1.5《平方差公式》课件(北师大版) (4)
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北师大版七年级下册1.5平方差公式课件
小试牛刀
计算： （1） (x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1) = x2-(2y)2 +x2-1 = x2-4y2+x2-1 = 2x2-4y2-1 （2） (3mn+1)(3mn-1)-8m2n2 = (3mn)2-12 -8m2n2 = 9m2n2-1 -8m2n2
= m2n2-1
两数和与这两数差 的积，等于他们的 平方差
宽是 a-b ，它的面积是(a+b)(a-b.)
b
b
（3） 比较(1)(2)的结果，他们有
什么关系？
题后反思：
(a+b)(a-b) = a2-b2
1.根据面积相等验证
2.数形结合思想
如图，在边长为 a 的正方形中剪去 一 个边长为 b的小正方形 （a>b ），把剩下的部分拼成一个梯形， 分别计算两个图形阴
=a4
=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=(2x)2-25-(4x2 -6x) =4x2-25-4x2+6x
=4x2+10x-10x-25-4x2+6x =6x-25
=6x-25
1. 利用平方差公式可以简便整式的乘法运算，但要注意 视察是否能够使用平方差公式. 2.在去括号与合并同类项时要特别注意括号与符号， 尤 其要注意括号前面是负号， 去掉括号后各项都要改变 符号. 3. 结果一 定要化简.
（1）103×97
=(100+3)(100-3) =1002-32
（2）118×122
=(120-2)(120+2) =1202-22=9991源自=14396题后反思：
北师大版七年级数学下册1.5 平方差公式课件(共17张PPT)
拓展提升
化简
(x4+y4 ) (x4+y4 )
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
课堂作业
• （基础题）导学案1。
• （提高题） 求方程（x+6）（x-6）-x（x-9） =0的解。
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
观察这些式子和结果，你有什么发现？
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:26:5609:26:5609:268/31/2021 9:26:56 AM
•
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3109:26:5609:26Aug-2131-Aug-21
• 1、公式中的a和b，既可以是具体的数， 也可以是单项式或者多项式；
• 2、左边是两个二项式的积，并且有一 项完全相同，另一项互为相反数；
• 3、右边是相同项的平方减去相反项的 绝对值的平方。
火眼金睛Biblioteka 1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( A )
A.(-a+b)(-a-b)
B.(a-b)(b-a)
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。09:26:5609:26:5609:26Tuesday, August 31, 2021
1.5 平方差公式PPT课件北师大版七年级数学下册
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
《数学》(北师大.七年级 下册)
7
回顾 & 思考☞
多项式乘法 法则是:
用回乘一另个顾一多个与项多式思项的式每考的一每项一项
再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
拓展练习
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−b)(b−a) ;
(不能)
(3) (a+2b)(2b+a); (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
都未添括号。
拓展练习
运用平方差公式计算： 本题是公式的变式训练，以
(4a1)(4a1)． (用两种方法) 加深对公式本质特征的理
利用加法交换律， 法一 变成公式标准形式。
解．
(4a−1)(4a−1) =( −14a−−41a ) ( 4−a1 −+14a ) =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
a2 相等吗？a2－25
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4）
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
北师大版七年级下册数学1.5《平方差公式的应用》课件(共15张PPT)
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实 在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。强者征服今天，懦夫哀叹昨天，懒汉坐等明天 只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。人们总是在努力珍惜未得到的，而遗忘 告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。时间是个常数，但也是个变数。勤奋的人无穷多，懒惰的人无穷少。手莫伸,伸手必被捉。党与人民在监督,万目睽睽难逃脱。汝 不伸能自觉,其实想伸不敢伸,人民咫尺手自缩。思考是一件最辛苦的工作，这可能是为什么很少人愿意思考的原因。我们不能成为贵族的后代，但我们可以成为贵族的祖先 年后的自己。自信！开朗！豁达！无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。无人理睬时，坚定执着。万人羡慕 志者常立志，有志者立常志，咬定一个目标的人最容易成功。心随境转是凡夫，境随心转是圣贤。学会以最简单的方式生活，不要让复杂的思想破坏生活的甜美。要无条件 的时候。一个人能走多远，要看他有谁同行；一个人有多优秀，要看他有谁指点；一个人有多成功，要看他有谁相伴。成功在优点的发挥，失败是缺点的累积。从绝望中寻 辉煌。当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下！当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。贫穷本身并不可怕，可怕的是贫穷的思想，以及认为自己命中 了贫穷的思想，就会丢失进取心，也就永远走不出失败的阴影请享受无法回避的痛苦。人的一生就是体道，悟
北师大版七年级下册数学课件：1.5平方差公式
3 当堂检测
（a+b)(a-b)
a
b
（2+y)(2-y) (1+5b)(1-5b)
(2m+3n)(2m-3n) (-x+1)(x+1)
教学过程
a²-b² 最后结果
3 当堂检测
教学过程
运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5-6x) (2) (ab+8)(ab-8) (3) (-x-y)(-x+y) (4) (m+n)( m-n)
3 当堂检测
教学过程
判断正误
(1)(-a-b)(a-b)=-a²-b² (2) (-a+b)(a-b)=-a²-b² (3) (2x+3)( 3-2x)=2x2-9 (4) (y3+z3)( y3-z3)= y9-z9 (5) (x2+y)( x-y2)=x3-y3
4 拓展延伸
教学过程
思维拓展： 在(-3a+2b)( )的括号内，填入
运算结果2 的特征: a²-b²
教学过程
猜一猜
【猜一猜】：视察以上算 式及其运算结果，你发现 了什么规律？能不能大胆 猜测得出一个一般性的结 论？你能将猜测的这个结 论写成公式吗?
教学过程
验证猜想
运用多项式乘多项式验证猜想。 (a+b) (a-b) =a²+ ab - ab - b²
= a²-b² 【归纳公式】：得出平方差公式：
(a+b) (a-b)=a²-b²
重点分析
教学过程
使用平方差公式可以简化运算，那什
么样的多项式相乘才能用平方差公式来计 算呢？也就是说，平方差公式具有什么样 的特征？ 公式的结构特征：
北师大版七年级数学下册《平方差公式》课件
练一练：口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=__b_2_－__a_2__.
(2)(a－b)(b+a)= __a__2_－__b_2__. (3)(－a－b)(－a+b)= __a_2_－__b_2_. (4)(a－b)(－a－b)= __b__2_－__a_2_.
例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
例2 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25.
例3 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减 少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如 何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？ 为什么？
(m + 2)(m2 + 4)(m – 2)，其中m = 2.
解:（1） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2)
=(m + 2)(m – 2)(m2 + 4) = (m2 – 4)(m2 + 4) = m4 – 16
当 m = 2 时，原式 = 24 – 16 = 0
北师大版七年级初一上册 第一单元 1.5《平方差公式》课件
知2－练
1 计算： (1) (a+2) (a－2)； (2) (3a+2b) (3a－2b)； (3) (－x －1) (1－x) ；(4) (－4k+3) (－4k－3).
解：(1)(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4. (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2. (3)(－x－1)(1－x)＝(－x－1)(－x＋1) ＝(－x)2－12＝x2－1. (4)(－4k＋3)(－4k－3)＝(－4k)2－32＝16k2－9.
9
.
(3)99×101×10 001.
知3－练
解：(3)99×101×10 001＝(100－1)×(100＋1)×10 001 ＝(1002－1)×10 001 ＝9 999×10 001 ＝(10 000－1)×(10 000＋1) ＝10 0002－1 ＝99 999 999.
1 知识小结
知2－练
9 【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪 去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分 沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四 边形的面积为( C ) A．a2＋4 B．2a2＋4a C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
知识点 3 利用平方差公式简便计算
知3－导
(2)118×122
=(100+3) (100－3)
=(120－2) (100+2)
=1002－32
=1202－22
=9 991 ；
=14 396 .
知3－讲
例5 运用平方差公式计算：
(1) 2 014×2 016－2 0152；(2) 1.03×0.97；
2
(3) 40
北师大版七年级数学下册1.5平方差公式课件
=(700+4)(700-4) =7002－42 = 489984
（2）9.9 ×10.1 解：9.9×10.1
=(10-0.1)(10+0.1) =102－0.12 = 99.99
随堂练习
4. 利用乘法公式计算： (1)计算：(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1)； (2)计算：(3+1)·(32+1)·(34+1)·(38+1)； (3)计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
79×81= 6399 80×80= 6400
1、从以上过程中，你发现了什么规律？ 一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
2、你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
例1、用平方差公式进行计算：
（1） 103×97；
（2） 118×122．
1.5 平方差公式
学习目标
1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想； 2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.
导入新课 1、设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
2、应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围（前同号，后异号）
解：（1）原式＝(2﹣1)·(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(22﹣1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(24﹣1)·(24+1)·(28+1) ＝(28﹣1)·(28+1) ＝216﹣1
（2）9.9 ×10.1 解：9.9×10.1
=(10-0.1)(10+0.1) =102－0.12 = 99.99
随堂练习
4. 利用乘法公式计算： (1)计算：(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1)； (2)计算：(3+1)·(32+1)·(34+1)·(38+1)； (3)计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
79×81= 6399 80×80= 6400
1、从以上过程中，你发现了什么规律？ 一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
2、你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
例1、用平方差公式进行计算：
（1） 103×97；
（2） 118×122．
1.5 平方差公式
学习目标
1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想； 2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.
导入新课 1、设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
2、应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围（前同号，后异号）
解：（1）原式＝(2﹣1)·(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(22﹣1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(24﹣1)·(24+1)·(28+1) ＝(28﹣1)·(28+1) ＝216﹣1
1.5平方差公式(第一课时)课件 2023-2024学年北师大版数学七年级
(a+b)(a−b)=a2−b2 平方差公式
ZYT
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97;
(2)118×122
解: (1) 103×97
(2)118×122
=(100+3)(100-3) =(120-2)(120+2)
=1002-32
=1202-22
=9991
=14396
通过合理变形， 利用平方差公 式，可以简化 运算.
探究新知
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全 相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
ZYT
巩固练习
利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25；
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2 －16，∴李大妈吃亏了．
ZYT
中考真题
（郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小 正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长 方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解 释下列哪个等式（ B ） A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
ZYT
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97;
(2)118×122
解: (1) 103×97
(2)118×122
=(100+3)(100-3) =(120-2)(120+2)
=1002-32
=1202-22
=9991
=14396
通过合理变形， 利用平方差公 式，可以简化 运算.
探究新知
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全 相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
ZYT
巩固练习
利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25；
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2 －16，∴李大妈吃亏了．
ZYT
中考真题
（郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小 正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长 方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解 释下列哪个等式（ B ） A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
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b
a
b a b
a
变式练习(1)
填空
2 2
1. ( 3 x )( x 3) ( -3 ) ( x ) 9-x2 2. (a b)( -a-b ) b a
2 2
4 2 3. ( 2 x )(2 x ) 4x y 9 2 2 6 4 3 3 a a 4. (____ b )(____ b ) a b
a 4b
2
2
1.学校有一个边长为 m米的正方形花 公式的应用 坛，现在要进行改建，将它的一边增 加3米，而另一边缩短3米.问改建后 的正方形花坛的面积是多少？
3 m3
m
3
2.如图，一条水渠横断面为梯形，根 公式的应用 据如图所示的长度求出表示横断面面 积的代数式，并计算当 a 2, b 0.8 时的面积.
2 y 3 2 y 3
2
5. ( x y z )( x y z ) (x+y) ( z )
2
2
将x+y看作整体，则相同项为 ？ ，相反项为 ？
。
1. ( x y z )( x y z ) ( x ) ( y+z )
2 2 2
2 2 2
2. ( x y z )( x y z ) ( x-y ) ( z ) 3. ( x y z )( x y z ) ( x-z ) ( y )
1 a a b a b a b
2
2 2
2 2
解（一）：原式 a 3 a 2b
4 3
a b a b
3 2 2
2 2 2
a a ba ba b a b
a
4
2 2
解（二）：原式 a
2
a
2
b a b
2 2 2 2
a a b a b
2 2 2 2
x y 2 x xy 4 xy 2 y
2 2 2
2
x 3xy y
2
2
3. [2x2 ( x y)(x y)][(z x)(z x) ( y z)( y z)]
解： 原式 [2 x 2 ( x 2 y 2 )][z 2 x 2 y 2 z 2 ]
2 1 2 5 ⑵ 50 3 ×49 3 = (50＋ 3 )(50－ 2 )=2499 3 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
⑷ 5678×5680－56792 =(5679－1)(5679+1)－56792
= 56792－1－ 56792
=-1
下列各式的解法中，哪种简单？请选择： 辨析与反思
1.
( 2 2 1)(2 4 1)(2 8 1)(216 1)
( 2 2 1)(2 2 1)(2 4 1)(2 8 1)(216 1) 解 ： 原 式 ( 2 2 1) ( 2 4 1)(2 4 1)(2 8 1)(216 1) 3 ( 2 8 1)(2 8 1)(216 1) 3 ( 216 1)(216 1) 3 2 32 1 3
( 2 x x y )( x y )
2 2 2 2 2
( x y )( x y )
2 2 2 2
( y ) (x )
2 2
2 2
y x
4
4
1. 2.
3.
( 2 1)(2 1)(2 1)(2
2 4 8
16
1)
12345 12346 12344
2
1. (a b)(Leabharlann b)(a b )2 2
解： 原式 (a b )(a b )
2 2 2 2
(a ) (b )
2 2
2 2
a b
4
4
2. ( x y )(x y ) ( x 2 y )(2 x y ) 解： 原式 ( x y ) (2 x xy 4 xy 2 y )
4
a
4
辨析与反思
2 1 2 3 a 2b a b 3 3
2 1 解（一）：原式 3a 6b a b 3 3
a 2ab 2ab 4b
2
2
a 4b
2
2
2 1 解（二）：原式 3 a b a 2b 3 3 a 2b a 2b
自主学习指导：
• 课本P37-38。。。。。5分钟
• 解决以下问题： 1、由P37页的想一想，理解平方差公式的应 用 2、认真看例3例4，掌握解题步骤。
有一位地主, 把一块边长为a 米的正方形土地租给李 老汉种植.今年,他对李老汉说:“我把你这块地一边增 加4米,另一边减少4米,继续租给你,你也没有吃亏,你 看如何?”李老汉一听,觉得好象没有吃亏,就答应了. 同学们,你们觉得李老汉有没有吃亏? 4
2. 平方差公式的结构特征： （1）公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中， 有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）公式的右边是乘式中两项的平方差，且完全相同的 项的平方减去互为相反数的一项的平方； （3）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述 公式来计算； 在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能 用公式计算，其余的运算仍按乘法法则进行
2. 12345 12346 12344
2
解：原式 12345 (12345 1)(12345 1)
2
12345 (12345 1)
2 2 2
12345 12345 1 1
2
1. 平方差公式的内涵：
(a b)(a b) a b
2
2
a
原有:a2
4 现有:(a+4)(a-4) = a2-16
观察与思考
1.计算下列各组算式,并观察它们的共同特点：
63 64
143 144
6399 6400
2.从以上的过程中，你发现了什么规律？ 3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
a 1 a 1 a
2
1
例2 用平方差公式进行简便计算：
(1)103 97
解：
(2)118 122
(1)103 97
100 3100 3
(2)118 122
120 2120 2
100 3
2
2
120 2
2
2
9991
14396
⑴ 102×98= (100＋2)(100－2)=9996
变式练习（2）
计 算
1. (a b)(a b)(a b )
2 2
2. ( x y )( x y ) ( x 2 y )(2 x y ) 3. [2 x ( x y )( x y )][(z x )(z x ) ( y z )( y z )]
2
观察下列各式： ( x 1)( x 1) x 2 1 ( x 1)( x x 1) x 1
2 3
( x 1)( x 3 x 2 x 1) x 4 1 根据前面的规律可得： ( x 1)( x x
n n 1
n+1-1 x x 1) ________
判断正误： 2 (1) ( a+5)(a-5)= a 5 (2) (3x+2)(3x-2)= 3x 2
2 2
(3) (a-2b)(-a-2b)= 4a b
2
2
(4) (100+2)(100-2)= 100 2 =9996
2 2
(5) (2a+b)(2a-b)= a 4b
2
2
学习目标： • 会推导平方差公式， 并能运用公式进行简单 的计算。