构造等边三角形解决角度问题

1 构造等边三角形 ,使分散条件汇合集中
例 1 在等边 △AB C 内有一点 P, 它到
三个顶点 A、B、C 的距离分别为 1、 2、 3. 求
A PB 的度数.
分析 :三条线段 PA、PB、PC 成“丫 ”状 ,
其长度恰好是一个直角三角形的三边长 (称
为勾股数 ) . 如何将 PA、PB、PC 集中起来 , 构
练习题
1. 已知 R t△AB C 的斜边 AB = 2, 动点 P 到三个顶点的距离之和的最小值为 7. 试求
5
R t△AB C的两个锐角的度数.
(提示 :仿例 2、例 3. 答案 : 30°, 60°. )
2. 设 O 是等边 △AB C 内一点 , 且 AOB
= 115°, BOC = 125°. 求以线段 OA、OB、OC
小值为 2 7. 求 AB C的度数. 分析 :本题的关键是找出 PA + PB + PC
取最 小 值 时 的 线 段. 由 例 2 的 分 析 知 , 在 △AB C外 以 AC 为 边 作 等 边 △ACD, 联 结 BD,则 BD 的长就是 PA + PB + PC 的最 小值.
解 :如图 3, 在 △AB C 外以 AC 为边作等 边 △ACD、联 结 BD. 则 BD 的长就是 PA + PB + PC 的 最小值 ,
D E =AC = EC. 注意到
ECD = EDC = 1 ( 180°- CED ) 2
= 1 ( 180°- 100°- 60°) = 10°. 2
故 BCD = ACE - ACB - ECD = 10°. 注 :如果题设中有一等腰三角形 ,其一内 角为 20°、40°或 100°, 就可通过添加等边三 角形达到几何量的转换之目的. 这是解决有 关几何问题常用的方法.
(C) 4∶5∶6
(D )不能确定
(提示 :仿例 2. 答案 : A. )
4. 已知 AD、B E、CF 是 △AB C 的角平分
线 , BAC = 120°. 求证 : ED F = 90°.
(提示 :在 △AB C 外作等边 △ACP, 则 B、
A、P三点共线. 由此得 AD F = BD F,
图5
形. 于是 ,
B ED = 60°, BD =D E.
因为 A EF = B ED = 60°, A E = EF, 所
以 , △A EF为等边三角形.
故 F = 60°, A F =A E.
在 △ACD 和 △D FA 中 ,因为
AD =DA, CD =A E =A F,
AC =BD + CD =D E + EF =D F, 所以 , △ACD △D FA. 于是 , ACD = F = 60°.
EAB
=
1 2
又 ACE = ACB +
= 40°+ 60°= 100°=
BAC = 50°.
BCE DAC,
AC = CA, CE =B C =AD, 则 △ACE △CAD. 从而 , ACD = EAC = 50°. 故 B CD = ACD - ACB = 10°.
4 构造不同的等边三角形 ,获得不同的解法
所以 , △ADC △B CE. 从而 , ADC = B CE = 30°. 故 BCD = ABC - D = 10°. 解法 2:如图 8,在 △ABC外以 BC为边作等 边 △BCE,联结 A E、D E. 易证 △AB E △ACE.
则
A EC =
A EB
=
1 2
B EC = 30°,
EAC =
= 360°- 150°- 60°= 150°. 故 B PC = B PP′. 所以 , △PB C △PB P′. 从而 , PP′B = PCB = 20°,
P′B P = PB C = 10°. 注意到
CP′B = CP′P + PP′B = 60°+ 20°= 80°= CAB. 所以 , P′、C、B、A 四点共圆. 从而 , P′AC = P′B C = 20°. 故 PAC = P′AC = 20°. 注 :如果题设中有一个角为 30°, 就考虑 根据轴对称恢复一个等边三角形 , 得出更多 的角的关系 ,以达到求解的目的.
3 运用对称性恢复等边三角形
例 5 在 △AB C中 , AB = AC, A = 80°, P是 △AB C 内一点 , 且 PB C = 10°, PCA = 30°. 求 PAC的度数.
4
中等数学
解 :如图 6, 作点 P
关于 AC 的对称点 P′,
联 结 P′A、P′B、P′C、
P ′P.
因为 AB C = PBD = 60°,所以 ,
AB C - PB C = PBD - PB C
] AB P = CBD. 又 AB =B C, PB =BD,则
收稿日期 : 2009 - 03 - 16 修回日期 : 2009 - 07 - 21
△AB P △CBD. 于是 , DC = PA = 1, A PB = 在 △PCD 中 , CD2 + PD2 = PA2 + PB 2
2009年第 10期
因此 ,当 BQ +QD +D E为最小值 B E时 , 点 Q 与 D 应在线段 B E上. 此时 ,
AQB = AD E = 120°. 于是 ,点 Q 为所求的点 P. 故 A PB = B PC = CPA = 120°, 即 点 P对 △AB C的各边的张角均为 120°. 例 3 在 △AB C 中 , C = 90°, B C = 2, P是 △AB C内一点 , 使得 PA + PB + PC 的最
则
ADC =
ED C
=
1 2
AD E = 30°.
故 B CD = AB C - ADC = 10°.
解 法 4: 如 图
10, 以 AC 为边作等
边 △ACE,使点 E 在
CAD 内 , 联 结
D E. 则
图 10
EAD = BAC - EAC = 100°- 60°= 40°= AB C. 又 A E =AC =AB , AD =B C,则 △EAD △AB C. 故 A ED = BAC = 100°,
BDC.
= 12 + ( 2) 2 = ( 3) 2 = PC2.
于是 , △PCD 是直角三角形 ,即
PDC = 90°.
故 A PB = BDC = BD P + PDC
= 60°+ 90°= 150°.
注 :凡长度成勾股 数的“丫 ”状三 条线
段 ,经过作等边三边形后 ,可围成一个直角三
角形.
成一个直角三角形呢 ?
方法 :以 PB 为边
作等边 △PBD, 使点 D
与 A 在 BC的两侧 ,联
结 CD (如图 1 ). 易证
△PCD 为 直 角 三 角
形 , 从 而 可 求 A PB
的度数.
图1
解 :如图 1,以 PB 为边作等边 △PBD, 使
点 D 与 A 在 B C的两侧 ,联结 CD.
又 △AB E 为 等 边三角形 ,则
AB =B E =A E,
BAE = 60°,
AB E = 60°.
因此 , AC =A E.
图7
故 ACE = 1 ( 180°- CA E) = 10°. 2
从而 , B CE = ACB - ACE = 30°. 在 △ADC和 △B CE中 ,因为
AD =B C, AC =B E, DAC = CB E = 100°,
即 BD = 2 7. 过点 D
作 DE BC 交 BC
的延长线于点 E.
图3
设 AC = x. 则 CD = x. 在 R t△CD E中 ,
DCE = 180°- ACD -
ACB = 30°.
于是 , D E = 1 CD = 1 x,
2
2
EC = CD co s
DCE
=
3 2
x.
在 R t△AD E中 , B E2 +D E2 =BD2 ,即
= BD + CD , ABD =
60°. 求 ACD的度数.
解法 1: 如 图 4, 延
长 BD 至点 E, 使得 D E
图4
= CD ,联结 AD、A E.
由 AB =BD + CD =BD +D E =B E,
AB E = 60°,
知 △AB E为等边三角形. 从而 ,
E = 60°, A E =AB.
2
2 + 3x + 2
1 x 2 = (2 2
7) 2.
解得 x = 2 3. 在 R t△AB C中 ,
tan
AB C
= AC BC
=
23 2
=
3.
于是 , AB C = 60°.
注 :成“丫 ”状的三条线段经过作等边三
角形后 ,可以变成首尾相连的折线.
3
2 利用截长或补短构造等边三角形
例 4 如图 4, D 是 △AB C 外一点 , AB = AC
因 PCA = 30°,
所以 ,由对称性知
图6
PC P ′
= 2 PCA = 60°,
PC = P′C.
于是 , △PP′C为等边三角形.
由已知得
ACB = 1 (180°- A ) = 50°. 2
则 PCB = ACB - PCA = 20°, B PC =180°- ( PCB + PBC) =150°, B PP′= 360°- B PC - CPP′