202年全国初中数学竞赛试题及答案
2021年初三数学竞赛选拔试题(含答案)
初三数学竞赛选拔试题一、选择题: (每小题5分；共 35分)1 .2003减去它的21；再减去剩余的,31再减去剩余的,41……依次类推；一直减去剩余的,20031则最后剩下的数是（ B ） （A ）20031 （B ）1 （C ）20021（D ）无法计算2. 若 x 3+ax 2+bx+8有两个因式x+1和x+2；则a+b 的值是 ( D ) （A ） 7 （B ） 8 （C ） 15 （D ）213. ΔABC 的周长是24；M 是AB 的中点；MC=MA=5；则ΔABC 的面积是（ C ）（A ） 12 （B ） 16 （C ） 24 （D ）304. DE 为∆ABC 中平行于AC 的中位线；F 为DE 中点；延长AF 交BC 于G ；则∆ABG 与∆ACG 的面积比为 ( A )（A ）1：2（B ）2：3（C ）3：5（D ）4：75. 三角形三条高线的长为3；4；5；则这三角形是（ C ）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）形状不能确定6. 已知关于x 的方程022=+++m mx x 有不同的实数根；其中m 为整数；且仅有一个实根的整数部分是2；则m 的值 为（ A ） （A ）–2（B ）–3（C ）–2或–3（D ）不存在7. 在凸四边形ABCD 中；DA=DB=DC=BC ；则这个四边形中最大角的度数是（ A ）（A ） 120º （B ） 135º （C ） 150º （D ） 165ºC二、填空题: (每小题5分；共 35分)1. 若在方程 y(y+x)=z+120 中； x ；y ；z 都是质数；而z 是奇数；则x= 2 .y= 11 .z= 23 .2. 将 2003x 2-(20032-1)x-2003 因式分解得 (x-2003)(2003x+1) .3.正三角形ABC 所在平面内有一点P ；使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形；则这样的P 点有 10 个4.已知直角梯形ABCD 中；AD ∥BC ；AB ＝BC ；∠A ＝o 90；∠D ＝o 45；CD 的垂直_________________学区 ___________________中学 姓名_________________ 准考证号码_________________………………………………装………………………………订………………………………线………………………………平分线交CD于E；交BA于的延长线于F；若AD＝9cm；则BF＝9 cm；5.已知四边形的四个顶点为A（8,8）；B（－4,3）；C（－2；－5）；D（10；－2）；856则四边形在第一象限内的部分的面积是156.小明和小刚在长９０米的游泳池的对边上同时开始游泳；小明每秒游３米；小刚每秒游２米；他们来回游了１２分钟；若不计转向的时间；则他们交汇的次数是20。
2021年全国初中数学联合竞赛初二年级试题及参考答案
全国初中数学联合竞赛初二说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．若0x >，0y >=）A. 1B. 2C. 3D. 4【答】 B.已知等式可化为150x y -=，即0=，所以25x y =，于是58229yy===. 2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则BD CD ⋅＝（ ） A ．16 B ．15 C ．13 D ．12 【答】 D.作AH BC ⊥于点H ，则H 为BC 的中点，所以22()()()()BD CD BH DH DH CH DH CH DH CH DH CH ⋅=+-=+-=-22224212AD AC =-=-=.3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C .由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ ）A ．21B ．20C ．31D ．30 【答】 C.可以称出的重物的克数可以为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40，共31种.5．已知实数,,x y z1()2x y z =++，则xyz 的值为 （ ）A ．6B ．4C ．3D ．不确定 【答】 A .由1()2x y z =++可得2221)1)1)0++=，所以2,3,1x y z ===，6xyz =.6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ ） A ．1813 B ．2013 C ．2213D ．2413 【答】 D.设,,BC a AC b AB c ===，,,ME m MF n MP k ===. 由平行线的性质可得DE BC AE AC =，PQ CQ AB AC =，即()x b x n a b--=，x b n c b -=，所以11)1n x a b b +=+（，1x nc b=-，两式相加，得111)2x a b c ++=（，所以222411*********x a b c ===++++.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ ． 【答】 1-.4,1,63,12,()|3||2||1|2,23,4,3,x x x x f x x x x x x x x -≤⎧⎪-<≤⎪=-+---=⎨-<≤⎪⎪-≥⎩结合函数的图象知：当且仅当1a =-时，关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．GP C B【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ ． 【答】8.易知1n =，2n =均不符合题意，所以3n ≥，此时一定有22432432(2)2544261225n n n n n n n n n n ++=++++<++++， 22432432(4)29816261225n n n n n n n n n n ++=++++>++++，而432261225n n n n ++++为完全平方数，所以一定有43222261225(3)n n n n n n ++++=++，整理得26160n n --=，解得8n =（负根2n =-舍去）.第二试一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．解 222233(2)2(2)121(21)(1)44M a b a b b b a b b =-+-+++++=-++++，………………5分 注意到b 为正整数，所以2319(11)44M ≥++=，所以M 可能取得的最小整数值为5. ……………………10分当5M =时，223(21)(1)54a b b -++++=，故2217(21)(1)4a b b -+++=.…………………15分 因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且21(21)4a b -+=，所以1b =，12a =或32a =. ……………………20分二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB . 解 延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF .D又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . …………5分所以AE BM =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角形，于是有222BM BF MF +=. ……………………10分又在直角△CEF 中，有222CE CF EF +=.又由90EDF ∠=︒和DM ED =可得EF MF =， ……………………15分 于是可得222222CE CF BM BF AE BF +=+=+，所以222212BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分 又32BF CF -=，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此2222268100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分 三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac aba bcb ac c ab++=+++，求a b c ++的值.解 由2221222bc ac aba bcb ac c ab++=+++得2221111222111a b c bc ac ab++=+++. 设22a x bc =，22b y ac=，22c z ab =，则8xyz =，且1111111x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分即2222226a b c bc ac ab ++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《几何》真题大全 (附答案)
全国各地初中（九年级）数学竞赛专题大全竞赛专题7 几何一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于AB 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（ ）A ．4k =-，8b =B ．4k =-，4b =C ．2k =-，4b =D ．2k =-，2b =3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽△△，相似比为ABk DE=，那么k 的不同值共有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________． 6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______．7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________． 三、解答题8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2．10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧．12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率．13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n个不全共线的点，求证：存在一条直线l，它恰通过其中两个点．14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A，B，C，D为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A，B，C，D在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之．15．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于19．20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．（1）当30α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；（2）现需要倒出不少于33000cm的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．竞赛专题7 几何答案解析一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒【答案】B 【详解】解 设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人，y 人，z 人，于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z ．为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余．设共可组成k 件成品，则503020504020x y z k ===，即4,,3x k y k z k ===，从而4::1::13:4:33x y z ==．设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ，则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A B 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（ ）A ．4k =-，8b =B ．4k =-，4b =C ．2k =-，4b =D ．2k =-，2b =【答案】A 【详解】解 因函数y kx b =+的图象过点(1,4)P ，所以4,4k b b k =+=-，于是(4)y kx k =+-． 令0y =得4,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭． 令0x =得(0,4)B k -．连OP ，得 114122OABOAP OPBSSSOA OB =+=⨯⨯+⨯⨯ 14141(4)22k k k -=⨯⨯+⨯⨯- 11642k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．显然0k <．令k u =-，则0u >，于是116116442822OABSu u u u⎛⎫=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭．等号成立当且仅当16(0)u u u=>，即4u =，这时4,48k b k =-=-=． 故选A ．注：OAB 的面积也可用114(4)22OABk SOA OB k k-=⨯⨯=⨯⨯-算出． 3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽△△，相似比为ABk DE=，那么k 的不同值共有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】作图知与DEF 相似的三角形，而相似比不同的三角形只有如图所示的三种，故选C ．二、填空题4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．【答案】550(010)y x x =+<< 【详解】解 由DP x =得10PC x =-． 又12BF BE PC EC ==，即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+， 所以EFBAFPD y SS =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<． 故应填550(010)y x x =+<<．5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________． 【答案】1133．【详解】如图，设1O 的半径为8，2O ，3O 的半径为5，切点为A ．由对称性，能盖住这3个圆的最小圆形纸片的中心O 在对称轴1O A 上，且与已知三个圆内切．若设这个圆形纸片的半径为r ，则在12Rt O O A 中22221122(85)512O A OO O A =-=+-=，在2Rt OO A 中，25OO r =-，1112(8)OA O A OO r =-=--，25O A =，于是，由22222OO O A OA =+得222(5)5(128)r r -=+-+，由此解出4011333r ==，即所求圆形纸片的最小半径等于1133．6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______． 【答案】42π+【详解】如图，所覆盖面积2 114214222ABCS S S ππ=+=⨯⨯+⋅=+半圆．故答案为：42π+．7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________． 【答案】49【详解】解 要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖ABCDEF 的任何一边的距离不小于圆的半径63cm ，也就是圆碟的中心必落在与地砖ABCDEF 同中心且边与地砖边彼此平行、距离为63111111A B C D E F 内（图6－1）．作OG AB ⊥于G ，交11A B 于1G 且163cm GG =，所以33336183OG AB ====1118363123OG OG GG =-==而113OG =，所以1132433OA ===，故11124A B OA ==． 设正六边形ABCDEF 和111111A B C D E F 的面积分别为S 和1S ，则所求概率为22211122224243639S A B p S AB =====．故应填49． 三、解答题8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．【答案】9条，见解析 【详解】解法一：设最少要连n 条线段，如图4－3中7个点之间共连有9条线段，其中任意三点间必有两点连有线段，故9n ≤．另一方面，我们证明9n ≥，下面分4种情形讨论： （1）若7点中存在一点1A 不与其他6点237,,,A A A 连线，则依题意1A ，i A ，j A (27)i j ≤<≤中必有2点连线，于是只可能i A 与j A 连有线，即237,,,A A A 这6点中任意两点连有线，图中一共连了65152⨯=条线． （2）若7点中存在一点1A 只连出一条线段，设1A 仅与2A 连有线而与其余5点3A ，4A ，5A ，6A ，7A ，没有连线，则同（1）可知3A ，4A ，5A ，6A ，7A 这5点中任意两点连有线，至少连有54102⨯=条线．（3）若每点出发至少连出2条线，且有一点恰连出2条线．设该点为1A ，它连出的两条线为12A A ，13A A ，则不与1A 相连的4个点每两点连有线，要连4362⨯=条线，而2A 连出的线段至少2条，除21A A 外，至少还有一条，所以此时至少要连6219++=条线． （4）若每点至少连出3条线，则至少要连73102⨯>条线． 综上所述，最少要连9条线段．解法二：设7点中从1A 出发所连的线段最少，只有k 条，设它们是121311,,,k A A A A A A +，其余6k -个点126,,,k B B B -都与1A 没有连线，于是对任意2点i B ，j B (16)i j k ≤<≤-，由已知条件知1A ，i B ，j B 中必有2点连有线，而1A 与i B ，1A 与j B 没有连线，故只可能i B 与j B 连有线，即16,,k B B -中每点与其余5k -点连有线，于是从各点连出的线段数的总和不少于(1)(6)(5)k k k k ++--221030k k =-+．但上述计数中每条线段计算了2次，故图中所连线段至少为()21210302k k -+=22551522k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22151522⎛⎫⎛⎫≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1569=-=，即至少要连9条线段． 另一方面，如图4－3中，7点中连有9条线段时满足题设条件． 综上所述，最少要连9条线段．9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 【答案】见解析 【详解】分析 把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距离小于2），因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2，但不能太小），然后将余下的圆环部分8等分． 证明 设O 是已知圆心，如图，以O 为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ，若,M N 在小圆内，则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<． 若,M N 同在一个扇面形内，则由余弦定理，有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<．从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质（例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2），读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点．10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．【答案】见解析 【详解】证明 如图，以1A 为位似中心，以2:1为相似比作1M 的位似图形M ，则M 仍为凸五边形且1M 在M 内．下面我们证明2345,,,M M M M 都在M 内，例如先证4M 在M 内．设P 是4M 内任意一点，它是1M 内的点Q 经过平移得到的，于是14QP A A ∥，故14A A PQ 为平行四边形，又R 是14A A PQ 的两条对角线的交点，因Q 和4A 属于1M ，且1M 是凸五边形，故R 属于M ，而111,:2:1A R RP A P A R ==，故P 属于M ．又P 是M ，内任意一点，所以4M 包含在M 之内，同理235,,M M M 都包含在M 内，设12345,,,,M M M M M 及M 的面积分别为12345,,,,S S S S S 及S ，则2123451152S S S S S S S S ++++=>⋅=．于是，由图形重叠原理知，12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧．【答案】见解析 【详解】证明：我们称不超过120︒的弧为好弧．不妨设以1A 为端点的好弧最少，并且设它只有1n -条，它们是12131,,,n A A A A A A ，从而以231,,,n A A A -为端点的好弧都至少有1n -条，故以这n 个点为端点的好弧至少有1(1)2n n ⋅-条，除这n 个点外，其余21n -个点记为1221,,,n n A A A ++，从中任取两点,(121)i j A A n i j +≤<≤．因1i j A A A ，至少有一个内角不超过60︒，故11,,i j i j A A A A A A 中至少有一条弧不超过260120⨯︒=︒，根据1A 的取法，这条弧不能是1i A A 和1j A A ，而只能是j i A A ，即j i A A 是好弧．可见以1221,,,n n A A A ++中任意两点,(121)i j A A n i j +≤<≤为端点的弧都为好弧．这样的好弧有1(21)(20)2n n ⋅--条．综上所述知好弧至少有2211213991399(1)(21)(20)100222424y n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅--=-+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭条．当10n =或11时，y 取到最小值100，于是结论成立．12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率． 【答案】59 【详解】解 我们用,x y 分别表示,A B 到达的时刻，而两人能会面的充分必要条件为20x y -≤，其中060,060x y ≤≤≤≤．我们用平面直角坐标系中的点(),x y 表示,A B 到达的时刻（从中午12点以后算起，以分为单位），于是所有可能结果是一个边长为60的正方形OABC ．代表能够会面的点都落在图中画有阴影线的区域H 内（图6－2），于是21260240402H ADE OABC S S S =-⨯=-⨯⨯⨯正方形 226040=-，故两人能会面的概率为22226040251()6039HOABC S p S -===-=正方形． 答：两人能会面的概率等于59． 13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n 个不全共线的点，求证：存在一条直线l ，它恰通过其中两个点．【答案】见解析【详解】证明：平面上只有有限点，过每两点作一直线只有有限点直线，每条直线与不在这条直线上的点（由已知条件知这样的点必存在）配成对，则这样的点只有有限个，每个点线对中都有该点到直线的距离，记这些距离最小的点对为(,)P l ，则l 为所求．实际上，设l 上有不少于3个给定的已知点，则过P 作PA l ⊥于A （如图），则在l 上A 的某一侧（包括A ）必有2个已知点，设为,M N （M 可能与A 重合，连PN ，并M 作MQ PN ⊥于Q ，过A 作AR PN ⊥于R ，则MQ AR AP d ≤<=，这与AP d =最小矛盾，于是结论得证．注 本题是英国著名数学家希尔维斯特(J.J. Sylvester)在其逝世前不久提出的一个有趣的问题．这个貌似简单的问题，当时困扰过不少的数学家，并且这状况持续350年之久，直到1933年，伽莱(T. Callai)给出了一个非常复杂的证明．不久以后，凯里(L. M. Kelly) 才给出上述很简单的证明，其证法的关键就是利用极端原理．14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A ，B ，C ，D 为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A ，B ，C ，D 在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之． 3 【详解】注意最不利的情形点A 、B 、C 、D 中有3点构成边长等于1的正三角形，覆盖此三角形的圆的半径不小33 （1）A 、B 、C 、D 共线，这时4点在一条长度不超过1的线段内，结论显然成立；（2）A 、B 、C 、D 中有3点（例如A 、B 、C ）构成一个三角形，第4点D 在此三角形内，不妨设60C ∠≥︒，以AB 为弦作圆O ，使AB 所对的弓形弧（含C 的一侧）为60︒，则此圆O 覆盖A 、B 、C 、D 4点．作此圆直径2AE R =，则22222(2)1R R AE BE AB -=-=≤，即3R ≤，故A 、B 、C 、D 4点被一个半径不大3 （3）A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的4个顶点，则A C ∠+∠，B D ∠+∠中必有一个不小于180︒，不妨设180B D ∠+∠≥︒，同（2）可证ABC 的外接圆半径3≤180B D ∠+∠≥︒知D 点也在这个圆内或圆周上，故A 、B 、C 、D 3 315．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD 中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．【答案】见解析【详解】四边形的4个内角中至少有一个90≥︒，不妨设90A ∠≥︒，以对角BD 为直径的圆O 必覆盖ABD △．若90C ∠≥︒，圆O 覆盖四边形ABCD 结论成立，若90C ∠>︒，则C 在圆外，圆O 与CD 、CB 中至少一条线段相交，不妨设圆O 与CD 交于E ，于点分别以BD 、BC 为直径的两个圆覆盖四边形ABCD ．16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）因为对于半径为1的圆，边长为1的正三角形至多盖住60︒的弧，边长为1的正方形至多盖住90︒的弧，边长为1的正五边形至多盖住120︒的弧（因边长为1的正五边形对角线的长<边长为1的正六边形对角线的长3=，而6090120360︒+︒+︒<︒，所以甲、乙、丙合起来不得盖住半径为1的圆．（2）如图所示，用甲、乙、丙、丁合起来可盖住半径为1的圆．17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．【答案】见解析【详解】分析 与证明设半径为6的大圆O 内任意放入6个半径为1的小圆，则小圆圆心都在以O 为中心，615-=为半径的圆内．如果大圆内无论怎样再放入一个半径为1的小圆7O ，都要与6个小圆中某个(16)i O i ≤≤重叠，那么7112i O O ≤+≤，即半径为5的圆将被6个半径为2的圆所覆盖．由图形重叠原理知6个小圆的总面积将不小于半径为5的圆的面积．但实际上226224255ππππ⋅=<=⋅，得到矛盾，于是命题得证．注：本例的证题关键是将外圆缩小，而将里圆扩大，这是解决嵌入问题的一种技巧，即收缩与膨胀技巧或裁边与镶边技巧．18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设4张圆形纸片是(1,2,3,4)k O k ，其中1O ，2O ，3O 有公共点1A ，1O ，2O ，4O 有公共点2A ，1O ，3O ，4O 有公共点3A ，2O ，3O ，4O 公共点4A ．（1）若1A ，2A ，3A ，4A 共线（如图顺序），因为1A ，3A 都是圆形纸片1O 与3O 的公共点，故线段13A A 在圆形纸片1O 与2O 的公共部分内，又24A A 都是圆形纸片2O 与4O 的公共点，故线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以线段23A A 上任意一点都是这4张圆形纸片的公共点．（2）若1A ，2A ，3A ，4A 中有一点在以其余3点为顶点的三角形的边界上或内部（如图）．因为1A ，2A ，3A 都在1O 内，故123A A A △被圆形纸片1O 所覆盖，从而4A 在圆形纸片1O 内，而4A 是圆形纸片2O ，3O ，4O 的公共点，所以4A 是这张圆形纸片的公共点．（3）若1A ，2A ，3A ，4A 是一个凸四边形的4个顶点（如图），同上可知线段13A A 在圆形纸片1O 与3O 的公共部分内，线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以13A A 与24A A 的交点是这4张圆形纸片的公共点．总之，这4张圆形纸片一定有公共点．19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于19． 【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】从给定圆中选出半径最大的圆1O ，其半径为1r ，面积为1S ，则与圆1O 有重叠的圆连同圆1O 一起覆盖的面积()211139M r S π≤=，即1119S M ≥．然后去掉与圆1O 重叠的圆，再从剩下的圆（圆1O 除外）选出半径最大的圆2O ，其半径为2r ，并将与圆2O 有重叠的圆去掉．这样经过有限步可得有限个两两不重叠的圆1O ，2O ，…k O ，它们覆盖的面积为()12121199k k S S S M M M ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=． 20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设正方形ABCD 的边长为5，先放置一个边长为4的正方形CEFG ，其中C 为原正方形ABCD 的一个顶点，E 在边CD 上，F 在正方形ABCD 内，G 在边CB 上．连AF ，再放置第二个边长为4的正方形111AB C D ，其中A 是原正方形的一个顶点，且使D 在射线11D C 上（如图），由勾股定理有：2211D D AD AD =-2211543D C =-=<．故D 在线段11D C 内，且1111431C D D C D D =-=-=．设11B C 与CD 交于H ，则1541DE CD CE DC DH =-=-==<，故E 在线段DH 内，从而E 被正方形111AB C D 覆盖．又11145B AD B AC FAD ∠>∠=︒=∠，即AF 在1B AD 内，且1224AF DE AB ==，故F 也被正方形111AB C D 覆盖，这就证明了梯形AFED 可以被一个边长为4的正方形111AB C D 所覆盖．同理，梯形AFGB 也可以被一个边长为4的正方形222AB C D 所覆盖，于是正方形ABCD 可被3个边长为4的正方形所覆盖． 21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．（1）当30α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；（2）现需要倒出不少于33000cm 的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．【答案】（1）不会溢出，理由见解析；（2）不能实现要求，见解析．【解析】【分析】【详解】（1）当30α=︒时，如图a ，过C 作//CF BP 交AD 所在直线于F ．在Rt CDF △中，20330,20cm,30cm FCD CD DF ∠=︒==<，所以点F 在线段AD 上，20330AF =此时容器内能容纳的溶液量为()3 ()203320203030201040003cm 2ABCF AF BC AB S ⎛⎫⎛+⋅=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭梯形．而容器中原有溶液量为()32020208000cm ⨯⨯=．因为3400038000⎛> ⎝⎭，所以当30α=︒时溶液不会溢出． （2）如图b ，当60α=︒时，过C 作//CF BP 交AB 所在直线于F ．在Rt CBF △中，30cm 30BC BCF =∠=︒，，10320cm BF =<，所以点F 在线段AB 上，故溶液纵截面为Rt BFC △．因211503cm 2BFC S BC BF =⨯⨯=，容器内溶液量为315032030003cm =，倒出的溶液量为3(80003)3000cm -<，所以不能实现要求． 22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．【答案】0.879．【解析】【分析】【详解】设自当天零时算起，甲、乙两船到达码头的时刻分别是x 和y ，则必须024,024x y ≤≤≤≤．我们视(),x y 为平面直角坐标系内的点，于是点(),x y 落在一个面积为224S =的正方形OABC 的内部或边界上（如下图）．如果轮船不需要等候码头空出，那么当船甲先到时，船乙应迟来1个小时以上，即1y x -≥，即1y x ≥+；当船乙先到时，船甲应迟来2个小时以上，即2x y -≥，即2y x ≤-，即点(),x y 应在直线1y x =+的上方且在直线2y x =-的下方，也就是点(),x y 应在如图所示的两个三角形ADE 和CFG △中某一个的内部或边界上，故所求概率ADE CFGABCD S S p S +=四边形．而24123,24222CG CF AD AE ==-===-=，所以211222223231103220.879241152p ⨯⨯+⨯⨯===． 答：两船中任何一艘都不需要等候码头空出的概率为0.879．23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．【答案】14【解析】【分析】【详解】解 设其中两条线段的长为,x y ，则第3条线段的长为()a x y -+，于是,x y 的取值范围是0,0,0,0,0()0.x a x a y a y a a x y a x y a ⎧<<<<⎧⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪<-+<<+<⎩⎩ ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于2a ，即 0,0,220,0,220().22a a x x a a y y a a a x y x y a ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<<+<⎪⎪⎩⎩ ②将(),x y 视为平面直角坐标系的坐标，则满足条件①的点(),x y 在以()()()0,0,,0,0,O A a B a 为顶点的OAB 内．而满足条件②的点(),x y 在以(,),(0,),,0()2222a a a a C D E 为顶点的CDE △内，故所求概率为11222142CDE OAB a a CD DE Sp S a a OA OB ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯．答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为14． 24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．【答案】见解析【解析】【分析】如图：证明P ，A ，B ，C 四点共圆．可得CBE APC ∠=∠．①，证明C ，E ，B ，H 四点共圆，可得CHE CBE ∠=∠．②，证明C ，H ，F ，P 四点共圆，可得180APC CHF ∠=︒-∠．③，由①②③代换可得180CHE CHF ∠+∠=︒．可得结论；【详解】如图，延长BH 与直线AD 相交于点P ，连接CP ．因为45DAC ∠=︒，BP AC ⊥，所以45BPA ∠=︒．又45BCADAC∠=∠=︒，所以BPA BCA ∠=∠，于是P ，A ，B ，C 四点共圆．所以CBE APC ∠=∠．①连接CE ，由AC 为圆直径，得90CEA CHB ∠=︒=∠，所以C ，E ，B ，H 四点共圆，于是CHE CBE ∠=∠．②连接CF ，由AC 为圆直径，得90CFP CHP ∠=︒=∠，所以C ，H ，F ，P 四点共圆，于是180APC CHF ∠=︒-∠．③由②，①，③，得180CHE CBE APC CHF ∠=∠=∠=︒-∠，所以180CHE CHF ∠+∠=︒．所以E ，H ，F 三点共线．【点睛】本题考查了圆内接罩边形的判断及性质，难度较大，解题的关键是构造圆内接四边形．。
全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案湖北
2021年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北)（时刻：120分钟总分值：120分）一．选择题（每题6分，共36分）1．如图，将Rt△ABC绕其直角极点C按顺时针旋转90º后取得Rt△DEC，连接AD，假设∠B＝65º，那么∠ADE＝( )． A. 30º B. 25º C. 20º D. 15º第6题图第1题图MAabEAB DC2．有甲、乙、丙三个不透明布袋，里面都装有数量相同的玻璃球，这些球只有颜色不同．已知甲布袋中黑球占袋内总球数的14，乙布袋中没有黑球，丙布袋中黑球占袋内总球数的712．现将乙、丙布袋内的球全数倒入甲布袋中，再从甲布袋中任取一个球，那么掏出黑球的概率是（）．A.56 B.512 C.518 D.7483．反比例函数kyx=的自变量x知足12≤x≤2，函数值y知足14≤y≤1，那么k的值为（）．A.12 B.12或2 C.12或18D. 2或184．是关于x的一元二次方程2()7a x b-=(0a≠)的两根，那么ba的值为（）．A.18 B. 8 C. 2 D.925．如下图的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同窗在此坐标平面上画了二次函数221y mx mx=++的图象如图，那么下面结论正确的选项是（）．A. a为x轴，c为y轴 B.a为x轴，d为y轴C. b为x轴，c为y轴D.b为x轴，d为y轴6. 如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于C，圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的双侧，且使得MC＝MD＝AC．现有以下结论：(1)MD与⊙O相切; (2)四边形ACMD是菱形; (3)AB＝MO; (4)∠D＝120º．其中正确的结论有（）个．A. 4 B. 3 C. 2 D. 1二．填空题（每题6分，共36分）7. 假设方程280x x m -+=有一个根是a ,方程280x x m +-=有一个根是－a ,则a ＝ ．8. 如下图为一个电路图，在该电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个灯泡○×，此刻任意闭合其中两个开关，灯泡能够发光的概率为 ．第8题图第9题图ADBC9. 如图为一个玉石饰品的示用意，与中心在同一平面上的A 、B 为外圆上的两点，且AB 与内圆相切于C 点，过C 作CD ⊥AB 交外圆于D ，且AB ＝24cm ，CD ＝6cm ，那么外圆的直径是 cm ．10. 已知二次函数2(21)1y kx k x =+--的图象与x 轴交于1(,0)A x 、2(,0)B x ，1x ＜2x ，现有以下结论：①方程2(21)10kx k x +--=有两个不相等的实数根；②当x ＝-2时，y ＝1;③当x ＞2x时，y ＞0; ④AB =．其中正确结论的序号是 ． 11．如图，在△ABC 中，AB ＝30cm ，AC ＝20cm ，以BC 为边作等边△BCD ，连接AD ，那么AD 的最大值与最小值的和是 ．第11ABCD12．如图，△AOB 中为等边三角形，点B 的坐标为（－1，0），过C （1，0）作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，E 在反比例函数ky x=的图象上，且△ADE 的面积和△DOC 的面积相等，那么k ＝ ．三．解答题（每题12分，共48分）13．关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k -++=≠． (1)求证：方程有两个实数根；(2)假设方程的两个实数根都是整数，求正整数k 的值．14．如图是四张卡片A 、B 、C 、D 的正面图案，它们的反面都相同，此刻将这四张卡片反面朝上洗匀，先摸出一张，记下正面的图案后放回，再次洗匀后又摸出一张． (1) 用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性； (2) 求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率．A15. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30º,∠ABC＝90º,延长BC到点O，使得OC＝BC，以点O为圆心，以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D，连接BD．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AB＝ 3 ，求图中阴影部份的面积（结果保留π）.ACOBD16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于C，且OC＝OB＝2OA＝2．（1）求此二次函数的解析式及极点D的坐标；（2）过BD上一点E作EF⊥x轴于F，当E在线段BD上运动时（不与B、D点重合），设EF＝t，四边形ACEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右边的抛物线上是不是存在点G，使得△ACG为直角三角形，假设存在，求出点G的坐标；假设不存在，说明理由．xBEAD OyC参考．．答案（原文在不阻碍题意时局部有编辑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCABDA 0,8 1/230 ①②60－3 3 /1613.(1) 2(2)k ∆=-≥0; (2) 122(2)(1)01,kx x x x k--=⇒==,1,2k =±±，1,2=k 14.(1) …, (2) 14，（说明：此题官方解答是1/16）; 15.(1)…,(2) 326π- 16.(1) 2192,(,)24y x x D =---;(2) 21193,(0)334S t t t =-++<<;(3) 125735(,),(,)2424G G -第11题 将∆ABC 绕B 点顺时针旋转60º，得∆A'DC ，连A'A ，在∆A'AD 中，－A'D AA'≤AD ≤＋A'D AA'（取等号时是A 、A ‘、D 三点共线）， －AB AC ≤AD ≤＋AB AC ， 即 10＝30－20≤PC ≤30＋20＝50．12． 应用等积转换，也较基础，BOD COD ADE S S S ∆∆∆==，BCE AOB S S ∆∆=，设(,)E a b ，那么22312=b ，那么34=b ，又13(2-A ，故E 为AB 的中点，33(,44-E ，即可得k ．15．解：(1)连接OD ，∵30A ∠=，90ABC ∠=， ∴60OCD ACB ∠=∠=，∵OC OD =，∴OCD ∆为等边三角形， ∴CD OC BC ==，∴1302CDB CBD OCD ∠=∠=∠=，∴603090ODB ∠=+=，∴OD BD ⊥， ∵OD 为半径，∴BD 与O 相切．(2)∵30A ∠=，30CDB ∠=，90ABC ∠=，AB =∴BD =2AC BC =，∴2222BC BC +=（）， ∴1BC =， ∴1OD =，∴阴影部份的面积为21601123606OBD OCD S S ∆ππ-=-⨯π⨯扇形．16．解：(1)由题意(1,0)A -，(2,0)B ，(0,2)C -，设二次函数的解析式为(1)(2)y a x x =+-，那么2(01)(02)a -=+-，解得1a =， ∴22y x x =--，极点为19(,)24D -．(2)点(2,0)B 、19(,)24D -所在的直线方程为332y x =-，∴2(2,)3E t t --，其中904t <<，∴211211=12+(2)(2)322333AOC OCEF S S S t t t t ∆=+⨯⨯⨯+⨯-=-++梯形，即211333S t t =-++，其中自变量t 的取值范围是904t <<．(3)存在点157(,)24G 和235(,)24G -使得ACG ∆为直角三角形．设点G 的坐标为2(,2)G m m m --，则2222()365AG m m m m =--++，2222()CG m m m =+-，2AC ①若AG 为斜边，那么222AG CG AC =+， 即222222()365()5m m m m m m m --++=+-+， 解得0m =(舍)，或32m =，现在点35(,)24G -； ②若CG 为斜边，那么222CG AG AC =+， 即222222()()3655m m m m m m m +-=--+++， 解得1m =-(舍)，或52m =，现在点57(,)24G ； ③若AC 为斜边，那么222AG CG AC +=， 即222222()365()5m m m m m m m --++++-=，解得0m =(舍)，或1m =-(舍)，或m 无解，现在点G 不存在，综上，存在点157(,)24G 和235(,)24G -使得ACG ∆。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《不等式》真题大全 (附答案)
全国初中（九年级））数学竞赛专题大全竞赛专题5 不等式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100B ．112C ．120D ．1502．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 394041 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个B ．64个C ．72个D ．81个5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004B ．2005C ．2006D ．20079．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．23．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<． 26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗?28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克?38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？竞赛专题5 不等式答案解析 （竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100 B ．112C ．120D ．150【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由已知不等式得13156767,,787878n k k n nk n n +<<<<<<．因由已知条件，67n 与78n 之间只有 唯一一个整数k ，所以76287n n-≤解得112n ≤．当112n =时，9698k ≤≤，存在唯一97k =，所以n 的 最大值为112．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】依题意得27077321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩或且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 39 40 41 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设穿39码和40码的学生分别有x 人和y 人，则()2052310x y +=-++=．（1）若y x ≥，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A 错；（2）若5x y ==，则中位数1(3940)39.52=+=，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B 错；（3）平均数[]13853940(10)41342239.75220xp x x =⨯++⨯-+⨯+⨯=-，且010x ≤≤，于是39.2539.75p <≤，满足3940p ≤≤，故选C 正确．所以应选C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个 B ．64个 C ．72个 D ．81个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解 因98ax b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩中x 的整数值仅为1，2，3，所以01,34,98a b <≤<≤即9a <≤， 2432b <≤，故a 可取1，2，…，9这9个值，b 可取25，26，…．32这8个值，所以有序对(),a b 有8972⨯=个．故选C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解 由054ax ≤+≤得51ax -≤≤-，且已知0x >，所以0a <，15ax a ≤-≤-． 又不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，所以101a <-≤，且545a≤-<解得 1a ≤-且5114a -<-≤，故514a -≤<-，所以选C ．6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】选C ．理由：由20094941=⨯，得200941= 又0x y <<2009200941641241541341441===20094114761641025369656===因此，满足条件的整数对(,)x y 为(41,1476),(164,1025),(369,656)．共有3对．7．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=， ① 且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ． ②由式①②解得2500267,2500267.x k y k =+⎧⎨=-⎩ 考虑到x ，y 均为四位数，于是，100025002679999,100025002679999,k k ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩解得126755832500625k ≤≤． k 可取1，2或3．从而，x 可取的值有3个：2767，5267，7767．8．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004 B ．2005C ．2006D ．2007【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 （算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了2180360⨯︒=︒，剪过k 刀后，可得(1)+k 个多边形，这些多边形的内角总和为360360(1)360k k ︒+⨯︒=+⨯︒．另一方面，因为这1k +个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为34(622)1802040180⨯-⨯=⨯︒︒，余下的多边形（包括三角形）有13433k k +-=-个，其内角总和至少为(33)180k -⨯︒，于是(1)3602040180(33)180k k +⨯︒≥⨯︒+-⨯︒，解得2005k ≥．其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和3358⨯个三角形，于是共剪了583333582005++⨯=（刀），故选B ．9．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 由已知条件及加法的单调性得1126352251124c c a b c c c a a a b c a a b b a b c b b ⎧+<++<+⎪⎪⎪+<++<+⎨⎪⎪+<++<+⎪⎩，即1736582371524c a b c c a a b c a b a b c b ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪<++<⎪⎩①②③由①，②得17816176366c a b c a a a <++<=< （传递性），所以a c >． 由①，③得7673222b a bc c c c <++<=< （传递性），所以b c <．可见，a ，b ，c 的大小关系是a c b >>，故选B ． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：因111221r r r ≥<+=+，故 ()(111a b r r r r r r =+<=+++， 1111r r r r c b r r r x +-+->=+⋅+．所以c b a >>． 故选：D ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 【答案】17 【解析】 【分析】 【详解】由已知条件得32,57a b b a >>．令32,57A a b B b a =-=-，则A ，B 均为正整数，解出52,737310a A B b A B =+=+≥+=．当1,1A B ==时等号成立，故b 的最小值为10，这时527a =+=，17a b +=．故应填17．12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______． 【答案】 4352【解析】 【分析】 【详解】 434370222y x ++≤=≤=． 又243x y -=所以24433x x x y x -+-=-=．故当0x =时，x y -取最小值43；当72x =时，x y -取最大值175(4)322+=所以应填45,32．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】 【详解】 因122902303030a a a <+<+<<+<，所以1229,,,303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦每一个等于0或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以12111213290,1303030303030a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是111201,123030a a <+<≤+<，解得1183019,61063a a ≤<≤<所以[]106a =．故应填6． 14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________． 【答案】23x ≤≤ 【解析】 【分析】 【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 【答案】334 【解析】 【分析】 【详解】解 设[]6n m =则(01)6na a m =≤+<从而66n m a =+．当102a ≤<时， 22(021)3n m a a =+≤<，故23n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．于是由362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得662332m a m m m a ++==+，从而0a =．此时(6204)06133n m m =<≤≤． 当112a ≤<，223n m a =+由212222m m a m +≤+<+得213n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦代入 362n n n ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得2133m m m a ++=+，得13a =，与112a ≤<矛盾，舍去． 故所有的n 共有334个．16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________． 【答案】67a a x -<<（当0a >时）；76a ax <<-（当0a <时）；无解（当0a =时）．【解析】 【分析】 【详解】解 原不等式化为()()670x a x a +-<，方程()()670x a x a +-=的两根为6a -和7a．若0a >，则67a a -<不等式的解为67a ax -<<； 若0a <，则76a a <-不等式的解为76a a x <<-； 若0a =，则67a a-=，不等式无解． 故应填：67a a x -<< （当0a >时）; 76a ax <<-（当0a <时）;无解（当0a =时）． 17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________． 【答案】196 【解析】 【分析】 【详解】理由：设k 是m ，n 的最大公约数，则m 和n 可以表示为,m ka n kb ==（1k >，a ，b 均为正整数）．于是，()3323()371753m n ka kb k k a b +=+=+==⨯．因为1k >且7与53都是质数，23232k a b k a k k +>≥>， 所以7k =且2353k a b +=，即34953a b ⨯+=．由a ，b 是正整数，得1,4a b ==． 所以7,28m n ==．故728196mn =⨯=．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本． 【答案】109 【解析】 【分析】 【详解】设100名学生捐书数分别是12100,,,a a a ，不妨设其中100a 为最大，于是100101000a +=()129100a a a a +++++()101118100a a a a ++++()192027100a a a a +++++(91a +++)9299100a a a +++190190190≤+++111902090=⨯=，所以100109a ≤．另一方面，当12999a a a ====，100109a =时，满足题目要求，故捐书最多的人最多能捐书109本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 【答案】 329 335或334 【解析】 【分析】 【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？ 【答案】宾馆的底楼有客房10间 【解析】 【分析】 【详解】设底楼有x 间客房，则2楼有()5+x 间客房． 简4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩依题意可得不等式组解不等式组得9.611x <<．又x 为正整数，所以10x =． 答：宾馆的底楼有客房10间．21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层? 【答案】这座大楼最多有5层【解析】 【分析】 【详解】设大楼有n 层，则楼层对的个数为(1)2n n -每架电梯停3层，有3232⨯=个楼层对， 所以(1)43,(1)242n n n n -⨯≥-≤，且n 为正整数，所以5n ≤．设置4部电梯使它们停靠的楼层分别为 ()()()()1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,3满足题目要求，故这座大楼最多有5层．22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．【答案】4x =-或45【解析】 【分析】 【详解】原方程中显然0x ≠，故原方程可化为2241()2x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．又2222221()21()2()1x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故原方程可化为224[()]1x x=+，所以4x 为整数，设4n x =（n 为整数），原方程又化为2[]14n n =+．于是2124n n n +≤<+，即222(12)2(12)440,2(13)2(12)4802(13)2(13)n n n n n n n n ⎧≤≥+⎧--≥⎪⇒≤≤⎨⎨--<<<⎩⎪⎩或 或．2(12)2(13n <<）．又n 为整数，所以1n =-或5n =，故4x =-或4523．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】设[]x x α=-，则01a ≤≤，于是存在小于n 的正整数r ，使1r rn nα-≤<故[][]1r rx x x n n-+<<+， 故当0k n r ≤≤-时，[][][][]11r k r n rx x x x x n n n n--≤+≤+<++=-， 故[](0)k x x k n r n ⎡⎤+=≤≤-⎢⎥⎣⎦当11n r k n -+≤≤-时，[][][][][]1111111r n r k r n r x x x x x x n n n n n n--+--+=++≤+<++=++<+， 故[]1(11)k x x n r k n n ⎡⎤+=+-+≤≤-⎢⎥⎣⎦，于是[]1111[]()(n n r n r x x x x x x x n n n n n ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][]21)(1)(1)(1)[]1n r n x x n r x r x n x r n n -+-⎡⎤⎡⎤++++=-++-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦①． 又因为[][]1n x r nx n x r +-≤≤+，所以[][]1nx n x r =+-②． 由①及②便知要证等式成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)1(1)22a a a a +--≤=11(1)(1)22b bc c --≤三式平方后相乘得 31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⋅-⋅-≤故()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明； 2ay bz cx k ++<． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因10abc =，故a ，b ，c 都不为零．又2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=且2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<，于是1110bc ca ab a b c abc++++=<． 27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗? 【答案】（1）50；（2）60%；（3）15人；（4）正确 【解析】 【分析】 【详解】（1）职工人数47911106350=++++++=；（2）年龄不小于38但小于44岁职工人数占职工总数的百分比为91110100%60%50++⨯=； （3）年龄在42岁以上职工人数()1063415=++-=（人）； （4）设该厂职工的年龄平均值为n ，则11(34436738940114210446463)199239.84395050n ≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=>且11(36438740942114410466483)209241.84425050n <⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=<，故所作的估计是正确的．28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？ 【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合的价格． 【解析】 【分析】 【详解】解 设玫瑰每支x 元，百合每支y 元，依题意得632445242x y x y +>⎧⎨+=-⎩①② 32⨯-⨯②①得918y <，故2y <． 53⨯-⨯①②得1854x >，故3x >．答：2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 【答案】8313x ---≤≤【解析】 【分析】 【详解】解 首先，由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩得31x -≤≤．1132x x -≥+① 数上式两边均非负（当31x -≤≤时），两边平方后，整理得 9843x x --≥+②于是980x --≥，即98x ≤-结合31x -≤≤得938x -≤≤-．并且②式两边平方，得2(98)16(3)x x ≥--+，整理得264128330x x ++≥．③因方程264128330x x ++=的两根为1,2831x -±= 所以③的解为831x --≤或831x -+≥结合938x -≤≤-得原不等式的解为8313x ---≤≤30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 【答案】1144x -<<或364x -<<634x <【解析】 【分析】 【详解】解 不等式两边乘以4，化简为5115(1)(1)(1)(1)43414143x x x x +-->+--++-- 移项、整理得22151169161x x ->--，移项、通分得2224(646)0(169)(161)x x x -<--， 可化为222(646)(169)(161)0x x x ---<，即222139()()()0163216x x x ---<． 如右图得2116x <或2393216x <<，解得1144x -<<或364x -<<634x <<31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 【答案】15 【解析】 【分析】 【详解】因n ，k 为正整数，所以0,0n n k >+>． 由题中不等式得151387n k n +>>，即1513187k n >+>所以7687k n >>，故76,87k n k n ><． 令760,780A k n B n k =-≥=-≥，可解出87,76n A B k A B =+=+． 又因为A ，B 均为正整数，1,1A B ≥≥，所以8715n ≥+=．当且仅当1,1A B ==时n 取最小值15，这时k 有唯一值716113⨯+⨯=． 故所求n 的最小值为15．32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．【答案】41x -≤<-或4x <-或15x ≥．【解析】 【分析】 【详解】解 移项，通分整理得1020(1)(4)x x x -+≤++故得（Ⅰ） 1020(1)(4)0x x x -+≥⎧⎨++<⎩，或（Ⅱ）1020(1)(4)0x x x -+≤⎧⎨++>⎩．解（I ） 1541x x ⎧≤⎪⎨⎪-<<-⎩，∴41x -≤<-． 解（Ⅰ）1541x x x ⎧≥⎪⎨⎪--⎩或∴4x <-或15x ≥． 综上所述得，原不等式的解为41x -≤<-或4x <-或15x ≥．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 【答案】1x <-或1x > 【解析】 【分析】 【详解】解 移项通分得(21)(1)(3)(1)0(1)(1)x x x x x x -+-+->-+，即220(1)(1)x x x x -+>-+． 因22172()024xx x，故上述不等式化为()()110,1x x x -+>∴<-或1x >. 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 【答案】3a =【解析】 【分析】 【详解】解 依题意，1,7--是方程28210ax ax ++=的两个根，且0a >，由韦达定理得 2(1)(7)a-⨯-=，所以3a =． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数． 【答案】18或20． 【解析】 【分析】 【详解】（1）当16x ≤时，平均数为564x x +=，中位数为2016182+=．由56184x+=，解得16x =，满足16x ≤；（2）当1620x ≤≤时，平均数564x x +=，中位数为202x +．由562042x x++=，解得16x =，不符合1620x <<；当20x ≥时，平均数为564x x +=，中位数为2020202+=．由56204x+=，解得24x =，符合20x ≥．因此，所求中位数为18或20．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环） 【答案】第10次至少要射9.9环 【解析】 【分析】 【详解】设前9次射击共得x 环，依题意得1(9.08.48.19.3)95x x -+++>，解得78.3x <，故78.30.178.2x ≤-=．依题目要求，第10次射击至少要达到的环数为()8.8100.178.29.9⨯+-=（环）． 答：第10次至少要射9.9环37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用49g ，最少可用35g 【解析】【分析】【详解】设3种盐水应分别取,,xg yg zg ，1005%8%9%1007%060060047x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⨯⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，解得20043100y x z x =-⎧⎨=-⎩所以02004600310047x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩， 解得3549x ≤≤．答：甲种盐水最多可用40g ，最少可用35g ．38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设[],[]x x y y n αββ=+=+=+，其中0,1αβ≤<，m ，n 为整数．（1）若110,022αβ≤<≤<，则021,021,01αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]22x y m m m n αβ+=+++=+，[][][]x x y y +++[][()()][]m a m n n αββ=+++++++()22m m n n m n =+++=+，所以[2][2][][][]x y x x y y +=+++．（2）若111,122αβ≤<≤<，则122,122,12αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]2121x y m n m n αβ+=+++=+++222m n =++，[][][][][()()][]x x y y m m n n ααββ+++=+++++++()1221m m n n m n =++++=++．所以[2][2][][][]x y x x y y +>+++．（3）若110,122αβ≤<≤<（111,022αβ≤<≤<的情况类似），这时有021α≤<，13122,22βαβ≤<≤+<，这时有[2][2][22][22]221x y m a n m n β+=+++=++，[][][][()()]221x x y y m m n a n m n β+++=+++++++．综上所述，不论何种情况，都有[2][2][][][]x y x x y y +≤+++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）【答案】第10次最少要得9.9环．【解析】【分析】【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ② 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由②得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环．40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++． 【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (0,0)2a b ab a b +≥≥得 []()()()()11()2()()2()()x x y x z x x y x z x x x y x z x y x z x y x z +++++=⋅=+++++++①． 1()2()()y y y x y zy x y z ≤+++++②． 1()2()()z z z x z yz x z y ≤+++++③由①+②+③即得要证不等式． 41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？【答案】（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．【解析】【分析】【详解】解 （1）设该厂每天生产A 种矿泉水x 吨，则该厂每天生产B 种矿泉水10x +吨，依题意得()200100102000x x -+=，解得30,1040x x =+=．（2）设该厂每天生产A 吨矿泉水y 吨，依题意得该厂每天共生产30401080++=吨矿泉水且()10000200100808000y y ≥+-≥，其中100002003010040=⨯+⨯为该厂原来每天获得的利润，解上述不等式得020y ≤≤．答：（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．【答案】0m ≥【解析】【分析】【详解】解 ①化为()()120x x --<，故①的解为12x <<．②化为()()1210m x x ⎡⎤⎣⎦-+-<．③（1）当1m =，③为()210x -<，即1x <，符合题意．（2）当10m ->，即1m 时，③的解为211x m -<<-符合题意． （3）当10m -<，即1m <时，又分两种情形讨论： 若211m <-，即1m <-时，③的解为21x m <-或1x >，不符合题意; 若211m >-，即1m >-时，③的解为1x <或21x m>-． 要使①与②无公共解，必须221m ≥-即0m ≥，结合1m <得01m ≤<． 综上所述，得到要使①与②无公共解，m 的取值范围是0m ≥．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．【答案】m 的最大值为111-；m 的最小值为57- 【解析】【分析】【详解】 解 由325,231a b c a b c ++=+-=可解出73,711a c b c =-=-，于是()()37373711732m a b c c c c c =+-=-+--=-．由0,0,0a b c ≥≥≥得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37711c ≤≤． 所以m 的最大值为71321111m =⨯-=-，m 的最小值为353277m =⨯-=-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？【答案】这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．【解析】【分析】【详解】解 设3项活动都参加了的学生有n 人，于是由容斥原理I 知至少参加了一项活动人数为222019(968)38n n ++-+++=+．所以，这个班的学生人数为38442n n ++=+．另一方面参加了两项活动的学生人数分别是9,6,8，所以06n ≤≤，故424248n ≤+≤．综上所述，这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
2021年初中数学竞赛预选赛试题(有答案)
初中数学竞赛预选赛试题(初二)(考试时间：120分钟：满分140分)一、选择题：(每小题7分：共42分)1、已知实数a 满足：|2004-a|+2005-a ＝a ：那么a-20042＝………… ( )A 、2003B 、2004C 、2005D 、20062、如图：在△ABC 中：∠C ＝Rt ∠：CD ⊥AB 于D ：在(1) DC ·AB ＝AC ·BC ： (2)BD AD BC AC 22= (3)222111CD BC AC =+ (4)AC+BC ＞CD+AB中正确的个数是 …………………………………………………… ( )A 、4B 、3C 、2D 、13、实数a ：b ：c ：d 满足：a ＋b ＋c ＋d ＝1001：ac ＝bd ＝4：则： ))()()((a d d c c b b a ++++= ………………………………………… ( )A 、1001B 、2002C 、2003D 、20044、在△ABC 中：∠A ＞∠B ＞∠C ：∠A ≠90°：画直线使它把 △ABC 分成两部份：且使其中一部分与△ABC 相似：这样的互不平行的直线有( )条……………………………………………………………（ ）A 、3B 、4C 、5D 、65、已知二次函数y=ax 2+c ,且当x ＝1时：－4≤y ≤－1：当x ＝2时,－1≤y ≤5：则当x ＝3时：y 的取值范围是…………………………………………( )A 、－1 ≤y ≤20B 、 －4 ≤ y ≤15C 、7 ≤y ≤26D 、328-≤ y ≤335 6、n 是一个两位数：它的十位数字与个位数字之和为a ：当n 分别乘以3：5：7：9后得到四个乘积：如果其每个乘积的各位数的数字之和仍为a ：那么这样的两位数有( )个。
…………………………………………（ ）A 、3B 、5C 、7D 、9二、填空题：（每小题7分：共28分）7、某电影院的票价是：个人每张6元：每10人一张团体票为40元：学生享 受九折优惠：某校1258名学生看电影(教师免票)：学校应向电影院至少付 _________________元钱。
初中数学竞赛试题.
中国教育学会中学数学教学专业HY 会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题〔一共5小题，每一小题7分，一共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或者错填都得0分〕1．非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -++-=，那么a b +等于〔 〕．〔A 〕－1 〔B 〕0 〔C 〕1 〔D 〕2 【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，那么a 等于〔 〕．〔A 〕512〔B 〕512 〔C 〕1 〔D 〕2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC =，即11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得152a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，那么使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为〔 〕．〔A 〕121 〔B 〕92 〔C 〕185 〔D 〕3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或者⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，一共有 5×2＝10种情况；或者1456a b =⎧⎨=⎩，，，，一共3种情况． 又掷两次骰子出现的根本领件一共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y .〔第2题〕把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，那么△ABC 的面积为〔 〕．〔A 〕10 〔B 〕16 〔C 〕18 〔D 〕32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解〔x ，y 〕的组数为〔 〕． 〔A 〕2组 〔B 〕3组 〔C 〕4组 〔D 〕无穷多组 【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，那么判别式∆≥0，且是完全平方数． 由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-； 当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题〔一共5小题，每一小题7分，一共35分〕6．一个自行车轮胎，假设把它安装在前轮，那么自行车行驶5000 km 后报废；假设把它安装在后轮，那么自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．假如交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,那么安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 〔第4题〕图1图2两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，那么 237501150003000x y +==+．7．线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，那么AHAB的值是 ．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EFA 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EFA ，AH AFAF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=.8．12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，假设b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，那么b 的值是 ． 【答】 10． 解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．假设AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，那么CE 的长等于 ．【答】6027． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以EF BFAC BC =， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以60227CE x ==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规那么是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的〔第9题〕〔第7题〕两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．假设报出来的数如下图，那么报3的人心里想的数是 ． 【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，那么报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以 4x x =--， 解得2x =-．三、解答题〔一共4题，每一小题20分，一共80分〕11．抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公一共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . 〔1〕务实数t 的取值范围；〔2〕当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：〔1〕联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，那么121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或者t ≥1，解不等式⑤得22-≤t≤22+所以，t 的取值范围为22-≤t≤22+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+. 由于231(1)22c t =-+在22-≤t≤22+所以，当22t =- 时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分12．正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分 又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192〔1＋2＋…＋10〕＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比拟线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB =⋅． 同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点一共圆，故CED ABC ∠=∠． (10)分 又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有〔第13A 题〕 〔第13A 题〕1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2021，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，那么这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2021年初三数学竞赛试卷(有答案)
初三数学竞赛试卷(时间100分钟：满分100分)一. 填空:（每小题2分：共30分）1.)2(2301300-+=____________.2.比较2100与375的大小________________.3.已知y 1=x 2-7x+6,y 2=7x-3,且y=y 1+xy 2,当x=2时,y=________.4.如图(1)已知AB ∥DE,则∠B+∠C+∠D=___________.5.一个角比它的补角的一半还小18º24’36’’,则这个角是_________.7.如果4x 2-axy+9y 2是一个完全平方式,则a 的值是________. 8.已知1+x+x 2+x 3=0,则x+x 2+x 3+……+x 2004的值是_________. 9.a,b,c 是ΔABC 的三边,且满足a 2+b 2=25,a 2-b 2=7,c=5, 则ΔABC 最大边上的高是_________. 10.如图(2)矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E,设∠ADE=α, 且53cos =α,AB=4,则AD=_______. 11.如图(3)有一个圆柱形的油桶,它的高是80,底面直径是50. 在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 点 在同侧的B 点处的食物,但由于A,B 两点间有障碍,不能直接到达,蚂蚁只能沿桶壁爬行,则蚂蚁需要爬行的最短路程是_________(π取整数3).12.如果方程x 2+px+1=0(p>0)的两根之差是1,则p=________.13.若a 为整数,且点M(3a-9,2a-10)在第四象限,则a 2+1的值是_______.14.如图(4)在正方形ABCD 中,点E 在AB 边上,且AE ∶EB=2∶1, AF ⊥DE 于G,交BC 于F,则ΔAEG 的面积与四边形BEGF的面积比是_________.15.已知圆内接四边形ABCD 中,对角线AC ⊥BD,AB>CD,若CD=4,则AB 的弦心距是____. 二. 选择:(每小题3分,共15分)( )1.一辆汽车在广场上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A.第一次向右拐50º,第二次向左拐130º;B.第一次向左拐30º,第二次向右拐30º;C.第一次向右拐60º,第二次向右拐120º; D .第一次向左拐40º,第二次向左拐40º. ( )2.在M 1=2.02⨯10-6, M 2=0.0000202, M 3=0.00000202, M 4=6.06⨯10-5四个数中,存在两个数,其中一个数是另一个数的3倍,这两个数为A.M 2与M 4,且M 4=3M 2;B.M 1与M 3,且M 3=3M 1;C.M 1与M 4,且M 4=3M 1;D.M 2与M 3,且M 3=3M 2. ( )3.无论m 为何值时,二次函数y=x 2+(2-m)x+m 的图象总过的点是 A (1,3) B (1,0) C (-1,3) D (-1,0).( )4.关于x 的方程(m-2)x 2-2x+1=0有实根,则m 的取值范围是A.m<3;B.m ≤3;C.m<3且m ≠2;D.m ≤3且m ≠2.( )5.如图(5)在Rt ΔABC 中,∠C=90º,AC=4,BC=3,以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC,AB 相切,又⊙O 与BC 的另一交点为D,则线段BD 的长为A BCD E 图（1）A BCDE 图（2）AB图（3）A B C DEF G 图（4）A B CDE O图（5）A. 1;B.21; C. 31; D. 41. 三. 解答:(每小题4分,共20分)1.已知,231-=m 231+=n ,求1)2(22222-⋅-+-+--n mn n m n mn n mn m n m 的值.2.某市为了改变市容市貌,提高人民的生活水平,市政府投入巨额资金拆掉大批小平房,建成风景秀丽的无业小区,如图(6)所示是四个物业小区,分别用A,B,C,D 表示.为了使四个小区中的孩子能就近上学,市政府准备修建一所小学H,问H 应建在何处,才能使四个小区的孩子上学走路的总和最小,请你找出H 的位置,并说明理由.3.如图(7)A 市气象站测得台风中心在A 市的正东方向300千米的B 处,以710千米/时的速度向北偏西60º的BF 方向移动.距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. (1) A 市是否会受到这次台风的影响?请你写出结论并给以证明; (2) 如果A 市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?4.计算:.60sin 30tan 45cot 140cos 50sin 222︒-︒︒++︒︒5.已知b a ,是整数,032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根,07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根,05)4(2=-+-+b x a x 没有实数根,求b a ,的值.AB C D 图（6）四.(1小题5分,2小题6分,共11分) 1. 解方程01)1(3)1(222=-+-+x x x x2.如图(8)在ΔABC 中,D 是BC 边上的中点,且AD=AC,DE ⊥BC,DE 与AB 相交于点E,EC 与AD 相交于点F.(1)求证:ΔABC ∽ΔFCD;(2)若S ΔFCD =5,BC=10,求DE 的长.图（8）ABCDE五.应用题(7分)根据有关信息,有一批货物,如果本月出售,可获利100元,然后可将本利都存入银行,已知银行每月利率是0.5%;如果下月初出售,可获利120元,但要付5元的保管费,试问这批货物何时出售好?六.(8分)如图(9)已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P,AB 是两圆的外公切线,A,B 为切点,AP 的延长线交⊙O 1于C 点,BP 的延长线交⊙O 2于D 点,直线O 1O 2交⊙O 1于M,交⊙O 2于N,与BA 的延长线交于点E.求证:(1)DA BC AB ⋅=2;(2)线段BC,AD 分别是两圆的直径;(3)AE BE PE ⋅=2.ABC D EPNOO M图（9）七.(9分)如图(10)正方形OABC 的顶点O 在坐标原点,且OA 与边AB 所在直线的解析式分别为x y 43=和32543+-=x y ,D,E 分别为边OC 和AB 的中点,P 为OA 边上的一动点(点P 与点O 不重合),连结DE 和CP,其交点为Q. (1) 求证:点Q 为ΔCOP 的外心; (2) 求正方形OABC 的边长;(3) 当ΔCOP 的外接圆⊙Q 与AB 相切时,求点P 的坐标.A BC D E O xy PQ图（10）参考答案:一.填空:1.-2300;2.2100<375;3.18;4.360º;5.47º43’36’’;6.(1)(5);(2)(3)(4)(6);7.±12;8.0;9.512; 10.316; 11.170; 12.5; 13.17; 14.4∶9; 15.2. 二.选择: 1.B; 2.A; 3.A; 4.D; 5.C.三.1.原式化简为n m mn--;);32(231+-=-=m 32231-=-=n ; 原式=.41)32()32()32)(32(-=--+--+--2.学校应建在AC,BD 的交点处.理由:任取一点H ’,用三角形两边之和大于第三边易证.3.(1)过A 作AE ⊥BF,垂足是E,在Rt ΔABE 中,∠ABE=90º-60º=30º,AB=300,AE=21AB=150<200,A 市将受到这次台风影响. (2)以点A 为圆心,以200千米长为半径作弧,交BF 于点C,D,在Rt ΔACE 中,AE=150, AC=200,,75022=-=∴AE AC EC ;71002==EC CD∴=÷∴,107107100A 市受这次台风影响的时间达10小时. 4.519-;5.设已知三个方程的判别式依次是Δ1,Δ2,Δ3;由题意:⎪⎩⎪⎨⎧---=∆=---=∆--=∆)3(0)5(4)4()2(0)7(4)6()1(0)3(4232221 b a b a b a解之得:335a ,又a 是整数,2=∴a ,代人得3=b ,.3,2==∴b a四. 1设y xx =+1,则原方程化为013)2(22=---y y ,即:05322=--y y解之得:25;121=-=y y .分别代人得:21;221==x x ,经检验都是原方程的根.2.(1)易证∠B=∠BCE,∠ADC=∠ACB,得证ΔABC ∽ΔFCD;(2)过点A 作AM ⊥BC,垂足是M, ΔABC ∽ΔFCD,BC=2CD,∴4=∆∆FCDABCS S , ∵S ΔFCD =5,∴S ΔABC =20,又BC=10,∴AM=4;∵DE ∥AM,∴BMBDAM DE =∵DM=21CD=25,BM=BD+DM,BD=21BC=5,∴2/5554+=DE ,∴DE=38.五. 设这批货物的成本价为a 元,赢利分情况考虑如下:若本月出售,那么到下月初共赢利5.10010005%5.0)100(100+=⨯++a a 元;若下月初出售,共赢利120-5=115元.(1) 当1155.10010005+a ,即a >2900时,本月初出售最好. (2) 当1155.10010005=+a 即a =2900时,本月初或下月初出售都行.(3) 当1155.10010005+a 即a <2900时,下月初出售最好.六.(1)∵BA 切⊙O 1于B,∴∠ABP=∠C,∵BA 切⊙O 2于A,∴∠BAP=∠D,∴ΔABC ∽ΔDAB,DA BC AB ABDABC AB ⋅=∴=∴2,; (2)过P 作两圆的内公切线交AB 于F,由切线长定理得:BF=PF,PF=AF,∴PF=BF=AF=21AB ∴∠BPA=90º,∴BP ⊥AP,∴∠BPC =∠APD=90º,∴BC,AD 分别是⊙O 1,⊙O 2的直径. (3)∵PF 是⊙O 1和⊙O 2的公切线,∴PF ⊥O 1O 2,∴∠APF=∠APE=90º,∵∠APB=90º,∴∠ABP+∠BAP=90º,又∵PF=AF,∴∠BAP=∠APF,∴∠ABP=∠APE,∵∠E=∠E∴ΔEPB∽EAP,EPEBEA EP =∴,∴AE BE PE ⋅=2. 七.(1)∵D,E 分别为OC,AB 的中点,∴DE∥OA,Q 是CP 的中点,又∵CP 是Rt ΔCOP 的斜边,∴点Q 是ΔCOP 的外心;(2)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==3253443x y x y 解得:⎩⎨⎧==34y x .∴点A 的坐标为(4,3),∴OA=5,正方形的边长是5.(3)当ΔCOP 的外接圆⊙Q 与AB 相切时,E 是切点,∵AE 和APO 分别是⊙Q 的切线和割线,AO AP AE ⋅=∴2,即AP 5)25(2=,∴AP=45,∴OP=5-41545=.分别作PH ⊥x 轴,AF ⊥y 轴,垂足是H,F,则PH ∥AF.∴AFPHOF OH OA OP == ∴.354415=⨯=⋅=OA OF OP OH PH=.4953415=⨯=⋅OA AF OP ∴点P 的坐标是(3,49).。
2021年TI杯全国初中数学竞赛试卷及答案(四)
2021年TI 杯全国初中数学竞赛试卷及答案（四）一、 选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
）1、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6。
将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8答：A解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45°，所以△CEF 是等腰直角三角形，且EC ＝8－6＝2，所以，S △CEF ＝22、若M ＝136498322++-+-y x y xy x （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、零D 、整数解：因为M ＝136498322++-+-y x y xy x ＝222)3()2()2(2++-+-y x y x ≥0 且y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以M ≥03、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是 点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A 1B 1C 1的外接 圆上，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA 1＝IB 1＝IC 1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以AAABBBCCCEEDDD FA 1BCD A B 1C 1I点I 同时是△A 1B 1C 1的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA 1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60° 4、设A ＝)41001441431(48222-++-+-⨯ ，则与A 最接近的正整数为（ ）A 、18B 、20C 、24D 、25 答：D解：对于正整数m n≥3，有)2121(414n 12+--=-n n ，所以A ＝)1021101110019914131211(12)10216151()981211(4148----+++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+++⨯＝)102110111001991(1225+++⨯-因为)102110111001991(12+++⨯＜99412⨯＜21，所以与A 最接近的正整数为25。
2021年TI杯全国初中数学竞赛试卷及答案(六)
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．2JnJJMc8QO
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
由于 ，所以Rt△FCD∽ Rt△EAB．于是可得
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于< ）．2JnJJMc8QO
<A） <B） <C）1 <D）2
【答】A．
解：由于△BOC∽ △ABC，所以 ，即
，
所以， ．
由 ，解得 ．
(2> 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的，所以，当
时, . ………………20分
12．已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
由于 是奇数，所以 等价于 ，又由于 ，所以 等价于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，满足条件的所有可能的正整数 的和为
，
ห้องสมุดไป่ตู้即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．2JnJJMc8QO
2021年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２０００年全国初中数学联合竞赛试题全国初中数学联赛初赛试卷及答案全国初中数学联赛决赛试卷及答案全国初中数学联赛决赛一试试题及答案全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案全国初中数学联赛4月13日上午8：30—9：30一、选取题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b 值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）112、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 长为（ ）（A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）245 3、从分别写有数字1，2，3，4，55张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上数字作为十位数字，第二张卡片上数字作为个位数字，构成一种两位数，则所构成数是3倍数概率是（ ）（A ）15 （B ）310（C ）25 （D ）12 4、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 大小关系不拟定5、既有价格相似5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品价格互不相似，设最高价格和最低价格比值为r ，则r 最小值为（ ）（A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( xy， 则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 值为（ ）（A ）– （B ） （C ）– 1 （D ）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） BFA E C BDA N M O1、设a ，则5432322a a a a a a a+---+-= 。
2021年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题(甲乙卷含详解)
2021年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题（甲乙卷含详解）中国教育学会中学数学教学专业委员会2022届“数学周杯”全国初中数学竞赛题（考试时间：2021年3月18日上午9：30――11：30）题号1～56～1011121314一二三总分号证考准名姓校学得分评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔回答；2.写答案时不要超过装订线；3.草稿没有交上来一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.每道小题均给出了代号为a，b，c，d 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（a）。
如果实数a、B和C在数轴上的位置如图所示，那么代数公式A2 | a？b |？（c？a）2？|BC |可以减少到（）（a）2c?a（b）2a?2b（c）?a（d）a1（乙）．如果a??2?2，那么1?1的值为（）．2.13? a（a）？2（b）2（c）2（d）222（甲）．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=bx（b≠0）的图象有两个十字路口如果一个交点的坐标为（-3，-2），则另一个交点的坐标为（）（a）（2，3）（b）（3，－2）（c）（－2，3）（d）（3，2）2（b）。
在平面直角坐标系xoy中，满足不等式X2＋y2整数点坐标（x，y）的数量≤ 2x+2Y是（）（a）10（b）9（c）7（d）5第1页，共17页3（甲）．如果a，b为给定的实数，且1?a?b，那么1，a?1，2a?b，a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（a）1（b）2a？14（c）12（d）十四3（乙）．如图，四边形abcd中，ac，bd是对角线，△abc是等边三角形．?adc?30?，ad=3，bd=5，则cd的长为（）．（a） 32（b）4（c）25（d）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（a） 1（b）2（c）3（d）424（乙）．如果关于x的方程x?px?q?0（p，q是正整数）的正根小于3，那么这方程式的数量为（）（a）5（b）6（c）7（d）85（a）。
2021年初中数学竞赛辅导综合试题及答案
2021年初中数学竞赛辅导综合试题及答案2021年初中数学竞赛辅导综合试题一、多项选择题1、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一a2b2c2？？如果有两个公共根，（）的值bccaaba，0b，12c、 2d、3a2?b22、设a,b是整数，方程x+ax+b=0的一根是4?23，则的值为（）ABA，2b，0C，-2D，-13，正实数A1，A2，A2022满足A1+A2++A2022=1，p=3a1？1.3a2？1.2022年？1，然后（）y设a、 p>2022b，p=2022dc、p<2021d、p与2021的大小关系不确定b4、如图，一次函数y=ax+b的图象与x 轴、y轴交a点和B点的Kao，以及反比例函数y？与C相交的图像fxecd两点，分别过c、d两点作y轴，x轴的垂线，垂① 面积△ de和deff等于△ CF，得出以下结论：① 面积△ de和deff等于△ 查阅②ef∥光盘③△dce≌△cdfk④ac=bd；⑤△cef的面积等于，其中正确的个2ndc编号（）a、2b、3c、4d、55、如图，正方形abce的边长为1，点m、n分别在bc、cdM上，且△cmn的周长为2，则△man的面积的最小值为（）a、2?1b、 22岁？二c、22d、 22岁？一a(5题)bx二、填空题（每题5分，共25分）)1? 201，1，然后6。
已知实数x，y满足（x？X2？2022）（y？Y2？2022x2-2y2+3x-3y-2022）=7、已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且abc11114，B复写的副本？aa？文学士？bb？复写的副本？A17的值为l8.如图所示，在平面直角坐标系中，多边形oabcde的顶点坐标为o（0,0）、a（0,6）、B（4,6）、C（4,4）、D（6,4）、e（6,0）。
如果直线L经过点m（2,3），多边形oabcde被分成相等的区域1aybcdmxoe两部分，那么L线的函数表达式是9、如图，在正方形abcd中，△aef的顶点e，f分别在bc、cd边上，高ag与正方形的边长相等，连bd分别交ae、af于点m、n，若eg=4，gf=6，bm=32，则mnBma钕的长为egfC10。
2021年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)(1)
2021年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准（A 卷和B 卷）第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ）A ．415B ．15C ．221D ．1024．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上且OA OB ，则tanABO 的值为（ ） A ．12B ．2C ．1D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（ ） A ．322-B ．642-C ．1D ．642+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为 .9．已知锐角ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为ABD 、ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则C －B ＝ .AB CD EF10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A ．415 B ．15C ．221D ．102 4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA OB ，则tanABO 的值为（ ） A ．12B ．22C ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分BAC ，AB ＝20，AD ＝415，则AC 的长为 .ABCDFO E10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd＋de ＋ea 最小，则这个最小值为 .第二试（A ）1．（20分）关于x 的方程2221x m x x -+-=有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF BD ，交BA 的延长线于点F ，BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N .（1）证明：BAD ＝3DAC ； （2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD .A O BDCABCDPN E M3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF BD ，交BA 的延长线于点F ，BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N .（1）证明：BAD ＝3DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .A BCDF ME N3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：3a b c ++=，2224a b c ++=，222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. 抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，240b c -=，221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知AFD ＝BEC ＝90°，BEC DF A ，DAF ＝BCE . 延长F A ，EB 交于点G .GAB ＝90°－DAF ＝ADF ，GBA ＝90°－CBE ＝BCE ＝DAF ，BGA AFD ，且AGB ＝90°，AG ＝8，BG ＝6， GF ＝11，GE ＝10，22221EF GE GF =+=.4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC x 轴，BD x 轴，垂足为C 、D . 由OA OB 得AOB ＝90°，于是可得AOC OBD ， ||11|||4|2AOC A A OBD B B S x y OAOC AC ABO OBS OD BD x y ∆∆⋅⋅∠======⋅⋅-. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+，AB CD EFGx ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得222t ≥+或222t ≤-. 又22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--， 当222t =-（即12x y ==-）时，22x y +取得最小值， 最小值为2(2221)3642---=-. 6. 解：D. 提示：2535n n +-是15的倍数， 25|(535)n n +-，5|3n ，5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. 2535n n +-是15的倍数，21m -是3的倍数， 31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数. 符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， 1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， 332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长， 所求概率为112.9. 解：60°. 提示：作EM BC 于点M ，FN BC 于点N ，FP EM 于点P . E 、F 分别为ABD 、ACD 的外心， M 、N 分别为BD 、CD 的中点. 又EF ＝BC ，PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，PEF ＝30°. 又EF AD ，EM BC ，ADC ＝PEF ＝30°.ABCM ND F O EP又ADC ＝B ＋BAD ＝B ＋12(180°－2C )＝90°＋B －C ， C －B ＝90°－ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，A 不小于3； B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63. 如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.1 2 3 19 20 21 4 5 6 25 27 29 7 8 9 22 23 24 10 11 12 26 28 30 13 14 15 31 34 35 161718323336第一试（B ）1. 解：B. 提示：3a b c ++=，2224a b c ++=，222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. 抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，240b c -=，221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知AFD ＝BEC ＝90°，BEC DF A ，DAF ＝BCE . 延长F A ，EB 交于点G .GAB ＝90°－DAF ＝ADF ，GBA ＝90°－CBE ＝BCE ＝DAF ，BGA AFD ，且AGB ＝90°，AG ＝8，BG ＝6， GF ＝11，GE ＝10，22221EF GE GF =+=. 4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，AB CD EFG代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得2323t -≤≤，故22()12x y t -=≤. 5. 解： A. 提示：过点A 、B 分别作AC x 轴，BD x 轴，垂足为C 、D . 由OA OB 得AOB ＝90°，于是可得AOC OBD ， ||11|||4|2AOC A A OBD B B S x y OAOC AC ABO OBS OD BD x y ∆∆⋅⋅∠======⋅⋅-. 6. 解：D. 提示：2232n n --是6的倍数， 22|(232)n n --，2|3n ，2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. 2232n n --是6的倍数，21m -是3的倍数，31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. 符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， 1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， 332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE AB 于E ，OF AC 于F . AD 平分BAC ，DOB ＝2BAD ＝OAC .又OA ＝OD ，AOF ODE ，OE ＝AF ，AC ＝2OF ＝2OE . 设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在RtODE 中，由勾股定理得222100DE OD OE x =-=-. 在RtADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(415)(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.DC F如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2）， 此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.1255(5)(1)0P P b d bd d b -=+--=-->，12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++； 交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. 342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. 5625104(2)0P P e e e -=+--=->，56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小. 当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <，则2221x m x x -+->，此时方程无解，不符合题意，故0m ≥. 方程变形得2221x x x m -=--， 两边平方后整理得22242x m x x m +-=--， 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程只可能有解48(2)m x m -=-.将48(2)mx m -=-代入方程，得22(4)(4)42118(2)8(2)8(2)m m mm m m m ----+-=----，化简整理得？？？，于是有403m ≤≤， 5 2e 1da ebc d 5 e b1 d 5 e b 1d 5 21e图1图2图3图4图5此时方程有唯一解8(2)x m =-.综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得BAP ＝DAC ， 则BAP CAD ，AP ＝AD .又AE PD ，ADE APE ，P AE ＝DAE ， P AE ＝BAP ＝DAC ，BAD ＝3DAC .（2）设DAC ＝α，则BAC ＝2α，BAD ＝3α，NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD . 又BF DF CD BD AC -=，BQ CDBD AC=. 又QBD ＝DCA ，QBD DCA ，QDB ＝DAC .又DBC ＝DAC ，QDB ＝DBC ，QD BC ，FQD ＝ABC . 又AB ＝AC ，BAC ＝2α，ABC ＝90°－α，FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，BFD ＝2α.FN 平分BFD ，AFM ＝α，NMD ＝AMF ＝BAD －AFM ＝3α－α＝2α，MND ＝180°－NMD －NDM ＝90°－α＝MDN ，MN ＝MD . 3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ， 方程的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程至少有一个正整数解，∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，2mn<. 又112m n >>，有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.A BC DQPN E M第二试（B ）1. 解：1ab =，1b a =， 2111111211211211212321a a M a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则2223()322322N a a a a =++=-++≥+， 当2a =时取得等号.10322322N <≤=-+，111(322)222M N=-≥--=-. 因此，当2a =，2b =时，11112M a b =+++取得最小值222-.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得BAP ＝DAC ， 则BAP CAD ，AP ＝AD .又AE PD ，ADE APE ，P AE ＝DAE ，P AE ＝BAP ＝DAC ，BAD ＝3DAC .（2）设DAC ＝α，则BAC ＝2α，BAD ＝3α.AC BD ，NDM ＝90°－α.MN ＝MD ，MND ＝MDN ＝90°－α，NMD ＝180°－MND －NDM ＝2α，AMF ＝2α， AFM ＝BAD －AMF ＝3α－2α＝α.FN 平分BFD ，BFD ＝2AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则FQD ＝90°－α.又AB ＝AC ，BAC ＝2α，ABC ＝90°－α，FQD ＝ABC ， QD BC ，QDB ＝DBC .又DBC ＝DAC ，QDB ＝DAC .又DB ＝AC ，QBD ＝DCA ，QBD DCA ，BQ ＝CD ， BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数，则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-， x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+，AB C D FQM P EN1217|(1)(1)x x ++，117|(1)x +或217|(1)x +. 若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1.满足条件的正整数k ＝1.。
2021年全国初中数学联赛试题(Word可编辑版)
2021年全国初中数学联赛试题（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7分，共42分）1、a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）（A）1999（B）2021（C）2021（D）不能确定2、若，且有5a2+2021a+9=0及，则的值是（）（A）（B）（C）（D）3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（）（A）（B）（C）（D）4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（）（A）（B）（C）∠ABD=∠ACB（D）5、①在实数范围内，一元二次方程的根为；②在△ABC中，若，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和中，a，b，c分别为△ABC的三边，分别为的三边，若，则△ABC的面积S大于的面积。
以上三个命题中，假命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为________。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为________。
3、已知是正整数，并且，则=________。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为________。
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中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题题 号一 二 三总 分1～56～1011121314得 分评卷人复查人1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，22||()||a a b c a b c -++-+可以化简为（ ）．A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a1（乙）．如果22a =-+11123a+++的值为（ ）． A ．2-B 2C ．2D ．222（甲）．如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0b y b x=≠的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为()32--，，那么另一个交点的坐标为（ ）．A ．()23，B ．()32-，C ．()23-，D ．()32，2（乙）．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y ++≤的整数点坐标()x y ，的个数为（ ）． A ．10 B ．9 C ．7 D ．53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． A ．1B ．214a - C ．12 D ．143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ABC △是等边三角形．30ADC ∠=°，3AD =，5BD =，则CD 的长为（ ）．A ．32B ．4C ．5D ．4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． A ．0p B ．1p C ．2p D ．3p5（乙）．黑板上写有111123100L ， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． A ．2012 B ．101 C ．100 D ．99 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否487?>”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为15E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与DE 、DB 分别交于点M 、N ，则DMN △的面积是 .7（乙）．如图，O ⊙的半径为20，A 是O ⊙上一点。
以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =.延长BC ，与O ⊙分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 ．8（甲）．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2011120122x x 的值为 ．8（乙）．设n 为整数，且12012n ≤≤. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .9（乙）．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，，均为三角形数，且a b c ≤≤，则ac的取值范围是 .10（甲）．如图，四边形ABCD 内接于O ⊙，AB 是直径，AD DC =. 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F . 若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 .10（乙）．已知n 是偶数，且1100n ≤≤．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△. 已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.12（甲）．如图，O ⊙的直径为AB ，1O ⊙过点O ，且与O ⊙内切于点B ．C 为O ⊙上的点，OC 与1O ⊙交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与1O ⊙交于点F ，求证：1BOC DO F △∽△．12（乙）．如图，O e 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是ABD △的内心. 求证：（1）OI 是IBD △的外接圆的切线； （2）2AB AD BD +=.13（甲）．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数.当2012a ≥时，求a 的最小值.13（乙）．凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．14（甲）．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x L ，， ，，满足122012x x x <<<L ，且122012122012n x x x +++=L . 14（乙）．将23n L ， ， ，()2n ≥任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以 22||()||()()()a a b c a b c a a b c a b c -++-++=-+++--+a =-．1（乙）．B解：111111122122312a+=+=+-++++1121221=+=++2（甲）．D解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，； 32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为()32，. 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为()32，.2（乙）．B解：由题设2222x y x y ++≤，得0≤22(1)(1)2x y -+-≤. 因为x y ，均为整数，所以有 解得以上共计9对x y （，）. 3（甲）．D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=.3（乙）．B解：如图，以CD 为边作等边CDE △，连接AE . 由于AC BC =，CD CE =，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以BCD ACE △≌△，BD AE =.又因为30ADC ∠=°，所以90ADE ∠=°.在Rt ADE △中，53AE AD ==，，于是224DE AE AD =-，所以4CD DE ==. 4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得消去x 得 ()274y n y -=+， (27)1515212727y n y y -+==+--. 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q -<，故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知，当3x =时，0y >，所以2330p q -->，即39p q +<. 由于p q ，都是正整数，所以1p =，15q ≤≤；或2p =，12q ≤≤，此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意． 5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大． 5（乙）．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)11123100x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g Lg ， 解得 1101x +=，100x =． 二、填空题6（甲）．719x <≤解：前四次操作的结果分别为32x -，()332298x x --=-，()39822726x x --=-，()3272628180x x --=-由已知得 解得 719x <≤.容易验证，当719x <≤时，32487x -≤ 98487x -≤，故x 的取值范围是 719x <≤． 6（乙）．7 解：由已知可得109379=⨯-=． 7（甲）．8解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知BFN △∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===，由此得2AN NF =，所以23AN AF =.在Rt ABF △中，因为2AB a BF a ==，，所以AF ==，于是cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知ADE BAF △≌△，所以AED AFB ∠=∠， 18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=o °°.于是cos AM AE BAF =⋅∠=，23MN AN AM AF AM =-=-，415MND AFD S MN S AF ==△△.又21(2)(2)22AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△.因为a =8MND S =△.7（乙）．285解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB =，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ==，． 所以 CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=. 8（甲）．23-解：根据题意，关于x 的方程有223943042k k k ⎛⎫∆=--+ ⎪⎝⎭≥，由此得 ()230k -≤．又()230k -≥，所以()230k -=，从而3k =. 此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-.故2011120122x x =21x =23-． 8（乙）．1610解：因为22(3)(3)n n n n -+++=4259n n ++=22(1)(1)(1)510n n n n -++++.当n 被5除余数是1或4时，1n -或1n +能被5整除，则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除；当n 被5除余数是2或3时，21n +能被5整除，则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除； 当n 被5除余数是0时， 22(3)(3)n n n n -+++不能被5整除.所以符合题设要求的所有n 的个数为201082161010⨯+=． 9（甲）．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得043b ≤≤.又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0130(1)(2)43b m m =-++≤≤，87(1)(2)130m m ++≤≤，由此得8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设. 故8m =． 9351ac-<≤ 解：由题设得所以11111c c a c b a +>+>-， 即 111c c a a+>-.整理得2310a a c c ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数231y x x =-+3535a c -+<. 又因为1ac ≤351ac-<≤. 1032解：如图，连接AC ，BD ，OD .由AB 是O e 的直径知90BCA BDA ∠=∠=°. 依题设90BFC ∠=°，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，所以BCF BAD ∠=∠，所以Rt Rt BCF BAD △∽△，因此BC BACF AD=. 因为OD 是O e 的半径，AD CD =，所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥， 于是2DE OE DC OB==. 因此223DE CD AD CE AD ===，.由AED △∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，22BA AD =，故ADCF BC BA =⋅=3222=. 10（乙）. 12解：由已知有()()a b a b n -+=，且n 为偶数，所以a b a b -+，同为偶数，于是n 是4的倍数．设4n m =，则125m ≤≤．（Ⅰ）若1m =，可得0b =，与b 是正整数矛盾．（Ⅱ）若m 至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对a b （,）满足22a b a b m -+⋅=；若m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对a b （,）满足22a b a b m -+⋅=．（Ⅲ）若m 是素数，或m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对a b （,）满足22a b a bm -+⋅=．因为有唯一正整数对a b （,），所以m 的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个． 三、解答题11（甲）．解：因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-．…………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且 233(3)2m m ++++≤0， 解得m ≤5-．…………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以 121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-．…………（20分）11（乙）．解：因为4sin 5AO ABC AB ∠==，8AO =，所以 由勾股定理，得BO=6=.易知ABO ACO △≌△，因此6CO BO ==. 于是()08A -，，()60B ，，()60C -，.设点D 的坐标为()m n ，，由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△. 所以1122BC |n|=AO BO ⋅⋅， 1112()8622n ⨯-=⨯⨯， 解得4n =-.因此D 为AB 的中点，点D 的坐标为()34-，.…………（10分）因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为ABC △的重心，所以点E 的坐标为803⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为()()66y a x x =-+. 将点E 的坐标代入，解得a =227. 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-. …………（20分）12（甲）．证明：连接BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以CBE △是等腰三角形．…………（5分）设BC 与1O e 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =，所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以BOC △∽△1DO F ．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知所以 CI CD =．同理， CI CB =. 故点C 是IBD △的外心.连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA OC =， 所以OI AC ⊥，即OI CI ⊥.故OI 是IBD △外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I 作IE AD ⊥于点E ，设OC 与BD 交于点F . 由»»BCCD =，知OC BD ⊥. 因为CBF IAE ∠=∠，BC CI AI ==，所以Rt Rt BCF AIE △≌△，所以BF AE =.又因为I 是ABD △的内心，所以2AB AD BD AE BD +-==.故2AB AD BD +=．…………（20分）13（甲）．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）.因为 ()()224a b ab a b +-=-，所以 ()22224a m n m --=，…………（5分）因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--(m 为素数)，所以 222a m n m -+=，221a m n --=.解得 a =2(1)4m +，n =214m -.于是 b a m =-=214m -（）.…………（10分）又2012a ≥，即2(1)20124m +≥.又因为m 是素数，解得89m ≥. 此时，a ≥2(891)20254+=.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 因此，a 的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸n 边形中有k 个内角等于150°，则不等于150°的内角有n k -个． （1）若k n =，由()1502180n n ⨯=-⨯°°，得12n =，正十二边形的12个内角都等于150°；…………（5分）（2）若k n <，且13n ≥，由()()1501802180k n k n ⨯+-⨯>-⨯°°°，可得12k <，即11k ≤． 当11k =时，存在凸n 边形，其中的11个内角等于150°，其余n k -个内角都等于()2180111501(6)301111n n n α-⨯-⨯==-⨯--°°°，0180α<<°°，150α≠°． …………（10分）（3）若k n <，且811n ≤≤．当1k n =-时，设另一个角等于α．存在凸n 边形，其中的1n -个内角等于150°，另一个内角()()21801150(7)30n n n α=-⨯--⨯=-⨯°°°．由11n ≤可得(7)30180n α=-⨯<°°；由8n ≥可得(7)300n α=-⨯>°°，且150α≠°．…………（15分）（4）若k n <，且37n ≤≤，由（3）可知k ≤2n -．当2k n =-时，存在凸n 边形，其中2n -个内角等于150°，另两个内角都等于()215n -⨯°．综上，当12n =时，k 的最大值为12；当13n ≥时，k 的最大值为11；当811n ≤≤时，k 的最大值为1n -；当37n ≤≤时，k 的最大值为2n -．…………（20分）14（甲）．解：由于122012x x x L ，， ，都是正整数，且122012x x x <<<L ，所以11x ≥，22x ≥，…，20122012x ≥．于是 122012122012n x x x =+++L 1220122012122012+++=L ≤． …………（10分）当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯L ，， ，，则1220121220121x x x +++=L . …………（15分）当1n k =+时，其中12011k ≤≤，令1212k x x x k ===L ，， ，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯，，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-L 1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012L ， ， ， ．…………（20分）14（乙）．解：当1621n =-时，把23n L ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+-L ， ， ， ， ， 和 {}84521-L ， ， ， ．在数组{}88162322121+-L ， ， ， ， ， 中，由于38821632221<>-，（），所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =．在数组{}84521-L ， ， ， 中，由于48421>-，所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =． 所以，n ≥162．…………（10分）下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组. 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时b a c =；如果8在第二组，我们取16482a b c ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件．所以，n 的最小值为162．…………（20分）。