信号与系统_2017_第3章_习题课
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根据对称性，有 2πG (ω) 2ω Sa(ω t )
2 ω0 0 0
第13页
电气工程系平台课 《信号处理技术》
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HIT_Prof. Liu X.S.
ω0 根据线性性质，即有 G2ω (ω) Sa(ω0t ) π 2 ω0 ω0 所以 F (ω) G2ω (ω) 的原函数是 f (t ) Sa(ω0t ) π π 1 1 1 (4) F (ω) 2 ( jω α ) jω α jω α
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解: 设 f 1 (t ) e a t , a 0
F1 (ω) f1 (t )e
jωt
则
at jωt
dt e e
t
0
dt 0 e e
at
jωt
令 a 1
2 则 e 2 1 ω
2a dt 2 2 a ω
3.
4. 5. 6.
号的频谱，会画频谱图，理解连续周期信号频谱 的特点，相位谱的作用。 能用傅里叶变换的定义式、基本性质求解非周期 信号的频谱，会画频谱图。 掌握常用周期信号的傅里叶变换和非周期信号的 傅里叶变换；理解周期信号与非周期信号之间的 关系。 熟练掌握傅里叶变换的性质，并会灵活应用。 理解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概 念；
温馨提示：傅里叶反变换及性质
第12页
jt
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根据线性性即有 ε (ω) 1 πδ(t ) 1
2
0
j 2πt
0
F (ω) ε(ω ω ) ε(ω ω ) 的原函数是 根据频移特性，
1 jω t 1 jω t f (t ) δ (t ) e δ (t ) e j 2πt j 2πt 1 jω t 1 jω t 2 j e e 2 j δ (t ) δ (t ) sin ω0t j 2πt 2j j 2πt 1 sin ω0t πt ω0 F ( ω ) G2ω (ω) (3) 门信号可以表示为 π ωτ 因有 Gτ (t ) τSa , τ 2ω0 即 G2 ω (t ) 2ω0 Sa(ωω0 ) 2
τt τSa 2πGτ (ω) 2
τt sin 2πt 1 f ( t ) 4πSa(2πt ) 2 π t 若取 ，故得 τ 4π ，令 1 2πt 4π 2 1 1 所以 F1 (ω) 2πG4 π (ω) G4 π (ω) 4π 2 τt sin 8πt 1 τ 16 π 8 π t f ( t ) 16πSa(8πt ) 若取 ，故得 ，令 2 8πt 16π 2 1 1 所以 F2 (ω) 2πG16 π (ω) G16 π (ω) 16π 8
第 2页
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7. 熟练利用傅里叶变换对称特性、部分分时展开法
、傅里叶变换性质和常见变换对，求傅里叶反变 换。 8. 深刻理解频域系统函数H(ω)的定义、物理意义， 会求解并应用。 9. 掌握系统零状态响应、零输入响应和全响应的频 域求解方法；连续周期信号响应的频域分析方法 。 10.理解无失真传输系统级无失真传输条件； 11.了解抽样信号的频谱及其求解方法，理解抽样定 理。 12.了解调制与解调的基本定义域应用。 13.理解理想滤波器的定义、传输特性等。
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第3章 连续时间信号与系统的频域分析 (习题课)
第 1页
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本章学习重点
1. 了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念。 2. 能用傅里叶级数的定义式、基本性质求解周期信
1 ε (t ) πδ(ω) jω
根据频域微分性质，有
d 1 jt ε (t ) πδ(ω) dω jω
即
1 tε(t ) jπδ(ω) 2 ω
第10页
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温馨提示：频域微分和积分性质
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2 T /2 2 τ /2 2Eτ a0 f t dt Edt T T / 2 T τ / 2 T
2 T /2 2 τ /2 an f t cos nω0tdt A cos nω0tdt T T / 2 T τ / 2 nω τ nω τ τ 2 2 sin 0 sin 0 2 A sin nω0t 2A 2 Aτ 2 2 nω0 τ T nω0 τ 2 T nω0 T 2 第 4页 温馨提示：傅里叶级数的定义
1 1 1 f ( t ) f ( t ) G ( ω ) G ( ω ) G4 π (ω) 根据卷积定理，有 1 2 4π 16 π 2 8 16 sin 2πt sin 8πt 1 1 1 4πSa(2πt ) Sa(2πt ) 取反变换，有 2πt 8πt 16 2π 8
例7 某系统的微分方程为 y(t ) 2 y(t ) f (t ) t 求 f (t ) e ε(t ) 时的响应 y(t ) 。 解: 对微分方程两边取傅里叶变换，
，
jωY (ω) 2Y (ω) F (ω)
Y (ω) 1 则 H (ω) F (ω) jω 2
1 f (t ) 的傅里叶变换为 f (t ) e ε (t ) F (ω) jω 1
第15页
温馨提示：傅里叶变换卷积性质
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例10(3.20) 设f(t)为限带信号，频带宽度为 ωM ，其 频谱F(ω)如图所示。 (1) 求f(2t)， f(t/2)的带宽、奈奎斯特抽样频率 ΩN ,fN fN与奈奎斯特间隔TN。 (2) 设用抽样序列 δ (t ) δ(t nT ) 对信号f(t)进行抽样， 得抽样信号fs(t) ，求的频谱Fs(ω) ，画出频谱图。 (3)若用同一个δT(t)对f(2t)， f(t/2)分别进行抽样，试画 出两个抽样信号fs(2t)， fs (t/2)的频谱图。
0 0
因 e ε (t )
αt
1 jω α
根据卷积定理，有
f (t ) e αt ε(t ) e αt ε(t ) e ατ ε( τ )e α ( t τ ) ε(t τ )dτ 0e αt dτ teαt ε(t )
t
第14页
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(1)F (ω) δ(ω ω0 )
ω0 , ω ω0 (3) F (ω) π 0, 其他
(2)F (ω) ε(ω ω0 ) ε(ω ω0 )
1 (4) F (ω) ( jω α ) 2
解: (1) 冲激函数的傅里叶变换有 δ(t ) 1
n N
上式代入下式
a0 f t an cosnω0t 2 n1
Aτ 2 Aτ nπτ Sa cosnω0t 得 f t T n1 T T
第 5页
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1 例2 已知函数 f (t ) ,求其傅里叶变换 F (ω) 。 2 1 t
根据傅里叶变换的对称性，有
1 Sa(t ) 2π g 2 (ω) 2
根据傅里叶变换的卷积性质，有 2 1 sin t 2πg 2 (ω) 2πg 2 (ω) 2πg 2 (ω) g 2 (ω) 2π t
温馨提示：傅里叶变换卷积性质
第 8页
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温馨提示：傅里叶变换频移性质
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sin t 。求其傅里叶变换 F (ω) 。 例4 已知函数 f (t ) t
解: 根据常用函数——门信号的傅里叶变换，可知，
2
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g2 (t ) 2Sa(ω)
根据傅里叶变换的线性性，有
1 Sa(ω) g 2 (t ) 2
第 3页
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例1 将下图的周期 矩形脉冲信号展开为三角函数形式 的傅里叶级数。
解：该信号为偶函数， 三角形式的傅里叶级数 无正弦项，只有直流和 余弦分量，为
a0 f t an cosnω0t 2 n1
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例9(3.17) 求
解 :令
ωτ 因有 Gτ (t ) τSa 2
sin 2πt sin 8πt 。 2πt 8πt sin 8πt sin 2πt f 2 (t ) f1 (t ) 8πt 2πt
，根据对称性，有
根据傅里叶变换的对称性，有 2πδ(ω) 1
F (ω) δ(ω ω0 ) 的原函数有 根据傅里叶变换频移特性，
1 即 δ (ω) 2π
1 (2) 阶跃函数的傅里叶变换有 ε (t ) πδ(ω) jω
1 jω t f (t ) e 2π
0
根据傅里叶变换的对称性，有 2πε(ω) πδ(t ) 1
根据傅里叶变换的对称性，有
2 ω 2πe 2 1 t 1 ω 2πe 2 1 t
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根据傅里叶变换的线性性，有
温馨提示：傅里叶变换对称性质
第 6页
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例3 已知函数 变换 F (ω) 。
f (t ) Ae
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2 T /2 2 τ /2 2 Aτ a0 f t dt Adt T T / 2 T τ / 2 T
2 Aτ nω0 τ 2 Aτ nπτ an Sa( ) Sa T 2 T T
j 5t
, A为常数。求其傅里叶
解: 根据常用函数——单位直流信号的傅里叶变换， 可知，
1 2πδ(ω)
根据傅里叶变换的线性性，有
A 2πAδ(ω)
根据傅里叶变换的频移特性，有
e A 2πAδ(ω 5)
j 5t
即
F (ω) 2πAδ(ω 5)
第 7页
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例5 已知函数 f (t ) 1 / t 2 。求其傅里叶变换 F (ω) 。 解: 根据常用函数——符号函数的傅里叶变换，可知 2 2 sgn(t ) 根据对称性，有 jt 2π sgn(ω) jω 根据傅里叶变换的线性性，有
根据时域微分性质，有
t
1 1 Y (ω) H (ω) F (ω) j ω 1 jω 2 t 2 t 即 y(t ) (e e )ε(t )
温馨提示：LTI系统的频域分析
第11页
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例8(3.14) 求下列各 F (ω) 的原函数 f (t )。
1 jπ sgn(ω) t
d 1 ( ) ( jω) jπ sgn(ω) π sgn(ω) dt t
即
1 π sgn(ω) π ω 2 t
第 9页
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温馨提示：时域微分和积分性质
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例6 已知函数 f (t ) tε(t ) 。求其傅里叶变换 F (ω) 。 解: 根据常用函数——符号函数的傅里叶变换，可知
0
0
根据对称性，有 2πG (ω) 2ω Sa(ω t )
2 ω0 0 0
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ω0 根据线性性质，即有 G2ω (ω) Sa(ω0t ) π 2 ω0 ω0 所以 F (ω) G2ω (ω) 的原函数是 f (t ) Sa(ω0t ) π π 1 1 1 (4) F (ω) 2 ( jω α ) jω α jω α
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解: 设 f 1 (t ) e a t , a 0
F1 (ω) f1 (t )e
jωt
则
at jωt
dt e e
t
0
dt 0 e e
at
jωt
令 a 1
2 则 e 2 1 ω
2a dt 2 2 a ω
3.
4. 5. 6.
号的频谱，会画频谱图，理解连续周期信号频谱 的特点，相位谱的作用。 能用傅里叶变换的定义式、基本性质求解非周期 信号的频谱，会画频谱图。 掌握常用周期信号的傅里叶变换和非周期信号的 傅里叶变换；理解周期信号与非周期信号之间的 关系。 熟练掌握傅里叶变换的性质，并会灵活应用。 理解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概 念；
温馨提示：傅里叶反变换及性质
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jt
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根据线性性即有 ε (ω) 1 πδ(t ) 1
2
0
j 2πt
0
F (ω) ε(ω ω ) ε(ω ω ) 的原函数是 根据频移特性，
1 jω t 1 jω t f (t ) δ (t ) e δ (t ) e j 2πt j 2πt 1 jω t 1 jω t 2 j e e 2 j δ (t ) δ (t ) sin ω0t j 2πt 2j j 2πt 1 sin ω0t πt ω0 F ( ω ) G2ω (ω) (3) 门信号可以表示为 π ωτ 因有 Gτ (t ) τSa , τ 2ω0 即 G2 ω (t ) 2ω0 Sa(ωω0 ) 2
τt τSa 2πGτ (ω) 2
τt sin 2πt 1 f ( t ) 4πSa(2πt ) 2 π t 若取 ，故得 τ 4π ，令 1 2πt 4π 2 1 1 所以 F1 (ω) 2πG4 π (ω) G4 π (ω) 4π 2 τt sin 8πt 1 τ 16 π 8 π t f ( t ) 16πSa(8πt ) 若取 ，故得 ，令 2 8πt 16π 2 1 1 所以 F2 (ω) 2πG16 π (ω) G16 π (ω) 16π 8
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7. 熟练利用傅里叶变换对称特性、部分分时展开法
、傅里叶变换性质和常见变换对，求傅里叶反变 换。 8. 深刻理解频域系统函数H(ω)的定义、物理意义， 会求解并应用。 9. 掌握系统零状态响应、零输入响应和全响应的频 域求解方法；连续周期信号响应的频域分析方法 。 10.理解无失真传输系统级无失真传输条件； 11.了解抽样信号的频谱及其求解方法，理解抽样定 理。 12.了解调制与解调的基本定义域应用。 13.理解理想滤波器的定义、传输特性等。
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本章学习重点
1. 了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念。 2. 能用傅里叶级数的定义式、基本性质求解周期信
1 ε (t ) πδ(ω) jω
根据频域微分性质，有
d 1 jt ε (t ) πδ(ω) dω jω
即
1 tε(t ) jπδ(ω) 2 ω
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温馨提示：频域微分和积分性质
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2 T /2 2 τ /2 2Eτ a0 f t dt Edt T T / 2 T τ / 2 T
2 T /2 2 τ /2 an f t cos nω0tdt A cos nω0tdt T T / 2 T τ / 2 nω τ nω τ τ 2 2 sin 0 sin 0 2 A sin nω0t 2A 2 Aτ 2 2 nω0 τ T nω0 τ 2 T nω0 T 2 第 4页 温馨提示：傅里叶级数的定义
1 1 1 f ( t ) f ( t ) G ( ω ) G ( ω ) G4 π (ω) 根据卷积定理，有 1 2 4π 16 π 2 8 16 sin 2πt sin 8πt 1 1 1 4πSa(2πt ) Sa(2πt ) 取反变换，有 2πt 8πt 16 2π 8
例7 某系统的微分方程为 y(t ) 2 y(t ) f (t ) t 求 f (t ) e ε(t ) 时的响应 y(t ) 。 解: 对微分方程两边取傅里叶变换，
，
jωY (ω) 2Y (ω) F (ω)
Y (ω) 1 则 H (ω) F (ω) jω 2
1 f (t ) 的傅里叶变换为 f (t ) e ε (t ) F (ω) jω 1
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例10(3.20) 设f(t)为限带信号，频带宽度为 ωM ，其 频谱F(ω)如图所示。 (1) 求f(2t)， f(t/2)的带宽、奈奎斯特抽样频率 ΩN ,fN fN与奈奎斯特间隔TN。 (2) 设用抽样序列 δ (t ) δ(t nT ) 对信号f(t)进行抽样， 得抽样信号fs(t) ，求的频谱Fs(ω) ，画出频谱图。 (3)若用同一个δT(t)对f(2t)， f(t/2)分别进行抽样，试画 出两个抽样信号fs(2t)， fs (t/2)的频谱图。
0 0
因 e ε (t )
αt
1 jω α
根据卷积定理，有
f (t ) e αt ε(t ) e αt ε(t ) e ατ ε( τ )e α ( t τ ) ε(t τ )dτ 0e αt dτ teαt ε(t )
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(1)F (ω) δ(ω ω0 )
ω0 , ω ω0 (3) F (ω) π 0, 其他
(2)F (ω) ε(ω ω0 ) ε(ω ω0 )
1 (4) F (ω) ( jω α ) 2
解: (1) 冲激函数的傅里叶变换有 δ(t ) 1
n N
上式代入下式
a0 f t an cosnω0t 2 n1
Aτ 2 Aτ nπτ Sa cosnω0t 得 f t T n1 T T
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1 例2 已知函数 f (t ) ,求其傅里叶变换 F (ω) 。 2 1 t
根据傅里叶变换的对称性，有
1 Sa(t ) 2π g 2 (ω) 2
根据傅里叶变换的卷积性质，有 2 1 sin t 2πg 2 (ω) 2πg 2 (ω) 2πg 2 (ω) g 2 (ω) 2π t
温馨提示：傅里叶变换卷积性质
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sin t 。求其傅里叶变换 F (ω) 。 例4 已知函数 f (t ) t
解: 根据常用函数——门信号的傅里叶变换，可知，
2
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g2 (t ) 2Sa(ω)
根据傅里叶变换的线性性，有
1 Sa(ω) g 2 (t ) 2
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例1 将下图的周期 矩形脉冲信号展开为三角函数形式 的傅里叶级数。
解：该信号为偶函数， 三角形式的傅里叶级数 无正弦项，只有直流和 余弦分量，为
a0 f t an cosnω0t 2 n1
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例9(3.17) 求
解 :令
ωτ 因有 Gτ (t ) τSa 2
sin 2πt sin 8πt 。 2πt 8πt sin 8πt sin 2πt f 2 (t ) f1 (t ) 8πt 2πt
，根据对称性，有
根据傅里叶变换的对称性，有 2πδ(ω) 1
F (ω) δ(ω ω0 ) 的原函数有 根据傅里叶变换频移特性，
1 即 δ (ω) 2π
1 (2) 阶跃函数的傅里叶变换有 ε (t ) πδ(ω) jω
1 jω t f (t ) e 2π
0
根据傅里叶变换的对称性，有 2πε(ω) πδ(t ) 1
根据傅里叶变换的对称性，有
2 ω 2πe 2 1 t 1 ω 2πe 2 1 t
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根据傅里叶变换的线性性，有
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例3 已知函数 变换 F (ω) 。
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2 T /2 2 τ /2 2 Aτ a0 f t dt Adt T T / 2 T τ / 2 T
2 Aτ nω0 τ 2 Aτ nπτ an Sa( ) Sa T 2 T T
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, A为常数。求其傅里叶
解: 根据常用函数——单位直流信号的傅里叶变换， 可知，
1 2πδ(ω)
根据傅里叶变换的线性性，有
A 2πAδ(ω)
根据傅里叶变换的频移特性，有
e A 2πAδ(ω 5)
j 5t
即
F (ω) 2πAδ(ω 5)
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例5 已知函数 f (t ) 1 / t 2 。求其傅里叶变换 F (ω) 。 解: 根据常用函数——符号函数的傅里叶变换，可知 2 2 sgn(t ) 根据对称性，有 jt 2π sgn(ω) jω 根据傅里叶变换的线性性，有
根据时域微分性质，有
t
1 1 Y (ω) H (ω) F (ω) j ω 1 jω 2 t 2 t 即 y(t ) (e e )ε(t )
温馨提示：LTI系统的频域分析
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例8(3.14) 求下列各 F (ω) 的原函数 f (t )。
1 jπ sgn(ω) t
d 1 ( ) ( jω) jπ sgn(ω) π sgn(ω) dt t
即
1 π sgn(ω) π ω 2 t
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例6 已知函数 f (t ) tε(t ) 。求其傅里叶变换 F (ω) 。 解: 根据常用函数——符号函数的傅里叶变换，可知