数学归纳法上课

用上假设 递推才真
写明结论 才算完整
四、案例分析：
事实上，我们可以 用等差数列求和公
案例一： (缺少初始步)
式验证原等式是不 成立的！
设n∈N+，求证：2+4+6+···+2n=n2+n+1 ×
证明：假设当n=k时等式成立，即
缺乏“递推基础 ”
2+4+6+···+2k=k2+k+1,
那么,当n=k+1时，有
1
思考：你认为证明数列的通项公式 an n 是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
2、根据相似性，规范两步骤
分析：
类似地，把关于自然数n的命题 看作多米诺骨牌，产生一种符合
能够使游戏一直连续运行的条件： 运行条件的方法：
（1）第一张骨牌必须能倒下 （游戏开始的基础）
的值都是质数，提出猜想得Leabharlann Baidu的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
数学归纳法的概念
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确，
证明n=k+1时结论也正确
由（1）、（2）得出结论正确(命题成立)。
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 6
(k 1)(2k 2 7k 6) 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。
思考2：如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢？
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
(1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；
(2)假设n＝k时，等式成立，即
1+3+5+…+(2k-1)＝k2 需要证明的式子是?
那么当n＝k+1时，
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
连续运行。
n≥n。的自然数n都正确。
我们把以上证明关于自然数n的 命题的方法，叫做数学归纳法。
证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：
(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立
n0 N*, n0=1或n0=2或n0=3等 （基础） (2)假设当n k k N*, k n0 时,命题成立
2.3 数学归纳法
课题引入
观察数列{an },已知a1
a2
1 2
,
1 a3 3 ,
1, an1
a4
1 4
,
an 1 an
,
猜想归纳通项公式: an
1 n
不完全归 纳法
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学
家，他曾认为，当n∈N时，22n 一1定都是
质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N ，都有an (n2 5n 5)2 1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
在使用归纳法探究数学命题时，必 须对任何可能的情况进行论证后，才能 判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢？
2+4+6+···+2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立.
a1=1成立
…………………………………………….
假设第k张骨牌倒下 保证第k+1张倒下
假设ak=1/k成立,若证出 ak+1=1/(k+1)成立
…………………………………………….
第n张骨牌倒下
命题an=1/n成立
例2、用数学归纳法证明：当n k 1时，需要证明的式子是： 1 3 5 (2k 1) (2k 1) (k 1)2 1+3+5+…+(2n-1)＝n2
(1)证明当n取第一个值 n0时命题成立；
（递推基础）
（2）假若第k（k≥1）张能倒下 （2）假设n k(k N , k n0 )时 时，一定能压倒紧挨着它的 命题成立，再证明当n k 1时
第k+1张骨牌 （游戏继续的条件）
命题也成立。 （递推依据）
由（1）（2）知，游戏可以一直 由（1）（2）知，命题对于一切
例题3：用数学归纳法证明 n N
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么： 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
证明当 n k 1时,命题也成立（依据）
完成这两个步骤后, 就可以断定：
命题对从 n0 开始的所有正整数n都成立
这种证明方法叫做数学归纳法
例题1
例题1：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),
用数学归纳法证明：对所有的 正整数n,有an=1/n
类
骨牌倒下
命题成立
比
第1张骨牌倒下