高一数学组合应用问题
高中数学排列与组合练习 (8)
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型三
涂色问题
涂色问题曾在历届高考题中多次出现，下面举几例以期抛 砖引玉． 例3 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选 择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
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(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个 球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空 盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球” 是一回事．故也有144种方法． (4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个 球，两个盒子，每盒必放球，有几种方法？”从放球数目看， 可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然 后放入指定的一个盒子中即可，有C43·C21种方法；第二类：有 C42种方法．因此共有C43·C21＋C42＝14(种)．由分步乘法计数 原理得“恰有两个盒子不放球”的方法有C42·14＝84(种)．
3．重复计数 例3 几种？ 【错解1】 排在排头的有除甲之外的A61种情形，排在排尾 7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有
的也有除乙之外的A61种情形，两端排好后余下的排中间有A55种 情形，所以不同的排法有A61A61A55＝4 320种． 【错解2】 头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人
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探究1 解排列组合问题的“16字方针”是：有序排列、无 序组合；分类为加，分步为乘．
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高一排列组合知识点
高一排列组合知识点排列组合是高中数学中的重要内容之一，它是组合数学的基础概念，也是解决许多实际问题的数学工具。
在高一阶段，排列组合的学习主要集中在基本的知识点上。
本文将为大家介绍高一阶段排列组合的基础知识点及其应用。
一、排列与组合的概念排列和组合是组合数学中的两个基本概念。
排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，排列中的元素不能重复使用；而组合则是从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，组合中的元素可以重复使用。
排列和组合的计算方法也有所不同，下面分别介绍。
二、排列的计算方法排列的计算方法有两种情况：有放回和无放回的排列。
1. 有放回的排列有放回的排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，并且选过的元素可以重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行排列，则有放回的排列数为n^k。
2. 无放回的排列无放回的排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，并且选过的元素不能重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行排列，则无放回的排列数为n!/(n-k)!，其中“!”表示阶乘。
三、组合的计算方法组合的计算方法也有两种情况：有放回和无放回的组合。
1. 有放回的组合有放回的组合是指从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，并且选过的元素可以重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行组合，则有放回的组合数为C(n+k-1, k)，其中C表示组合数。
2. 无放回的组合无放回的组合是指从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，并且选过的元素不能重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行组合，则无放回的组合数为C(n, k)。
四、排列组合的应用排列组合不仅是一种数学工具，也是许多实际问题的解决方法。
在高一数学中，排列组合的应用主要包括以下几个方面：1. 判断有关事件发生顺序的概率问题。
排列可以用于计算事件发生的不同顺序，从而求解事件发生的概率。
高一数学组合应用题
组合应用题
一．简单组合问题
二．带附加条件的组合问题
1．某些元素有特殊归类问题
例1．平面上有五个兰点和七个红点，其中有三个红点与两个兰点在同一条直线上，
除此以外，再无三点共线，问过两个不
同颜色的点，共可作多少条直线？
2．组合中的有重复问题：
例2．由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？
3．“不相邻”的组合问题：
例3．现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只灯关掉，但不能关掉相邻的两只
或三只，也不能关掉两端的灯，关灯方
法有多少种？
4．其他问题
例4．有12个代表名额，分给７个学校，每校至少１个，有多少分法？
作业：
1．有划船运动员10人，其中３人会划右舷，２人会划左舷，其余５人都会划，现要从中选出６人，平均分配在船的两舷，有多少种选法？
2．以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？
3．某仪表显示屏上一排７个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三
个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？
4．在一块并排10垄的田地中，选择２垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于６垄，不同的选垄方法有多少种？（99高考）
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形有多少个？（96高考）
6．四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取３个点，使它们和点A在同一平面上，不同取法有多少种？（97高考）。
高一数学中的组合数学初步是什么
高一数学中的组合数学初步是什么在高一数学的学习中，我们会接触到一个新的领域——组合数学初步。
组合数学听起来似乎有些高深莫测，但实际上它与我们的日常生活和许多实际问题都有着紧密的联系。
组合数学简单来说，就是研究如何按照一定的规则安排和选取事物的数学分支。
它关注的是计数、排列和组合等问题。
先来说说计数。
假设我们要从班级里选出一名班长，有 50 名同学可供选择，那么有多少种不同的选法呢？这就是一个简单的计数问题。
再比如，从一副扑克牌中抽取 5 张牌，有多少种可能的组合？这也是组合数学要研究的内容。
排列则是考虑顺序的选取方式。
比如，从 10 个不同的数字中选取 3 个并按照一定的顺序排列，有多少种排列方式？如果我们要给书架上的 5 本书进行排序，又有多少种不同的排列顺序？组合则不考虑顺序。
从 10 个同学中选出 3 个参加比赛，不考虑他们的出场顺序，有多少种选法？组合数学会告诉我们答案。
组合数学在现实生活中有很多实际应用。
比如，在密码学中，为了保证密码的安全性，需要生成复杂的组合；在彩票游戏中，计算中奖的可能性就涉及到组合数学的知识；在计算机科学中，算法的优化、数据的存储和检索等也离不开组合数学。
在高一数学中，我们学习的组合数学初步知识主要包括基本的计数原理、排列组合的公式和应用。
基本的计数原理有两个，分别是分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
分类加法计数原理是指，如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，从甲地到乙地，有 3 条陆路可走，2 条水路可走，那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种不同的走法。
分步乘法计数原理是指，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
高一数学应用题解析与讲解
高一数学应用题解析与讲解数学是一门重要的学科，不仅涉及到理论与公式的运用，还与我们日常生活的应用息息相关。
在高一数学学习中，我们将接触到许多数学应用题，这些题目旨在帮助我们将数学知识应用于实际场景中，培养我们的解决问题的能力。
本文将对高一数学应用题进行解析与讲解，帮助大家更好地理解与掌握数学应用题的解题方法。
1. 几何应用题几何应用题是高一数学学习中的重点之一，涉及到平面几何和立体几何等内容。
下面我们以一个平面几何的应用题为例进行解析。
例题1：某校操场的形状是一个半径为50米的圆形，现需要在操场四周修建一条宽3米的跑道，求跑道的面积。
解析：首先，我们需要明确题目的要求，即求跑道的面积。
根据题目中的描述，我们可以得知，跑道的形状是一个内半径为50米、外半径为53米的圆环。
因此，我们可以通过计算两个圆的面积之差来求得跑道的面积。
内圆的面积为πr^2，外圆的面积为πR^2，其中r为内半径，R为外半径。
跑道的面积即为外圆的面积减去内圆的面积。
所以，跑道的面积为πR^2 - πr^2 = π(R^2 - r^2) = π(53^2 - 50^2) = 9π ≈ 28.27平方米。
在这个例题中，我们运用了几何知识中圆环的面积公式，并通过计算求得了跑道的面积。
这个例题不仅考察了对几何知识的掌握，还培养了我们解决实际问题的能力。
2. 概率与统计应用题概率与统计是数学的一个重要分支，与我们日常生活中的数据、概率密切相关。
下面我们以一个概率与统计的应用题为例进行解析。
例题2：某班级有30个学生，其中20个学生会游泳。
现从班级中随机抽取2个学生，求这2个学生都会游泳的概率。
解析：首先，根据题目中给出的信息，班级总共有30个学生，其中20个学生会游泳。
我们需要计算的是从班级中随机抽取2个学生，这两个学生都会游泳的概率。
根据概率的定义，概率等于“有利结果的个数除以总结果的个数”。
在这个题目中，有利结果就是两个学生都会游泳，总结果就是从班级中随机抽取2个学生。
高一数学排列组合二项式定理及其应用分析总结归纳
02
二项式定理及其应用
二项式定理的展开式
二项式定理：(a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + n*(n-1)/2*a^(n-2)*b^2 + ... + b^n 展开式特点：每一项的系数是n的阶乘除以(n-k)的阶乘 展开式应用：求解组合问题、概率问题、数列问题等 展开式计算：利用公式进行计算，注意系数和指数的变化规律
多项式定理的应用：在数学、 物理、工程等领域有广泛应用
多项式定理的证明：通过数学 归纳法进行证明
多项式定理的推广：将二项式 定理推广到更高阶的多项式
二项式定理的扩展形式
二项式定理的推广：从n次方推广到任意次方 二项式定理的拓展：从整数推广到实数 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到多项式定理 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到组合定理
用
期望值：二项 式定理在期望 值计算中的应
用
方差：二项式 定理在方差计
算中的应用
在统计学中的应用
概率计算：二项式定理可以用于计算概率，例如计算抛硬币、掷骰子等事件的概率。 统计推断：二项式定理可以用于统计推断，例如进行假设检验、参数估计等。 统计模型：二项式定理可以用于建立统计模型，例如建立线性回归模型、逻辑回归模型等。 数据分析：二项式定理可以用于数据分析，例如进行数据清洗、数据可视化等。
计算期望：二项 式定理可以用来 计算期望，如 E(X) = Σ[k * P(X=k)]
在代数中的应用
求解多项式方 程：利用二项 式定理求解多
项式方程
求函数值：利 用二项式定理
求函数值
求极限：利用 二项式定理求
极限
求导数：利用 二项式定理求
排列组合综合应用问题
10. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
(1)分为三组，每组5人,共有__C_15_5C __15_0C__55_/_A_33__ 种不同的分法。
（2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各4人，共有
_____C __17_5C __84_C__44_A_33__/_A_22 种不同的分法。
（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组4人，
共有 ____C__16_5C__95_C__44_A_3_3____种不同的分法。
11. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都不 站中间两位的排法有__C __6 4A _4 4 _ __C _2 1 C _7 _3A _2 1 _A _3 3 _ _C _6 2 _A _2 2 _A _2 2 _种。
4.某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不 影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能 熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有 （ A）
C C （A）C
3 8
种（B）A
3 8
种
（C）
3 种 （D） 3 种
9
11
5. 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行 测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测 试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的， 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
二、搭 配 问 题 例2：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行
高一数学中的排列与组合问题如何解决
高一数学中的排列与组合问题如何解决在高一数学的学习中，排列与组合是一个让许多同学感到头疼的部分。
但其实，只要我们掌握了正确的方法和思路，这些问题也能迎刃而解。
首先，我们要明确排列和组合的基本概念。
排列是指从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列；而组合则是指从给定的元素中，选取若干个元素组成一组，不考虑顺序。
简单来说，排列关注顺序，组合不关注顺序。
那如何判断一个问题是排列问题还是组合问题呢？这就需要我们仔细分析题目中的条件。
如果题目中明确提到了顺序的重要性，比如“排队”“排座位”“比赛的名次”等，那么通常就是排列问题；如果题目强调的是选取一组元素，而不关心其内部的顺序，比如“选几个人组成小组”“从一堆物品中选几个”等，那大概率就是组合问题。
在解决排列与组合问题时，我们有一些常用的方法和公式。
先来说说排列的公式。
如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列，那么排列数记为 A(n, m) ，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
对于组合，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数记为 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
掌握了这些基本的公式后，我们通过一些具体的例子来看看如何应用。
比如，有 5 个不同的球，从中选取 3 个进行排列，有多少种不同的排法？这就是一个排列问题。
我们可以使用排列公式 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60 种。
再比如，从 10 名学生中选出 3 名参加活动，有多少种选法？这是一个组合问题，使用组合公式 C(10, 3) ＝ 10! ／ 3! ×（10 3)！＝ 120 种。
除了直接运用公式，我们还有一些特殊的解题方法。
高一数学排列组合中的分堆问题
A
3 3
少种不同的分法？
02.
按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、
C 120 C 82 C 62 C 44 丁四个人有多少种不同的分法？
非均分组问题 (例3)
(1) C16C52C33
6本不同的书按 1∶2∶3分成三 堆有多少种不同 的分法？
(2) C16C52C33 P33
按1∶2∶3分给甲、乙、 丙三个人有多少种不同 的分法？
（4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
(3)
C
2 12
C
5 10
C
5 5
(4)
A
1 3
C
2 12
C
C
5 5
小结
平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序 如何，都是一种情况，所以分组后要除以 P(m,m)，即m!，其中m表示组数。
cd
ab
有_____多少种分法？
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
一：均分不安 排工作的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
4 12
C
4 8
C
4 4
A
3 3
12! 4!·8!
8! 4!·4!
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排列组合中的分堆问题
排列组合常见题型及解题策略
排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种 不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26AA A 种种，不同的排法种数是52563600【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）A A A=504【解析】：111789【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A A＝3600【解析】：不同排法的种数为5256【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
高一数学排列组合中分堆问题
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
(3)
C
2 12
C
5 10
C
5 5
(4)
A
1 3
C
12 2 C
5 10
CБайду номын сангаас
5 5
小结
平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们 的顺序如何，都是一种情况，所以 分组后要除以P(m,m)，即m!，其中m 表示组数。
(1)
C
2 6
C
2 4
C22
90
二：分堆安排工作的问题(续)
例2（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、 D、E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列
(2)
C
13 2 C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
3 9
C36
C33
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分
成四堆有多少种不同 (1)
的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分
给甲、乙、丙、丁四 (2)
个人有多少种不同的 分法？
C120
专题研究排列组合的综合应用习题和答案详解
1．(2019·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2019·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案 C解析 可先分组再排列，所以有12C 42A 33＝18(种)放法．5．(2019·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 答案 D解析有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51×C422×A33＝90(种)．∴共有150种．故选D.6．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C102A84B．C91A95C．C81A95D．C81A85答案 C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项．7．(2019·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有()A．40种B．48种C．60种D．68种答案 B解析4，2分法：A22(C64－1)＝14×2＝28，3，3分法：C63C33＝20，∴共有48种．8．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C62C52C82B．C62＋C52＋C82C．A62A52A82D．C192答案 B解析依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62＋C52＋C82，选B.9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C42A33－A33＝30种分法．故选C.10．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有C 42C 21C 11A 22种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 42C 21C 11A 22×A 33＝36(种)．11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2019·河南郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( ) A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个 答案 A解析 分三类：第一类，没有2，3，由其他3个数字组成三位数，有A 33＝6(个)； 第二类，只有2或3，需从1，4，5中选2个数字，可组成2C 32A 33＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选1个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 31A 33＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.13．(2019·安徽马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A ．5 400B ．3 000C ．150D ．1 500答案 D解析 分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A 22种情况．故选择情况数为C 53(C 53＋C 52C 32A 22)A 33＝1 500(种)． 14.(2019·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( ) A ．C 419 B ．C 389 C ．C 409 D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.15．(2019·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．16．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋C 42C 22A 22)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.17．(2019·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案84解析方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C73种．故共有C71＋A72＋C73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C96＝84(种)抽调方法．。
插空法与捆绑法在高一数学排列组合中的应用
数论：插空法 与捆绑法可以 用于求解数论
问题
在实际生活中的应用
插空法：在排 队、座位安排、 物品摆放等场 景中，可以运 用插空法进行 优化和调整。
捆绑法：在打 包、装箱、物 品分类等场景 中，可以运用 捆绑法进行优
化和调整。
插空法与捆绑 法的结合：在 实际生活中， 可以将插空法 和捆绑法结合 使用，提高效 率和准确性。
汇报人：WPS
在排列组合中的重要性
插空法：适用于 元素之间存在某 种限制条件的情 况，如元素之间 存在顺序关系或 元素之间存在排 斥关系等。
捆绑法：适用于 元素之间存在某 种关联关系的情 况，如元素之间 存在捆绑关系或 元素之间存在依 赖关系等。
比较与联系：插 空法和捆绑法是 解决排列组合问 题的两种重要方 法，它们各有优 缺点，需要根据 实际问题灵活选 择和应用。
插空法的实例解析
添加标题
问题描述：从n个不 同元素中取出r个元 素进行排列，要求每 个元素都不相邻
添加标题
插空法原理：将n个 元素分成r+1个空隙， 然后在空隙中插入r 个元素
添加标题
实例解析：例如，从 5个不同元素中取出3 个元素进行排列，要 求每个元素都不相邻
添加标题
插空法步骤：
添加标题
将5个元素分成4个空 隙，然后在空隙中插 入3个元素
添加标题
计算不同排列方式的 数量，得到答案为10 种
添加标题
结论：插空法是一种 有效的方法，可以解 决排列组合问题中的 特定问题
捆绑法的概念
捆绑法是一种解决排列组合问题的方法 捆绑法将某些元素视为一个整体，进行捆绑处理 捆绑法适用于解决元素之间存在某种关联或限制的问题 捆绑法可以提高解题效率，简化解题过程
高一数学组合与组合数公式
所有的排列为：
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
演 稿
示
文
1 2 3 后
等
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组合
排列
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
a
b
c
b
c
d
c
d
d
6个
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀 请赛，通过单循环决出冠亚军． （1 ）列出所有各场比赛的双方； （2 ）列出所有冠亚军的可能情况。
m n m n m m
n! C m!(n m)!
m n
例1 计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
(3) 已知
例2求证：
C
m n
3 n
A
2 n
,求 n ．
m 1 m1 C C n nm
．
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合． 排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从 n个不同元素中任取 m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”． 排列与元素的顺序有关，而 组合则与元素的顺序无关 想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 两个相同的排列有什么特点 ?两个相同的组合呢?
排列与组合的综合应用题
5．有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9，将其中任意三张并排放在一 起组成三位数，共可组成 432 个不同的三位数．
2．局局部步，整体分类以后，对每一类进行局局部 步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同 时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用 分步计数原理．
3．辩证地看待“元素〞与“位置〞．排列、组合问 题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些 事物看成元素或位置，要视具体情况而定．有时“ 元素选位置〞，问题解决得简捷；有时“位置选元 素〞，效果会更好．
【点评】本小题考查排列组合、计数原理等根底知
识以及分类讨论的数学思想．
排列组合问题的常见解法主要有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难那么反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略；
【点评】有关由假设干个数字组成满足某条件的数的
问题通常应用“特殊元素先排法〞或“减去法〞，思考
这类问题时应注意数字“0〞是否参与、组成的数是多
少位数、数字使用时是否可以重复这三个根本方面．
四、几何型排列组合问题 例 4(1)将一个四棱锥的每个顶点染上 1 种颜 色，并使同一条棱上的两端点异色，现共有 5 种颜 色可供使用，问共有多少种不同染色方法？
【点评】几何型排列组合问题需充分利用题设情 境相应的几何性质，利用分类整合的方法求解．
高一数学排列组合综合应用试题
高一数学排列组合综合应用试题1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（）A．5B．4C．9D．20【答案】C【解析】完成一项用方法一有5种，用方法二有4种，因此共有4+5=9种.【考点】分类加法计数原理.2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（）A．11B．12C．30D．36【答案】C【解析】第一步从6人中选一人担任正班长，有6种情况；第二步从剩余5人中选一人担任副班长，有5种情况，有分步乘法计数原理得有【考点】步乘法计数原理.3.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. 则X所有可能取值的个数是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】随机变量的可能取值为取值个数为4.【考点】离散型随机变量的取值.4.（本题满分10分）从5名男医生、4名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有多少种？【答案】70【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：第一类，男医生1人，女医生2人，有种，第二类，男医生2人，女医生1人，有种，因此共有30+40=70.【考点】排列组合的综合应用.5.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an ，按上述规律，则a6=_________，an=_________．【答案】,.【解析】由于，因此构成的是公差为3的等差数列，因此..【考点】等差数列的概念和通项公式.6.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有【答案】28【解析】0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有A33=6种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有A33=6种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种；故答案为28．【考点】简单排列组合应用问题，计数原理。
1.2.2.2组合的综合应用
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【解析】(1)方法一:可作出三角形 C36 C16 gC42 C62 gC14 =116(个). 方法二:可作三角形 C130 C34 =116(个),其中以C1为顶点 的三角形有C52 C15 gC14 C24 =36(个). (2)可作出四边形 C64 C36 gC16 C62 gC62 =360(个).
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【习练·破】 如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点
C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.
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(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其 中含C1点的有多少个? (2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作 出多少个四边形?
列即可.
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【解析】(1)分三步:先选一本有 C16 种选法,再从余下的 5本中选两本有 C52 种选法,最后余下的三本全选有 C33种 选法.由分步乘法计数原理知,分配方式共有 C16 gC52 gC33 =60(种).
分成2,2,1时,有
C35 gC32
A
2 2
gA33
种分法,
由分类加法计数原理得,共
有C35
gA33
C35 gC32
A
2 2
gA33
=150种不
同的分法.
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7
2.(1)第一步:选3名男运动员,有 C36 种选法;第二步:选 2名女运动员,有 C24 种选法,故共有 C36 gC42 =120(种)选法.
【典例】1.空间中有10个点,其中有5个点在同一个平
面内,其余点无三点共线,四点共面,则以这些点为顶点,
高一数学中的排列组合问题怎么解决
高一数学中的排列组合问题怎么解决在高一数学的学习中，排列组合问题常常让同学们感到困惑和棘手。
但其实，只要掌握了正确的方法和思路，这些问题便能迎刃而解。
首先，我们要理解排列和组合的基本概念。
排列是指从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列；而组合则是指从给定的元素中，选取若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
比如说，从 5 个不同的球中取出 2 个排成一列，这就是排列问题；而从 5 个不同的球中取出 2 个放在一个盒子里，这就是组合问题。
那么，如何解决这些问题呢？一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理这两个原理是解决排列组合问题的基础。
分类加法计数原理：如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
分步乘法计数原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
例如，从甲地到乙地，有 3 条公路直达，有 2 条铁路直达。
那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种不同的走法，这就是分类加法计数原理的应用；而从甲地经过丙地到乙地，甲地到丙地有 2 条路可走，丙地到乙地有 3 条路可走，那么从甲地经过丙地到乙地共有 2×3 ＝ 6 种不同的走法，这就是分步乘法计数原理的应用。
二、排列数和组合数的计算公式排列数公式：Anm ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) （n, m∈N，且m≤n）特别地，当 m ＝ n 时，Anm ＝ n!（n 的阶乘，即 n! ＝ n×（n 1)×（n 2)×…×2×1）组合数公式：Cnm ＝ Anm ／ Amm ＝ n! ／ m!（n m)！（n, m∈N，且m≤n）在计算排列数和组合数时，要注意准确运用公式，并且要注意计算的准确性。
高一数学组合应用问题
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静脉快速输入1000ml生理盐水，血浆渗透压将。A.降低B.升高C.不变D.先升高后降低E.先降低后升高 人体发育学属于A.儿童精神医学的分支领域B.儿童行为医学的分支领域C.发育科学的分支领域D.儿童心理学的分支领域E.儿童保健医学的分支领域 如何正确认识社会主义社会的基本矛盾？ 盾构法的主要施工步骤包括()。A.工作井建造B.掘进出土(泥)C.管片安装D.地表注浆E.衬砌背后注浆 肺痨病久，呈现消瘦，面色萎黄，腹泻纳减。治疗宜用A.培土生金法B.养阴益脾法C.补肾养阴法D.养阴润肺法E.滋阴降火法 票据权利行使的地点和时间： 财政收入中的国家资源管理收入属于.A.税收收入B.企业收入C.债务收入D.其他收入 关先生以0.2元每股的价格买入行权价为20元的甲股票认购期权（合约单位为10000股），则股票在到期日价格为多少事，王先生能获得2000的利润。A、19.8B、20C、20.2D、20.4 证监会负责监管的业务有。A.股权众筹融资业务B.互联网支付业务C.互联网基金销售业务D.互联网信托业务E.互联网保险业务 滑膜肉瘤大多部分合并周围骨结构侵犯。A.正确B.错误 选择离子导入药物的原则，以下何着错误()A．必须选择用量较小即能生效的药物B．药物离子或胶体微粒的直径必须明显小于汗腺排泄孔的口径。C．药物成分可含少量寄生离子D．药物在局部应用时也有疗效E．贵重药物一般不宜大量作直流电导入 泸型酒中的主体香为、、、等四大酯。 安全阀开启压力 根据《境外投资管理办法》的规定，境内企业自领取《企业境外投资证书》之日起一定期限内未在境外开展投资的，该证书自动失效，该期限是。A.90日B.180日C.1年D.2年 在某一压力下，蒸汽为饱和蒸汽的条件是。A.蒸汽温度大于该压力下的饱和温度B.蒸汽温度等于该压力下的饱和温度C.蒸汽温度小于该压力下的饱和温度D.蒸汽温度为该压力下的任意温度 随着人类社会生产力的进步、机器的使用和劳动生产力的提高，在大量使用机器提高了劳动生产力的同时，也产生了劳动者伤亡、病害等不安全、不卫生的因素。安全人机工程学研究的目的主要是：为保障劳动者的安全与健康，对这些不利因素发生的机理和预防措施进行研究，以便创造更和更文 把NaCl溶液加热蒸发至干，直至析出全部溶质，选用最合适的仪器是。A.表面皿B.蒸发皿C.烧杯D.烧瓶 胸导管的说法，何者错误A.收集下半身和左上半身的淋巴B.起自乳糜池C.穿膈的食管裂孔上行D.汇入左静脉角E.乳糜池位于第11胸椎与第2腰椎之间 生产安全事故等级的划分指标有。A.死亡人数B.间接经济损失C.直接经济损失D.重伤人数E.轻伤人数 车身封闭梁不能采用的方式连接。A．插入件对接B．搭接C．偏置对接 从现代系统论的观点来看,组织文化的结构层次有三个:____,____,____. 女性，68岁。慢性咳喘、咳痰近20年，近3年来症状加重，登二楼困难。有高血压病，服药控制较稳定。心电图示左心室肥大。昨傍晚无明确诱因突感胸闷、气急渐渐加重，不能平卧，彻夜未眠，今晨前来急诊。体检：端坐呼吸，紫绀。血压18/12kPa。气管位置无明显偏移。两肺叩诊过清音，呼 分选速度与细胞悬液中分选细胞的下述哪项直接相关A.细胞含量B.细胞性质C.细胞大小D.有否胞膜E.单核或多核 标明显示区域大小的参数称为显示器的。A．屏幕尺寸B．亮度C．分辨率D．对比度 在初次分离培养时，需要增加CO2气体的细菌是A.葡萄球菌B.脑膜炎奈瑟菌C.羊布鲁菌D.肠道沙门菌E.炭疽芽孢杆菌 用冷时间过长可导致()A．增强痛觉神经的兴奋性B．局部营养、细胞代谢障碍，以致组织坏死C．皮肤抵抗力降低D．增强局部免疫力E．肌肉、肌腱和韧带等组织松弛 阴部神经反射的主要指标是潜伏期，正常为()A．0～10msB．20～30msC．10～20msD．30～40msE．40～50ms ___是通过语言刺激来纠正或改变人们某些行为或情绪状态的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松 《产品质量法》规定，生产者能够证明，不承担缺陷产品造成的侵权损害赔偿责任。A、未将产品投入流通的B、未将产品投入使用的C、产品投入流通时，引起损害的缺陷已经存在的D、产品投入流通时，引起损害的缺陷尚不明显的 足底与地面接触并承受重力的时期称为A.支撑相B.摆动相C.迈步相D.迈步前期E.摆动中期 用语句描述求使1×3×5×7×……×n<1000成立的最大正整数n的算法过程。 当以传输信号的载波频率的不同划分来建立多址接人时，称为A、频分多址方式B、时分多址方式C、码分多址方式D、频编码多址 枳实导滞丸的功用是。A.健脾和胃，消食止泻B.消导化积，清热利湿C.消痞除满，健脾和胃D.行气导滞，攻积泄热E.分消酒湿，理气健脾 商业银行开展需要批准的个人理财业务需要相关从业人员具备的资格不包括。A.掌握所推介产品的特征B.具备相应的学历水平和工作经验C.具备相关监管部门要求的行业资格D.具备国家理财规划师资格 乙型脑炎治疗中哪种疗法最重要A.支持疗法B.对症疗法C.抗病原体疗法D.康复疗法E.中医药疗法