解是 21214
x y e C x C =++ ； 5. 微分方程032=-'-''y y y 的通解为 312x x y C e C e -=+ ；
6. 以212x x y C e C e =+为通解的微分方程为 320y y y '''-+= ；
7. 已知212,x y x y e ==是某个二阶齐次线性微分方程的两个解，则该微分方程的通解为
212x y C x C e =+ ；满足初始条件(0)1,(0)3y y '==的特解为 2x y x e =+ ；
8. 微分方程方程2sin y y y x x '''+-=的特解形式上可设为 *()cos ()sin y ax b x cx d x =+++；
9. 已知2123,,x x y x e y x e y x =+=+=是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该微分方程的
通解为 212x x y C e C e x =++ ；
10. 与积分方程0(,)x x y f t y dt =
⎰等价的微分方程初值问题为 0(,),()0y f x y y x '== 。

二、计算题 1. 求微分方程2y
xdy ydx y e dy -=的通解；解：原方程化为y dx x ye dy y -=-，所以此方程通解为y dy y y dy y ye Cy dy e ye C e x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-⎰=⎰-11 2. 设1y x =-是微分方程()y p x y x '+=的一个解，求此微分方程满足条件00x y ==的特解；
解：将1y x =-代入原方程，得1()(1)p x x x +-=，解出()1p x =。

所以原方程为y y x '+=，（解法一：用解的结构求出通解，再带入初始条件）解其对应的齐次方程，得x y Ce -=。

所以原方程的通解为1x y x Ce -=-+。

由0
0x y ==，得1C =。

故所求特解为1x y x e -=-+。

（解法二：用通解公式求出通解，再带入初始条件）
3. 求微分方程2
x y y x ='-''的通解；
解：令y p '=，则y p '''=，带入原方程的2xp p x '-=为一阶线性微分方程，带入通解公式得 11
21[]dx dx x x p e xe dx C x C x -⎰⎰=+=+⎰，所以原方程通解为23211211()32
y x C x dx x C x C =+=++⎰ 4. 求微分方程122+='+''x y y 的通解；
解：（法一）对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r +=，特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+，
因为0=λ是特征方程的单根，所以原方程一个特解形式为cx bx ax x y ++=23*)(，将此解代入原方程，得12)2()62(322+=++++x b c x a b ax ，比较系数得5,2,32=-==c b a 。

从而得到原方程的一个特解x x x x y 523
2)(23*+-=。

所求方程的通解为*2122(21)3
x y Y y C C e
x x x -=+=++-+ （法二）方程122+='+''x y y 两端积分，得1332C x x y y ++=+'，这是一个一阶线性微分方程，其通解为
3322112321222(())255332253
x x x x y e C x x C e dx C C e x x x C C e x x x ---=+++=++-+-=++-+⎰。

5. 一曲线弧过原点，且在任意一点(,)M x y 处的切线斜率等于x y +，求曲线方程。

解：由题得y x y '=+，(0)0y =；
所以[](1)dx dx x y e xe dx C x Ce -⎰⎰=+=-++⎰
，由初始条件得1C =，所以所求曲线为(1)x y x e =-++。