六上智慧数学

第一讲长方体和正方体（一）

我们已经学习了长方体和正方体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。你准备好了吗？

导学启思

例题1：从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？

【思路导航】：这是一道开放题，方法有多种：

①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

图27--1

②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

图27--2

③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

图27--3

试一试1：

1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？

例题2：把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。

【思路导航】：要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。

图27—5从前往后看从左往右看

从上往下看

而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S 上+S 左+S 前）×2来计算。

（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2

=（81+72+90）×2

=243×2

=486（平方厘米）

答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。

试一试2：用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。

图27—6

图27—4

例3：把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？

【思路导航】：把两个相同的大长方体拼成一个大长方体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。

（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2

=（63+36+28）×4—126

=508—126

=382（平方厘米）

答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。

试一试3：将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。

第一讲 长方体和正方体（一）

班级： 姓名：

1、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？

2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？

3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

4、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？

5、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个长4厘米，宽和高分别是1厘米的长方体后，表面积会发生怎样的变化？

周末乐园

第二讲 长方体和正方体（二）

亲爱的同学们，学习了长方体和正方体这个单元，你一定发现很多秘密，收获了更多的数学知识。在这一讲中，期待你的出色表现！

例1：

把一个长方体木块截成两块，就是两个完全一样的正方体。这两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长和多了40厘米，原来长方体的体积是多少？

【思路导航】：

40÷8=5（厘米）

5×5×5×2=250（立方厘米）

答：原来长方体的体积是250立方厘米。

试一试1：用三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米，体积是多少？

例2：

如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？

图28—4c

b

a

图28—5图28—6

导学启思

【思路导航】：设长方体物品的长、宽、高分别是a、b、c，并且a＞b＞c（入土28-4）。比较“3×4”和“2×6”两种包法。图28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc①，图28-6中大长方体的表面积为4ab+12ac+24bc②，两个式子中都去掉相同的部分4ab+8ac+24bc后，①式与②式的大小要看2ab与4ac的大小。（1）当b=2c时，2ab=4ac，两种包法相同。（2）当b＜2c时，“3×4”的包法表面积最小。（3）当b＞2c时，“2×6”的包法表面积最小。

试一试2：如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？

例3：

一只集装箱，它的内尺寸是18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸是1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？

【思路导航】：因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数，所以，只能先在18×16×18的空间放货箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。这时还有18×2×18的空间，但只能在18×2×16的空间放货箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩下18×2×2的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160（只）。

18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）

=144+16

=160（只）

答：这只集装箱能装160只货箱。

试一试3：有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块？