旋转与勾股定理的三种题型

由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记
图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1， S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.
【解析】∵S1+S2+S3=10,
∴CD2+HG2+TK2=10. 又∵DH=CG,TK=HK-TH=DH-DG, ∴(DH+DG)2+HG2+(DH-DG)2=10, 整理得
案例1：中考之旋转问题 新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题 出现在数学当中就是最大的一个亮点。不同 以往的单纯“给条件”to“求结果”式的题目， 阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个 超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法， 然后再给条件出题。对于这种题来说，如果 考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去 做题的话，往往浪费大量时间也没有思路， 得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题 就成为了关键，让我们先看以下的例题。
下课了!
诲 人 不 倦
•悟性的高低取决于有无悟“心 ”,其实,人与人的差别就在于你 是否去思考, 去发现，去总结。
案例2：中考之规律数列问题
（3分）（2012•鞍山）如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD， 得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作 Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF； 依此作下去…则第n个三角形的面积等于 _________ ．
由勾股定理的逆定理知∠APPl=90o
∠APB=∠APPl+∠BPPl=900+600=1500
变式1：如图，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。
变式2：如图1，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=3a，PB=4a，PC=5a，求∠APB的度数。
变式3： 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三 个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此 正方形ABCD面积。 变式4：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC= 1：2：3，求∠APB的度数。
AC=DE=400 m,则可证△ABC≌△ECD(AAS)， 得CE=AB=300 m;又由勾股定理可知，在Rt△ABC 中，B C
AC AB
2 2

400 300
2
2
500
.则可得BE=BC-CE
=200 m，由此可得：第一条行走路线为：AC+CE=400+300 =700(m)，第二条行走路线为：AB+BE=300+200=500(m).
A
方法：通过固定点，旋转固定的 角度将已知条件放在同一个（组） 图形中进行研究
P B C
A Pl
解：∵BC=BA，以点B为定点，将 △BCP转60°到达△BAPl，连 接PlP，则PlA=PC=5 ∵∠PlBP=60°, BPl=BP
C
P
B
∴△PlBP是等边三角形. ∴PlP=PB=4. 在△APlP中，PA2+PlP2=(3)2+(4)2=(5)2
例2 .如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1， PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺 时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转 到了G点． （1）请画出旋转后的图形，说出此时△APC绕 点B旋转了多少度？ （2）求出PG的长度（可以不化简）． （3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由． （4）求∠APB的度数． （5）求此正方形ABCD面积。
0， 在ΔABC中，∠BAC=90
（2）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B 点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转 变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于 图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角 形。
HG
2

10 3
, S 2
10 3
.
答案：1 0
3
3.(2010·温州中考)勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很
多人的兴趣.1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票.
所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成
的图形，它可以验证勾股定理.在如图所示的勾股图中，已知
∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，作△PQR，使得∠R=90°， 点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么 △PQR的周长等于_____.
3.(2011·丽水中考)如图，西安路与南京路平行，并且与八 一街垂直，曙光路与环城路垂直，如果小明站在南京路与八
一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路
程约为( )
(A)600 m
(B)500 m
(C)400 m
(D)300 m
【解析】选B.由题意可知：AB∥CD，则
∠ABC=∠DCE，又有∠BAC=∠DEC=90°，
（一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针 方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化， 将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例3
如图，点P是等边△ABC内一点，且PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB的度数。
12．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古 算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是 由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验 证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3， AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的 面积为（ ）
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以，四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选C．
(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了பைடு நூலகம்明勾股定理，
创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2
3， P R 7
3 6，
所以△PQR的周长为 2 7 1 3 答案：2 7 1 3
3
【解析】过A作AM⊥QR于M，由∠BAC=30°，AB=4，得BC=2，
AC=2
3 ，在等边△GHQ中，HQ=GH=AC= 2 3
3
，在Rt△AHM中，
AH=AC= 2
，∠AHM=30°，得HM=3，在矩形ADRM中，
72
3.
RM=AD=AB=4，所以 R Q
3， P Q 1 4 4
案例3：中考之无图问题
已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数， 则这样的三角形个数为（ ） A．2 B．3 C．5 D．13
（2011•鸡西市）19．已知三角形相邻两边长分别 为20㎝和30㎝，第三边上的高为10㎝，则此三角形 的面积为 ㎝
Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4， 有一个内角为60°，点P是直线 AB上不同于A、B的一点，且 ∠ACP=30°，则PB的长为 多少？ ．
如图，等腰直角三角形 直角边长为1，以它的 斜边上的高 为腰，做第一个等腰直角三角形 ； 再以所做的第一个等腰直角三角形 的斜边上 的高 为腰，做第二个等腰直角三角形 ；……以 此类推，这样所做的第 个等腰直角三角形的 腰长为 ．
（第8题）
【例3】(2010·衢州中考)已知 △ABC是边长为1的等腰直角三角 形，以Rt△ABC的斜边AC为直角 边，画第二个等腰Rt△ACD，再 以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，„， 依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_____.
图1 图2
图3
（1）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=90°, P为ΔABC内 一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC 与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一 个ΔP' CP为等腰直角三角形。
例1 AB=AC，P为ΔABC内一点， 且PA=2，PB=1，PC=3。求 ∠APB的度数。