运筹学及其应用4.3 对偶单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法，又称单纯性法，是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它在运筹学中发挥着重要作用。
它主要应用于决策及资源分配问题，可以帮助决策者更好地把握资源的优化配置，并寻求最优解。
单纯性法是以线性规划问题作为理论基础，它是将该问题转化为一系列形如Ax=b的线性方程组的运筹学方法。
在这个方程组通过调整方程中的系数和右面常数而变换为形如Cx≤d的不等式形式，而这种不等式系统称为单纯性约束条件。
单纯性法从不等式中寻找一系列基向量，并通过改变基向量来实现改变不等式的求解方程之间的关系，从而求出最优解的问题。
传统的单纯性法分为有界单纯性和无界单纯性两种情形。
无界单纯性以简单费用曲线方法、扩展的简单费用曲线方法和增广次数法三大类。
有界单纯性主要是对对角单纯性和非对角单纯性这两类单纯性系统分别使用不同的方法进行求解。
单纯性求解方法在线性规划问题求解中具有重要应用，它能通过求解线性规划问题中的一系列互不相关的子问题来求出最优解。
使用该方法，可以以最少的成本达到最优的收益，它包括费用最低优化、网络流优化、全格研究和数学优化模型等。
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
运筹学04-对偶问题
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希望通 过将现有资源承接对外加工（或出售）来获得收 益，那么应如何确定各资源的使用价格？
两个原则 1. 所得不得低于生产 的获利 2. 要使对方能够接受
Max Z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0
n m XS
X
m Y
A
YS
I
= b
Min W=Yb s.t. ATY-YS=C W, WS ≥0
n
YSX=0 YXS=0
AT
-I
= C
m
n
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym
ym+1
ym+j
Max W’ = -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 + y7 ) s.t y1+3y2 + 0y3 – y4 + y6 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 + y7 = 50 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
C CB -M -M -Z yB y6 y7 b 40 50 -90M -30 y1 1 2 -30 +3M -60 y2 3 2 -60 +5M -24 y3 0 2 -24 +2M 0 y4 -1 0 -M 0 y5 0 -1 -M -M y6 1 0 0 -M y7 0 1 0 40/3 25 θ
运筹学---单纯形法
运筹学---单纯形法单纯形法是一种解线性规划问题的有效算法。
在这个问题中，我们寻找一组决策变量，以便最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一系列线性限制条件。
单纯形法通过暴力搜索可行解并逐步优化目标函数来求解该问题。
单纯形法的主要思想是从一个初始可行解开始，并通过迭代来逐步移动到更优的解。
在每一步迭代中，算法将当前解移动到一个相邻的顶点，直到找到一个优于当前解的顶点。
具体操作包括选择一个非基变量，并将其作为入基变量，同时选择一个基变量并将其作为出基变量。
新的基变量将替换原来的非基变量，并且目标函数的值将被更新。
关键是如何选择入基变量和出基变量。
为此，单纯形法使用一个称为单纯形表的矩阵来跟踪线性规划问题的状态。
单纯形表包含目标函数系数，限制条件系数，决策变量的当前值以及对角线上的单位矩阵。
通过适当地操作这个表，可以确定要移动到哪个相邻顶点，并相应地更新解和目标函数的值。
一般来说，单纯形法需要在指数时间内解决线性规划问题，因为需要遍历所有可能的可行解。
但是，在实际应用中，单纯形法往往比其他算法更快和更有效。
此外，在使用单纯形法时，需要注意陷入无限循环或者找不到一个可行解的可能性。
单纯形法的主要优点是：它是一种简单而直观的求解线性规划问题的方法；它易于实现，并且在许多情况下可以很快地求解问题。
它还可以用于解决大规模问题，包括具有成千上万个变量和限制条件的问题。
在实际应用中，单纯形法经常与其他算法结合使用，例如内点法或分支定界法。
这些方法可以提供更好的性能和结果。
但是，在许多情况下，单纯形法仍然是解决线性规划问题的首选算法。
在总体上，单纯形法是一种强大而灵活的工具，可以帮助研究人员和决策者在面对复杂的决策问题时做出明智的选择，并实现最大的效益。
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1。
1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z . (b ）用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围,所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。
(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。
1。
3(a ）（1） 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z（2）单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 23 1,4321====x x x x 。
最大值 235*=z(b)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ，最大值217=z（2） 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ，4P ,5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。
单纯形法和对偶问题
• • • •
§1 §2 §3 §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
1
单纯形表
管
理
运
筹
学
2
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩 阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的系 数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。 这时 K= Ck-Zk就变成了Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。要使原来的 最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也就是Ck的增量 Ck≤- K。
由于单纯形表的迭代是约束方程的增广矩阵的行变换，Pk变成Pk’仅仅影响最终单纯形表上第k列
数据，包括Xk的系数列、Zk以及 ，这时最终单纯形表上的Xk的系数列就变成了B-1Pj’,而Zk就变成 k
CBB-1Pk’，新的检验数 迭代以求出最优。 例 以第二章例1为基础，设该厂除了生产Ι，Ⅱ种产品外，现在试制成一个新产品Ⅲ，已知生产产品
实际意义可以描述为：设备台时数在250与325之间变化，则设备台时
运筹学习题答案(第四章)
page 13 28 December 2013
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
表4-15 项 目 牛奶 牛肉 鸡蛋 （500g） （500g） （500g） 每日最少 需要量
维生素A（mg）
维生素B（mg） 维生素C（mg） 胆固醇（单位） 费用（元）
1
100 10 70 1.5
满足P、P2 , 不满足P3 1
page 4 28 December 2013
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：
min P ( d1 d1 ), P2 d 2 , P3 d 3 , P4 (5d 3 3d 2 ) 1 x1 x2 d1 d1 800 d 2 d 2 2500 (1) 5 x1 st. 3 x2 d 3 d 3 1400 x1 , x2 , d i , d i 0, i 1,2,3 解：x1 500 , x2 300 , d 2 10, d 3 200
?????????运筹学教程运筹学教程44对于目标规划问题xx?????32?3?24?8080534p353pmin211ddddxxdddddpdp第四章习题解答第四章习题解答schoolofmanagementschoolofmanagementpagepage7727january201427january2014????????????4?43?32?243210104570211211121iddxxdddddxddxstii运筹学教程运筹学教程第四章习题解答第四章习题解答321132110252070pppddxx不满足满足解
运筹学对偶单纯形法
-4 x3
1/2 3/2
0 x4 1 0 0
0 x5
-1/2 -1/2
x4换出变量
CB 0
-2 x1 cj-zj
2
-4 8/5
-1
-1
min{σj/αlj|αlj<0}
2
x2换入变量
cj CB -3 -2 cj-zj XB x2 x1 b
2/5 11/5
-2 x1 0
-3 x2
1
当bl<0，而对所有j=1,…,n，有alj0，
则原问题无可行解。
证明：xl+al,m+1xm+1+…+al,nxn=bl
CB c1 … cl … cm 基 x1 ba x0(j=m+1, xl xm ，又 xm+1 1 因 … ,n) bl<0， lj …，0 1 <0 b 故有 x l
1
第三步 先确定换出变量 解答列（b 列）中的负元素对应的基变量出基， 相应的行为主元行。 一般选最小的负元素出基， 即若min { ( B -1 b )i| (B -1b )I < 0 } = ( B–1 b )l 则选取 x l 为换出变量.
检验第l 行中非基变量 xj 的系数 αlj , 若所有的αlj ≥ 0，则LP 问题 无可行解， （下面进行说明），此时计算结束。 否则转下步
cj
CB XB x4 x5 b -3 -4
-2 x1
-3 x2
-4 x3
0 x4
0 x5
x5换出变量
0
-1
-2 -2
2 1 2
-2
1 -3
-1
-3 -4
对偶单纯形法(经典运筹学)
解：问题化为标准型 max Z 2 x1 x 2 5 x1 x 2 x3 2 x 2 x3 x 4 5 s.t 6x xx 9 xx 2 2 6 x3 3 5 5 9 44 x1 , x 2 , x3，x 4，x5 0
X1 X2 X3 X4 X 5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0
5 5 -9
X5 0
4
14 13 X1 X 2 X 3
检
X1 X4
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
所在行的基变量出基 则取br
4、以ari0 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯形表， 转2
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z 2 x1 x 2 x1 x 2 x3 5 2x x 5 11 9 2 3 最优解 X （ ，） s.t 4 4 4 x 6 x 9 2 3 31 x1 , x 2 ,Z x3 0 最优值
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
X2
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X （ ，， 0， ， 0 ） 4 4 2 初始基 B （P ） 1，P 4，P 5 31 最优值 Z 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
对偶单纯形法是求解对偶规划的一种方法 × 对偶单纯形法：利用对偶理论得到的一个 求解线性规划问题的方法
单纯形法（原始单纯形法）的两个条件：
运筹学第4章 单纯形法的对偶问题
管理运筹学
3
§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题，则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件， 其约束条件都为大于等于不等式。
5x1 3x2 x3 200
管理运筹学
10
§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换，我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题：
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440,
6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
进一步，我们可以令y3
y
' 3
y
'' 3
，这时当
y
' 3
y
'' 3
时，y
0，当
y
' 3
y
'' 3
时， y3 0 。这也就是说，尽管
y
' 3
,
y
'' 3
0,
但 y3 的取值可以为正，可以为0，
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
这样第二个约束条件也就符合要求。对于第三个约束条件，我们可以 用小于等于和大于等于两个约束条件来替代它。即有
对偶单纯形法(经典运筹学)
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 -2 -1 0 -3 -1 1 0 0 0 0 Z -3
X4
X5
-4 -3 0
1 2 0
1
0
0
1
-6
3
不 可 行
即max Z 2 x1 x2
3 3x1 x 2 x3 4 x 3x x4 6 1 2 s.t x5 3 x1 2 x 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X 3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 -1 -1 0
X2 0 X1 1
1 0
0 0
1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5 最优值Z 12 5
则取xi0 为入基变量
1
1
令X N 0 得X B B b 0 得基本可行解 X 1 B b,0
1
1
1 、若所有的检验数 CN B 1 N 0 , 则X 1为最优解
2、检验数 C N C B B 1 N中存在一个分量 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
i i0 设 min | a ri 0 a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X1 检 0 X3 0 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
运筹学-3对偶单纯形法
1.对偶单纯形法的应用条件； 2.出基与进基的顺序； 3.如何求最小比值； 4.最优解、无可行解的判断。 作业：教材P76 T2.7
The End of Section 3
灵敏度分析 Exit
即对偶问题具有无
界解，由性质2a知ik 原问a题Lj 无可行解。aik
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 9 of 9
本节利用对偶性质6：原问题的检验数与对偶问题的基本 解的对应关系，介绍了一种特殊线性规划的求解方法—对 偶单纯形法。
0
-4
-1
0
-1
— 1.6 — —
2
x2
0.4
0
1 -0.2 -0.4 0.2
x1
2.2
1
0
1.4 -0.2 -0.4
检验数 5.6
0
0 -1.8 -1.6 -0.2
最优解： x2=0.4 x1=2.2
Max z = -5.6
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以（－1）， 得到
min z 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 x4 3
2x1 x2 3x3 x5 4
x
j
0,
j
1,2,
,5
用对偶单纯形法，迭代过程如下页或看演示(请启用宏)。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
问题中，λ≤j0分母aij<0，
j
运筹学单纯形法讲解
运筹学单纯形法讲解一、单纯形法基本概念在运筹学中，单纯形法是一种在给定点搜索可行解集合的一种技术。
设有m个点x、 y、 z分布在两点P、 Q，它们是相互独立的，这样的点组成了单纯形。
单纯形是可以用于求解最优化问题的一种简单的对象，因而又称为对象或对象群。
由单纯形求出的最优解就叫做单纯形的最优解。
在实际应用中，一般用来求最优解的都是单纯形。
二、单纯形法适用条件和范围在运筹学中，单纯形法常用于求解线性规划、非线性规划和整数规划等，还可以求解网络的流量、质量等。
但当运输问题用单纯形法求解时，解不存在，无最优解，也无单纯形。
非线性规划只能得到对象最优解。
三、单纯形法具体步骤和算法介绍1、明确问题的目标。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
四、单纯形法的误差和精度1、明确问题的目标。
一般在最优化问题中，用最小值对准目标是最理想的，但是在实际工程应用中，人们往往要求越多越好，甚至有时只要求几个较小的值。
但要注意所得结果的可靠性和正确性，也要尽可能减少计算过程中的误差。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
首先，找出最优解，再在这个最优解附近寻找另外的比最优解更好的最优解，直到所有点都达到满意的精度。
这种方法称为“穷举法”。
穷举法通常用于没有更好的方法时，常用于工程实际中。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
4、单纯形法的误差：由于人们认识上的错误或操作不当造成的，如排除法的计算次数与数据采集次数之比，以及采样值的平均数与真值之比，与取值的个数有关，与取值的精度也有关，必须合理确定取值范围。
5、单纯形法的精度：根据问题的规模，计算数据量和计算次数，反复调整取值点，改进计算方法，从而得到尽可能高的精度。
单纯形法的精度可达0．01或0．05。
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
运筹学对偶问题
X 0
min W YB s .t. （B） YA C T Y 0
其中： C c 1 c 2 c n
Y y 1 y 2 y m
b 1
B
b2
b m
a11
A
a21
an1
a12 a22
a 整m理2 课件
a1n a2n amn
那么它的对偶问题就是“在另外一些条件下， 使工作的消耗（浪费、成本等）尽可能的小”。
实际上是一个问题的两个方面。
整理课件
25
例：某产品计划问题的
线性规划数学模型为
假设生产部门根据市场变化，
max F 2x1 x2 s.t.
决定停止生产甲、乙产品， 而将原有的原料、设备专用
3x1 5x2 15 5x1 2x2 10 x1 , x2 0
（A‘）
（B‘）
max Z ' 4 x 1 5 x 3 5 x 4 s .t. 3 x 1 2 x 3 2 x 4 20 4 x 1 3 x 3 3 x 4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
min W ' 20 y1 ' 10 y 2 ' 5 y 3 ' 5 y 4 ' s.t. 3 y1 '4 y 2 ' y 3 ' y 4 ' 4 2 y1 '3 y 2 ' y 3 ' y 4 ' 5 2 y1 '3 y 2 ' y 3 ' y 4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
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min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 x1+2x2+ x3-x4＝ 1 2x1- x2+3x3– x5＝4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 -x1-2x2- x3+x4＝ -1 -2x1+x2-3x3+x5＝ -4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
4
234 000
0
x1 x2 x3 x4 -1 -2 -1
x4 x5 b 1 0 -1
max
2 −2
4 ，
−3
=
−1
0 x5 -2* 1 -3 0 1 -4
σ 234 000
0 x4 0 -2.5 0.5 1 -0.5 1
2 x1 1 -0.5 1.5 0 -0.5 2
σ 0 4 1 0 1 -4
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格； (2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
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步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格；
(2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
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• 作业 • P81 1.12(1)
6
§3 对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b ≥ 0 相同点：都用于求解原问题
对偶单纯形法：从一个原始不可行而对偶可行的基出发，进 行基变换，每次基变换时都保持基的对偶可行性，一旦获得 一个原始可行基，则该基必定是最优基。
(3)基变换
①换出变量， 若 min{bi' bi' < 0} = bl' i = 1,L , m，则 xl出基；
i
②换入变量（最大负比值规则），
若
max
j
{
σ
' j
a
' lj
a
' lj
<
0} =
σ
' k
பைடு நூலகம்
a
' lk
则 xk 入基。
若所有a
' lj
≥
0,
则无可行解。
(4)取主变换，得到新的XB。
重复（2）-（4）步，求出结果。
2
[例8]用对偶单纯形法求解 minw= 2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3≥ 1 2x1- x2+3x3≥ 4 x1,x2,x3≥ 0
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 x1+2x2+ x3-x4＝ 1 2x1- x2+3x3– x5＝4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0