2019—2020尹逊波学习通高等数学上章节测验.pdf

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2019-2020学年高中数学(苏教版必修一)模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．已知集合A ＝{}0，1，2，3，4，B ＝{}x||x|<2，则A ∩B ＝________. 【解析】 B ＝{}x||x|<2＝{}x|－2<x<2，A ∩B ＝{}0，1. 【答案】 {}0，12．如果集合P ＝{x |x >－1}，那么下列结论成立的是________．(填序号) (1)0⊆P ；(2){0}∈P ；(3)∅∈P ；(4){0}⊆P .【解析】元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故(1)(2)(3)不对，又0∈P ，所以{0}⊆P .【答案】 (4)3．设集合B ＝{a 1，a 2，…，a n }，J ＝{b 1，b 2，…，b m }，定义集合B⊕J ＝{(a ，b )|a ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，b ＝b 1＋b 2＋…＋b m }，已知B ＝{0,1,2}，J ＝{2,5,8}，则B ⊕J 的子集为________．【解析】因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故B ⊕J 的子集为∅，{(3,15)}．【答案】 ∅，{(3,15)}4．若函数f (x )＝错误!的定义域为A ，g (x )＝错误!的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝________. 【解析】由题意知，⎩⎨⎧x －1>0，2－x>0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．错误!⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)．【答案】 (0,1]∪[2，＋∞)5．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b 的值为________．【解析】设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，所以a ＝－2，b ＝－1，则a ＋b ＝－3.【答案】－36．已知函数y ＝g (x )与y ＝log ax 互为反函数，f(x )＝g (3x －2)＋2，则f(x )的图象恒过定点________．【解析】由题知g (x )＝a x ，∴f (x )＝a 3x －2＋2，由3x －2＝0，得x ＝23，故函数f (x )＝a 3x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，37．已知函数f(x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x )在(－5，－2)上是________．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数．【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数．【答案】 ① 8．已知函数f(x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a ＝________.【解析】依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.【答案】 29．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x≤0，2x ，x>0，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】当x ≤0时，令x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)；当x >0时，令2x ＝10，解得x ＝5.综上，x ＝－3或x ＝5. 【答案】－3或510．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 13＝________.【解析】 ∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 13＝f (－log 2 3)＝－f (log 2 3)．又log 2 3>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 13＝－4.【答案】－411．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝错误!则f (3)的值为________．【解析】 ∵3>0，且x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝－f (0)，又∵x ≤0时，f (x )＝log 2 (4－x )，∴f (3)＝－f (0)＝－log 2 (4－0)＝－2.【答案】－212．函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是________．(填序号)图1【解析】设y ＝log 12u ，u ＝f (x )，所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u ＝f (x )的单调性，在(0,1)上u ＝f (x )为减函数，所以整体是增函数，u >1，所以函数值小于0，在(1,2)上u ＝f (x )为增函数，所以整体是减函数，u >1，所以函数值小于0，所以选③.【答案】 ③13．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.【解析】 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝错误!∴画图象可知－1≤m <0. 【答案】 [－1,0) 14．已知f(x )＝x 2－2ax ＋2(a ≤－1)，若当x∈[－1，＋∞)时，f(x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ，当a ≤－1，x ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .又f (x )≥a 恒成立，所以f (x )min ≥a ，即3＋2a ≥a ，解得a ≥－3. 所以－3≤a ≤－1. 【答案】 [－3，－1] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log2 3＋23log2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2log3 2＋32log3 2＋log3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝53log 2 3·92log 3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝152＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝152＋lg 2＋lg 5＝152＋1＝172.16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2 x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2 x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．17．(本小题满分14分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图2所示．图2(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？【解】由题图知P 1：y 1＝ax n过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a·1n ，52＝a·4n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝54，n ＝12，∴y 1＝54x ，x ∈[0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，∴⎩⎨⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈[0，＋∞)． (2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516，此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 18．(本小题满分16分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x )＝a x －1.其中a ＞0且a ≠1.(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1＜f (x －1)＜4，结果用集合或区间表示．【解】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－a －x ＋1(x ＜0)． ∴所求的解析式为 f (x )＝错误! (3)不等式等价于⎩⎨⎧x －1＜0，－1＜－a －x ＋1＋1＜4，或⎩⎨⎧x －1≥0，－1＜ax －1－1＜4，即⎩⎨⎧ x －1＜0，－3＜a －x ＋1＜2或⎩⎨⎧x －1≥0，0＜ax －1＜5. 当a ＞1时，有⎩⎨⎧x ＜1，x ＞1－loga2或⎩⎨⎧x≥1，x ＜1＋loga5，注意此时log a 2＞0，log a 5＞0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)．同理可得，当0＜a ＜1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)；当0＜a ＜1时，不等式的解集为R .19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【解】 (1)函数f (x )有意义，则a x －1>0，当a >1时，由a x －1>0，解得x >0；当0<a <1时，由a x －1>0，解得x <0. ∴当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．由函数单调性定义知：当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是单调递增的.20．(本小题满分16分)设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，且当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围．【解】 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0.∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )] ＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解得x <－23. 故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。

2019—2020年苏教版高中数学必修一《函数》单元综合试题及答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第六讲函数综合应用江苏省昆山中学戈峰一、【基础训练】1．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为．2．若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =．3．函数2122x x y +-=的值域为． 4．已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则z y x ,,的大小关系为．5．若}2,0,1,32{--∈α，为使幂函数y x α=与y x ,轴无交点且为偶函数的α值为．6．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g ．7．已知⎩⎨⎧>--<=0,1)1(0,sin )(x x f x x x f π则=)661(f ．8．已知函数()3||log )(31+-=x x f 的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[－1,0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．二、【思维拓展】1．已知函数f (x )＝12lg (kx )，g (x )＝lg (x ＋1)．(1) 求f (x )－g (x )的定义域；(2) 若方程f (x )＝g (x )有且仅有一个实数根，求实数k 的取值范围．2．已知函数()f x x a a x =++，a 为实数．(1) 当[]1,1,1a x =∈-时，求函数()f x 的值域；(2) 设,m n 是两个实数，满足m n <，若函数()f x 的单调减区间为(),m n ，且3116n m -≤求a 的取值范围．3．设a 为实数，函数||)(2)(2a x a x x x f --+=．(1) 若1)0(≥f ，求a 的取值范围； (2) 求)(x f 的最小值；(3) 设函数()+∞∈=,),()(a x x f x h ，求不等式1)(≥x h 的解集．三、【能力提升】1.设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是．2.已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=．3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f(x －2)＝f(x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f(x)＝(12)x －1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f(x)－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是_____．4．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为．一、基础训练 1. 答案：(0 6⎤⎦，提示：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660006112log 0log 6=620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩2. 答案：2提示：因为101>，所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.3. 答案：]4,0(提示：22)1(2122≤+--=-+x x x ，又xy 2=为增函数，所以2122x x y +-=]4,0(∈4. 答案：y z x <<提示：ln ln 1e π>=，551log 2log 52<=，1211124z e e -==>=5. 答案：32-或0 提示：利用幂函数的图像和性质即可得到答案． 6. 答案：1-提示：因为函数2)(xx f y +=为奇函数，所以221)1()1()1(--=-+-f f ，则32)1()1(-=--=-f f ，所以12)1()1(-=+-=-f g .7. 答案：223- 提示：22311)65sin(11)65(10)61()661(-=--=--=-=πf f f 8. 答案：5提示：由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1,0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0,2]，∵ 定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，∴符合条件的(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．二、思维拓展1.解：(1) 由⎩⎨⎧>+>010x kx ，若k >0，则定义域为(0，＋∞)；若k <0，则定义域为(－1,0)．(2) 由f (x )＝g (x )，得kx ＝x ＋1，此方程在定义域内有且仅有一个解，考查y ＝kx 与 y ＝x ＋1的图象，当k >0时，解得k ＝4；当k <0时，恒成立，所以k 的取值范围是k ＝4或k <0． 2.解：设||)(x a a x x f y ++==，a 为实数。

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第一讲测验1【单选题】A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、无界函数我的答案：A得分：20.0分2【单选A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分3【单选题】A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分4【单选题】A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分5【单选题】A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、奇偶性决定于a的值我的答案：A得分：20.0分第二讲测验A、有界数列一定有极限B、无界数列一定是极限值为无穷大C、极限值为无穷大数列必为无界数列D、无界数列未必发散我的答案：D得分：0.0分2【单选题】A、充分条件，但不是必要条件B、充分必要条件C、必要条件，但不是充分条件D、既非充分也非必要条件我的答案：B得分：20.0分3【单选题】A、充分条件，但不是必要条件B、充要条件C、必要条件，但不是充分条件D、既非充分也非必要条件我的答案：C得分：20.0分4【单选题】A、B、C、D、我的答案：B得分：20.0分5【单选题】A、必要条件B、充分必要条件C、充分条件D、既非充分又非必要条件我的答案：C得分：20.0分第三讲测验答案1【单选题】A、1B、0C、D、不存在我的答案：A得分：20.0分2【单选题】A、B、C、0D、1我的答案：B得分：20.0分3【单选题】A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分4【单选题】A、1B、C、0D、我的答案：B得分：20.0分5【单选题】A、2B、C、D、不存在我的答案：A得分：20.0分第四讲测验答案A、其他各项结论均不成立B、C、D、我的答案：A得分：20.0分2【单选题】A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分3【单选题】A、1B、0C、-1D、2我的答案：A得分：20.0分4【单选题】A、3B、2C、0D、1我的答案：A得分：20.0分【单选题A、2B、1C、0D、3E、4我的答案：A得分：20.0分第五讲测验答案A、极限值不能确定B、C、0D、必为非零常数我的答案：A得分：20.0分2【单选题】A、甲、乙都不成立B、甲成立，乙不成立C、甲不成立，乙成立D、甲、乙都成立我的答案：A得分：20.0分3【单选题】A、1B、3C、2D、4我的答案：B得分：20.0分4【单选题】A、必要条件B、既非必要又非充分条件C、充分必要条件D、充分条件我的答案：B得分：20.0分5【单选题】A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分第六讲单元测验1【单选题】A、B、C、D、E、我的答案：C得分：20.0分2【单选题】A、B、C、1D、我的答案：D得分：20.0分A、B、C、D、我的答案：C得分：20.0分4【单选题】A、2B、1C、D、E、我的答案：C得分：20.0分A、B、C、D、我的答案：B得分：20.0分第七讲测验答案【单选题】A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分【单选题】A、无界变量B、无穷大量C、无穷小量D、有界，但非无穷小量我的答案：C得分：20.0分3【单选题】A、有界变量B、无界，但非无穷大量C、无穷大量D、无穷小量我的答案：C得分：20.0分4【单选题】A、同阶无穷小，但不是等价无穷小B、等价无穷小C、低阶无穷小D、高阶无穷小我的答案：A得分：20.0分【单选题】A、2B、-2C、3D、-3我的答案：D得分：20.0分1【单选题】A、2B、-2C、4D、-4我的答案：D得分：20.0分【单选题】A、B、C、D、我的答案：A得分：20.0分3【单选题】A、充分条件B、必要条件C、既非必要又非充分条件D、必要充分条件我的答案：A得分：20.0分4【单选题】A、甲、乙都正确B、甲正确，乙不正确C、甲、乙都不正确D、甲不正确，乙正确我的答案：B得分：20.0分5【单选题】A、0个B、至少有1个C、无数多个D、无法确定我的答案：B得分：20.0分【单选题】A、连续，可导B、连续，但不可导C、不连续，但可导D、不连续，必不可导我的答案：D得分：20.0分【单选题】A、B、C、D、不可导我的答案：A得分：20.0分3【单选题】A、1B、4C、3D、E、0我的答案：D得分：20.0分4【判断题】函数在某点导数存在当且仅当左右导数都存在。

2019级高一数学A学习通章节答案期末考试题库2023年

2019级高一数学A学习通超星课后章节答案期末考试题库2023年1.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取1根，取到长度超过30mm的纤维的概率是( )答案:12/402.盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取1个恰为合格铁钉的概率是( )答案:4/53.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列每件事件既是互斥事件又是对立事件的一组是( )答案:至少有1件次品和全是正品4.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P(A)=1/2 ，P（B）=1/6，则出现奇数点或2点的概率为( )答案:2/35.在两个袋内，分别写着装有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取1张卡片，则两数之和等于3的概率为( )答案:1/96.一个口袋内有大小相同的2个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，则这一实验共有______种等可能的基本事件．答案:67.在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有1个红球的概率是______．答案:7/10；0.78.以A＝｛2，3，5，7，11，13｝中的任意2个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是既约分数的概率是______ ．答案:19.在10个杯子里，有5个一等品、3个二等品、2个三等品．(1)现在我们从中任取1个．设：“取到一等品”记为事件A；“取到二等品”记为事件B；“取到三等品”记为事件C；请写出所有互斥的事件．(2)现在我们从中任取两个，设“取到至少1个一等品”的事件为P，请写出与P对立的事件．答案:(1)A与B、B与C、A与C(2)对立事件：“一个一等品也没取到”．10.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)少于7环的概率．答案:(1)该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21＋0.23＝0.44．(2)射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97＝0.03．11.掷一颗骰子，掷得奇数点的概率是 ()答案:1/212.从编号为1-100的球中取出1球，所得的编号是4的倍数的概率是（）答案:1/413.从五件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率是（）答案:1/314.若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则抽出一本非中文书的概率为（）答案:1/215.口袋中有红、黄、蓝、白大小相同的小球各一个，从中任意取出一个，则取到红球的概率是________．答案:1/416.某小组有三名女生、两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则雅琳（女生）当选为组长的概率是________．答案:1/517.同时抛掷两枚骰子，则点数之和为7的概率是________.答案:1/618.某种商品共100件，其中一等品35件，二等品55件，其余为次品.某人购买一件该商品，则他买到一等品的概率为________.答案:7/2019.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次.求：（1）3只全是红球的概率；（2）3只颜色全相同的概率；（3）3只颜色不全相同的概率.答案:画出如下树形图，我们可知，样本空间中共包含8个样本点. （1）事件“3只全是红球”包含1个样本点，因此概率.（2）事件“3只颜色全相同”包含2个样本点，因此概率.（3）3只颜色不全相同的概率.20.从一批产品中取出三件产品，设事件A：“三件产品全不是次品”， B：“三件产品全是次品”， C：“三件产品不全是次品”，则下列结论中哪个是正确的()答案:事件B与C互斥21.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是答案:互斥事件但不是对立事件22.一个射手进行一次射击，已知靶纸上的环数均为正整数.事件A：命中的环数大于8；事件B：命中的环数大于5；事件C：命中的环数小于4；事件D：命中的环数小于6.试判断以上四个事件A，B，C，D中互为互斥事件的有_________________________（写出所有可能的情况）答案:A与C，A与D，B与C，B与D23.同时掷两个骰子，两个骰子的点数和可能是2,3,4，…11,12中的一个，事件A={2,5,7}，事件B={2,4,6,8,10,12}，那么________ ，_________答案:{2,4,5,6,7,8,10,12}###{5,7}24.在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是____________.答案:3件至多有2件一级品25.从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45g的概率为0.22，质量不小于2.50g的概率为0.20，则质量在[2.45g,2.50g）范围内的概率为答案:0.5826.甲乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，成平局的概率为0.25，则甲不输的概率为，乙不输的概率为 .答案:0.55###0.727.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说出你的理由．（1）“抽取红桃”与“抽取黑桃”；（2）“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.答案:（1）“抽取红桃”与“抽取黑桃”是互斥事件，不是对立事件. 理由：从40张扑克中任取一张，“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”是不可能同时发生的，所以是互斥事件；同时不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能“抽取方块”或者“抽取梅花”，因此不是对立事件.（2）“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”既是互斥事件，又是对立事件. 理由：从40张扑克中任取一张，“抽取红桃”与“抽取黑桃”是不可能同时发生，但其中必有一个发生.（3）“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”不是互斥事件，当然也不可能是对立事件. 理由：从40张扑克中任取一张，“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”可能同时发生，如抽出的牌点数为10.28.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是答案:至少有一个是正品29.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察正、反面出现的情况，样本点的个数为答案:430.在一个口袋中装有4个相同的小球，分别标有号码1,2,3,4，从中任取两球，取后不放回，则这个试验的样本空间Ω=__________________答案:{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}31.下列事件是必然事件的为；是不可能事件为；是随机事件的为 .（填序号）①在标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾；②同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；③某人给朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰好是朋友的电话号码；④技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现.答案:①###④###②③32.有4件产品，其中有2件是一等品，2件是二等品，从中任意摸出2件产品.（1）其对应的样本空间为__________________（2）样本点的个数为__________________；（3）“恰有一件是一等品”这一事件用集合表示为_________________答案:{(一等品，一等品)， (一等品，二等品)， (二等品，一等品)， (二等品，二等品)}###4###{(一等品，二等品)，(二等品，一等品)}33.从甲、乙、丙三人中选出两名代表，试写出其样本空间为________.答案:{甲乙，甲丙，乙丙}34.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中先后取出两张，用（x,y）表示结果，其中x表示第一张卡片上的数字，y表示第二张卡片上的数字，事件“数字之和大于9”的集合表示为__________________．答案:{(4,6),(5,6),(6,4),(6,5)}35.从长度为3,4,5,7,9的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是___________________．答案:{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)}36.袋中有5只球，其中有3只红球，编号为1,2,3，有2只黄球，编号为4,5.现从中任意取一只球，试验A：观察颜色；. 试验B：观察号码.试验A的样本空间为___________________试验B的样本空间为___________________答案:{红，黄}###{1,2,3,4,5}37.随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班一天.（1）这3人的值班顺序共有多少种，写出样本空间Ω；（2）写出事件A：“甲在乙之前值班”的集合表示.答案:{（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}###{（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙）}38.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数（1）写出对应的样本空间；（2）写出“点数之和等于6”这一事件的集合表示.答案:（1）{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}（2）{（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）}39.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是( )答案:次品率接近10%40.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）答案:①④41.为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：请判断这次重大的比赛派谁更合适，请阐述理由.答案:（答案不唯一，解答合理即可）甲的均值为（27+38+30+37+35+31）/6=33甲的方差为（36+25+9+16+4+4）/6=47/3乙的均值为（33+29+38+34+28+36）/6=33乙的方差为（0+16+25+1+25+9）/6=38/3所以甲、乙的均值相同，但乙的方差较小，成绩更稳定，所以这次重大比赛派乙更合适42.某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随访了50位市民，根据这50位市民对这两个部门的评价（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数（2）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价答案:（1）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75；50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67。

2019-2020学年高二数学上学期第一次段考试题理(含解析)

2019-2020学年高二数学上学期第一次段考试题理（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出直线方程，代入点求得直线方程.【详解】依题意设所求直线方程为，代入点得，故所求直线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查两条直线垂直知识，考查直线方程的求法，属于基础题.2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，求得原图的面积．【详解】依题意，四边形是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形过，分别做，则和为斜边长为的等腰直角三角形，又，梯形的面积：在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：即：本题正确选项：【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．3.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（）A. -4B. -6C. -8D. -10【答案】B【解析】【分析】把，用和公差2表示，根据，，成等比数列，得到解得.【详解】解：因为等差数列的公差为2，若，，成等比数列，即解得故选：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.4.已知，则以线段为直径的圆的方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】解：由A（﹣4，﹣5）、B（6，﹣1），设圆心为C，则圆心C的坐标为（，）即C（1，﹣3）；所以|AC|，则圆的半径r，所以以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y+3）2＝29．故选C．5.在空间中，有三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，下列判断正确的是A. 若∥，∥，则∥B. 若，，则∥C. 若，∥，则D. 若，，∥，则∥【答案】C【解析】【分析】根据空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，A中，若∥，∥，则与可能平行、相交或异面，故A错误；B中，若，，则与c可能平行，也可能垂直，比如墙角，故B错误；C中，若，∥，则,正确；D中，若，，∥，则与可能平行或异面，故D错误；故选C．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中点、线、面的位置关系，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．6.已知都是正数,且，则的最小值等于A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】 ,故选C.7.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】B【解析】【分析】连结B1D1，由E为A1C1的中点，得到A1C1∩B1D1＝E，由线面垂直的判定得到B1D1⊥面CC1E，从而得到直线CE垂直于直线B1D1．【详解】如图所示，直线CE垂直于直线B1D1，事实上，∵AC1为正方体，∴A1B1C1D1为正方形，连结B1D1，又∵E为A1C1的中点，∴E∈B1D1，∴B1D1⊥C1E，CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1，又CC1∩C1E＝C1，∴B1D1⊥面CC1E，而CE⊂面CC1E，∴直线CE垂直于直线B1D1，且B1D1BD.所以直线垂直于直线.故选B．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系，考查了直线与平面垂直的性质，属于基础题．8.已知是圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求.【详解】解：因为圆：的圆心到直线：的距离，且圆半径等于，故圆上的点到直线的最小距离为故选：【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.9.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（）A. B. 72 C. D. 32【答案】A【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：，几何体的表面积为，．故选A．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．10.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.11.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，.故选A．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．12.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.空间两点，间的距离为_____．【答案】【解析】【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案【详解】由空间中两点间的距离公式可得; ;故距离为3【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题．14.在中，角所对的边分别为，已知，则____.【答案】3【解析】【分析】由正弦定理和已知，可以求出角的大小，再结合已知，可以求出的值，根据余弦定理可以求出的值.【详解】解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得：，即.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、考查了数学运算能力.15. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________【答案】①②④【解析】试题分析：①取BD的中点O，连接OA,OC,所以,所以平面OAC，所以AC⊥BD；②设正方形的边长为a，则在直角三角形ACO中，可以求得OC=a，所以△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45角；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝AB＝a，ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴NE＝AC＝ a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．考点：本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题，考查学生的空间想象能力.点评：解决此类折叠问题，关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量.16.已知球的直径，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为．【答案】【解析】如图所示，由题意知，在棱锥S-ABC中，△SAC，△SBC都是等腰直角三角形，其中AB＝2，SC＝4，SA＝AC＝SB＝BC ＝2.取SC的中点D，易证SC垂直于面ABD，因此棱锥SABC的体积为两个棱锥S-ABD和C-ABD的体积和，所以棱锥S-ABC的体积V＝SC·S△ADB＝×4×＝三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.【答案】（1）；（2）圆锥体积，表面积【解析】【分析】（1）由球的半径可知圆柱底面半径和高，代入球和圆柱的体积公式求得体积，作比得到结果；（2）由球的半径可得圆锥底面半径和高，从而可求解出圆锥母线长，代入圆锥体积和表面积公式可求得结果.【详解】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为球的体积；圆柱的体积球与圆柱的体积比为：（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为圆锥的母线长：圆锥体积：圆锥表面积：【点睛】本题考查空间几何体的表面积和体积求解问题，考查学生对于体积和表面积公式的掌握，属于基础题.18.已知.（1）求函数f（x）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角的内角所对的边分别为，且，，求的最大值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)由诱导公式对函数解析式化解为的形式，然后根据三角函数的性质求解周期、对称轴方程.(2)由（1）中的解析式可求得的值，再由余弦定理可得bc 的最大值，即可得面积的最大值.【详解】(1），(2）由得由余弦定理得故：三角形面积的最大值为【点睛】本题考查三角函数诱导公式、三角函数性质、均值不等式及余弦定理的应用，属于中档题，解题的关键有两个：一是应用诱导公式对三角函数表达式化解；二是利用余弦定理构造不等式.19.如图，已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线与相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线的方程．【答案】(1) .(2) 或【解析】【分析】（1）圆心到切线的距离等于圆的半径，从而易得圆标准方程；（2）考虑直线斜率不存在时是否符合题意，在斜率存在时，设直线方程为，根据垂径定理由弦长得出圆心到直线的距离，现由点（圆心）到直线的距离公式可求得．【详解】（1）由于圆A与直线相切，∴，∴圆A的方程为．（2）①当直线与x轴垂直时，易知与题意相符，使．②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为即，连接，则，∵，∴，由，得．∴直线，故直线的方程为或．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是垂径定理的应用，在圆中与弦长有关的问题通常都是用垂径定理解决．20.等差数列前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求的前项和．【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列中，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用（1），由“累加法”可得，利用裂项相消法求和即可得结果.【详解】（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，．可得，，解得，，可得；（2）由，可得，，则前项和．【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21.如图，在四棱锥中，是正方形，平面．，，，分别是，，中点．（1）求证：平面平面．（2）在线段上确定一点，使平面，并给出证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先通过得到线面平行即面，同理可证面，根据面面平行判定定理可得结果；（2）为线段中点时，平面，通过先证面，得到，根据等腰三角形的性质得，运用线面垂直的判定定理即可得到结论.试题解析：（）∵中，，分别是，的中点，∴，又∵四边形为正方形，得，∴，∵平面，面，∴面．同理面，∵，是面内相交直线，∴平面平面．为中点时，面．（2）为线段中点时，平面，证明：取中点，连接，，，∵，且，∴四边形为梯形，由面，面，得，∵，，∴面，又面，∴．∵为等腰直角三角形，为斜边中点，∴，∵，是面内的相交直线，∴面．22.如图所示的空间几何体，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为.且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上．（1）求证：DE//平面ABC；（2）求二面角E—BC—A的余弦；（3）求多面体ABCDE的体积．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）证明线面平行，需要证明直线平行面内的一条直线即可．（2）利用三垂线定理作出二面角的平面角即可求解．（3）求多面体ABCDE的体积，转化两个三棱锥的体积之和，分别求解【详解】(1)由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∴∠EBF=60∘,易求得EF=DO=所以四边形DEFO是平行四边形,DE∥OF;∵DE⊄平面ABC,OF⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC(2)作FG⊥BC,垂足为G,连接EG;∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E−BC−A的平面角，，即二面角E−BC−A的余弦值为.(3)∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，∴三棱锥E−DAC的体积又三棱锥E−ABC体积，∴多面体DE−ABC的体积为.【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2019-2020学年高二数学上学期第一次段考试题理（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出直线方程，代入点求得直线方程.【详解】依题意设所求直线方程为，代入点得，故所求直线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查两条直线垂直知识，考查直线方程的求法，属于基础题.2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，求得原图的面积．【详解】依题意，四边形是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形过，分别做，则和为斜边长为的等腰直角三角形，又，梯形的面积：在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：即：本题正确选项：【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．3.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（）A. -4B. -6C. -8D. -10【答案】B【解析】【分析】把，用和公差2表示，根据，，成等比数列，得到解得.【详解】解：因为等差数列的公差为2，若，，成等比数列，即解得故选：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.4.已知，则以线段为直径的圆的方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】解：由A（﹣4，﹣5）、B（6，﹣1），设圆心为C，则圆心C的坐标为（，）即C（1，﹣3）；所以|AC|，则圆的半径r，所以以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y+3）2＝29．故选C．5.在空间中，有三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，下列判断正确的是A. 若∥，∥，则∥B. 若，，则∥C. 若，∥，则D. 若，，∥，则∥【答案】C【解析】【分析】根据空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，A中，若∥，∥，则与可能平行、相交或异面，故A错误；B中，若，，则与c可能平行，也可能垂直，比如墙角，故B错误；C中，若，∥，则,正确；D中，若，，∥，则与可能平行或异面，故D错误；故选C．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中点、线、面的位置关系，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．6.已知都是正数,且，则的最小值等于A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】 ,故选C.7.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】B【解析】【分析】连结B1D1，由E为A1C1的中点，得到A1C1∩B1D1＝E，由线面垂直的判定得到B1D1⊥面CC1E，从而得到直线CE垂直于直线B1D1．【详解】如图所示，直线CE垂直于直线B1D1，事实上，∵AC1为正方体，∴A1B1C1D1为正方形，连结B1D1，又∵E为A1C1的中点，∴E∈B1D1，∴B1D1⊥C1E，CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1，又CC1∩C1E＝C1，∴B1D1⊥面CC1E，而CE⊂面CC1E，∴直线CE垂直于直线B1D1，且B1D1BD.所以直线垂直于直线.故选B．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系，考查了直线与平面垂直的性质，属于基础题．8.已知是圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求.【详解】解：因为圆：的圆心到直线：的距离，且圆半径等于，故圆上的点到直线的最小距离为故选：【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.9.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（）A. B. 72 C. D. 32【答案】A【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：，几何体的表面积为，．故选A．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．10.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.11.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，.故选A．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．12.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.空间两点，间的距离为_____．【答案】【解析】【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案【详解】由空间中两点间的距离公式可得; ;【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题．14.在中，角所对的边分别为，已知，则____.【答案】3【解析】【分析】由正弦定理和已知，可以求出角的大小，再结合已知，可以求出的值，根据余弦定理可以求出的值.【详解】解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得：，即.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、考查了数学运算能力.15. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________【答案】①②④【解析】试题分析：①取BD的中点O，连接OA,OC,所以,所以平面OAC，所以AC⊥BD；②设正方形的边长为a，则在直角三角形ACO中，可以求得OC=a，所以△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45角；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝AB＝a，ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴NE＝AC＝ a.∴△ME N是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．考点：本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题，考查学生的空间想象能力.点评：解决此类折叠问题，关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量.16.已知球的直径，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为．【答案】【解析】如图所示，由题意知，在棱锥S-ABC中，△SAC，△SBC都是等腰直角三角形，其中AB＝2，SC＝4，SA＝AC＝SB＝BC＝2.取SC的中点D，易证SC垂直于面ABD，因此棱锥SABC的体积为两个棱锥S-ABD和C-ABD的体积和，所以棱锥S-ABC的体积V＝SC·S△ADB＝×4×＝三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.【答案】（1）；（2）圆锥体积，表面积【解析】【分析】（1）由球的半径可知圆柱底面半径和高，代入球和圆柱的体积公式求得体积，作比得到结果；（2）由球的半径可得圆锥底面半径和高，从而可求解出圆锥母线长，代入圆锥体积和表面积公式可求得结果.【详解】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为球的体积；圆柱的体积球与圆柱的体积比为：（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为圆锥的母线长：圆锥体积：圆锥表面积：【点睛】本题考查空间几何体的表面积和体积求解问题，考查学生对于体积和表面积公式的掌握，属于基础题.18.已知.（1）求函数f（x）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角的内角所对的边分别为，且，，求的最大值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)由诱导公式对函数解析式化解为的形式，然后根据三角函数的性质求解周期、对称轴方程.(2)由（1）中的解析式可求得的值，再由余弦定理可得bc的最大值，即可得面积的最大值.【详解】(1），(2）由得由余弦定理得故：三角形面积的最大值为【点睛】本题考查三角函数诱导公式、三角函数性质、均值不等式及余弦定理的应用，属于中档题，解题的关键有两个：一是应用诱导公式对三角函数表达式化解；二是利用余弦定理构造不等式.19.如图，已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线与相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线的方程．【答案】(1) .(2) 或【解析】【分析】（1）圆心到切线的距离等于圆的半径，从而易得圆标准方程；（2）考虑直线斜率不存在时是否符合题意，在斜率存在时，设直线方程为，根据垂径定理由弦长得出圆心到直线的距离，现由点（圆心）到直线的距离公式可求得．【详解】（1）由于圆A与直线相切，∴，∴圆A的方程为．（2）①当直线与x轴垂直时，易知与题意相符，使．②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为即，连接，则，∵，∴，由，得．∴直线，故直线的方程为或．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是垂径定理的应用，在圆中与弦长有关的问题通常都是用垂径定理解决．20.等差数列前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求的前项和．【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列中，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用（1），由“累加法”可得，利用裂项相消法求和即可得结果.【详解】（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，．可得，，。

学习通第一二章测试题

第一、二章测试（满分30分）
一、填空题（每小题1分，共5分）
1、复数2-2i 的三角形式．
2、0arg()4z i π
<−<表示 .
3、连接原点与1-1+2z i =直线段复参数方程为．
4、Ln(1+i)= .
5、1=i e π+ .
二、选择题（每小题2分，共6分）
1、函数()w f z =在0z 可导是解析的（）.
A 必要但非充分条件
B 充分但非必要条件
C 充分必要条件
D 既非充分又非必要条件
2、2
()=2f z xy ix −那么（） A ()f z 处处解析 B ()f z 处处不可导
C ()f z 仅仅在原点可导
D ()f z 仅仅在x 轴上可导
3、设()=(,)(,)f z u x y iv x y +则在00(,)x y 点，,u v 均可微是()f z 在000z x iy =+点解析的（）.
A 必要但非充分条件
B 充分但非必要条件
C 充分必要条件
D 既非充分又非必要条件
三、计算题（4道小题，共19分）
1、计算4
6
)(+1)i i （4分）
2、（5分）
3、求实部为(,)2u x y xy =,且满足条件(0)1f =的解析函数
()(,)(,)f z u x y iv x y =+．
（5分） 4、函数22()f z x iy =+在何处可导，何处解析？（5分）。

超星下高等数学尹逊波答案

1【单选题】
设有n阶导数，且有2n个不同的极值点?，则方程至少有（）A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：?分
2【单选题】
设函数在处可导，且则（）A、
B、
C、
D、
我的答案：B得分：分
3【单选题】
设在点的某邻域内连续，且具有一阶连续导数，并有，则（）
A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
4
【单选题】
曲线的拐点是（）
A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
5
【单选题】
设函数在的某邻域内连续，且满足，则（）A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
6
【单选题】
设，其中为有界函数，则在处（）。

A、
B、
C、
D、
我的答案：D得分：分
7
【单选题】
设函数在区间内有定义，若当时，恒有
，则必是的( ) 。

A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
8
【单选题】
设：，则函数在点处必然（）
A、
B、
C、D、
我的答案：D得分：分
9
【单选题】
设则在处( ) 。

A、
B、
C、
D、
我的答案：A得分：分
10
【单选题】
设在上连续，且，则下述结论正确的是：（）
A、
B、
C、
D、
我的答案：C。

2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念检测B含解析新人教A版必修1

第一章集合与函数概念检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下三个关系:⌀∈{0};0∈⌀;⌀⊆{0}.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.0解析:因为空集是不包含任何元素的集合,{0}是以0为元素的集合,所以⌀∈{0},0∈⌀都是错误的,⌀⊆{0}是正确的.答案:A2.已知全集U=Z,集合A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则A∩(∁U B)等于()A.{1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,2}解析:∵A={-1,0,1,2},B={x|x2=x}={0,1},∴A∩(∁U B)={-1,2}.答案:D3.已知集合M={x|x-2>0,x∈R},N={y|y=√x2+1,x∈R},则图中阴影部分表示的集合等于()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|x>2}D.{x|x>2或x<0}解析:易知M={x|x>2},N={y|y≥1}.又题图阴影部分表示的是M∩N,∴M∩N={x|x>2}.答案:C4.函数f (x )=√1+x −2x的定义域是( )A .[-1,+∞)B .(-∞,0)∪(0,+∞)C .[-1,0)∪(0,+∞)D .R解析:要使函数f (x )有意义,x 的取值需满足{1+x ≥0,x ≠0,解得x ≥-1,且x ≠0,则函数f (x )的定义域是[-1,0)∪(0,+∞). 答案:C5.下列各组函数相等的是( ) A .f (x )=√x 2,x (x )=√x 33B .f (x )={x,x ≥0,-x,x <0,x (x )=|x |C .f (x )=1,g (x )=x 0D .f (x )=x+1,g (x )=x 2-1x -1解析:A 中函数对应关系不同;C,D 中函数定义域均不同;B 中函数是相等的. 答案:B6.若函数f (x )=ax 2+(a-2b )x+a-1是定义在区间(-a ,0)∪(0,2a-2)内的偶函数,则x (x 2+x 25)=( ) A.1B.3C .52D .72解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,则-a+2a-2=0,解得a=2.又偶函数不含奇次项,所以a-2b=0,即b=1.所以f (x )=2x 2+1,所以x (x 2+x 25)=x (1)=3.答案:B7.函数y=f(x)与y=g(x)的图象分别为①②,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是()解析:由题图可知,y=f(x)的定义域为R,图象关于y轴对称,是偶函数;而y=g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),图象关于原点对称,是奇函数,所以y=f(x)·g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且为奇函数,所以函数y=f(x)g(x)的图象关于原点对称,故选D.答案:D8.已知函数f(x)=x2+mx+1在区间(-∞,-1]上是减函数,在区间[1,+∞)内是增函数,则实数m的取值范围是()A.[-2,2]B.(-∞,-2]C.[2,+∞)D.R解析:二次函数图象的对称轴是直线x=−x2,则由题意可得-1≤−x2≤1,所以-2≤m≤2.答案:A9.设奇函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,且f(1)=0,则不等式x(x)-x(-x)x<0的解集为()A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)解析:∵f (x )为奇函数,且f (x )在(0,+∞)内为增函数,f (1)=0,∴f (x )在(-∞,0)上为增函数,且f (-1)=-f (1)=0,x (x )-x (-x )x<0可化为x (x )x<0.当x>0时,f (x )<0,即f (x )<f (1),x<1,故0<x<1; 当x<0时,f (x )>0,即f (x )>f (-1),x>-1,故-1<x<0. 综上,原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1). 答案:D10.若一系列的函数解析式相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同型异构”函数.那么函数解析式为y=-x 2,值域为{-1,-9}的“同型异构”函数有( ) A .10个 B .9个C .8个D .7个解析:由题意,得x 从-1,1中至少取一个,从3,-3中至少取一个,故定义域中至少有2个元素,最多有4个元素,分别为{-1,-3},{-1,3},{1,-3},{1,3},{-1,1,-3},{-1,1,3},{-1,-3,3},{1,-3,3},{-1,1,3,-3},共9个. 答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知函数f (x )={3x +1,x <3,√x ,x >3,则x (x (1))=________________________.解析:f (1)=3+1=4,f (f (1))=f (4)=√4=2. 答案:212.已知集合A={0,1,2},B={x|ax 2+(1-a )x-1=0},若B ⫋A ,则a 的取值集合是 . 解析:当a=0时,B={1},符合题意;当a ≠0时,B ={-1x ,1}.∵B ⫋A ,∴−1x =2,∴x =−12.故a 的取值集合为{0,-12}.答案:{0,-12}13.已知函数f (x )是定义在区间[-1,3]上的减函数,且函数f (x )的图象经过点P (-1,2),Q (3,-4),则该函数的值域是 . 解析:∵f (x )的图象经过点P ,Q ,∴f (-1)=2,f (3)=-4.又f (x )在区间[-1,3]上是减函数,∴f (3)≤f (x )≤f (-1),即-4≤f (x )≤2, ∴该函数的值域是[-4,2].答案:[-4,2]14.如图,定义在区间[-1,+∞)内的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f (x )的解析式为 .解析:当x ∈[-1,0]时,设y=kx+b ,由f (x )的图象得{x (-1)=-x +x =0,x (0)=x ×0+x =1,解得{x =1,x =1,∴x =x +1;当x ∈(0,+∞)时,设y=a (x-2)2-1,由f (x )的图象得0=a (4-2)2-1,解得a =14,∴y=14(x-2)2−1.答案:f(x)={x+1,x∈[-1,0],14(x-2)2-1,x∈(0,+∞)15.已知函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),x(52),x(72)的大小关系为________________________.解析:因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3).因为函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数,所以函数y=f(x)在区间(2,4)上是减函数.因为2<52<3<72<4,则x(72)<x(3)<x(52),即x(72)<x(1)<x(52).答案:x(72)<x(1)<x(52)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设非空集合A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={y|y=x2,x∈A},全集U=R.(1)若a=1,求(∁R C)∩B;(2)若B∪C=B,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,A={x|-2≤x≤1},B={y|-1≤y≤5},C={y|0≤y≤4},∴∁R C={y|y<0,或y>4},∴(∁R C)∩B={y|-1≤y<0,或4<y≤5}.(2)∵A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},∴B={y|-1≤y≤2a+3}.∵B∪C=B,∴C⊆B.①当a≤2时,C={y|0≤y≤4},∴4≤2a+3,解得a≥12,∴12≤a≤2.②当a>2时,C={y|0≤y≤a2}, ∴a2≤2a+3,解得-1≤a≤3,∴2<a≤3.综合①②得12≤a≤3.17.(8分)已知函数f(x)={3x+5,x≤0,x+5,0<x≤1, -2x+8,x>1.(1)求x(32),x(1π),x(−1)的值;(2)画出这个函数的图象;(3)求f(x)的最大值.解:(1)x(32)=(−2)×32+8=5,x(1π)=1π+5=5π+1π,x(−1)=−3+5=2.(2)作出函数f(x)的图象,如图所示.(3)由函数f(x)的图象可知,当x=1时,f(x)取得最大值为6.18.(9分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=2x−1.(1)求f(-1)的值;(2)求当x<0时函数的解析式;(3)用定义证明f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.(1)解因为f(x)是偶函数,所以f (-1)=f (1)=2-1=1.(2)解当x<0时,-x>0,所以f (-x )=2-x −1. 又因为f (x )为偶函数,所以当x<0时,f (x )=f (-x )=2-x−1=−2x−1.(3)证明设x 1,x 2是区间(0,+∞)内的任意两个实数,且0<x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=2x 2−1−(2x 1-1)=2x 2−2x 1=2(x 1-x 2)x 1x 2.因为x 1-x 2<0,x 1x 2>0,所以f (x 2)-f (x 1)<0. 所以f (x 1)>f (x 2).因此f (x )在区间(0,+∞)内是减函数.19.(10分)某商店经营的某种消费品的进价为每件14元,月销售量Q (单位:百件)与每件的销售价格p (单位:元)的关系如图所示,每月各种开支2 000元.(1)写出月销售量Q (单位:百件)关于每件的销售价格p (单位:元)的函数解析式. (2)写出月利润y (单位:元)与每件的销售价格p (单位:元)的函数解析式. (3)当该消费品每件的销售价格为多少元时,月利润最大?并求出最大月利润. 解:(1)由题意,得Q ={-2x +50,14≤x ≤20,-32x +40,20<x ≤26.(2)当14≤p ≤20时,y=100(p-14)(-2p+50)-2000,即y=-200(p 2-39p+360). 当20<p ≤26时,y=100(p-14)(-32x +40)−2000,即y=-50(3p 2-122p+1160).所以y ={-200(x 2-39x +360),14≤x ≤20,-50(3x 2-122x +1160),20<x ≤26.(3)由(2)中的解析式和二次函数的知识,可得当14≤p ≤20时,则p =392,x 取到最大值,为4050;当20<p ≤26时,则p =613,x 取到最大值,为120503.又120503<4050,所以当该消费品每件的销售价格为392元时,月利润最大,为4050元.20.(10分)设y=f (x )是定义在R 上的函数,对任意实数m ,n ,恒有f (m+n )=f (m )f (n )成立,且当x>0时,0<f (x )<1.求证:(1)f (0)=1,且当x<0时,f (x )>1; (2)f (x )在R 上是减函数.证明(1)∵f (m+n )=f (m )f (n ),m ,n 为任意实数,∴取m=0,n=2,则有f (0+2)=f (0)f (2).又当x>0时,0<f (x )<1,∴f (2)≠0,∴f (0)=1.当x<0时,-x>0,>1.∴0<f(-x)<1,1x(-x)取m=x,n=-x,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1,>1.∴f(x)=1x(-x)(2)由(1)及题设可知,在R上,f(x)>0.设x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,f(x1-x2)>1,∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)·f(x2)-f(x2)=[f(x1-x2)-1]f(x2).∵f(x1-x2)-1>0,f(x2)>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在R上是减函数.。

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